彈性力學(xué)簡明教程(第四版)_習(xí)習(xí)題解答

1、【2-9】【解答】圖2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時(shí)，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符號(hào)相反，有在x=l的

2、小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件這兩個(gè)位移邊界條件也可改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)，故【2-10】【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號(hào)相反，有(對(duì)OA中點(diǎn)取矩)()應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號(hào)相反，面力主矢y向?yàn)檎?，主矩為?fù)，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個(gè)問題是靜力等效的?！?-14】【

3、解答】在單連體中檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）；（3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答?！窘獯稹浚?）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對(duì)中性軸（Z軸）的慣性矩，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為： 。根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計(jì)）。得： 根據(jù)邊界條

4、件得 故將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-18】【解答】（1）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式彎應(yīng)力；該截面上的剪力為，剪應(yīng)力為取擠壓應(yīng)力（2）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗(yàn)第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。（3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要邊界

5、x=0上，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?-4】【解答】相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a>0時(shí)，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時(shí)應(yīng)用圣維

6、南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因?yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當(dāng)<0時(shí)，可以解決偏心壓縮問題。【3-5】【解答】（1）由應(yīng)力函數(shù)，得應(yīng)力分量表達(dá)式考察邊界條件，由公式（2-15）主要邊界，上邊界上，面力為 主要邊界，下邊界，面力為 次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：，y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式，考察

7、應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（2-15）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計(jì)算，面里的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；，在右邊界x=l上，面力分布為，面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：（3），將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（2-15）次要邊界上，分布面力可按（2-15）計(jì)算，面力的主矢、主矩可通過三個(gè)積分邊界求得：左邊界x=0上，面力分布為右邊界上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢y向主矢：

8、主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示 【3-6】【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）將代入式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上（上下邊界）上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15），應(yīng)力因此，在主要邊界上，無任何面力，即在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：，因此，各邊界上的面力分布如圖所示：在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上 x=l上 【3-7】【解答】(1)將應(yīng)力函數(shù)代入式（2-25），代入（2-25），可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。（2）將代入公式（

9、2-24），求應(yīng)力分量表達(dá)式:， (3)考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力：在主要邊界（上面），應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15）應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:在次要邊界上，分布面力為，應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件:【3-8】【解答】采用半逆法求解。由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式將，體力，代入公式（2-24）有對(duì)y積分，得 （a） （b）其中都是x的待定函數(shù)。（3）由相容方

10、程求解應(yīng)力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25），得 （c）在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個(gè)根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零，即兩個(gè)方程要求 （d）中的常數(shù)項(xiàng)，中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。將（d）式代入（b）式，得應(yīng)力函數(shù) （e）（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量 （f） (g) (h)(5)考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要邊界上（左）：將（f），（h）代入，自然滿足 （i）主要邊界上，自然滿足，將（h）式代入，得 （j）在次要邊界上

11、，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件： （k） （l） （m）由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得代入公式（g），(h)得應(yīng)力分量【3-9】【解答】按半逆解法求解。將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。由公式（2-24）求應(yīng)力分量表達(dá)式，體力為零，有，考察邊界條件：在主要邊界上，精確滿足公式（2-15）第一式自然滿足，第二式為 (a)在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(2-15)第一式自然滿足，第二式為 (b)在次要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件: 滿足 滿足 （c）聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得【3-10】【解答】采用半逆解

12、法求解（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式(2-24) (a)(3)考察邊界條件主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件， 滿足 得 （b）在次要邊界x=0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件 （c）聯(lián)立方程（b）（c）得最后一個(gè)次要邊界上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式（a），得應(yīng)力分量【3-11】【解答】采用半逆解法求解(1) 檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設(shè)應(yīng)力函數(shù)，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25）(2) 由式（2-

13、24）求應(yīng)力分量由體力分量，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）得應(yīng)力分量： （a） （b） （c）（3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。對(duì)于主要邊界，其應(yīng)力邊界條件為：， （d）將式（d）代入式（b），（c），可得 （e）對(duì)于主要邊界（斜面上），應(yīng)力邊界條件：在斜面上沒有面力作用，即，該斜面外法線方向余弦為，.由公式（2-15），得應(yīng)力邊界條件 （f）將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得 （g）將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應(yīng)力分量表達(dá)式：【3-12】【解答】按半逆解法求解。（1）由§3-4可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為 ，由§3-4

14、可知，必然滿足相容方程（2-25）。（2）應(yīng)力分量的表達(dá)式： （a） （b） （c） （3）考慮對(duì)稱性因?yàn)槊媸橇汉秃奢d的對(duì)稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對(duì)稱于面。這樣是的偶函數(shù)，而是的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見 （d）（4）考察邊界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15），將應(yīng)力分量式（b）、（c）代入，并注意到，可得：聯(lián)立此四個(gè)方程，得： （e）將式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c） （f） （g） （h）考察次要邊界條件由于問題的對(duì)稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界上，不論取任何值，都有。由（f）式可見，這是不可能的，除非均為零。因此，只能用應(yīng)力的主矢、主矩為

15、零，即 （i） （j）將（f）式代入式（i）得積分后得 K=0 （k）將式（f）代入式（i），得積分后得 （l）將（k）、（l）代入式（f），得 （m）考察右邊界上切應(yīng)力分量的邊界條件：右邊界上，則的主矢為可知滿足應(yīng)力邊界條件。將式（g），（h），（m）略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答： (n)（5）應(yīng)力分量及應(yīng)力分布圖梁截面的寬度取為1個(gè)單位，則慣性矩，靜矩是。根據(jù)材料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為則式（n）可寫成： 【3-13】【解答】用半逆解法求解。（1）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程式（2-25），得要使?jié)M足相容方程，應(yīng)使 （a）（2）求應(yīng)力分量，

16、代入式（2-24） （b）（3）考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確到滿足應(yīng)力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立式（a）、（c）、（d）、（e），可得： （f） 在次要邊界上，主矢和主矩都為零，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件： 滿足條件 （g） 滿足將A的值帶入（g），得C= （h）將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式（b），得【3-14】【解答】采用半逆解法求解。(1) 相容條件：將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)，顯然滿足。(2) 求應(yīng)力分量：將代入（2-24） （a）(3) 考察邊界條件。在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件 滿足 （b）在次要邊界x=0上，可用圣維南原理，寫出三個(gè)積分應(yīng)力邊界條件 （c） （d） （e）聯(lián)立（b）、（c）、（d）、（e）式得， （f）將各系數(shù)據(jù)（f）代入式（a），得應(yīng)力分量解答【3-15】【解答】（1）假設(shè)應(yīng)力分量