作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個好辦法

1、ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在ABCft部線段的長度叫ABC勺“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題如圖1,過ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫例1.(2009深圳)如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(一2,0),連結OA,將線段OA繞原點O順時針旋轉120°,得到線段OB.(1)求點B的坐標；(2)求經過A、O、B三點的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.(4)如果點P是(2)中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，

2、那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.解：(1)B(1,屈(2)設拋物線的解析式為y=ax(x+a),代入點B(1,血,得a=魚,因此y=Y3x2+R3x333(3)如圖，拋物線的對稱軸是直線x=-1,當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，BOC的周長最小.設直線AB為y=kx+b.所以1k十2而-2kb=0.k3k=解得i3_,因此直線人8為y=,23b二3旦十”當x=-1時，y=,3因此點C的坐標為(一1,遍/3).(4)如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.施X+空工便x22133JI31、=一(yD-yP)(XB-XA)22_2x3X2一

3、x3223代入解析CD=4-2當x=-1時，PAB的面積的最大值為晅,此時P'-1,-3:28124,例2.(2009益陽)如圖2,拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內)上的一個動點，連結PA,PB,當P點運動到頂點C時，求CAB的鉛垂(WjCD及Sab；9是否存在一點P,使S；apab=E&cab,若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由8解：(1)設拋物線的解析式為：y1=a(x1)2+4把a(3,0)式求得a=-1所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3設直線析式

4、為：丫2=kx+b由y1=-x2+2x+3求得b點的坐標為A(3,0),B(0,3)代入y2=kx+b中解k=1,b=3所以V2=-x+3(2)因為C點坐標為(1,4)所以當x=1時，y=4,y2=2所以-1=2Saab=_x3x2=3(平方單位)(3)假設存在符合條件的點P,設P點的橫坐標為x,PAB的鉛垂高為h,則h=y1一12=(x2+2x+3)(x+3)=x2+3x由字pab=&cab得一父3父(x?+3x)=父3化簡8282332一315.伶：4x-12x+9=0解得*=一將*=一代入y1=x+2x+3中，解得p點坐標為(一，一)2224例3.(2009江津)如圖，拋物線y=

5、x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(-3,0)兩點,(1)求該拋物線的解析式；(2)設(1)中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q使得QACW周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使PBCW面積最大？，若存在，求出點P的坐標及PBCW面積最大值.若沒有，請說明理由.解:(1)將A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得-1bc=0-9-3bc=0c=3，拋物線解析式為：y=-x2-2x3(2)存在。理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱直線B*x=1的交點即為Q點，此時

6、AQC長最小y=-x2-2x+3x-1F.C的坐標為：(0,3)直線BC解析式為：y=x+3Q點坐標即為的解y=x3x=-1y=2.Q(-1,2)(3)答：存在。理由如下:設P點(x,-x22x+3)(-3<x<0)Spc二S四邊形BPCO-S.BOCSI邊形BPCO"2右S四邊形BPCO1_1_.有最大值，則S&PC就最大，S四邊形BPCO=SRtBPE,S直角,wPEOC=3BE,PE.30E(PE.OC)1212332927=-(x3)(x-2x3)(x)(x2x33)=-(x-)一一22222893927c曰+_927927=x=_一時，S四邊形BPCO取

7、大值+-5出”取大一一+=228-28283o15315當x=-一時，一x-2x+3=點P坐標為(一一，一)2424(2)325.(2010綿陽)如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A(4,0)、B(2,0),與y軸交于點C,頂點為D.E(1,2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.(1)求拋物線的函數解析式，并寫出頂點D的坐標；(2)在直線EF上求一點H,使4CDH的周長最小，并求出最小周長；(3)若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，EFK的面積最大？并求出最大面積.【解析】(1)由題意，得產一他+4=0,解得2=-1.、4a+2

8、b+4=0,2所以拋物線的解析式為y=_!x2-x+4,頂點D的坐標為(一1,9).22而CD-”告(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M.因為EF垂直平分BC,即C關于直線EG的對稱點為B,連結BD交于EF于一點，則這一點為所求點H,使DH+CH最小，即最小為DH+CH=DH+HB=BD=VbM2+DM2=3石3-2CDH的周長最小值為CD+DR+CH=.53.132解得2k16=0,設直線BD的解析式為y=k1x+b,則g-k1b1=3RtACEGACOB,所以直線BD的解析式為y=_|x+3,由于BC=2'5,CE=BC/2=匹,得CE:CO=CG:CB,所以CG=2.5,GO=1

9、.5.G(0,1.5).同理可求得直線EF的解析式為y=)x+-22聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使CDH的周長最小的點H(-,).48(3)如圖所示，設K(t,It2t+4),xFvtvxE.過K作x軸的垂線交EF于N.2貝UKN=yK一yN=t21+4(t+)=t2t+。222222'所以SAEFK=SAKFN+SAKNE=1KN(t+3)+1KN(1t)=2KN=一3t+5=-(t+3)2+鋁.2224即當t=3時，EFK的面積最大，最大面積為空，此時K(3,竺).24283.（2010年恩施）如圖11,在平面直角坐標系中，二次函數錯誤！未找到引用源。的圖象與x軸交于A、B兩點，

10、A點在原點的左側，B點的坐標為（3,0）,與y軸交于C（0,-3）點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點（1）求這個二次函數的表達式.（2）連結PO、PC,并把POC沿CO翻折，得到四邊形POP錯誤！未找到引用源。C,那么是否存在點P,使四邊形POP錯誤！未找到引用源。C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.（3）當點P運動到什么位置時，四邊形大面積.ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最解：（1）將B、C兩點的坐標代入得解得：錯誤！未找到引用源。到引用源。錯誤！未找到引用源。所以二次函數的表達式為:錯誤！未找錯誤!那螂源。圖11OB存在點P,使四邊形

11、POP錯誤！未找到引用源。C為菱形.設P點坐標為（x，錯誤！未找到引用源。），PP錯誤！未找到引用源。交CO于E若四邊形POP錯誤！未找到引用源。C是菱形，則有PC=PO.連結PP錯誤！未找到引用源。貝UpE工CO于E，.OE=EC=錯誤！未找到AB引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。=錯誤!未找到引用源。解得錯誤！未找到引用源。,'錯錯誤！未找到引用源。誤！未找到引用源錯誤！未找到引用源。（不合題意，舍去），P點的坐標為（錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。過點P作錯誤！未找到引用源。軸的平行線與BC交于點找到引用源。），易得，直線BC的解析式為

12、錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當時，四邊形ABPC的面積最大Q,與OB交于點F,設P（x,錯誤！未則Q點的坐標為（x,x3）.甘錯誤！未找到引用源。此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。1、如圖，拋物線頂點C坐標(1,4),交x軸于點A(3,0)交y軸于點B(1)求拋物線和直線AB的解析式(2)連接CA、CB,對稱軸x=1與線段AB交于點D,求CAB的面積(3)如圖2,點P是拋物線(在第一象限內一點)上的一個動點，連接PA、PB,是否存在一點P,使八9八SPAB-SCAB?若存在，求出點P的坐標，不存在，

13、說明理由8已知：二次函數y=ax2+bx+c(a¥0)與X軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，點A、點B的橫坐標是一元二次方程x2-4x12=0的兩個根(1)請直接寫出點A、點B的坐標(2)請求出二次函數表達式，對稱軸，頂點坐標(3)如圖1,在二次函數的對稱軸上是否存在點P,使4APC得周長最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由(4)如圖2,連接AC、BC,點Q是線段OB上一動點(點Q不與點O、B重合)，過點Q作QD/AC交BC于點D,設Q(m,0),當CDQ面積最大時，求m的值圖1圖2同學們可以做以下練習:1 .(2006浙江湖州)已知如圖，矩形OABC勺長OA=/3,寬OC=1將AGOAC翻折彳APC(1)填空：/PCB=一度，P點坐標為(,);(2)若P,A兩點在拋物線y=-4x2+bx+c上，求b,c的值，并說明點C在此拋物線上；3(3)在(2)中的拋物線CP段(不包括C,P點)上，是否存在一點M,使得四邊形MCAP勺面積最大？若存在，求出這個最大值及此時