簡單計數(shù)問題

1、L/O/G/O簡單計數(shù)原理簡單計數(shù)原理12021/6/16問題問題1：小明要從南昌去北京，一天當中有直：小明要從南昌去北京，一天當中有直達火車達火車4班，飛機班，飛機2班，那么在一天當中他從班，那么在一天當中他從南昌到北京有多少種不同的走法南昌到北京有多少種不同的走法?變式變式：若從南昌到北京還有直達汽車：若從南昌到北京還有直達汽車2班，那班，那么在一天當中他從南昌到北京有多少種不同么在一天當中他從南昌到北京有多少種不同的走法的走法?南昌南昌北京北京22021/6/16問題問題2：去北京途中，小明想先去鄭州拜訪一：去北京途中，小明想先去鄭州拜訪一下多年未見的老同學，假設火車從南昌到鄭下多年未見

2、的老同學，假設火車從南昌到鄭州，每天州，每天3班，一天后，從鄭州乘飛機到北京，班，一天后，從鄭州乘飛機到北京，有有2班，那么，從南昌到北京有多少種不同的班，那么，從南昌到北京有多少種不同的走法？走法？南昌南昌鄭州鄭州北京北京32021/6/16思思 考考：比較問題比較問題1,變式與變式與3有什么異同。有什么異同。目的地：都是從南昌到北京目的地：都是從南昌到北京方方 式：火車或者飛機式：火車或者飛機區(qū)別在于：問題區(qū)別在于：問題3先要去鄭州，而問題先要去鄭州，而問題1,變式變式直接去北京，即問題直接去北京，即問題3不能一個步驟就能完成不能一個步驟就能完成從南昌到北京這件事。從南昌到北京這件事。42

3、021/6/16完成一件事：有完成一件事：有n類辦法。類辦法。第一類辦法中有第一類辦法中有m1種不同的方法；種不同的方法；第二類辦法中有第二類辦法中有m2種不同的方法；種不同的方法；第三類辦法中有第三類辦法中有m3種不同的方法；種不同的方法；第第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法。種不同的方法。那么完成這件事情共有那么完成這件事情共有N=m1+m2+m3+mn種不種不同的方法。同的方法。我們把這種方法稱為：我們把這種方法稱為：分類加法原理分類加法原理。52021/6/16完成一件事：需要分成完成一件事：需要分成n個步驟，缺一不可，個步驟，缺一不可，做第一步有做第一步有m1種不同的方法；種不

4、同的方法；做第二步有做第二步有m2種不同的方法；種不同的方法；做第三步有做第三步有m3種不同的方法；種不同的方法；做第做第n步有步有mn種不同的方法。種不同的方法。那么完成這件事情共有那么完成這件事情共有N=m1*m2*m3*mn種不同的方法。種不同的方法。我們把這種方法稱為：我們把這種方法稱為：分步乘法原理分步乘法原理。62021/6/16分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理完成一件事，共有完成一件事，共有n類類辦法，關鍵詞辦法，關鍵詞“分類分類”區(qū)別區(qū)別1完成一件事，共分完成一件事，共分n個個步驟，關鍵詞步驟，關鍵詞“分步分步”區(qū)別區(qū)別2區(qū)別區(qū)別3每類辦法都能獨立地完成每類辦

5、法都能獨立地完成這件事情，它是獨立的、這件事情，它是獨立的、一次的、且每次得到的是一次的、且每次得到的是最后結(jié)果，最后結(jié)果，只須一種方法只須一種方法就可完成這件事就可完成這件事。每一步得到的只是中間結(jié)果，每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成事，缺少任何一步也不能完成這件事，這件事，只有各個步驟都完成只有各個步驟都完成了，才能完成這件事了，才能完成這件事。各類辦法是互相獨立的。各類辦法是互相獨立的。各步之間是互相關聯(lián)的。各步之間是互相關聯(lián)的。即：即：類類獨立，步步關聯(lián)類類獨立，步步關聯(lián)。72021/6/16例例1 在在1,2,3

6、，200中，能被中，能被5整除的數(shù)共整除的數(shù)共有幾個？有幾個？第一類：末位數(shù)字是第一類：末位數(shù)字是0時，一共有時，一共有20個；個；第二類：末位數(shù)字是第二類：末位數(shù)字是5時，一共有時，一共有20個；個；根據(jù)加法原理，共有根據(jù)加法原理，共有40個個82021/6/16例例2 書架取書問題：書房上層書架共有書書架取書問題：書房上層書架共有書15本，中層本，中層16本，下層本，下層14本：本：Q1：從中任取一本，有多少種取法；：從中任取一本，有多少種取法；Q2：從中取三本，要求每層各取一本，有多：從中取三本，要求每層各取一本，有多少種不同取法。少種不同取法。Q1：第一類：從上層書架取：有：第一類：從

7、上層書架取：有15種種 第二類：從中層書架?。河械诙悾簭闹袑訒苋。河?6種種 第三類：從下層書架取：有第三類：從下層書架?。河?4種種根據(jù)根據(jù)加法原理加法原理：共有：共有45種種Q2：第一步：從上層書架?。河校旱谝徊剑簭纳蠈訒苋。河?5種種 第二步：從中層書架?。河械诙剑簭闹袑訒苋。河?6種種 第三步：從下層書架?。河械谌剑簭南聦訒苋。河?4種種根據(jù)根據(jù)乘法原理乘法原理：共有：共有15*14*16種種92021/6/16當堂檢測（口頭回答）當堂檢測（口頭回答）1 完成一項工作，有兩種方法，有完成一項工作，有兩種方法，有5人只會第一種人只會第一種嗎，另外嗎，另外4人只會第二種，從這

8、人只會第二種，從這9人里面選一個人完人里面選一個人完成工作，一共有多少種選法？成工作，一共有多少種選法？2 在平面直角坐標系中，確定若干個點，點的橫坐在平面直角坐標系中，確定若干個點，點的橫坐標取自集合標取自集合P=1,2,3,點的縱坐標取自集合點的縱坐標取自集合Q=1,4,5,6，這樣的點共有多少個？，這樣的點共有多少個？3 商店里有商店里有15種上衣，種上衣，18種褲子，某人要買一件種褲子，某人要買一件上衣或一條褲子，共有多少種選法？若要一件上衣上衣或一條褲子，共有多少種選法？若要一件上衣和一條褲子，共有多少種選法？和一條褲子，共有多少種選法？102021/6/16綜合應用綜合應用1 在申

9、請在申請QQ時，需要設置密碼：時，需要設置密碼：Q1：密碼為：密碼為6位，每位可從位，每位可從0到到9這這10個數(shù)字中選一個，這樣的密個數(shù)字中選一個，這樣的密碼共有多少個？碼共有多少個？Q2：密碼可為：密碼可為6到到8位，每位可從位，每位可從0到到9這這10個數(shù)字中選一個，這樣個數(shù)字中選一個，這樣的密碼共有多少個？的密碼共有多少個？2 三層書架上，上層有三層書架上，上層有10本語文書，中層有本語文書，中層有9本數(shù)學書，下層有本數(shù)學書，下層有8本不同的外語書，從書架上任取兩本書，且這兩本書屬于不同的本不同的外語書，從書架上任取兩本書，且這兩本書屬于不同的學科，共有多少種不同的取法？學科，共有多少

10、種不同的取法？112021/6/1612 弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的弄清兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個原理的前提和條件前提和條件. .這兩個原理都是指完成一件事這兩個原理都是指完成一件事, ,區(qū)別在于區(qū)別在于：（1 1）分類分類加法加法計數(shù)原理是計數(shù)原理是“分類分類”，每類辦法，每類辦法 中的每一種方法都能中的每一種方法都能完成一件事；完成一件事；（2 2）分步分步乘法乘法計數(shù)原理是計數(shù)原理是“分步分步”；每種方法；每種方法 都只能做這件事的一步都只能做這件事的一步, , 不能獨立不能獨立完成這件事完成這件事, , 只有各個步驟都完成才算完成這件事情只有各個步驟都完成才算完成這件事情! !2021/6/16練習：練習：1 三邊長均為正整數(shù)且最大邊長為三邊長均為正整數(shù)且最大邊長為7的三角形個數(shù)的三角形個數(shù)為多少？為多少？2 把五封信投入三個郵箱，共有多少種不同的投法？把五封信投入三個郵箱，共有多少種不同的投法？3 某外語組有某外語組有10個人，