高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)定積分與微積分基本定理習(xí)題及詳解

1、年 級高二學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題定積分的計算編稿老師馬利軍一、教學(xué)目標(biāo)：1. 理解定積分的基本概念并能利用定積分的幾何意義解決一些簡單的積分計算問題.2. 理解微積分的基本定理，并會用定積分公式解決簡單函數(shù)的定積分問題.二、知識要點分析1. 定積分的概念：函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積分表示為：2. 定積分的幾何意義：（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上恒為正時，定積分的幾何意義是：y=f（x）與x=a，x=b及x軸圍成的曲邊梯形面積，在一般情形下.的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f（x）的圖象、以及直線x=a，x=b之間的各部分的面積代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號，x軸下方的面積取負(fù)號.在圖（1）中：，在圖（2

2、）中：，在圖（3）中：表示函數(shù)y=f（x）圖象及直線x=a，x=b、x軸圍成的面積的代數(shù)和.注：函數(shù)y=f（x）圖象與x軸及直線x=a，x=b圍成的面積不一定等于，僅當(dāng)在區(qū)間a，b上f（x）恒正時，其面積才等于.3. 定積分的性質(zhì)，（設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間a，b上可積）（1）（2），（k為常數(shù)）（3） （4）若在區(qū)間a，b上，推論：（1）若在區(qū)間a，b上，（2）（3）若f（x）是偶函數(shù)，則，若f（x）是奇函數(shù)，則4. 微積分基本定理：一般地，若注：（1）若則F（x）叫函數(shù)f（x）在區(qū)間a，b上的一個原函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義知：F（x）+C也是f（x）的原函數(shù)，求定積分的關(guān)鍵是求f（x）的原

3、函數(shù)，可以利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則從反方向求F（x）.（2）求導(dǎo)運算與求原函數(shù)的運算互為逆運算.【典型例題】知識點一：定積分的幾何意義例1根據(jù)推斷：求直線x=0，x=，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積下列結(jié)論正確的是（ ）A面積為0B曲邊梯形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積C曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積D曲邊梯形在x軸上方的面積等于在x軸下方的面積題意分析：本題考查定積分的幾何意義，注意與y=sinx及直線x=a，x=b和x軸圍成的面積的區(qū)別.思路分析：作出函數(shù)y=sinx在區(qū)間0，內(nèi)的圖象及積分的幾何意義及函數(shù)的對稱性可判斷.解：對于

4、（A）：由于直線x=0，x=，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積為正可判斷A錯.對于（B），（C）根據(jù)y=sinx在0，內(nèi)關(guān)于（對稱知兩個答案都是錯誤的.根據(jù)函數(shù)y=sinx的圖象及定積分的幾何意義可知：答案（D）是正確的.解題后的思考：本題主要考查定積分的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯點是混淆函數(shù)y=sinx與x軸、直線x=0，x=圍成的面積等于.例2利用定積分的幾何意義，說明下列等式的合理性（1） （2）.題意分析：本題主要考查定積分的幾何意義：在區(qū)間0，1上函數(shù)y=2x，及y=恒為正時，定積分表示函數(shù)y=2x圖象與x=0，x=1圍成的圖形的面積，表示函數(shù)y=圖

5、象與x=0，x=1圍成的圖形的面積.思路分析：分別作出函數(shù)y=2x及y=的圖象，求此圖象與直線x=0，x=1圍成的面積.解：（1）在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=2x的圖象及直線x=0，x=1（如圖），它們圍成的圖形是直角三角形.其面積=.由于在區(qū)間0，1內(nèi)f（x）恒為正，故.（2）由，故函數(shù)y（的圖象如圖所示，所以函數(shù)y與直線x=0，x=1圍成的圖形面積是圓面積的四分之一，又y在區(qū)間0，1上恒為正. 解題后的思考：本題主要考查利用定積分的幾何意義來驗證函數(shù)y=2x及函數(shù)y=在區(qū)間0，1上的定積分的值，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯點是畫函數(shù)圖象的不準(zhǔn)確造成錯誤的結(jié)果.例3利用定積分的幾何意義求

6、的值.題意分析：本題考查定積分的幾何意義，的值是函數(shù)的圖象與直線x=0，x=4所圍成圖形的面積.思路分析：首先把區(qū)間0，4分割為0，1，1，3，3，4，在每個區(qū)間上討論x1，x3的符號，把函數(shù)化為分段函數(shù)，再根據(jù)定積分的幾何意義求的值.解：函數(shù)化為由于函數(shù)在區(qū)間0，1，1，3，3，4都恒為正.設(shè)函數(shù)y=2x+4的圖象與直線x=0，x=1圍成的面積為S1函數(shù)y=2的圖象與直線x=1，x=3圍成的面積是S2函數(shù)y=2x4的圖象與直線x=3，x=4圍成的面積是S3由圖知：S1=S3=S2=由定積分的幾何意義知：=解題后的思考：本題考查的知識點是定積分的幾何意義，利用其幾何意義求定積分的值，體現(xiàn)了等價

7、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（把區(qū)間0，4分割，把函數(shù)y=|x1|+|x3|化成分段函數(shù)）、數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用.易錯點是：區(qū)間0，4分割不當(dāng)及畫函數(shù)圖象不準(zhǔn)確，造成錯誤的結(jié)果.當(dāng)被積函數(shù)含有絕對值時，常采用分割區(qū)間把函數(shù)化為分段函數(shù)的方法求定積分的值.小結(jié)：本題主要考查定積分的幾何意義，要分清在區(qū)間a，b上f（x）恒為正時，f（x）在區(qū)間a，b上定積分值才等于函數(shù)圖象與直線x=a，x=b圍成的面積.在畫函數(shù)圖象時注意x的取值區(qū)間.當(dāng)被積函數(shù)含有絕對值時，恰當(dāng)?shù)姆指顓^(qū)間把函數(shù)畫為分段函數(shù)再求定積分的值.高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)定積分與微積分基本定理習(xí)題及詳解一、選擇題1(2010·山東日照?？?axd

8、x，bexdx，csinxdx，則a、b、c的大小關(guān)系是()Aa<c<b Ba<b<cCc<b<a Dc<a<b2(2010·山東理，7)由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形面積為()A. B. C. D. (2010·湖南師大附中)設(shè)點P在曲線yx2上從原點到A(2,4)移動，如果把由直線OP，直線yx2及直線x2所圍成的面積分別記作S1，S2.如圖所示，當(dāng)S1S2時，點P的坐標(biāo)是()A. B.C. D.3由三條直線x0、x2、y0和曲線yx3所圍成的圖形的面積為()A4 B. C. D64(2010·湖南省考試院調(diào)

9、研)1(sinx1)dx的值為()A0 B2C22cos1 D22cos15曲線ycosx(0x2)與直線y1所圍成的圖形面積是()A2 B3C. D6函數(shù)F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，無最小值B有最大值0和最小值C有最小值，無最大值D既無最大值也無最小值7已知等差數(shù)列an的前n項和Sn2n2n，函數(shù)f(x)dt，若f(x)<a3，則x的取值范圍是()A. B(0，e21)C(e11，e) D(0，e11)8(2010·福建廈門一中)如圖所示，在一個長為，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線ysinx(0x)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(

10、該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是()A. B. C. D.9(2010·吉林質(zhì)檢)函數(shù)f(x)的圖象與x軸所圍成的圖形面積S為()A. B1 C4 D.10(2010·沈陽二十中)設(shè)函數(shù)f(x)xx，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如1.22，1.21，11.又函數(shù)g(x)，f(x)在區(qū)間(0,2)上零點的個數(shù)記為m，f(x)與g(x)的圖象交點的個數(shù)記為n，則g(x)dx的值是()A B C D11(2010·江蘇鹽城調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行一項游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間0,1上隨機(jī)等可能地抽取一個實數(shù)記為b，乙從區(qū)間0

11、,1上隨機(jī)等可能地抽取一個實數(shù)記為c(b、c可以相等)，若關(guān)于x的方程x22bxc0有實根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場比賽中甲獲勝的概率為()A. B. C. D.12(2010·吉林省調(diào)研)已知正方形四個頂點分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線yx2(x0)與x軸，直線x1構(gòu)成區(qū)域M，現(xiàn)將一個質(zhì)點隨機(jī)地投入正方形中，則質(zhì)點落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()A. B. C. D.二、填空題13(2010·蕪湖十二中)已知函數(shù)f(x)3x22x1，若1f(x)dx2f(a)成立，則a_.14已知a0(sinxcosx)dx，則二項式(a)6的展開式中含x2項的系數(shù)是_15拋物線y22x與直線y4x圍成的平面圖形的面積為_16(2010·安徽合肥質(zhì)檢)拋物線y2ax(a>0)與直線x1圍成的封閉圖形的面