3.2隨機變量的獨立性ppt課件

1、 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 定義定義 設設( X , Y )( X , Y )是二維隨機變量是二維隨機變量, , 若若對任意實數對對任意實數對( x , y )( x , y )均有均有隨機事件隨機事件A 與與B 相互獨立，假設相互獨立，假設P(AB)=P(A)P(B),yYPxXPyYxXP 成立，稱成立，稱X與與Y相互獨立相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 意義意義 對任意實數對對任意實數對( x , y )，隨機事件，隨機事件 X x 、 Y y 都相互獨立都相互獨立.例例3.2.1等價條件等價條件

2、:1.X與與Y相互獨立相互獨立對任意實數對任意實數(x , y )均成立均成立.)()(),(yFxFyxFYX 2. (離散型離散型)X與與Y 相互獨立相互獨立, ijijP Xx YyP Xx P Yy 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22對所有對所有(xi , yj )均成立均成立. 注注 若否定結論若否定結論, 只需找到一對只需找到一對(i, j)使使pij pi pj或或 pij = pi pj3. (連續(xù)型連續(xù)型)X與與Y相互獨立相互獨立在平面上除去在平面上除去“面積面積為為0 的集合外成立的集合外成立.)()(),(yfxfyxfYX 例例3.2.

3、2例例3.2.3例例3.2.4練習練習 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 定義定義 設設 n 維隨機變量維隨機變量X1 ,X2,Xn )的聯的聯合分布函數為合分布函數為 F(x1 , x2 , xn )， 若對任意若對任意實數實數x1 , x2 , xn 均有均有稱稱X1 ,X2,Xn 相互獨立相互獨立., )(),(121 niiinxFxxxF 注注 對任意實數向量對任意實數向量(x1 , x2, , xn), n個隨機個隨機事件事件 Ak=Xk xk,k=1,2, ,n， 都相互獨立都相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學

4、Apr-22 思索思索 隨機事件隨機事件A1，A2，An 相互獨立，相互獨立，應有以下應有以下2n-n-1個等式同時成立，缺一不可個等式同時成立，缺一不可.如何理解？如何理解？),(lim),(21, 4 , 321,21nnkxXXxxxFxxFk )()()()()(lim321211, 4 , 3 nkXXXXniiinkxFFxFxFxF)()(2121xFxFXX 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 定理定理3.2.1 若若n維隨機變量維隨機變量X1 ,X2,，Xn ) 相互獨立，則任意相互獨立，則任意k個隨機變量個隨機變量( 2 k n )也相互獨

5、立也相互獨立. 注注 隨機變量相互獨立則一定兩兩獨立，隨機變量相互獨立則一定兩兩獨立，但逆不真但逆不真. . 例例3.2.5 定理定理3.2.1 3.2.1 若若n n維隨機變量維隨機變量X1 ,X2,X1 ,X2,，Xn ) Xn ) 相互獨立，那么相互獨立，那么 2). 隨機變量隨機變量 g1(X1), g2(X2), gn(Xn)也相也相互獨立互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 3) m維隨機向量維隨機向量(X1 ,X2,Xm ) 與與n-m維隨維隨機向量機向量(Xm+1 ,Xm+2 ,Xn ) 也相互獨立也相互獨立. 4) 隨機變量隨機變量

6、h (X1 ,X2,Xm ) 與與g(Xm+1 ,Xm+2,Xn ) 也相互獨立也相互獨立.如如 3維隨機變量維隨機變量X1 ,X2 ,X3 相互獨立，那相互獨立，那么么 X12 , X22 , X32 也相互獨立也相互獨立.X1 +X2與與X3也相互獨立也相互獨立.sinX1 與與X3也相互獨立也相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22X1 +X2與與X1 X2 不一定相互獨立不一定相互獨立.隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性本質上是隨機事件的獨立性本質上是隨機事件的獨立性 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 例例3.2

7、.1 設隨機變量設隨機變量 X 的概率密度為的概率密度為 xxexf,21)(問問 X 與與X是否相互獨立是否相互獨立.分析分析 1) 直觀判斷直觀判斷X 與與X是否相互獨立？是否相互獨立？bXPaXPbX,aXP 對所有實數對對所有實數對(a, b) 均成立均成立.2) 判定判定X 與與X相互獨立，則需驗證相互獨立，則需驗證 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 3) 隨機事件隨機事件 Xa 與與X a 有下述關有下述關系系aXaXaaX ,aXPaXaXP 從從而而解解 對于任意給定的實數對于任意給定的實數 a 0 有有aXaXaaX ) 1 (,aXPaX

8、aXP 從從而而1010 aXPaXP，又又 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22)2(,aXPaXPaXP ,aXPaXPaXaXP 即即 X 與與X 不相互獨立不相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 例例3.2.3 已知二維隨機變量已知二維隨機變量( X , Y )的概率密的概率密度為度為 .,0;10,8),(其其他他xyxyyxf問問 X , Y 是否相互獨立？是否相互獨立？解解dyyxfxfX ),()( . 10,4; 10, 03xxxorx . 10,8; 10, 00 xxydyxorxx 隨機變量的

9、獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 . 10,44; 10, 0)(3yyyyoryyfY)()(),(yfxfyxfYX 10),( xyyxG在在區(qū)區(qū)域域., 不不相相互互獨獨立立故故YX 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22例例3.2.4 設隨機變量設隨機變量 X , Y 相互獨立相互獨立, XU( 0, a ) , Y U(0, / 2)且且 0 b a 試求試求 P X b cosY 解解 ;, 0;0,1)(其其他他axaxfX .,0;20,2)(其其他他 yyfY因為隨機變量因為隨機變量 X , Y 相互獨立，那么相互獨立

10、，那么)()(),(yfxfyxfYX 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22a/2bx = b cosy dxdyaYbXPD 2cos .22 abDSa ., 0;20,2其其他他yaxoa 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 練習練習 設隨機變量設隨機變量 X 與與 Y 相互獨立相互獨立, 填出填出空白處的數值空白處的數值. 11/61/8x2 1/8x1y3y2y1X Y. ipjp.3/41/4 1/21/24 3/8 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 例例3.2.2 設隨機變量設隨

11、機變量 ( X, Y ) 具有聯合概率密具有聯合概率密度度其他其他xyxyxf 0, 1002),(問問: X、Y 是否相互獨立？是否相互獨立？ 分析分析 f (x, y) 在如圖所在如圖所示區(qū)域內不等于示區(qū)域內不等于 0, 在其在其余區(qū)域均等于余區(qū)域均等于 0。oxy11 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22由于由于 xdyyxfxfX,),()(當當 x0 或或 x1時時,在整個積分路徑上在整個積分路徑上被積函數被積函數 f (x, y) 始終為始終為 0; 因此因此y = x00 dyxfX)(當當 0 x 1 時時,xdyxfxX220 )(oxy11

12、隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22類似地類似地, ydxyxfyfY,),()(當當y0 或或 y1時時,00 dxyfY)(當當 0 y 1 時時,)()(ydxyfyY 1221y = xoxy11 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22于是于是,其其他他1002 xxxfX)(其他其他100)1(2)( yyyfY故當故當 0 x 1 且且 0 y x 時時,f (x, y) = 2fx(x) fy(y) = 4x(1-y)因此因此, X 與與 Y 不相互獨立不相互獨立.找出了一個找出了一個面積不為面積不為0的區(qū)域的區(qū)域 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 例例3.2.6 將一枚均勻硬幣獨立地擲兩次，引將一枚均勻硬幣獨立地擲兩次，引進隨機事件如下進隨機事件如下1擲第一次出現正面擲第一次出現正面 A2擲第二次出現正面擲第二次出現正面 A3正、反面各出現一次正、反面各出現一次 A令令 .0, 111否則否則，發(fā)生；發(fā)生；當事件當事件A .0, 122否則否則，發(fā)生；發(fā)生；當事件當事件A 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學電子科技大學Apr-22 .0, 133否則否則，發(fā)生；發(fā)生；當事件當事件A 有有0041)(0, 0212121 PPAAPP0141)(0