3.2向量與向量的線性組合ppt課件

1、3.2 3.2 向量與向量的線性組合向量與向量的線性組合一、向量及線性運(yùn)算一、向量及線性運(yùn)算12( ,)na aa12nbbb把列(行)向量寫成行(列)向量可用轉(zhuǎn)置記號, 例12nbbb可寫成 =(b1,b2,bn)T例如，一個例如，一個mn矩陣矩陣mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211A的每一列的每一列Tmjjjjaaa),(21組成的向量組組成的向量組n,21稱為矩陣稱為矩陣A的列向量組；而由的列向量組；而由A的每一行的每一行)1(),(21miaaainiii組成的向量組組成的向量組m,21稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組.0 xAnm當(dāng)當(dāng)r(A)n時的全部解組成

2、的時的全部解組成的n維向量組維向量組.Tnaaa),(21與與Tnbbb),(21的各對應(yīng)的各對應(yīng)分量之和組成的向量，稱為向量分量之和組成的向量，稱為向量與與的和，記為的和，記為 ，即，即Tnnbababa),(2211Tnbbb),(21Tnnbababa),()(2211Tnaaa),(21的各個分量都乘以數(shù)的各個分量都乘以數(shù)k所組成所組成向量稱為數(shù)向量稱為數(shù)k與向量與向量的乘積簡稱數(shù)乘），記為的乘積簡稱數(shù)乘），記為kaTnkakakak),(21向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量的運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算相同向量的運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算相同. .向量

3、的線性運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算規(guī)律相同，亦滿足下面向量的線性運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算規(guī)律相同，亦滿足下面八條運(yùn)算規(guī)律：八條運(yùn)算規(guī)律：),(RlkRn設(shè)1)5) 12) ()() 6)()()3)07)()4)()08) ()k lklkkkklkl 定義定義4 n維向量的全體所組成的集合維向量的全體所組成的集合,|),(2121RxxxxxxxRnTnn稱為實(shí)稱為實(shí)n n維向量空間維向量空間. .例例11212(2, 4,1, 1) ,( 3, 1,2, 5/2)320. 設(shè)滿足（ ） ， 求二、向量組的線性組合二、向量組的線性組合考察線性方程組考察線性方程組11112211211222221122nnnnm

4、mmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb )1(),(21njaaaTmjjjj令令Tmbbb),(21則方程組可表示為如下向量形式：則方程組可表示為如下向量形式：nnxxx2211于是，方程組是否有解，就相當(dāng)于是否存在一組數(shù)于是，方程組是否有解，就相當(dāng)于是否存在一組數(shù)k1,k2,kn使得下列線性關(guān)系式成立：使得下列線性關(guān)系式成立：nnkkk2211稱為這個線性組合稱為這個線性組合sA,:21，對于任何一組實(shí)數(shù)，對于任何一組實(shí)數(shù)skkk,21，表達(dá)式，表達(dá)式sskkk2211稱為向量稱為向量組組A的一個線性組合，的一個線性組合，skkk,21，若存在一組數(shù)，若存在一組數(shù)

5、sA,:21和向量和向量skkk,21，使，使sskkk2211則稱 是向量組是向量組A的線性組合，或稱的線性組合，或稱 能由向量組能由向量組A線性表示或線性表出）線性表示或線性表出）.易得：易得：能否能否由由s,21線性表出，這個線性表出是線性表出，這個線性表出是否否獨(dú)一，和線性方程獨(dú)一，和線性方程組組ssxxx2211能否能否有解，解是不是唯一相當(dāng)有解，解是不是唯一相當(dāng).12(,) (1,2)TjjjmjaaajnTmbbb),(21則向則向量量能由能由s,21線性表出的充要條件是線性表出的充要條件是矩陣矩陣12(,)nA 與矩與矩陣陣12(,)nA 的秩相等的秩相等.證明：線性方程組證明

6、：線性方程組1 122nnxxx有解的充要條件是：其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等有解的充要條件是：其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等. .即：即：r(A)=r().r(A)=r().對于行向量有相同結(jié)論：設(shè)向量對于行向量有相同結(jié)論：設(shè)向量12( ,)mb bbj=1,2n,向量向量 可由向量組可由向量組 線性表示的充要條線性表示的充要條件件為：為：12(,)jjjmjaaa12,n 1212(,)(,)TTTTTTnnrr若若kk，則稱向量，則稱向量與與成比例成比例零向量是任一向量組的線性組合零向量是任一向量組的線性組合1122.nnaaa 事實(shí)上，有事實(shí)上，有向量組中每一向量都可由該向量組線性表示向

7、量組中每一向量都可由該向量組線性表示向量向量可由可由12:,mA 線性表示，線性表示， 1212mmxxx 即方程組即方程組有解有解. .任一維向量任一維向量都是單位向量組都是單位向量組的一個線性組的一個線性組合合12(,)na aa12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n例例 判斷向量判斷向量 與與 是否各為是否各為 向量組向量組 的線性組合的線性組合.若是，若是， 寫出其表達(dá)式寫出其表達(dá)式.1(4,3,1,11)2(4,3, 0,11)12(1, 2,1,5),(2,1,1,1)向量組向量組 中任一向量中任一向量 均為此向量組的線性均為此向量組的線性組合組合 12,s 1201

8、0js(1)jjs 三、向量組間的線性表示三、向量組間的線性表示tsBA,:,:2121若向量若向量B B中的每一個向量都能由向量組中的每一個向量都能由向量組A A線性表示，那么線性表示，那么稱向量組稱向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示線性表示. . 若向量組若向量組A A與向量與向量組組B B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價. .若向量組若向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示，則存在線性表示，則存在), 2 , 1(,21tjkkksjjj使得下式成立：使得下式成立：sjjjnssjjjjkkkkkk11212111),(故故st

9、ssttstkkkkkkkkk2122221112112121),(),(線性表示的線性表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣即：設(shè)有向量組即：設(shè)有向量組 若向量組若向量組B能由向量組能由向量組A線性表示的充分必要線性表示的充分必要 條件為存在條件為存在 s行行t列矩陣列矩陣P使得使得tsBA,:,:21211212(,)(,)tsP 向量組等價的性質(zhì)：向量組等價的性質(zhì)：(1)(1)自反性自反性 任一向量與自身等價任一向量與自身等價. .(2)(2)對稱性對稱性 若向量組若向量組(A)(A)與與(B)(B)等價，則向量組等價，則向量組(B)(B)與與(A)(A)等價等價. .(3)(3)傳遞性傳遞性 若向量組若向量組(A)(A)與與(B)(B)等價，向量組等價，向量組(B)(B)與與(C)(C)等價，等價， 則向量組則向量組(A)(A)與與(C)(C)等價等價. .例例 設(shè)向量組設(shè)向量組試判斷三個向量