【2020年】河南省高考數(shù)學一診試卷(文科)及解析

1、河南省高考數(shù)學一診試卷（文科）一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的1.（5 分）集合 A=x R3W32xV27 , B=x Z| - 3vxv1，貝UAHB 中元素的個數(shù)為（）A. 0 B. 1C. 2D. 32.（5 分）已知 a R, 復數(shù) z=丄 - ，若丘=z，貝Ua=（）iA. 1 B.- 1 C 2D.- 23.（5 分）某城市收集并整理了該市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低氣溫與最 高氣溫（單位：C）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.已知該市的各月最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根

2、據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A. 最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B. 10 月的最高氣溫不低于 5 月的最高氣溫C.月溫差 （最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1 月D. 最低氣溫低于 0C的月份有 4 個云24（5 分）在厶 ABC 中，角 A, B,C 的對邊分別為 a,b,c.若A 斗，皺匕=2sinAsinB,3 CDSC且 b=6,則 c=（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 65.（5 分）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題： 今有陽馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問積幾何？”其意思為：今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長，寬分別為7 尺和 5

3、尺，高為 8尺，問它的體積是多少？ ”若以上條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為A. 128n平方尺 B. 138n平方尺 C. 140n平方尺 D. 142n平方尺6.（5 分）定義x表示不超過 x的最大整數(shù)，（x） =x- x，例如2.1 =2, （2.1）=0.1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=5.8,貝 U 輸出的 z=（）x R 都有 f (x) +2f (- x) =3cosx sinx,則函數(shù) f (2x)広兀氣-，）(k Z) B.念兀卡，0）(k Z) C.卄 0)(kZ)(kA.D.號號。）圖象的對稱中心為（Z)8. （5 分）設 x, y 滿足約束條件，若 z=

4、- ax+y 取得最大值的最優(yōu)解不7. （5 分）若對于任意C. 4.6 D. 2.8Qu唯一，則實數(shù) a 的值為（）挖 D.-A. 2 或- 3 B. 3 或- 2 C.9. （5 分）函數(shù) f （x）=譏宀4瓷-I的部分圖象大致是（）10. （5 分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，貝 U 該幾何體的表面積為（A. 20+12.二+2. B. 20+67+2.C. 20+6.二+2.；D. 20+12.1+2、11. （5 分）過拋物線 f=2px（ p 0）的焦點 F 作斜率大于 0 的直線 I 交拋物線于 A，B 兩點（A 在 B 的上方），且 I 與準線交于點 C,若手-宀，貝呵x，1

5、D. - 、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） 耳 一 冃i -耳 ”1 鬥h=(5 分)在厶 ABC 中，|A3+AC|=|AB -AC | , |AB|=2，則 AB ?BC 二=( )A12. （5 分）已知函數(shù) f （x）C. 3 D.關(guān)于 y 軸對稱的點，則實數(shù)=ex+x2+lnx 與函數(shù) g （x） =ex+2x2 ax 的圖象上存在A. (-x，e13.A.D.14. （5 分）一只蜜蜂在一個正方體箱子里面自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持在該正方體內(nèi)切球范圍內(nèi)飛行，稱其為安全飛行”則蜜蜂 安全飛行”的概率為_ .15.（ 5 分） 若 a （-斗，0）

6、, sin （a 手）=-二，則一=_ cos（-CL ）2 216. （5 分）設 F1, F2分別是雙曲線込才寧 O0,L0）的左、右焦點，過 Fi/ b2的直線 I 與雙曲線分別交于點 A，B,且 A （m，18）在第一象限，若 ABR 為等 邊三角形，則雙曲線的實軸長為 _ .三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.）17.（12 分）已知等差數(shù)列an的公差不為零，ai=3，且 a2，a5，ai4成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若 bn= （- 1）n 1anan+1，求數(shù)列bn的前 2n 項和 S2n.18.（12 分）從

7、某校高中男生中隨機選取 100 名學生，將他們的體重（單位：kg）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.（1）估計該校的 100 名同學的平均體重（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若要從體重在60, 70），70，80），80，90三組內(nèi)的男生中，用分層抽 樣的方法選取 6 人組成一個活動隊，再從這 6 人中選 2 人當正副隊長，求這 2 人中至少有 1 人體重在70，80）內(nèi)的概率.19. （ 12 分） 如圖， 在三棱臺 ABC- A1B1C1中， D,E 分別是 AB,AC 的中點， AB=2AB1,B1E 丄平面 ABC 且/ ACB=90 .（1）求證：BiC/平面 ADE

8、（2）若 AC=3BC=6 AB1C 為等邊三角形，求四棱錐 A1- B1GED 的體積.2 2220.(12 分)如圖，橢圓 W: +_=1 (ab0)的焦距與橢圓Q: +y2=1J b24的短軸長相等，且 W 與Q的長軸長相等，這兩個橢圓的在第一象限的交點為 A, 直線I 經(jīng)過Q在 y 軸正半軸上的頂點 B 且與直線 OA (O 為坐標原點)垂直，I 與Q的另一個交點為 C，I 與 W 交于M，N 兩點.(1)求 W 的標準方程：(2)求 .k.21.(12 分)已知函數(shù) f (x) =x- Inx.(1) 若曲線 y=f (x)在 x=xo處的切線經(jīng)過坐標原點，求 xo及該切線的方程；I

9、 f M X注(2) 設 g (x) = (e- 1) x，若函數(shù) F (x) =：.-的值域為 R,求實數(shù) aI g kx/9的取值范圍.請考生在 22、23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修 4-4:坐標系與參數(shù)方程22.(10 分)在直角坐標系 xOy 中，直線 l1的參數(shù)方程為】(t 為參數(shù))，Ly=kt直線 l2的參數(shù)方程為(m 為參數(shù))，設 l1與 12的交點為 P，當 k 變化時，T莎Ip 的軌跡為曲線 C1(I)寫出 C1的普通方程及參數(shù)方程；(U)以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系， 設曲線 C2的極坐標 方程為 2 二.t，Q 為曲線

10、Ci上的動點，求點 Q 到 C2的距離的最小值.選修 4-5:不等式選講23 .已知 f (x) =| x+a| (a RR .(1) 若 f (x) | 2x+3|的解集為-3, - 1，求 a 的值；(2) 若？x R，不等式 f (x) +|x-a| a2- 2a 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍.2018年河南省高考數(shù)學一診試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的1. （5 分）集合 A=x R3W32xV27 , B=x Z| - 3vxv1，貝UAHB 中元素的個數(shù)為（）A.

11、0 B. 1C. 2D. 3【解答】 解：TA=x R3W32-xv27=x R - 1vx 0,執(zhí)行循環(huán)體，x=1.7, y=1 - 1.4=- 0.4, x=1 -仁 0滿足條件 x 0,執(zhí)行循環(huán)體，x=- 0.2, y=- 1 - 1.6=- 2.6, x=- 1 -仁-2不滿足條件 x0,退出循環(huán)，z=- 2+ (- 2.6) =- 4.6.輸出 z 的值為-4.6.故選：C.7.(5 分)若對于任意 x R 都有 f (x) +2f (- x) =3cosx- sinx,則函數(shù) f (2x) 圖象的對稱中心為()A. (k 兀士* 0) (k Z)B.慶兀總，Q) (k Z) C.(

12、罟，0) ( k Z) D.罟需，0) (k Z)【解答】解：對任意 x R,都有 f (x) +2f (- x) =3cosx- sinx，用-x 代替 x,得 f (- x) +2f (x) =3cos (- x)- sin (- x)，即 f (- x) +2f (- x) =3cosx+sinx；由組成方程組，解得 f (x) =sinx+cosx, f(x)Isin(x), f(2x)2sin(2x-).令 2x+L=kn,k Z,求得 x兀,428 8故函數(shù) f （2x）圖象的對稱中心為（礙-E-, 0）, k Z, 2 2 8 8故選：D.2z-y0Ly0【解答】解：作出不等式組

13、對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分 OAB）.由 z=y-ax 得 y=ax+z，即直線的截距最大，z 也最大.若 a=0,此時 y=z,此時，目標函數(shù)只在 A 處取得最大值，不滿足條件，若 a0, 目標函數(shù) y=ax+z 的斜率 k=a0,要使 z=y- ax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線 y=ax+z 與直線 2x- y=0 平行，此時 a=2,若 av0, 目標函數(shù) y=ax+z 的斜率 k=av0,要使 z=y- ax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線 y=ax+z 與直線 xy=1 平行，此時 a=- 3,綜上 a=- 3 或 a=2,故選：A.8. （5 分）設 x, y 滿足約束

14、條件，若 z=- ax+y 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，貝 U 實數(shù) a 的值為（）IA. 2 或- 3 B. 3 或- 2 C.或丄D.9. (5 分)函數(shù) f (x)=A.的部分圖象大致是D.【解答】解：函數(shù) f(x)的定義域為(-X,u(-藝跖u吩,OOf (- X)-K(亠廠4x-14 K2-1=f (X), f(x) f(x)為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于 y 軸對稱，故排除 A,令 f (X) =0,即亠4 F_i=0,解得 x=0,函數(shù) f(x)只有一個零點，故排除 D,當 x=1 時，f0，故排除 C,綜上所述，只有 B 符合,故選：B.10. (5 分)已知某幾何體的三視圖如圖所示，貝

15、U 該幾何體的表面積為(A. 20+12 二+2. . B. 20+6 二+2 一 C. 20+6：+2.；D. 20+12 :+2 *【解答】解：由三視圖可知該幾何體為側(cè)放的四棱錐， 棱錐的底面為矩形 ABCD底面與一個側(cè)面 PBC 垂直，PB=PC=4 AB=3.SABCD=3 W2=12, SPBG=i-x=3 PAD 中 AP=PD=5 AD=2，二 AD 邊上的高為&PAD ；-,則該幾何體的表面積為 12 二+8+6+6+2；|=12+20+2,11. (5 分)過拋物線 y2=2px (p 0)的焦點 F 作斜率大于 0 的直線 I 交拋物線于 A, B兩點(A 在 B

16、的上方)，且 I 與準線交于點。，若-li,貝+ =()A丄 BL C3D.2【解答】解：根據(jù)題意，設|AF=a, |BF=b,作 AM、BN 垂直準線于點M、N,SAPCD=S二$,故選：D則有 |BF=|BN|=b, |AF|=|AM|=a, 若吊二 41 帝，則有 | CB =4| BF，即 | CB =4| BN| ,又由 BN/ AM,則有 | CA =4| AM|，即有 4b+a+b=4a,當 xe 時，yV0,函數(shù) yU 遞減;函數(shù) y=x+a 與 y=在（0, +X）上的圖象如右:當直線y=x+a與y=- 切1r412. （5 分）已知函數(shù) f （x） =ex+x2+lnx 與

17、函數(shù) g （x） =ex+2x2 ax 的圖象上存在 關(guān)于 y 軸對稱的點，則實數(shù) a 的取值范圍為（）D.-丄【解答】解：由題意知，方程 g （ x）- f （x） =0 在（0, +X）上有解,A. ( X,e.C. ( , 1即 ex+2x2+ax- lnx - ex x2=0, 即卩 x+a=0 在（0, +X）上有解,即函數(shù) y=x+a 與 y=三在（0, +X）上有交點,Lnxy= 的導數(shù)為 y -1-當 0vxve 時，y0,函數(shù)可得 x=e 處函數(shù) ylnx取得極大值二,e相切時,故選：A.遞增.點為（1, 0）,可得 a=0-仁-1,由圖象可得 a 的取值范圍是（ g,1.故

18、選 C.、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13. （5 分）在厶 ABC 中，|A3+AC|=|AB AC| , |AB|=2,則 AB?號=【解答】解：在 ABC 中，J =| ,_I-* -* 可得 | 占 +|2=| |2,即為 ？=0,則厶 ABC 為直角三角形，A 為直角,則= - |?|=-I U| ?|?COSB=|2二4.故答案為：-4.14. （5 分）一只蜜蜂在一個正方體箱子里面自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持在該正方體內(nèi)切球范圍內(nèi)飛行，稱其為安全飛行”則蜜蜂 安全飛行”的概率為_ 一_.【解答】解：如圖,即有 L：2+2 ？=，2+門2設正方

19、體的棱長為 2a,則其內(nèi)切球的半徑為 a,4兀3.蜜蜂安全飛行”的概率為氣二;故答案為:l-2cos2（Cl12X-|- ?十令） +315. （5 分）若a （-7V,0）,sin（ a【解答】解：a（-弓 0）, sin （7T -cost-d Jsin（ b十16. （5 分）設 Fi, F2分別是雙曲線2 2Ky=L0）的左、右焦點，過 Fij=_a1-siiL2（。.2/23 3故答案為:的直線 I 與雙曲線分別交于點 A, B,且 A （m , 18）在第一象限，若 ABR 為等 邊三角形，則雙曲線的實軸長為 仝_.【解答】解：根據(jù)雙曲線的定義，可得|AFi| - | AF2| =

20、2a,ABF2是等邊三角形，即|AF2|=|AB| ,-1 BFi| =2a,又TI BF - | BF|=2a, I BF2| =| BF1|+ 2a=4a,: BRFF 中，| BFi| =2a, | BF| =4a,ZFiBF=120| FiF2|2=| BF |2+| Bb|2-2|BFi| ?| B 巨| cos120；即 4c2=4a2+16a2-2X2ax4aX （-丄）=28aF,2解得=7 護，圧=6 護，2 a mc三、解答題(本大題共 5 小題，共 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算 步驟.)17. (12 分)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a1=3,且 a2,

21、 a5, a14成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若 bn= (- 1)n-1anan+1，求數(shù)列bn的前 2n 項和 S2n.【解答】解：(1)設公差為 d,由- - -I -. | ,得= |：八,lAFI由雙曲線的第二定義可得由 A 在雙曲線上，可得257IS26 a2=1,則解得a=；：+,則 2a=2 靈2體重在60, 70）內(nèi)的男生中選:6X0. 030+0. 020+0.010化簡得 d2=2aid,因為 d 工 0, ai=3，所以 d=6, 所以 an=6n - 3.(2)因為 J 二嚴 1(如-3)(気+3)二(-L)I(3 如，所以S2n=C36x l2-

22、9)-：36 X 22-9)+(3&X 32-9)-(36X 42-9)+(3$乂(2n-l)2-9)-(36X(2n)2-9),所以 S2ri-36(l2-22+32-G2+- + (2n-l)2(2n 卩)，即 Qn=-36 (1+2+3+41+ (2n - 1) +2n) = ：:-p 門 門.18.（12 分）從某校高中男生中隨機選取 100 名學生，將他們的體重（單位：kg）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示.（1） 估計該校的 100 名同學的平均體重（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值作代表）；（2） 若要從體重在60, 70），70，80），80，90三組內(nèi)的男生中，用分層抽

23、樣的方法選取 6 人組成一個活動隊，再從這 6 人中選 2 人當正副隊長，求這 2【解答】解：（1）由頻率分布直方圖估計該校的 100 名同學的平均體重為：=45X0.005X10+55X0.035X10+65X0.030X10+75X0.020X10+85X0.010X10=64.5.（2）要從體重在60, 70），70，80），80，90三組內(nèi)的男生中,用分層抽樣的方法選取 6 人組成一個活動隊,人中至少有 1 人體重在70，80）內(nèi)的概率.再從這 6 人中選 2 人當正副隊長,基本事件總數(shù)n = =15, 這2人中至少有1人體重在 70,80）內(nèi)的概率 p=1 -19. （ 12 分）

24、如圖， 在三棱臺 ABC A1B1C1中， D,E 分別是 AB,AC 的中點， AB=2ABi,B1E 丄平面 ABC 且/ ACB=90.(1)求證：BC/平面 ADE（2）若 AC=3BC=6 AB1C 為等邊三角形，求四棱錐 A1- BCED 的體積.【解答】證明：（1）v在三棱臺 ABC- A1B1C1中，D, E 分別是 AB, AC 的中點,AB=2AB1, DE/ BC, DB A1B1,四邊形 DBBA1是平行四邊形， A1D/ BB , A1DADE=D, BB1GBC=BA1D、DE?平面 A1DE, BBi、BC?平面 BCB ,平面 A1DE/平面 B1BC, BiC

25、?平面 B1BC, B1C/ 平面 A1DE.解：(2)vAC=3BC=6 ABiC 為等邊三角形,AB=2AB1, B1E 丄平面 ABC,且/ ACB=90. AE=3 DE=1, B1E= :=3 ： , / AED=90 ,體重在70, 80）內(nèi)的男生中選:體重在80, 90內(nèi)的男生中選：叫小器絡爲血D =2人,6X=-5四棱錐 A1- B1C1ED 的體積：=SADE?B1E-|xsAmXblE2 1二、十二21lV -:=3 一 ；.【解答】解：（1）由題意可得*20. （12 分）如圖，橢圓 W:2=1 (a b 0)的焦距與橢圓 Q: +y2=1的短軸長相等，且 W 與Q的長軸

26、長相等，這兩個橢圓的在第一象限的交點為 A,直線 I 經(jīng)過Q在 y 軸正半軸上的頂點 B 且與直線 0A （0 為坐標原點）垂直，I 與Q的另一個交點為 C, I 與 W 交于 M,N 兩點.（1）求 W 的標準方程：故W的標準方程為I易知 B (0, 1),I 的方程為 y=- 3x+1.ry=-3a+l聯(lián)立 證，得 37x2- 24x=0, x=0或下IBCI =Vl+(-3)2x鶴-0 I迭伴21.(12 分)已知函數(shù) f (x) =x- Inx.(1)若曲線 y=f (x)在 x=xo處的切線經(jīng)過坐標原點，求 xo及該切線的方程；，亠(2)設 g (x) = (e- 1) x,若函數(shù)F

27、 (x)=.”的值域為 R,求實數(shù) a 的取值范圍.【解答】解：(1)由已知得 F二記 (x 0 ),(2)聯(lián)立3613413ry=-31聯(lián)立脣得 31x2- 18x-9=0,設 M(xi,則丄斗所以所求切線方程為-7 : V.(2)令嚴二 1 丄得 x1;令f(x)v0,得 OvXV1.X X所以 f (乂)在(0, 1)上單調(diào)遞減，在1, +X)上單調(diào)遞增，所以 f(X)min=f(1)=1,所以 f(X)1,+x).而 g(x)=(e-1)x 在(-x,a)上單調(diào)遞增，所以 g (x)(-x, (e-1)a).:J :的值域為 R,須 a0.1 當 Ova 1,即aTT ，所以2 當 a1 時，f(x)a-Ina,+x) ,g(x)( x, (e-1)a),只須 a- Ina 1 恒成立，即 lna+