人大附中華杯賽資料：復(fù)雜圖形的比例與面積

1、實(shí)用文檔用心整理復(fù)雜圖形的比例與面積基礎(chǔ)知識(shí)：1 .三角形面積由兩個(gè)因素決定：底和高兩個(gè)三角形，底相等，面積比等于高的比；兩個(gè)三角形，高相等，面積比等于底的比。2 .在四邊形ABCD對(duì)角線AGBD交于點(diǎn)Q(1)千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理(2)(3)3.如圖，在梯形ABCW,存在以下關(guān)系：(1)左、右部分的面積相等，即S=3;千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理(2)S：&：&：0=4.燕尾定理:千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理在三角形中，ad交于同一點(diǎn)千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理例1.圖中三角形ABC勺面積是180平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)白3倍，EF的千

2、里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理長(zhǎng)是BF長(zhǎng)白3倍.那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？答疑編號(hào)505721470101【答案】22.5【解答】ABDABC等高，所以面積的比為底的比，千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理，所以180=90（平方厘米）千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理同理有（平方厘米），X30=22.5（平方厘米）即三角形AEF的面積是22.5平方厘米.千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理例2.如圖1,5個(gè)正方形拼在一起，圖中三角形ABCB分的面積是60,則正方形的邊長(zhǎng)是答疑編號(hào)505721470102【答案】10【解答】比較有相同底邊的兩個(gè)三角形ABC和BCD它們的高的比是3:2,因此千

3、里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理三角形BCM面積是.于是三角形ACD勺面積是60+40=100.注意ACD勺底邊是小正方形邊長(zhǎng)的2倍，而高就是小正方形的邊長(zhǎng)，所以它的面積與一個(gè)小正方形的面積是相等的，應(yīng)該都是100,所以小正方形的邊長(zhǎng)就是10（因?yàn)?0X10=100）.例3.如圖2,在15個(gè)小正方形拼成的長(zhǎng)方形中，三角形ABCW面積是120（其中C是大長(zhǎng)方形的對(duì)角線與B所在豎線的交點(diǎn)）.那么小正方形的邊長(zhǎng)是.10千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理答疑編號(hào)505721470103【答案】10【解答】如下圖，三角形ABCW三角形BCD勺底邊都是BC而高白比是3：2,所以三角形BCD勺面積是，那么三角形

4、AB曲面積就是120+80=200。三角形ABD勺面積是大三角形ADG勺面積減去三角形ABE長(zhǎng)方形BEGF11千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理三角形BDF勺面積，也就是等于個(gè)小正方形的面積，因此每個(gè)小正方形的面積是200+2=100,那么邊長(zhǎng)為10。4個(gè)小三角形，其中例4.如圖，四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了千里之行始于足下12實(shí)用文檔用心整理小三角形的面積分別是6公頃和7公頃.那么4個(gè)小三角形中最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃答疑編號(hào)505721470104【答案】21【解答】千里之行始于足下13實(shí)用文檔用心整理，所以，三角形ABO勺面積是18公頃，三角形BOC勺面積是2

5、1公頃.所以，最大的三角形的面積為21公頃.例5.已知ABC比一個(gè)才形，B0=3ODAD=4,'aba12,則梯形的高是多少？梯形的下底BC是多少？14千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理答疑編號(hào)505721470105【答案】12【解答】由于AB/口AO0等高的三角形，并且BO=3OD可得&aba3&ao因此Saao戶4,這樣&abd=12+4=16。換一個(gè)角度去觀察鈍角三角形ABD將AD作為它的底，將B作為它的頂點(diǎn)。從而根據(jù)Saabd=16和AA4可知ABD底邊AD上的高為16X2+4=8,而這個(gè)高也是梯形的高。由于ABCRDBdb同底等高的三角形，所以Saab

6、c=Sadbc,從而Saabo=Sadoc=12。由于DOG口OBO等高的三角形，并且B0=3OD可得Saobc=3sdoc因此Saobc36,這樣SaDBC=12+36=48。下面可以用兩種方法去求BC的長(zhǎng)度，如果把AD看成ABD勺底邊，把BC看成DBM底邊，那么AB麗DBO等高的，由于8db混Saabd的3倍，所以BC=3AD從而BC=12。或者可以利用梯形面積的計(jì)算公式去求BC的長(zhǎng)度，由于梯形的面積=4+12+12+36=64,梯形的高為8,梯形的上底AD=4,于是下底BC=64X2+84=12。15千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理例6.如圖，ABC屋梯形，三角形ADE0積是1.8,三角

7、形ABF的面積是9,三角形BCF的面積是27.那么陰影部分面積是多少？16千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理答疑編號(hào)505721470106【答案】4.8【解答】設(shè)ADF的面積為“上”，BCF勺面積為“下”，ABF的面積為“左”，DCF的面積為“右”.左=右=9;上*下=左*右=9X9=81,而下=27,所以上=81+27=3.ADE勺面積為1.8,那么AEF的面積為1.2,則EF：D口千里之行始于足下17實(shí)用文檔用心整理=1.2:3=0.4.CEFWCD用勺面積比也為EF與DF的比，所以有S>AACE=0.4X=0.4X(3+9)=4.8.即陰影部分面積為4.8.例7.如圖，長(zhǎng)方形ABC

8、D勺面積是2平方厘米，EC=2DEF是DG勺中點(diǎn).陰影部分的面積是多18千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理少平方厘米？答疑編號(hào)50572147010719千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理【答案】【解答】如下圖，連接FC,ADBFBFG勺面積相等，設(shè)為x平方厘米,FGCADFC勺面積相等，設(shè)為y平方厘米，那么DEF的面積為20千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理=2x+2y=1,=x+21千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理y=22千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理所以有比較、式，式左邊比式左邊多2x,式右邊比式右邊大0.5,有2x=0.5,即x=0.25,y=0.25.23千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理

9、而陰影部分面積為X0.25=24千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理25千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理例8.如圖，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)是12,BF=CE=4,則四邊形ABOD勺面積是答疑編號(hào)50572147010826千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理【答案】【解答】如圖，假設(shè)OB林口aOEC勺面積分別為x和V,那么OC儕口OED勺面積就分別為2x和2y.根據(jù)BECF口OCF勺面積，可以列方程組得：化簡(jiǎn)即得:27千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理解得28千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理所以四邊形ABOD勺面積為:12X12-29千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理例1.已知EF=2BF,AD=3BQ三角

10、形ABC勺面積為36,那么四邊形ADFE勺面積是多少？分析：四邊形ADF里一個(gè)不規(guī)則的四邊形，無法直接計(jì)算它的面積。做輔助線連接D和E,將四邊形ADFE成2個(gè)三角形4ADE口DFE三角形的面積就比較好求了。請(qǐng)大家想一想，除了公式以外，還可以利用什么方法去求三角形的面積？題目中給出的條件是線段與線段之間的關(guān)系，一定要將線段與線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形與圖形的關(guān)系，這樣才有助于計(jì)算面積。比如：由EF=2BF,可知及dfe=2及dbf。這是連接D和E做輔助線的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，它將線段之間的倍數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成了三角形面積之間的倍數(shù)關(guān)系，這就使得線段與圖30千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理形相互聯(lián)系了起來。答疑編號(hào)

11、505721470201【答案】11【解答】由EF=2BF,可知S(ADFE=2SzDBF,SzEFC=2SzFBC,從而SzEDC=2SDBS由于AD=3BD可知SaADC=3ADBg如果設(shè)&DBC="1")那么SaEDC=“2”,SADC=“3”,所以Saade="1",SABC="4"。由于大三角形ABC勺面積為36,所以SxADE=“1”=36+4=9。下面求DFE的面積。由于AD=3BD可得&ade=3Sadbe，因此Sadbe=9+3=3。因?yàn)镾adfe=2SaDBF,而Sdfe+Sdbf=Sadbe,所以

12、Sdfe=3+3X2=2。由Saade=9,8dfe=2,可知四邊形ADFE勺面積是11。31千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理總結(jié)：在直線形計(jì)算的問題中，如果碰到一個(gè)不規(guī)則的圖形，通常需要添加輔助線將它分割成若干個(gè)可以計(jì)算面積的圖形，例如分割成三角形、平行四邊形或者梯形。如果題目中的條件給出了線段與線段之間關(guān)系，也可以利用添加輔助線的方法將線段與三角形（或者其它的圖形）聯(lián)系起來，這樣線段之間的關(guān)系就變成了三角形（或者其他圖形）之間的關(guān)系，從而有助于計(jì)算圖形的面積。例2.如圖1,在rABB,DC=3BQrABCW面積是84,DEEA則陰影部分的面積是32千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理答疑編號(hào)5

13、05721470202【答案】36【解答】連結(jié)DF,因?yàn)镈REA所以三角形AC印面積與三角形CDE勺面積相等，三角形AEF的面積與三角形DEF勺面積相等.因此陰影部分的面積等于三角形CDF的面積，也等于三角形ACF的面積.又因?yàn)镃D=3XBD所以三角形DEF勺面積是三角形CD麗積的,因此陰影部分的面積33千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理34千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理例3.如圖1,已知三角形ABM面積為1,A已FD,BF=3FE則陰影部分的面積是答疑編號(hào)505721470203【答案】97.5【解答】連DE千里之行始于足下35實(shí)用文檔用心整理由BF=3FE由AF=FD36千里之行始于足下實(shí)

14、用文檔用心整理=2a,則37千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理從而陰影部分的面積是38千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理例4.如圖，ABC勺面積是1,且面積是39千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理答疑編號(hào)505721470204【答案】【解答】40千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理OAB勺面積是BFD的面積是例5.在長(zhǎng)方形ABC珅，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在CE上且EF：FG=3：1,已知三角形千里之行始于足下41實(shí)用文檔用心整理60,則長(zhǎng)方形ABCD勺面積是答疑編號(hào)505721470205【答案】192【解答】OE：O01：2,EF：FC=3：1,三角形BED勺面積：三角形BFD的面積42千里之行始于足下

15、實(shí)用文檔用心整理因?yàn)槿切蜝FD勺面積是60,所以，三角形BED勺面積是48,則長(zhǎng)方形ABCDJ面積是48X4=192.例6.如圖，梯形ABCD7卜有一點(diǎn)E,使彳ABEADMEDC勺面積相等(1)證明：ABF和八尸莊勺面積相等；(2)證明：ADF和AHD勺面積相等；(3)如果已知ABF和4口6巾勺面積分別為3和1,求梯形ABCD勺面積.43千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理答疑編號(hào)505721470206【答案】18【解答】（1）證明：因?yàn)锳BEWADETB是以AE為底且面積相等，所以ABE在邊AE上的高與ADEB邊AE上的高相等.因?yàn)锳BF與4AFD同底（AF）等高，所以ABF與4AFD的面積

16、相等。（2）證明：由（1）同理，AHDWHDCM積相等，所以ADFABD面積的一半，AHDAC面積的一半.因?yàn)樘菪蜛BCDKABDWACM面積相等，所以ADFWAHD1積相等.（3）解：由ABF的面積是3,可得ADFHDC®積者B是3,所以AGD的面積是3-1=2.因?yàn)锳BG與ADGT相同的高，且面積分別為4和2,所以BG是DG的2倍.因?yàn)镃BGWCD¥相同的高，所以CBG勺面積是CDG勺2倍，為8,所以梯形ABCD勺面積為2+4+4+8=18.例7.如圖，已知D是BC中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn).三角形ABC?這6部分44千里之行始于足下實(shí)用文檔用心整理組成，其中比多6平方厘米.那么三角形ABC勺面積是多少平方厘米？答疑編號(hào)505721470207【答案】48【解答】因?yàn)镋是DC中點(diǎn)，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，有AD=2FE且平行于EF,則四邊形ADE叨梯形.在梯形ADE中有=，X:*，：;45千里之行始于足下實(shí)用文檔