高一數(shù)學(xué)必修四課件1.2.1任意角的三角函數(shù)修改.

1、1.2.11.2.1任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)22rxycosxr sinyr tanyx oyxP(，) 的終邊的終邊 r 銳角三角函數(shù)定義銳角三角函數(shù)定義 cosxr sinyr tanyx oyxP(，) 的終邊的終邊 r=1 銳角三角函數(shù)定義銳角三角函數(shù)定義r=1cosx siny tanyx siny P(x,y)cosx tanyx 單位圓單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示來(lái)表示在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓叫以單位長(zhǎng)度為半徑的圓叫單單位圓位圓。推廣推廣: :我們也可以利用單位圓定義任我們也可以利用單位圓定義任意角三角函數(shù)意角

2、三角函數(shù)( (正弦正弦, ,余弦余弦, ,正切正切) )。siny cosx tanyx xyO( , )P x y設(shè)設(shè)是一個(gè)任意角是一個(gè)任意角,它的終它的終邊與單位圓交于點(diǎn)邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)則則:y 叫叫的正弦的正弦x叫叫的余弦的余弦叫叫的正切的正切xy任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義:|,.2RkkZ對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系 ， ， 都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，分別稱為的比值為函數(shù)值的函數(shù)，分別稱為正弦函數(shù)、余弦正弦函數(shù)、余弦函數(shù)函數(shù)和和正切函數(shù)正切函數(shù)，并統(tǒng)稱為，并統(tǒng)稱為三角函數(shù)三角函數(shù)，在弧度制

3、中，在弧度制中，這三個(gè)三角函數(shù)的定義域分別是什么？這三個(gè)三角函數(shù)的定義域分別是什么？sinycosx正、余弦函數(shù)的定義域?yàn)檎?、余弦函?shù)的定義域?yàn)镽，正切函數(shù)的定義域是正切函數(shù)的定義域是tan(0)yxx思考：思考：定義域定義域2335sin yyxO53 53 1123213,22P 1,2x 3,2y 1r 2135cos x335tanxy例例1：求：求 的正弦的正弦,余弦余弦,正切的值正切的值.根據(jù)上述方法否能求得特殊角三角函數(shù)值根據(jù)上述方法否能求得特殊角三角函數(shù)值?角角 （角度角度） 0 09090180180270270360360角角 （弧度）（弧度） 0 0 /2/2 3 3 /

4、2/22 2 sinsin 0 01 10 0-1-10 0coscos 1 10 0-1-10 01 1tantan 0 0不存在不存在0 0不存在不存在0 0例例2：已知：已知的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0 （4，3），求），求角的正弦角的正弦,余弦余弦,正切的值。正切的值。00- MPMPy3sina = y = -= -rOPOP500- OMOM4cos = -= -rOPOP5xxysin3tan =cos4x例例3 3：如圖所示，已知角終邊上一點(diǎn)：如圖所示，已知角終邊上一點(diǎn)P P的坐的坐標(biāo)為（標(biāo)為（4 4，3 3），求角的三角函數(shù)值。），求角的三角函數(shù)值。解解：4 4，3 3222

5、24( 3)rxy=+=+ -5 533sin55yar-= -4cos5xar=33tan44yax-= -0yxP(4,-3)的終邊22()rxycosxr sinyr tanyx oyxP(，)的終邊 r 事實(shí)上事實(shí)上: : 三角函數(shù)也可三角函數(shù)也可定義為定義為設(shè)設(shè)是一個(gè)任意角是一個(gè)任意角,它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,y),則則根據(jù)三角函數(shù)的定義能否確根據(jù)三角函數(shù)的定義能否確定正弦定正弦,余弦余弦,正切的值在四個(gè)象限正切的值在四個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)內(nèi)的符號(hào)?探究探究sinyr1、正弦函數(shù)值y,0,ryr0第一象限：故為正值；0,0,第二象限：故為正值；yryroxy0,0,第三象限：故

6、為負(fù)值；yryr0,0,第四象限：故為負(fù)值.yryrcosxr2、余弦函數(shù)值, 00,xrxr 第一象限：故為正值；, 00,xrxr 第二象限：故為負(fù)值；oxy, 00,xrxr 第三象限：故為負(fù)值；0,0,xrrx第四象限：故為正值.tanyx3、正切函數(shù)值00,yxyx第一象限：故為正值；00,yxyx第二象限：故為負(fù)值；oxy00,yxyx第三象限：故為正值；0, 0,xyyx第四象限：故為負(fù)值.oxyoxyoxysincostan規(guī)律：規(guī)律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”. 1 cos2602 sin;6153 tan7024 tan.

7、4例例4：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)。：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)。6解：解： 260 70215分別位于第三象限、第四象限、第一分別位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。象限、第四象限。(1)負(fù)負(fù) (2)負(fù)負(fù) (3)正正 (4)負(fù)負(fù)( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )（ ）+- - -+- - -+- - -sincostan例例5 5：求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組下列不等式組成立求證：當(dāng)且僅當(dāng)不等式組下列不等式組成立時(shí)，角時(shí)，角為第三象限角。為第三象限角。 sin 0因?yàn)橐驗(yàn)閟in0，所以，所以在第三象限或第四象在第三象限或第四象限，或限，或的終邊落在的終邊落在y

8、軸的負(fù)半軸上。軸的負(fù)半軸上。因?yàn)橐驗(yàn)閠an0所以所以在第一象限或第三象在第一象限或第三象限。限。由于由于sin0與與tan0同時(shí)成立，所以同時(shí)成立，所以在在第三象限。第三象限。解：解： 直角三角中的銳角三角函數(shù)直角三角中的銳角三角函數(shù) 象限角中的銳角三角函數(shù)象限角中的銳角三角函數(shù) 單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù) 單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的任意角三角函數(shù) 任意角終邊上任一點(diǎn)坐標(biāo)定義三角函數(shù)任意角終邊上任一點(diǎn)坐標(biāo)定義三角函數(shù) 根據(jù)三角函數(shù)的定義根據(jù)三角函數(shù)的定義: : 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是否

9、相等？是否相等？探究探究終邊相同終邊相同2 ,kkZ 終邊相同的角的集合為：終邊相同的角的集合為：點(diǎn)的坐標(biāo)相同點(diǎn)的坐標(biāo)相同同一三角函數(shù)值同一三角函數(shù)值;sin( + k2) = sincos( + k2) = costan( + k2) = tan(kz)。終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，由此得到一組公式（公式一）：等，由此得到一組公式（公式一）：利用公式一，作用在于可將求任意角的利用公式一，作用在于可將求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0 （或（或0360)范圍內(nèi)的三角函數(shù)值。范圍內(nèi)的三角函數(shù)值。;17(1)cos497(2)sintan43。

10、例例6：求下列三角函數(shù)的值。：求下列三角函數(shù)的值。171(1)cos= cos=44297(2)singtan=sin gtan434313=g 3 =22思考思考1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其終邊與為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為單位圓的交點(diǎn)為P（x，y），則），則 ，都是正數(shù)，你能分別用一條線段表都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角示角的正弦值和余弦值嗎？的正弦值和余弦值嗎？sinycos = xP P（x x，y y）O Ox xy yM|MP|= y = sin|OM|= cosx思考思考2：若角若角為第三象限角，其終邊與單位圓為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為P

11、（x，y），則），則 ， 都是負(fù)數(shù)，此時(shí)角都是負(fù)數(shù)，此時(shí)角的正弦值和余弦的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？值分別用哪條線段表示？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM M|sinMPy|cosOMx思考思考3 3：為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想將線為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另一個(gè)為終段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號(hào)。點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號(hào)。根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何規(guī)定線段的正方向和根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？負(fù)方向？規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)

12、與坐標(biāo)軸同向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向。向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向。 終邊終邊 xyop(x , y)xyop(x , y)終邊終邊 MM象象OMOM、MPMP這種被看這種被看作帶有方向的線段，作帶有方向的線段，叫做有向線段。叫做有向線段。一、有向線段一、有向線段 我們規(guī)定我們規(guī)定OM與與x軸同向時(shí)，軸同向時(shí)，OM的方向的方向是正向，是正向，x為正值；為正值；OM與與x軸反向時(shí)，軸反向時(shí)， OM的方向是負(fù)向，的方向是負(fù)向，x為負(fù)值；無(wú)論是那種情況為負(fù)值；無(wú)論是那種情況都有都有:OM=x=cos 。 我們規(guī)定我們規(guī)定MP與與y軸同向時(shí)，軸同向時(shí)，MP的方向的方向是正向，是正向，y為正值；為正值

13、；MP與與y軸反向時(shí)，軸反向時(shí)，MP的的方向是負(fù)向，方向是負(fù)向，y為負(fù)值；無(wú)論是那種情況都為負(fù)值；無(wú)論是那種情況都有有:MP =y=sin。 二、正弦線、余弦線二、正弦線、余弦線設(shè)任意角設(shè)任意角與單位圓交于點(diǎn)與單位圓交于點(diǎn)p(x , y)，則，則r = |op| = 1.sin=y因此，因此，p(x , y)坐標(biāo)也表示為坐標(biāo)也表示為p(cos , sin).cos= xxyop(x , y)三、正切線三、正切線xyop終邊終邊 AT稱稱AT為角為角的正切線的正切線.過(guò)過(guò)A(1,0)作圓的切線，作圓的切線，例例7 7：不查表，比較大小。：不查表，比較大小。解：解：xyo11由圖形得到由圖形得到2

14、sin34sin524sin sin35解：解： 由圖形得到由圖形得到xyo112cos34cos524cos cos35解：解：由圖形得到由圖形得到xyo12tan34tan524tan tan351 1、正弦線、正弦線2 2、余弦線、余弦線3 3、正切線、正切線注意：正弦線、余弦線、正切注意：正弦線、余弦線、正切線都是有向線段，有正負(fù)之分線都是有向線段，有正負(fù)之分.三角函數(shù)線是三角函三角函數(shù)線是三角函數(shù)的數(shù)的幾何表示幾何表示，它可，它可以直觀刻畫(huà)三角函數(shù)以直觀刻畫(huà)三角函數(shù)的概念與三角函數(shù)的的概念與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來(lái)，可以定義結(jié)合起來(lái)，可以從從數(shù)數(shù)與與形形兩方面認(rèn)識(shí)兩方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定

15、義三角函數(shù)的定義. .xysinxycosxytan定義域?yàn)槎x域?yàn)镽定義域?yàn)槎x域?yàn)镽；定義域?yàn)槎x域?yàn)閤 | xk +,kZ2 三角函數(shù)三角函數(shù)(正弦正弦,余弦余弦,正切正切)都是以角為自變量都是以角為自變量,以單以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù). (由于角的集合與實(shí)數(shù)集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)由于角的集合與實(shí)數(shù)集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系關(guān)系,三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).)所以三角函數(shù)可以記為所以三角函數(shù)可以記為:1、任意角的三角函數(shù)定義、任意角的三角函數(shù)定義課堂小結(jié)課堂小結(jié)sincostan

16、( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )（ ）+- - -+- - -+- - -2、三角函數(shù)在象限內(nèi)的符號(hào)、三角函數(shù)在象限內(nèi)的符號(hào)sin(2 )sin ;cos(2 )cos ;tan(2 )tan().kkkkz應(yīng)用應(yīng)用（1）判斷符號(hào)）判斷符號(hào)（2）求值）求值 000 360把把角角 化化到到、公式一、公式一(誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式)高考鏈接高考鏈接1.（2009全國(guó)）全國(guó)） 的值為的值為( )sin58522223232解析：解析：本題主要考察誘導(dǎo)公式本題主要考察誘導(dǎo)公式：2sin585sin(360225 )sin(18045 )sin452 54342.（2009

17、陜西）陜西） 則則 的值為（的值為（ ）2sincossin2costan2 B解析：解析：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和運(yùn)本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和運(yùn)算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。因算能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想。因 故選故選B。2sincossin2cos 2tan12 21tan22+2 tan2 3. (2007江西江西)若若 ， 則則 等于（等于（ ） tan3 4tan3 tan()1313解析：解析：43tantan13tan()41tantan3133 | =k+,k| =k+,k66。1. 以下四個(gè)命題中，正確的是以下四個(gè)命題中，正確的是()D第四象限的角可表示為第

18、四象限的角可表示為:A在定義域內(nèi)，只有終邊相同的角的三在定義域內(nèi)，只有終邊相同的角的三 角函數(shù)值才相等。角函數(shù)值才相等。BC若若a是第二象限的角，則是第二象限的角，則3|2k+ 0 0, ,則則 的的終終邊邊在在( ( ) )A A. .第第一一象象限限 B B. . 第第四四象象限限C C. .第第二二或或第第三三象象限限 DD. .第第一一或或第第四四象象限限8 8. .下下列列各各三三角角函函數(shù)數(shù)值值中中，取取負(fù)負(fù)值值的的是是( ( ) )A A. . s si in n( (- -6 66 60 0 ) ) B B. .t ta an n1 16 60 0 C C. . c co os s( (- -7 74 40 0 ) ) DD. .s si in n( (- -4 42 20 0 ) ) c co