3.2隨機變量的獨立性ppt課件

1、 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 定義定義 設(shè)設(shè)( X , Y )( X , Y )是二維隨機變量是二維隨機變量, , 若若對任意實數(shù)對對任意實數(shù)對( x , y )( x , y )均有均有隨機事件隨機事件A 與與B 相互獨立，假設(shè)相互獨立，假設(shè)P(AB)=P(A)P(B),yYPxXPyYxXP 成立，稱成立，稱X與與Y相互獨立相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 意義意義 對任意實數(shù)對對任意實數(shù)對( x , y )，隨機事件，隨機事件 X x 、 Y y 都相互獨立都相互獨立.例例3.2.1等價條件等價條件

2、:1.X與與Y相互獨立相互獨立對任意實數(shù)對任意實數(shù)(x , y )均成立均成立.)()(),(yFxFyxFYX 2. (離散型離散型)X與與Y 相互獨立相互獨立, ijijP Xx YyP Xx P Yy 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22對所有對所有(xi , yj )均成立均成立. 注注 若否定結(jié)論若否定結(jié)論, 只需找到一對只需找到一對(i, j)使使pij pi pj或或 pij = pi pj3. (連續(xù)型連續(xù)型)X與與Y相互獨立相互獨立在平面上除去在平面上除去“面積面積為為0 的集合外成立的集合外成立.)()(),(yfxfyxfYX 例例3.2.

3、2例例3.2.3例例3.2.4練習(xí)練習(xí) 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 定義定義 設(shè)設(shè) n 維隨機變量維隨機變量X1 ,X2,Xn )的聯(lián)的聯(lián)合分布函數(shù)為合分布函數(shù)為 F(x1 , x2 , xn )， 若對任意若對任意實數(shù)實數(shù)x1 , x2 , xn 均有均有稱稱X1 ,X2,Xn 相互獨立相互獨立., )(),(121 niiinxFxxxF 注注 對任意實數(shù)向量對任意實數(shù)向量(x1 , x2, , xn), n個隨機個隨機事件事件 Ak=Xk xk,k=1,2, ,n， 都相互獨立都相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)

4、Apr-22 思索思索 隨機事件隨機事件A1，A2，An 相互獨立，相互獨立，應(yīng)有以下應(yīng)有以下2n-n-1個等式同時成立，缺一不可個等式同時成立，缺一不可.如何理解？如何理解？),(lim),(21, 4 , 321,21nnkxXXxxxFxxFk )()()()()(lim321211, 4 , 3 nkXXXXniiinkxFFxFxFxF)()(2121xFxFXX 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 定理定理3.2.1 若若n維隨機變量維隨機變量X1 ,X2,，Xn ) 相互獨立，則任意相互獨立，則任意k個隨機變量個隨機變量( 2 k n )也相互獨

5、立也相互獨立. 注注 隨機變量相互獨立則一定兩兩獨立，隨機變量相互獨立則一定兩兩獨立，但逆不真但逆不真. . 例例3.2.5 定理定理3.2.1 3.2.1 若若n n維隨機變量維隨機變量X1 ,X2,X1 ,X2,，Xn ) Xn ) 相互獨立，那么相互獨立，那么 2). 隨機變量隨機變量 g1(X1), g2(X2), gn(Xn)也相也相互獨立互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 3) m維隨機向量維隨機向量(X1 ,X2,Xm ) 與與n-m維隨維隨機向量機向量(Xm+1 ,Xm+2 ,Xn ) 也相互獨立也相互獨立. 4) 隨機變量隨機變量

6、h (X1 ,X2,Xm ) 與與g(Xm+1 ,Xm+2,Xn ) 也相互獨立也相互獨立.如如 3維隨機變量維隨機變量X1 ,X2 ,X3 相互獨立，那相互獨立，那么么 X12 , X22 , X32 也相互獨立也相互獨立.X1 +X2與與X3也相互獨立也相互獨立.sinX1 與與X3也相互獨立也相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22X1 +X2與與X1 X2 不一定相互獨立不一定相互獨立.隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性本質(zhì)上是隨機事件的獨立性本質(zhì)上是隨機事件的獨立性 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 例例3.2

7、.1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的概率密度為的概率密度為 xxexf,21)(問問 X 與與X是否相互獨立是否相互獨立.分析分析 1) 直觀判斷直觀判斷X 與與X是否相互獨立？是否相互獨立？bXPaXPbX,aXP 對所有實數(shù)對對所有實數(shù)對(a, b) 均成立均成立.2) 判定判定X 與與X相互獨立，則需驗證相互獨立，則需驗證 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 3) 隨機事件隨機事件 Xa 與與X a 有下述關(guān)有下述關(guān)系系aXaXaaX ,aXPaXaXP 從從而而解解 對于任意給定的實數(shù)對于任意給定的實數(shù) a 0 有有aXaXaaX ) 1 (,aXPaX

8、aXP 從從而而1010 aXPaXP，又又 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22)2(,aXPaXPaXP ,aXPaXPaXaXP 即即 X 與與X 不相互獨立不相互獨立. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 例例3.2.3 已知二維隨機變量已知二維隨機變量( X , Y )的概率密的概率密度為度為 .,0;10,8),(其其他他xyxyyxf問問 X , Y 是否相互獨立？是否相互獨立？解解dyyxfxfX ),()( . 10,4; 10, 03xxxorx . 10,8; 10, 00 xxydyxorxx 隨機變量的

9、獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 . 10,44; 10, 0)(3yyyyoryyfY)()(),(yfxfyxfYX 10),( xyyxG在在區(qū)區(qū)域域., 不不相相互互獨獨立立故故YX 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22例例3.2.4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X , Y 相互獨立相互獨立, XU( 0, a ) , Y U(0, / 2)且且 0 b a 試求試求 P X b cosY 解解 ;, 0;0,1)(其其他他axaxfX .,0;20,2)(其其他他 yyfY因為隨機變量因為隨機變量 X , Y 相互獨立，那么相互獨立

10、，那么)()(),(yfxfyxfYX 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22a/2bx = b cosy dxdyaYbXPD 2cos .22 abDSa ., 0;20,2其其他他yaxoa 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 練習(xí)練習(xí) 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 與與 Y 相互獨立相互獨立, 填出填出空白處的數(shù)值空白處的數(shù)值. 11/61/8x2 1/8x1y3y2y1X Y. ipjp.3/41/4 1/21/24 3/8 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 例例3.2.2 設(shè)隨機變量設(shè)隨

11、機變量 ( X, Y ) 具有聯(lián)合概率密具有聯(lián)合概率密度度其他其他xyxyxf 0, 1002),(問問: X、Y 是否相互獨立？是否相互獨立？ 分析分析 f (x, y) 在如圖所在如圖所示區(qū)域內(nèi)不等于示區(qū)域內(nèi)不等于 0, 在其在其余區(qū)域均等于余區(qū)域均等于 0。oxy11 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22由于由于 xdyyxfxfX,),()(當(dāng)當(dāng) x0 或或 x1時時,在整個積分路徑上在整個積分路徑上被積函數(shù)被積函數(shù) f (x, y) 始終為始終為 0; 因此因此y = x00 dyxfX)(當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時時,xdyxfxX220 )(oxy11

12、隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22類似地類似地, ydxyxfyfY,),()(當(dāng)當(dāng)y0 或或 y1時時,00 dxyfY)(當(dāng)當(dāng) 0 y 1 時時,)()(ydxyfyY 1221y = xoxy11 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22于是于是,其其他他1002 xxxfX)(其他其他100)1(2)( yyyfY故當(dāng)故當(dāng) 0 x 1 且且 0 y x 時時,f (x, y) = 2fx(x) fy(y) = 4x(1-y)因此因此, X 與與 Y 不相互獨立不相互獨立.找出了一個找出了一個面積不為面積不為0的區(qū)域的區(qū)域 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 例例3.2.6 將一枚均勻硬幣獨立地擲兩次，引將一枚均勻硬幣獨立地擲兩次，引進(jìn)隨機事件如下進(jìn)隨機事件如下1擲第一次出現(xiàn)正面擲第一次出現(xiàn)正面 A2擲第二次出現(xiàn)正面擲第二次出現(xiàn)正面 A3正、反面各出現(xiàn)一次正、反面各出現(xiàn)一次 A令令 .0, 111否則否則，發(fā)生；發(fā)生；當(dāng)事件當(dāng)事件A .0, 122否則否則，發(fā)生；發(fā)生；當(dāng)事件當(dāng)事件A 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)Apr-22 .0, 133否則否則，發(fā)生；發(fā)生；當(dāng)事件當(dāng)事件A 有有0041)(0, 0212121 PPAAPP0141)(0