第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 拉氏變換及反變換2.3 傳遞函數(shù)及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.4 系統(tǒng)框圖及其簡(jiǎn)化2.1 控制系統(tǒng)的微分方程上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)本章的學(xué)習(xí)要求1.掌握機(jī)械、電氣系統(tǒng)微分方程的建立方法；2.了解非線性方程的線性化；3.熟悉拉普拉斯變換及反變換、線性定常微分方程的解法；4.熟悉傳遞函數(shù)；5.掌握系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖的化簡(jiǎn)。u重點(diǎn)是微分方程、傳遞函數(shù)、拉普拉斯變換及反變換、解微分方程、化簡(jiǎn)傳遞函數(shù)方框圖；難點(diǎn)是建立微分方程及化簡(jiǎn)傳遞函數(shù)方框圖。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2.1 控制系統(tǒng)的微分方程u基本概念數(shù)學(xué)模型

2、微分方程傳遞函數(shù)狀態(tài)方程定義：描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式意義：通過(guò)數(shù)學(xué)模型，在理論上掌握系統(tǒng)在一定的輸入作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及穩(wěn)定情況和動(dòng)態(tài)過(guò)程。形式微分方程是最基本數(shù)學(xué)模型，是其他兩種的基礎(chǔ)上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)建立微分方程的一般步驟(1) 確定輸入量、輸出量和擾動(dòng)量，并根據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量。(2) 根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出微分方程。(3) 消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量(包括擾動(dòng)量)關(guān)系的微分方程（標(biāo)準(zhǔn)形式）。輸入量在等號(hào)的右邊，輸出量在等號(hào)的左邊，均按降次排列上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)一、機(jī)械系統(tǒng)的微分方程的建立基本原理：基本原理：1.牛頓第二定律：

3、牛頓第二定律：F=madtdyfvfFf大?。簓kFk大?。篺 粘滯摩擦系數(shù)k 彈簧系數(shù)方向：均為阻礙物體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)平移系統(tǒng)某系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型如下圖所示，當(dāng)外力y(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試寫出外力y(t)與質(zhì)量塊的位移x(t)之間的微分方程。解：在外力作用下，如果彈簧恢復(fù)力和阻尼器阻力與y(t)不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有：xkFkdtdxfFf 22dtxdmmaFFtyFfk tyxkdtdxfdtxdm22上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)實(shí)例：彈簧阻尼器系統(tǒng)彈簧阻尼器系統(tǒng))()(1ommm

4、iixxfFxxKF 02xKFo oommixKxxfxxK21)()(ioooooimoimxxfKxKKKxxfKxKKxxxKxKxK 2121212211iooxKKKxKKfKKx2112121)( 點(diǎn)點(diǎn)A:A:點(diǎn)點(diǎn)B:B:上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)實(shí)例：回轉(zhuǎn)系統(tǒng)sfTTTTdtdJ22TkdtdfdtdJ22f 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)粘滯摩擦系數(shù)k 彈性扭轉(zhuǎn)變形系數(shù)上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)二、電氣系統(tǒng)微分方程的建立基本原理：基本原理：1.環(huán)路電壓定律環(huán)路電壓定律 和節(jié)點(diǎn)電流定律和節(jié)點(diǎn)電流定律 0iUoiIIdtdiLUidtCU1RiU上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程

5、基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)實(shí)例1：RLC網(wǎng)絡(luò)（無(wú)源網(wǎng)絡(luò)）tuituoCRLiuuuu，又dtdiLuLRiuRidtCuuco122( )( )( )( )oooid utdutLCRCutu tdtdt空載上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)實(shí)例2：有源網(wǎng)絡(luò) tui解解:( )( )oidu tRCu tdt 下圖是一個(gè)由理想運(yùn)算放大器組成的電容負(fù)反饋電路。電壓 和 分別表示輸入量和輸出量，試確定這個(gè)電路的微分方程式。 tuo0uu0iiiA dttuudCIRutuoAAi0Au上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)三、直流他激電動(dòng)機(jī) 解：解：1) 電樞回路的電勢(shì)平衡方程為：（基爾霍夫定律

6、）)()(teteRidtdiLimaaaa2)電動(dòng)機(jī)的反電勢(shì)方程為(電磁感應(yīng)定律)dttdKteoem)()(Ke為電動(dòng)機(jī)的電勢(shì)常數(shù)，單位為vsrad。 3)電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程為 aTiKT KT為電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)，單位為NmA。 上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)4)電動(dòng)機(jī)軸上的動(dòng)力學(xué)方程為（牛頓第二定律） dttdfTdttdJoo)()(22J為轉(zhuǎn)動(dòng)部分折算到電動(dòng)機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其單位為Nms2。 )()()(2233teKdtdKKfRdtdJRfLdtdJLiToeTaoaaoa上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄消去消去em、ia、T三個(gè)中間變量，可以得到描述輸量三個(gè)中間變量，可以得

7、到描述輸量 ，輸入量輸入量 之間的關(guān)系的微分方程為：之間的關(guān)系的微分方程為：o)(tei控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)討論通常電樞的電感La很小，若忽略不計(jì)，于是電動(dòng)機(jī)的微分方程可以簡(jiǎn)化為：若電感、電阻均較小，則上式可改寫為上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄)()(22teKdtdKKfRdtdJRiToeTaoa)(tedtdKioe控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)相似系統(tǒng)：數(shù)學(xué)模型相同的物理系統(tǒng)相似系統(tǒng)：數(shù)學(xué)模型相同的物理系統(tǒng) tfxkdtdxfdtxdmiooo22)(22tTkdtdfdtdJiooo質(zhì)量質(zhì)量-彈簧彈簧-阻尼機(jī)械平移系統(tǒng)阻尼機(jī)械平移系統(tǒng)機(jī)械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)機(jī)械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)RLC無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)22( )

8、( )( )( )oooid u tdu tLCRCu tu tdtdt控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)非線性方程的線性化（自學(xué)）非線性方程的線性化（自學(xué)）非線性方程難于求解，用線性數(shù)學(xué)模型近似表示非線性數(shù)學(xué)模型。在一定工作范圍內(nèi)進(jìn)行線性化處理。將非線性函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展成泰勒級(jí)數(shù)，并忽略高次項(xiàng)。例：直流發(fā)電機(jī)X軸表示勵(lì)磁電流Y軸表示輸出電勢(shì)由于存在磁路飽和，y和x呈非線性關(guān)系y=f(x)可以在(x0,y0)附近泰勒級(jí)數(shù) 上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)202200)(! 21)()()(00 xxdxydxxdxdyxfxfyxxxx202200)(! 21)(00 xxdxydxxdxd

9、yyyxxxxxKy0 xxdxdyK忽略高次項(xiàng)，然后用增量表示是比例常數(shù)。經(jīng)上述處理后，就變成了線性方程。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)對(duì)于具有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù)),(21xxfy 在靜態(tài)工作點(diǎn)y0=(x10,x20)附近展成泰勒級(jí)數(shù)。)()(),(20221011201020101xxxfxxxfxxfyxxxx用增量表示2211xKxKy1011xxdxdyK2022xxdxdyK及是比例常數(shù)。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)上述方法稱為小偏差線性化方法。它是基于這樣一種假設(shè)：輸入量和輸出量只是在靜態(tài)工作點(diǎn)附近作微小變化 。幾點(diǎn)注意：(1)只適用于不太嚴(yán)重的非線

10、性系統(tǒng)，其非線性函數(shù)是可以利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的（非本質(zhì)非線性）。(2)實(shí)際運(yùn)行情況是在某個(gè)平衡點(diǎn)(即靜態(tài)工作點(diǎn))附近，且變量只能在小范圍內(nèi)變化。(3)不同靜態(tài)工作點(diǎn)得到的方程是不同的。(4)對(duì)于嚴(yán)重的非線性，例如繼電特性，因?yàn)樘幪幉粷M足泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的條件，故不能做線性化處理。(5)線性化后得到的是增量微分方程。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2.2 拉氏變換與反變換本節(jié)的難點(diǎn)：拉氏變換的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與變換本節(jié)的重點(diǎn)：工程常見(jiàn)函數(shù)的拉氏變換拉氏變換的運(yùn)算規(guī)則基于部分分式法的拉氏反變換上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)問(wèn)題的引入 tfcdttdfbdttdfaxkdtdxfdtx

11、dmooo2222 tfxkdtdxfdtxdmiooo22u目的：將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程（實(shí)質(zhì)是將微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘除運(yùn)算），使求解大大簡(jiǎn)化，是工程技術(shù)人員常用的分析控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法。如此時(shí)將 改變?yōu)橐粫r(shí)變作用力，那么運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有時(shí)如何分析呢？上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄 tfi控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)一、拉氏變換(Laplace transform)的定義u滿足條件1. 在任一有限區(qū)間，分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn) tf2.有限性，即當(dāng)時(shí)間趨緊無(wú)窮大時(shí)， 收斂于某一個(gè)數(shù) tfu定義： 0dtetfsFtfLst式中js 稱為原函數(shù) tf 稱為象函數(shù) sF上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄二、典型輸入信號(hào)的拉氏變換控

12、制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)階躍函數(shù)的定義如果A1,稱為單位階躍函數(shù),記為1（t），即對(duì)系統(tǒng)輸入階躍函數(shù)就是在t=0時(shí)，給系統(tǒng)加上一個(gè)恒值輸入量。如左圖所示 000tAttrA 01001ttt該函數(shù)的拉氏變換為： 0dteAtfLsRst)(0|0sAesAstsAn單位階躍函數(shù)的拉氏變換為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為R(sR(s)=1/s)=1/s。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄1 1、階躍信號(hào)的拉氏變換階躍信號(hào)的拉氏變換控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2 2、脈沖函數(shù)的拉氏變換、脈沖函數(shù)的拉氏變換 tAtttr000和脈沖函數(shù)的定義脈沖函數(shù)在理論上（數(shù)學(xué)上的假設(shè)）是一個(gè)脈寬無(wú)窮小，幅值無(wú)窮大的脈沖。在實(shí)際中，只要脈沖

13、寬度極短即可近似認(rèn)為是脈沖函數(shù)。如圖所示。脈沖函數(shù)的積分，即脈沖的面積為:AtA0lim0 dtAdttr00lim如果A1，即面積為1的函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)，記為 ，即 t 000ttt上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2 2、脈沖函數(shù)的拉氏變換、脈沖函數(shù)的拉氏變換脈沖函數(shù)拉氏變換為: 函數(shù)的圖形如圖所示。脈沖函數(shù)的積分就是階躍函數(shù) t t trLsR 0dtetAst 000dtetAdtetAststAn單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為R(sR(s)=1)=1。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)3 3、斜坡函數(shù)的拉氏變換、斜坡函數(shù)的拉氏變換斜坡函數(shù)也稱等速

14、度函數(shù)，其定義如果A1，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示輸入斜坡函數(shù)相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)輸入一個(gè)隨時(shí)間作等速變化的信號(hào)，如右圖所示 000tAtttr該函數(shù)的拉氏變換為： 0dteAttfLsRstn單位斜坡（速度）函數(shù)的拉氏變換為單位斜坡（速度）函數(shù)的拉氏變換為R(sR(s)=1/s)=1/s2 2。00010)(|dtAesdtsAeesAtststst分部積分法階躍函數(shù)2sA1上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)4 4、單位加速度函數(shù)的拉氏變換、單位加速度函數(shù)的拉氏變換 021002ttttrn單位加速度函數(shù)的拉氏變換為單位加速度函數(shù)的拉氏變換為R(sR(s)=1/s)=1/s3 3?？刂乒こ袒?/p>

15、礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)5.指數(shù)函數(shù) ：ate0dteeeLstatatasdtetas10tsintcossincossincosjejejj歐拉公式2cos2sinjjjjeejee0sinsindttetLst2202sdtejeestjj22cossstL上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)三、拉氏變換的性質(zhì)1.線性定理：該定理表示：常數(shù)與原函數(shù)乘積的拉氏變換等于常數(shù)與該原函數(shù)的拉氏變換的乘積。若干原函數(shù)之代數(shù)和的拉氏變換等于各原函數(shù)拉氏變換之代數(shù)和。 tfLktfLktfktfkL22112211 sFksFk22112.延遲定理：3.位移定理： sFeatfLas asFtfeLat上

16、 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)4.微分定理：設(shè) ，則各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為： sFtf 01fssFtfL 00122fsfsFstfL 000012121nnnnnnfsffsfssFstfL 時(shí)的值。及各階導(dǎo)數(shù)在為函數(shù)式中：00,0,011ttffffn特別注意： 000011如果nfff sFstfLnn則：上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) 0110fsssFdttfLt5.積分定理：設(shè) ，則 sFtf 的值時(shí)表示當(dāng)式中：tdttftf0100特別注意： 001如果f ssFdttfLt0則：當(dāng)是n重積分時(shí)， ntntssFdttfL00)(上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基

17、礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)6.終值定理：若函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s)， ssFtfst0limlim7.初值定理：若函數(shù)f(t)的拉氏變換為F(s)， ssFtfst limlim0上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)四、拉氏反變換這是復(fù)變函數(shù)的積分，一般難以直接計(jì)算。通常用查拉氏表的方法求拉氏反變換。若原函數(shù)F(s)在表中不能直接查到，則需將F(s)展開(kāi)成部分分式,再對(duì)每項(xiàng)象函數(shù)求拉氏反變換，將各反變換的原函數(shù)相加，就得到F(s)的原函數(shù)。這種方法稱為部分分式法部分分式法1.由象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)稱拉氏反變換，用 表示，數(shù)學(xué)定義為： 1sFL jrjrstdsesFjtfsFL21

18、1上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)四、拉氏反變換部分分式法F(s)一般可以寫成如下形式：根據(jù)極點(diǎn)的不同，可以分成如下三種情況討論分析 011011asasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm nsssssssBsF21式中 是F(s)的極點(diǎn)。 nsss,21上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)F(s) 只含有不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)1.無(wú)重實(shí)根 nsssssssBsF21niiinnsskssksskssk12211式中 是待定的常數(shù)，它是 的留數(shù),按下式求得。 ikiss iiisssFsskF(s) 的拉氏反變換為： nitsiniiiieksskLsFLtf1111上 頁(yè)下

19、頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例題1求 的拉氏反變換。 3422ssssF 3131221skskssssF21131211sssssk21331232sssssk ,321121sssF tteesFLtf312121解解:留數(shù)法待定系數(shù)法3132211sskskksk2312121kkkk212121kk常用不常用查表上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2.共軛復(fù)根 nnssksskssssksksAsBsF332121 11|2121sssssssssFksk即可得到一復(fù)數(shù)方程，用待定系數(shù)法分別令實(shí)部與虛部相等，即可解出k1,k2 上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)解：解

20、：例題2求 原函數(shù) 112sssssF skssksksF32211866. 05 . 0866. 05 . 012jsjsss866. 05 . 012jsss乘方程兩邊，并令用866. 05 . 0866. 05 . 0866. 05 . 0121866. 05 . 0jjkjkssjs 866. 0866. 0866. 05 . 05 . 05 . 02121kkkk0121kk111023ssssssk上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)K1,k2,k3代入上式得取拉氏反變換得 skssksksF32211 sssssF1122222866. 05 . 05 . 0866. 05

21、 . 05 . 01ssss tetesFLtftt866. 0sin578. 0866. 0cos15 . 05 . 0122cosasasteLat22sinasteLat上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)3.有重根 , 2 , 122111112113111211121lssksskssksskssksskssksssssssBsFnnlln假設(shè)有 個(gè)重復(fù)極點(diǎn) 11111!11sssssFdsdlklll 1|111sssssFk上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例題3求 拉氏反變換 3122sssssF 3114312211sksksksksF解：解： 21131212

22、211ssssssk 43131212212ssssssdsdk 32312023ssssssk 1213312324ssssssk )3(1121132) 1(14311212sssssF ttteetetf3121324321ttete2321121323上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)五、用拉氏變換求解微分方程一般步驟是：1.對(duì)線性微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變成以s變量的代數(shù)方程；2.求解代數(shù)方程，得到輸出變量象函數(shù)的表達(dá)式；3.將象函數(shù)展開(kāi)成部分分式；4.對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換，得到微分方程的解。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)例題4已知微分方程 ，

23、式中y，x分別是輸出與輸入量，設(shè) ，求y（t） 150, 50),( 120.yytxxydtdydtyd232解：解：根據(jù)微分定理對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，得 sXsYyssYsysYsy203300.2 232030522ssssssY將上式按部分分式展開(kāi) 2101510ssssY tteety210510上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2.3 傳遞函數(shù)的概念及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)本節(jié)的難點(diǎn)：1.慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)2.實(shí)際控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的求解本節(jié)的重點(diǎn)：傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)基本環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)問(wèn)題的引出控制系統(tǒng)的微分方程，是時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)

24、態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，求解微分方程可以得到在給定外界作用及初始條件下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，并可通過(guò)響應(yīng)曲線直觀地反映出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。但系統(tǒng)的參數(shù)或結(jié)構(gòu)形式有變化，微分方程及其解都會(huì)同時(shí)變化，不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析與研究。根據(jù)求解微分方程的拉氏變換法，可以得到系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。它不僅可以表征系 統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以方便地研究系統(tǒng)的參數(shù)或結(jié)構(gòu)的變化對(duì)系統(tǒng)性能所產(chǎn)生的影響。在經(jīng)典控制理論中廣泛應(yīng)用的根軌跡法和頻率法，就是在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。 上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)一、傳遞函數(shù)的定義定義：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換Y(s)與輸入量的拉

25、氏變換X(s)之比。表示方法：xbdtxdbdtxdbyadtydadtydammmmmmnnnnnn01110111初始條件為零微分定理 sXbsXsbsXsbsYasYsasYsammmmnnnn011011根據(jù)定義 011011asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)二、傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)1.特征方程：傳遞函數(shù)中分母等于零的方程稱作特征方程：2.極點(diǎn)：使特征方程為零的s=pn稱為極點(diǎn)。3.零點(diǎn)：是傳遞函數(shù)為零的s=zm稱為零點(diǎn)。 011011asasabsbsbsXsYsGnnnnmmmm nnmmpspspsazszszsbsAsB2

26、121共同決定了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)和初始條件無(wú)關(guān)。2. 傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s的有理分式函數(shù)，其分子多項(xiàng)式的次數(shù) m低于或等于分母多項(xiàng)式的次數(shù) n，即mn。且系 數(shù)均為實(shí)數(shù)。3. 在同一系統(tǒng)中，當(dāng)選取不同的物理量作為輸入、輸出時(shí)，其傳遞函數(shù)一般也不相同。傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函 。 4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。 上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)三、典型環(huán)節(jié)(基本環(huán)

27、節(jié))的傳遞函數(shù)一個(gè)物理系統(tǒng)是由許多元件組合而成的，雖然元件的結(jié)構(gòu)和作用原理多種多樣，但若考察其數(shù)學(xué)模型，卻可以劃分成為數(shù)不多的幾種基本類型，稱之為典型環(huán)節(jié)。這些環(huán)節(jié)是比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)和延時(shí)（滯后）環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)：從數(shù)學(xué)模型分析出發(fā)，可以將系統(tǒng)分為由一些基本環(huán)節(jié)組成，能組成獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)可以是一個(gè)元件，也可以是一個(gè)元件的一部分或由幾個(gè)元件組成，各環(huán)節(jié)不能有相互影響（無(wú)負(fù)載效應(yīng)）。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)1.比例環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比的環(huán)節(jié) ，又稱放大環(huán)節(jié) tKxty sKXsY KsXsYsG注意注意：比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠

28、既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。如杠桿機(jī)構(gòu)、嚙合齒輪的轉(zhuǎn)速比、理想運(yùn)算放大器等，測(cè)速發(fā)電機(jī)在控制系統(tǒng)中常用作速度傳感器，提供與轉(zhuǎn)速成正比的電壓信號(hào)。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸入、輸出間的微分方程為 tKxtytyT. 1TsKsXsYsG傳遞函數(shù)為式中T為時(shí)間常數(shù)，K為比例系數(shù)uiuoRCidtCiRui1i如左圖所示的RC電路為慣性環(huán)節(jié)，輸出電壓Uo和輸入電壓Ui的關(guān)系為idtCuo1ioouudtduCR 11RCssUsUsGiO上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)2.慣性環(huán)節(jié)實(shí)例溫度計(jì)測(cè)量過(guò)程（點(diǎn)擊按鈕播放動(dòng)畫）慣性環(huán)節(jié)

29、含有儲(chǔ)能元件，對(duì)于突變形式的輸入信號(hào)，不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出總落后于輸入，存在時(shí)間上延遲，時(shí)間常數(shù)愈大慣性愈大，延遲時(shí)間也愈長(zhǎng)，時(shí)間常數(shù)也愈長(zhǎng)，時(shí)間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)3.微分環(huán)節(jié) 輸出正比于輸入的微分的環(huán)節(jié)，微分方程為 dtdxty傳遞函數(shù)為注意：1.當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時(shí)，輸出為脈沖函數(shù)，實(shí)際上是不可能的（常和其它元件配合使用），稱為理想微分環(huán)節(jié)（無(wú)慣性系統(tǒng)）。 2.微分環(huán)節(jié)具有預(yù)見(jiàn)性（提前校正）、增加系統(tǒng)阻尼（增加穩(wěn)定性）的作用。 如液壓缸的流量和活塞位移的關(guān)系為： txAtq.x(位移)是不能產(chǎn)生階躍的（除非沒(méi)有慣性）。 上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄SSX

30、SYSG)()()(控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)4.積分環(huán)節(jié)輸出正比于輸入的積分的環(huán)節(jié)，微分方程是 dttxTty1傳遞函數(shù)是 TssXsYsG1 dttqAtx1注意：輸入為定值時(shí)，輸出將正比于時(shí)間。上圖所示的齒輪齒條傳動(dòng)傳動(dòng)副（點(diǎn)擊按鈕播放動(dòng)畫），齒條的位移y與齒輪轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為 又如液壓缸的活塞位移和流量的關(guān)系為： tdttDnty0上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)5.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是傳遞函數(shù)為KxydtdyTdtydT2222 1222TssTKsXsYsG稱阻尼比 對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)有介于0和1之間 該環(huán)節(jié)因?yàn)楹袃煞N貯能原件，在信號(hào)的傳遞中，隱能量的轉(zhuǎn)換而使其輸出帶有振

31、蕩性質(zhì)。當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出可用拉氏變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示響應(yīng)。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)5.振蕩環(huán)節(jié)振蕩電路左圖是一個(gè)典型的R-L-C振蕩電路oiudtdiLRiuidtCuo1iooouudtduRCdtudLC22聯(lián)立上面兩方程，消去中間變量電流ii回路電壓定律 112RCsLCssUsUsGio上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)6.一階微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)時(shí)（又稱比例微分控制）。 txdttdxty 1ssXsYsG上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)具有下列形式的微分方程：7.二階微分環(huán)節(jié) 1222sssXsYsG tx

32、dttdxdttxdty2222上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)當(dāng)輸入作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時(shí)間后，才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，在時(shí)間0到的時(shí)間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時(shí)效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為延時(shí)（滯后）環(huán)節(jié)。如上圖所示的動(dòng)畫是表示測(cè)量?jī)煞N液體混合之后的濃度的一種設(shè)備。在延長(zhǎng)一段距離（時(shí)間）后測(cè)得的是均勻混合濃度。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為8.延時(shí)環(huán)節(jié) txty sXesYs sesXsYsG延遲定理上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明上述各典型環(huán)節(jié)，是從數(shù)學(xué)模型的角度來(lái)劃分的。 它們是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的最基本的構(gòu)成因子。在和實(shí)際 元件相聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1.系統(tǒng)

33、的典型環(huán)節(jié)是按數(shù)學(xué)模型的共性來(lái)劃分 的，他與系統(tǒng)中使用的元件并非都是一一對(duì)應(yīng)的，一 個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型可能是若干個(gè)典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型 的組合。而若干個(gè)元件的數(shù)學(xué)模型的組合也可能就是 一個(gè)典型的數(shù)學(xué)模型。 2.同一裝置（元件），如果選取輸入、輸出 量不同，它可以成為不同的典型環(huán)節(jié)。如直流電動(dòng)機(jī) 以電樞電壓為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時(shí)，它是一個(gè)二階振 蕩環(huán)節(jié)。但若以電樞電流為輸入、轉(zhuǎn)速為輸出時(shí)，它 卻是一個(gè)積分環(huán)節(jié)。 上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)3.在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將被控對(duì)象（或系統(tǒng)） 的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分解，就可以了解它是由哪些典型環(huán) 節(jié)所組成的。因而，掌握典型環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性將有助 于對(duì)系統(tǒng)

34、動(dòng)態(tài)特性的分析研究。 4.典型環(huán)節(jié)的概念只適用于能夠用線性定常數(shù) 學(xué)模型描述的系統(tǒng)。 既然可以把組成控制系統(tǒng)的元件劃分為若干典型 環(huán)節(jié)，那么控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也可以寫成如下一般 形式 kiribididiciviqilibibibiaisTsTsTssssKsGi112211122121121上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)四、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)于簡(jiǎn)單的控制系統(tǒng)，在求取它的傳遞函數(shù)時(shí)，可以采用直接計(jì)算法。即先列寫系統(tǒng)的微分方程，再經(jīng)過(guò)拉氏變換來(lái)求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。ii1i2 21212112RRs )CRL(LCsR1RRCsRsUsUsGio上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程

35、基礎(chǔ)2.4 系統(tǒng)框圖及其簡(jiǎn)化本節(jié)的難點(diǎn)：框圖的變換法則及實(shí)際應(yīng)用本節(jié)重點(diǎn)：框圖的定義及相關(guān)概念系統(tǒng)構(gòu)成方式及運(yùn)算規(guī)則框圖的變換法則上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)引言框圖是系統(tǒng)中各個(gè)元件功能和信號(hào)流向的數(shù)學(xué)圖形。在控制工程中，人們習(xí)慣用框圖說(shuō)明和討論問(wèn)題，是因?yàn)椋?.只要依據(jù)信號(hào)的流向，將各環(huán)節(jié)的框圖連接起來(lái)，就能容易構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)。2.通過(guò)框圖可以評(píng)價(jià)每一個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響，便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究。3.框圖和傳遞函數(shù)一樣，包含了與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能有關(guān)的信息，但和系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)一、系統(tǒng)框圖的分類框圖功能框圖函數(shù)框圖：將系統(tǒng)中各元件的名稱或功

36、用寫在框圖單元內(nèi)，并標(biāo)明它們的連接順序和信號(hào)流向。：將系統(tǒng)中各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)寫在框圖單元內(nèi)，并用表明信號(hào)傳遞方向的箭頭將這些框圖單元連接起來(lái)。說(shuō)明系統(tǒng)構(gòu)成和工作原理說(shuō)明環(huán)節(jié)特性、信號(hào)流向、及變量關(guān)系本節(jié)主要講述對(duì)象上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)二、框圖單元的組成1.信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，且信號(hào)只能單向傳輸。如右圖所示2.方塊單元：即一個(gè)元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖，該方塊可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，流入方框的稱為輸入信號(hào)C(s),流出方框的稱為輸出信號(hào)R(s)，如下圖所示，其變換關(guān)系為G(s)R(s)C(s) sRsGsC上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制

37、工程基礎(chǔ)3.比較點(diǎn)：表示兩個(gè)或多個(gè)信號(hào)在此代數(shù)相加減。又稱比較器，如下圖所示。其中“+”號(hào)表示相加，“”表示相減。 sXsXsXsC3214.引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同。X(s)X(s)如果已知系統(tǒng)的組成和各組成部分的傳遞函數(shù)，就可以通過(guò)上述四種基本單元將系統(tǒng)各部分連接起來(lái)，構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)三、系統(tǒng)的構(gòu)成方式n前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為環(huán)節(jié) 的串聯(lián)。如 上圖 所示，各環(huán)節(jié)的傳遞關(guān)系為 G1(s)G2(s)G3(s)X(s)Y(s)Y1(s)Y2(s) sGsXsY11 sGsGsXsGsYsY21212 sGsGsGsXsGsYsY32122 sXsYsG sXsGsGsGsX321 sGsGsG321G(s)G1(s)G2(s)G3(s)X(s)Y(s)傳遞函數(shù)的定義上 頁(yè)下 頁(yè)目 錄1.1.串聯(lián)串聯(lián)控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)n輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如圖所示，三個(gè)環(huán)節(jié)的輸入部分都為 X， 而輸出分別為Y1、Y2、Y3 ， sGsXsY11 sGsXsY22 sGsXsY3