第2章初等模型

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎2.2 汽車(chē)剎車(chē)距離汽車(chē)剎車(chē)距離2.3 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽2.4 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.5 實(shí)物交換實(shí)物交換2.6 啟帆遠(yuǎn)航啟帆遠(yuǎn)航2.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析問(wèn)題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對(duì)平坦，使椅子在

2、任意位置至少三地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。只腳同時(shí)著地。 通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式調(diào)整椅子的位置通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式調(diào)整椅子的位置模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性xBADCOD C B A 用用 (對(duì)角線與對(duì)角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個(gè)距離四個(gè)距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g(

3、)兩個(gè)距離兩個(gè)距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形正方形對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對(duì)任意對(duì)任意 , f( ), g( )至少一個(gè)為至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意對(duì)任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位

4、置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線，對(duì)角線AC和和BD互換。互換。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2)車(chē)身的平均長(zhǎng)度車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”與與“10英里英里/小時(shí)加一車(chē)身小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則規(guī)則不同不同剎剎車(chē)車(chē)距距離離反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間司機(jī)司機(jī)狀況狀況制動(dòng)系統(tǒng)制動(dòng)系統(tǒng)靈活性靈活性制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速

5、、道路、氣候 最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。車(chē)速車(chē)速常數(shù)常數(shù)反反應(yīng)應(yīng)距距離離制制動(dòng)動(dòng)距距離離常數(shù)常數(shù)假假 設(shè)設(shè) 與與 建建 模模 1. 剎車(chē)距離剎車(chē)距離 d 等于反應(yīng)距離等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離與制動(dòng)距離 d2 之和之和2. 反應(yīng)距離反應(yīng)距離 d1與車(chē)速與車(chē)速 v成正比成正比3. 剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變;vtd11F d2= m v2/2F m21kvvtdt1為反應(yīng)時(shí)間為反應(yīng)時(shí)間21ddd且且F與車(chē)的質(zhì)量與車(chē)的質(zhì)量m成正比成正比22kvd 反應(yīng)時(shí)間反應(yīng)時(shí)間

6、t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒秒?yún)?shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k21kvvtd模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06計(jì)算剎車(chē)距離、剎車(chē)時(shí)間計(jì)算剎車(chē)距離、剎車(chē)時(shí)間車(chē)速車(chē)速(英里英里/小時(shí)小時(shí)) (英尺英尺/秒秒)實(shí)際剎車(chē)距離實(shí)際剎車(chē)距離（英尺）（英尺）計(jì)算剎車(chē)距離計(jì)算剎車(chē)距離（英尺）（英尺）剎車(chē)時(shí)間剎車(chē)時(shí)間（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.4

7、3.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準(zhǔn)則秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)秒準(zhǔn)則則”22106. 075. 0vvkvvtd模模 型型車(chē)速車(chē)速(英里英里/小時(shí)小時(shí))剎車(chē)時(shí)間剎車(chē)時(shí)間（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車(chē)速（英里車(chē)速（英里/小時(shí)）小時(shí)）010104040606080t（秒）秒）12342.3 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽軍軍備備競(jìng)競(jìng)賽賽背背景景 幾乎所有的現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)都以反復(fù)無(wú)常的軍備競(jìng)賽作為幾乎所有的現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)都以反復(fù)無(wú)常的軍備競(jìng)賽作為前導(dǎo)。有力的證據(jù)表明前導(dǎo)。有力的證據(jù)表明,

8、 ,強(qiáng)國(guó)之間的軍備競(jìng)賽強(qiáng)國(guó)之間的軍備競(jìng)賽, ,以軍事能以軍事能力方面的迅速提升為特征力方面的迅速提升為特征, ,是戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)警指示器。在一是戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)警指示器。在一篇篇19791979年的文章中年的文章中, ,加拿大加拿大British ColumbiaBritish Columbia大學(xué)的大學(xué)的 Michael WallaceMichael Wallace研究了在研究了在1816181619651965年間年間9999件國(guó)際爭(zhēng)件國(guó)際爭(zhēng)端。他發(fā)現(xiàn)端。他發(fā)現(xiàn), ,有反復(fù)軍備競(jìng)賽在前的有反復(fù)軍備競(jìng)賽在前的2828次爭(zhēng)端中次爭(zhēng)端中,23,23次升次升級(jí)為戰(zhàn)爭(zhēng)級(jí)為戰(zhàn)爭(zhēng), ,而沒(méi)有軍備競(jìng)賽先行的而沒(méi)有軍備競(jìng)

9、賽先行的7171次爭(zhēng)端中次爭(zhēng)端中, ,只有只有3 3次次導(dǎo)致戰(zhàn)爭(zhēng)。導(dǎo)致戰(zhàn)爭(zhēng)。 前蘇聯(lián)和美國(guó)在冷戰(zhàn)時(shí)期致力于核軍備競(jìng)賽前蘇聯(lián)和美國(guó)在冷戰(zhàn)時(shí)期致力于核軍備競(jìng)賽, ,那時(shí)那時(shí), ,政治和軍事戰(zhàn)略家們問(wèn)道：對(duì)于蘇聯(lián)核武庫(kù)在數(shù)量和技政治和軍事戰(zhàn)略家們問(wèn)道：對(duì)于蘇聯(lián)核武庫(kù)在數(shù)量和技術(shù)改進(jìn)方面的種種變化，美國(guó)應(yīng)當(dāng)如何反應(yīng)？為回應(yīng)此術(shù)改進(jìn)方面的種種變化，美國(guó)應(yīng)當(dāng)如何反應(yīng)？為回應(yīng)此難題，多少武器是充足的？難題，多少武器是充足的？軍軍備備競(jìng)競(jìng)賽賽背背景景 前任美國(guó)參謀長(zhǎng)聯(lián)席會(huì)議主席，Maxwell D. Taylor將軍為美國(guó)戰(zhàn)略核力量提出如下核威懾目標(biāo)核威懾目標(biāo)： 戰(zhàn)略核力量擁有實(shí)施大規(guī)模破壞的絕無(wú)僅有的能力，

10、它們應(yīng)戰(zhàn)略核力量擁有實(shí)施大規(guī)模破壞的絕無(wú)僅有的能力，它們應(yīng)當(dāng)承擔(dān)一項(xiàng)威懾蘇聯(lián)的特殊任務(wù)，使之怯于采取任何形式的當(dāng)承擔(dān)一項(xiàng)威懾蘇聯(lián)的特殊任務(wù)，使之怯于采取任何形式的戰(zhàn)略核沖突。為了使威懾效力達(dá)到最大限度，它們必須能夠戰(zhàn)略核沖突。為了使威懾效力達(dá)到最大限度，它們必須能夠在大規(guī)模的第一次打擊之后生存下來(lái)，而且還能夠破壞足夠在大規(guī)模的第一次打擊之后生存下來(lái)，而且還能夠破壞足夠的敵方目標(biāo)，也就是摧毀對(duì)于決定戰(zhàn)爭(zhēng)與和平的國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人的敵方目標(biāo)，也就是摧毀對(duì)于決定戰(zhàn)爭(zhēng)與和平的國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人十分敏感的有效政府、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)，從而消滅蘇聯(lián)。十分敏感的有效政府、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)，從而消滅蘇聯(lián)。 為了實(shí)現(xiàn)Taylor將軍提出的目

11、標(biāo)，他陳述了以下內(nèi)容： 我們需要的武器數(shù)量將足以摧毀這個(gè)體系內(nèi)部若干我們需要的武器數(shù)量將足以摧毀這個(gè)體系內(nèi)部若干特定目標(biāo)。作為一個(gè)安全因素，我們應(yīng)當(dāng)增添額外的武器，特定目標(biāo)。作為一個(gè)安全因素，我們應(yīng)當(dāng)增添額外的武器，以求補(bǔ)償在第一次打擊中可能蒙受的損失以及武器性能的不以求補(bǔ)償在第一次打擊中可能蒙受的損失以及武器性能的不確定性?？偟奈淦餍枨罅繎?yīng)當(dāng)大體上少于我們現(xiàn)在的軍火庫(kù)確定性?？偟奈淦餍枨罅繎?yīng)當(dāng)大體上少于我們現(xiàn)在的軍火庫(kù)中可供使用的數(shù)量。中可供使用的數(shù)量。 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存 在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。 當(dāng)一方

12、采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。數(shù)量受哪些因素影響。問(wèn)問(wèn) 題題以雙方以雙方( (戰(zhàn)略戰(zhàn)略) )核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基

13、地； 己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。 在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一枚核導(dǎo)彈。只能攻擊對(duì)方的一枚核導(dǎo)彈。 摧毀一枚導(dǎo)彈的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊摧毀一枚導(dǎo)彈的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。精度和另一方的防御能力決定。模模型型假假設(shè)設(shè)圖圖的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少

14、導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng)當(dāng) x=0時(shí)時(shí) y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線精細(xì)精細(xì)模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一枚甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一枚導(dǎo)彈，導(dǎo)彈未被摧毀的概率。導(dǎo)彈

15、，導(dǎo)彈未被摧毀的概率。sx枚導(dǎo)彈未摧毀，枚導(dǎo)彈未摧毀，yx枚導(dǎo)彈未被攻擊。枚導(dǎo)彈未被攻擊。xyy0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊2次，次，s2(xy)個(gè)未摧毀；個(gè)未摧毀；y (xy)=2y x個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊1次，次，s(2y x )個(gè)未摧毀個(gè)未摧毀y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 a交換比交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比)x=a y,精細(xì)精細(xì)模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值威懾值s殘存率殘存率y=

16、f(x)y是一條上凸的曲線是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)。),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平

17、衡點(diǎn)平衡點(diǎn)PP 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0和交換比不變和交換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少PP 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)( x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量 )雙方

18、威懾值減小，殘存率變小雙方威懾值減小，殘存率變小y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP 殘存率變小殘存率變小 y增加且變陡增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP 2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問(wèn)問(wèn)題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失假假設(shè)設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)

19、流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)2.4 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTklTTkdTTkQbbaa21

20、2111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32對(duì)對(duì)Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計(jì)，作最保守的估計(jì)，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.

21、03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失。的熱量損失。結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)系數(shù) k2 2, , 而這要求空氣非常干燥、不流通。而這要求空氣非常干燥、不流通。實(shí)際房間通過(guò)天花板、墻壁、地面等損失的熱量更多。實(shí)際房間通過(guò)天花板、墻壁、地面等損失的熱量更多。dlhhQQ,18121雙層窗的功效不會(huì)如此之大雙層窗的功效不會(huì)如此之大問(wèn)問(wèn)題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿(mǎn)足更高的需要，雙方為滿(mǎn)足更高的需要，商定相互交換一部分

22、。研究實(shí)物交換方案。商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用用x,y分別表示甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對(duì)若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y) xyyo0 xo 2.5 實(shí)物交換實(shí)物交換xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無(wú)差別曲線甲的無(wú)差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1

23、)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿(mǎn)意程度，即具有同樣的滿(mǎn)意程度，即p1, p2對(duì)甲是無(wú)差別的，對(duì)甲是無(wú)差別的，MN將所有與將所有與p1, p2無(wú)差別的點(diǎn)連接無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條起來(lái)，得到一條無(wú)差別曲線無(wú)差別曲線MN 線上各點(diǎn)的滿(mǎn)意度相同線上各點(diǎn)的滿(mǎn)意度相同, 線的形狀反映對(duì)線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，的偏愛(ài)程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各點(diǎn)滿(mǎn)意度更高的點(diǎn)如各點(diǎn)滿(mǎn)意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上。上。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族

24、的性質(zhì)：無(wú)差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點(diǎn)凸向原點(diǎn)) 互不相交互不相交在在p1點(diǎn)占有點(diǎn)占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點(diǎn)占有點(diǎn)占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y。甲的無(wú)差別曲線族記作甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿(mǎn)意度滿(mǎn)意度（f 等滿(mǎn)意度曲線）等滿(mǎn)意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2 乙的無(wú)差別曲線族乙的無(wú)差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）性質(zhì)（形狀可以不同） 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyyoOxof=

25、c1Oxyg=c2乙的無(wú)差別曲線族乙的無(wú)差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)坐標(biāo)系系xOy, 且反向）且反向）甲的無(wú)差別曲線族甲的無(wú)差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿(mǎn)意的交換方案必雙方滿(mǎn)意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)外的任一點(diǎn)p, (雙方雙方)滿(mǎn)意度低于滿(mǎn)意度低于AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作兩族曲線切點(diǎn)連線記作ABABp 交換方案的進(jìn)一步確定交換方案的進(jìn)一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩矩形內(nèi)任一點(diǎn)形內(nèi)任一點(diǎn)交換路交換路徑徑AB雙方的無(wú)差別曲線族雙方的無(wú)差別曲線族等價(jià)交等價(jià)交換

26、原則換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前前x0, y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為：則下交換路徑為：CD(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線兩點(diǎn)的連線CDAB與與CD的的交點(diǎn)交點(diǎn)p設(shè)設(shè)X單價(jià)單價(jià)a, Y單價(jià)單價(jià)b, 則等價(jià)交換下則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.x帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向簡(jiǎn)化問(wèn)題簡(jiǎn)化問(wèn)題AB 風(fēng)向風(fēng)向北北航向航向帆船帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從要從A點(diǎn)駛向正東方的點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向確定起航時(shí)的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.6 啟帆遠(yuǎn)