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文檔簡(jiǎn)介
1、空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一.有關(guān)定義L球的定義】空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡,叫球面,簡(jiǎn)稱球.2,外接球的定義:若一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上,則稱這個(gè)多 面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球.3內(nèi)切球的定義;若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切,則稱這個(gè)多面 體是這個(gè)球的外切多面體,這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。二、外接球的有關(guān)知識(shí)與方法L性質(zhì):性質(zhì)1:過(guò)球心的平面截球面所得圓是大圓,大圓的半徑與球的半徑相等;性質(zhì)j經(jīng)過(guò)小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過(guò)球心,該平面鼓球所得圓是大圓;性質(zhì)黯過(guò)球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面(類比:圓的垂徑定理I
2、;性質(zhì)4:球心在大國(guó)面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心:性質(zhì)5在同一球中,過(guò)兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交,交點(diǎn)是 球心(類比;在同圓中.兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心).初圖】初圖上結(jié)論1:長(zhǎng)方體的外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)處,即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中 點(diǎn)是球心;結(jié)論2;若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn),則所得多面體 與原長(zhǎng)方體的外接球相同;結(jié)論3,長(zhǎng)方體的外接球亙徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形 的外接圓圓心,換言之,就是:底面的一條對(duì)角線與一條高棱)構(gòu)成的直角三角 形的外接圓是大圓;結(jié)論4:圖柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點(diǎn)處i結(jié)論5:圓柱
3、體軸截面矩形的外接圓是大圓.該矩形的對(duì)角線I外接圓直徑)是球 的直徑;結(jié)論3直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球;結(jié)論7;圓錐體的外接球球心在圓錯(cuò)的高所在的直線上;結(jié)論8:圓鍵體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓,該三角形的外接圓直徑是球 的直徑;結(jié)論9 :測(cè)棱相等的棱推的外接球與該棱推外接圓椎有相同的外接球一3.線極利器;勾股定理*正弦定理及余弦定理(解三角形求線段長(zhǎng)度);三.內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1.若球與平面相切,則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直八與直線切圓的結(jié)論有一致性) Z內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等.外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均 相等。類比;與多邊形的內(nèi)切圖|3正多面體的
4、內(nèi)切球和外接球的球心重合.4.正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上,但不一定重合.構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理;(2)怵積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法(等體積法工四、八大模型類型一,墻角模型(三條棱兩兩垂直,不找球心的位置即可求出球半徑)ffl-l圖I圍2用I15方法:找三條兩兩垂直的線段,直接用公式(2幻,即2貝二求出火例1(1)已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的裹面積是tC )A. 16汗B. 20萬(wàn)C.MtD.32jt解:/二 cr 分= 16, a-2, 4/ =tj2+ A2 4 + 4 + 16 = 24, S = 24 ,選 C;:若三棱錐的三個(gè)
5、側(cè)面兩兩垂百,日惻樓長(zhǎng)均為45.則苴外接球的表面積是在正三棱錯(cuò)5胃朋.中,時(shí)、N分別是桂*'、HV解:4*=3 + 3 + 3 = 9, X = 4花R* =")花;'-/比,外接球的表面積是.361的中點(diǎn)“且4W1MN,若AN梭&1 = 24則正三棱錐解;引理:正三棱維的對(duì)棱互相垂直,證明如下:如期明“引理)圖(3 )-1,取的中點(diǎn)連接川也。交于打,連接俯,則3是底面正三角形才放的中心, 二5月工平面月H,v AC = BC, /Q = Z?。,d/?,二 4/?1 平面 4cP,a AJiLSC,同理:HC1SA, ACVSH,即正三棱鏈的對(duì)棱互垂直,本題
6、圖如圖(3 卜2, v AM _L MV , S1L7 MV ,AM LSU,丁 AC 工 SH 一J_ 平面 SAC,SB ISA, SB 1 SC, v SB ISA, BC 1 SA ,,必 _1_平面、*,/. SA 1 SC T故三棱錐、-AH(的三棱條惻棱兩兩互相垂直,A (2Jf)1=(273)- + (273)s + (2、36 ,即 4r = 36,M)& 2 (MHD,正三棱椎3 -4雙 外接球的表面積是如廣(4)在四面體S-川"中,NX L 平面RHN* ZBAC = 120SA= AC2,AB = 1.!1|®四面體的外接球的表面積為(D)/
7、汽3外 接 球 直 徑 為 2rHC V7 2V7sin ABAC 解:在A/IHC中,fiC1 = AC2 + Afi1 -2Afi fiC cQS2 = 7 . RC = 6、A/IH的. QR)'(2療+ ”=+ 4二竺40落(5)如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,它們的面積分別為6、4.3,那么它的外接球的表面積是 解:由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直,設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為n也門口.瓦則ab = 12be £ , ,£fbc - 24 ,=3 , b = 4 , c = 2, t =尊友 + b? + = 29 ,uc = 6S = 4部- -2t笈,6已知某幾何體的三視
8、圖如圖所示,三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體外接球的體積為解:= £/ + A2 + r2 = 3 , R =.類型二,對(duì)梭相等模型(撲形為長(zhǎng)方體)題設(shè):三棱錐4即四面體中,已知三組對(duì)棱分別相等.求外接球半徑抒一(刀,= AC=HI來(lái)源:簡(jiǎn)單高中生“D jiandanlOOcn)第一步:畫出一個(gè)長(zhǎng)方體,標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱;第二步:設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為白也c. AD = HC = x.Afi = CD = yt 4=加)=二,列方程名目,u? +b7 = jc1L J t n.21 l 2- + V17 + 二”,IT +c =y =>
9、(2RY -a- +6- +c =222 tc +a =z圖,|第三步根據(jù)墻角模型補(bǔ)充;圖2-1中,匕香g*二1+尸十三,+ .求出112BV 8丸思考:如何求桂長(zhǎng)為“的正四面體體積,如何求其外接球體積?例2")如下圖所示三棱錐月-8口,其中/£ =。= 5"匚=切,=6"心=日。=7.則該三棱錐外接球的表面積為.解;對(duì)棱相等,補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,如圖2-1,設(shè)長(zhǎng)寬高分別為口也c,2(cr + +) = 25 + 36 + 49 = 110,/+ + / = 55, 4* =55, ,¥ = 55常ulteFf(2)在三棱鍍片ACD 中,AB = C
10、D = 2t AD = BC = 3 t AC HD = 4,則三棱鋌A力"外接球的表面積為解;如圖工1,設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)龜線長(zhǎng).設(shè)長(zhǎng)寬高分別 為凡瓦c,則/+力=9.b-4,c:+a- =16:.2(£/-+/>z+c?) = 9 + 441629(3)正四面體的各條棱長(zhǎng)都為,5,則該正面體外接球的體積為解,正四面體對(duì)棱相等的模式,放入正方體中,代子(4)棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如下圖,則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是科)題(4)思解捽圖解:如解答圖將正四面體放入正方體中,截面為VYR,面積是J2
11、.類型三.漢堡模型(直棱柱的外接球,圓柱的外接球)題設(shè)士如圖3-1,圖4-2,圖"*直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步:確定球心0的位置,0是A彷的外心,則(7Q_L平面1*;第二步;算出小圓日的半徑4。二八0a =;/4二;力(M4 =4也是圓柱的高打 第三步:勾股定理:OA2 (A2 +Op內(nèi)二(+。出"審 ,解出1(例況1)一個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為2,底面周長(zhǎng)為九則這個(gè)球的體積 8為解:設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為明正六橫柱的高為力,底面外接圓的半徑為一則
12、口=二 2正六棱柱的底面積為$ = 6.及.)/=*咳, y =加Nig' :4工04288842=I' +(V3)1 =4也可* =(爭(zhēng)、(/"R=l,球的體枳為噎表;直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上.若AH-AC = AAx - 2tZBAC = 120° ,則此球的表面積等于2石解:BC - 2-Jj , 2r = = 4 t r = 2 , J? = J5 , S - 20 ;sin 120(3)已知"工出所在的平面與矩形月加。所在的平 面互相垂直 1 /A= 3, AD - 2,ZAEB - 60 ,則多面體E-ABCD的外接球的表面積 為
13、.16不解:折誨型,法一:A塌斤的外接圓半徑為久; 0 () =1 t k = Vf+3=2 ; 法二,。四斗3建E瀉=4 法三:補(bǔ)形為直三棱柱,可改變直三棱柱的放置方式為立式,算法可同上,喀一 換一種方式.通過(guò)算圓柱的軸截面的時(shí)角線長(zhǎng)來(lái)求球的直徑:(2/?)2 = (2V3): + 21 = l6( 5衣=16產(chǎn);伊)在直三棱柱月以:48£中,,則直三棱柱力火,-片尚(;的外接球的表面積為160我3解:法:M 2 = 16 + 36 2+ 4 - 6 = 28 T Hi * = 24 ¥ , 2r = m,r = -J-,2V3 V3 v31602即=>+( 法二:
14、求圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)得球立徑,此略類型四、切底模型(兩個(gè)大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一正弦定理求大圓直徑是通法L如圖dl,平面平面且為小圓的直徑),且產(chǎn)的射影是,欣的外心o三楂饞 -.4取,的三條側(cè)棱相等。三棱P-ABC的底面在圓錐的底上,頂點(diǎn)尸點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟:第一步:確定球心。的位置,取的外心q,則RQQ三點(diǎn)共線:第二步:先算出小圓。的半徑月科-人再算出棱雄的高,a =似也是圓鎮(zhèn)的高);第三步:勾股定理:二af+ahn膽解出心事實(shí)上,山f(的外接圓就是大圓,直接用正弦定理也可求解出院Z如圖4-2,平面嚴(yán)內(nèi)("1平面用",且/X _LH(即月。為小圓的直徑
15、),且M±AC,則利用勾股定理求三棱鏈的外接球半徑:(2R產(chǎn)=PJ2+(2r)5 0 2R十(24;*=/ +fgQ/二J產(chǎn)十()0;3如圖右3,平面1X_L平面月次,且力E_L* (即HC為小圓的直徑)OC2 =Ol-()l()i。爐=/十。4戶 o AC = 2yjRl-0,(4題設(shè):如圖44,平面月(平面/?(',且工E _1_6(即”為小圓的直徑)第一步:易知理心。必是4上4(的外心,即A/X的外接圓是大圓,先求出小圓的直徑/Cr;來(lái)源;簡(jiǎn)單高中生QDjiandanlOOcn)第二步:在A/XC中,可根據(jù)正弦定理, =-=二 =2七 求出乩 Sin A sin J?
16、sin (例4(1)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱鏈的高為I,底面邊長(zhǎng)為入3,則該球的表面積為.解:法一:由正弦定理(用大圓求外接球直徑);法二:找球心聯(lián)合勾股定理,2/f = 7 f S = 4或之二 49若1仁)正四桂錯(cuò)N加*了)的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)校長(zhǎng)都為各頂點(diǎn)都在同一球面上,則此球體積為解;方法一:找球心的位置,易知二I ,力-1人故球心在正方形的中心HI#4j?r處,八1, r=y方法二:大圖是軸微面所的外接圓,即大圈是4M的外接圓,此處特殊, 的斜邊是球半徑 2K = 2, A = ,尸=.(3)一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為I的球面上,其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上,則
17、該正三棱錐的體積是()A.些B至C.2D走43412解;高力R 1,底面外接圓的半徑為次lt直徑為2犬2,設(shè)底面邊長(zhǎng)為明 則工及=,_ = 2,s = a2=-t三棱錐的體積Sin 6044工 I框?yàn)楫a(chǎn)二L銷二上; 34(4)在三棱錐尸-中,乩4 =尸# =以'=JJ,側(cè)棱凡4與底面川義所成的角為60 ,則謨?nèi)饩S外接球的體積為()我4后"R -C4;rD 33解:選D,由線面角的知識(shí),得皿8的頂點(diǎn)4從在以-卓為半徑的圓上,在圓錐中求解,無(wú)二1:已知三棱鍵的所有頂點(diǎn)都在球。的求面上,是邊長(zhǎng)為I的正三角形,V為球門的直徑,且W2,則此棱錐的體積為()A3B.正C.巨 D立663
18、2研 U 曰r 7瓦?2611 V3 276 41解;0(). R r =J|一() = t h * Fui = -Sh ',="1 、,33 寸3 3436類型五.垂面模型(一條直線垂直于一個(gè)平面)1題設(shè):如圖5,,功上平面",求外接球半徑.解題步理;第一步士將乂打畫在小匱!面上,/為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn),作小圓的直徑月門,連接以八 則”)必過(guò)球心";第二十二化為A/fNr的外心,所以門平面才以二 算出小圓q的半徑0Q二F(三角形的外接圓直徑算法:利用正弦定理.得一二工二一J二2), sm A sin B sm (00 - PA 1 2第三步:利用勾股定理
19、求三桂錐的外接球半徑:= /7, +("),<=> 2/?=(”了 ;解= o R = 4+ 00:.2題設(shè):如圖5-1至5-8這七個(gè)圖形”的射影是MBC的外心。三棱錐P -4友的三條側(cè)棱相等0三棱錐的底面在圓錐的底上.頂點(diǎn)廣點(diǎn)也是圓惟的頂點(diǎn)一解題步驟:第一步士確定球心。的位置,取中水的外心a,則p。,a三點(diǎn)共線;第二步:先算出小圓a的半徑“a二,再算出棱錐的高網(wǎng))、=似也是圓錐的高);第三步:勾股定理上 d =*二-勒±+/.解出用方法二:小圓直徑參與構(gòu)造大圓,用正弦定理求大圓直徑得球的直徑例5 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()CA.
20、3aB, InC,產(chǎn)IX以上都不對(duì)解:選C,法一;(勾股定理)利用球心的位置求球半徑,球心在圓錐的高線上.法二:(大圓法求外接球直徑)如圖,球心在圓錐的高線上,故圓錐的軸截面三角形/皿耳的外接網(wǎng)是大IS,于是2K = - = 3,下略; sm 60<3類型六、折疊模型題設(shè):兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折疊(如圖6)圖619第一步:先畫出如圖6所示的圖形,將八以。畫在小圓上,找出和&©掰) 的外心修和吃;第二步;過(guò)見和/分別作平面月CJ和平面4WJ的垂線,兩垂線的交點(diǎn)即為球 心O,連接OZOC;第三步;解“圮乜,算出小 在由中,勾股定理:OH; + <
21、77; - ()' 注:易知r匯/四點(diǎn)共面且四點(diǎn)共圓,證略例6(1)三棱推P-?。中,平面尸/_!_平面尸和均為邊長(zhǎng)為2的正三角形,則三棱年產(chǎn)-/月外接球的半徑為.242解:如圖,22尸廣亞防=用,4=百,法二;»口二七0明+AH=,R' = AO2 AH' rO.H-犬二半(2)在直角梯形/取力中.ABf/CD, = W t Z(' = 45 ABADt沿對(duì)角線用"斤成四面體W-成刀,使平面才丹0平面取若四面體4-刖力的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該項(xiàng)球的表面積為 4ff解:如圖,易知球心在占廣的中點(diǎn)處.二二(3)在四面體、-4枚中,AB = S
22、C = 429二面角$-40-N的余弦值為-、則四面體,S -ABC的外接球表面積為 61解:如圖,法,一:cos Z5aB = cos(Z(X)/J_,十9=sin ZOO.fk =, cos ZOO.Oj =,1231 23()( =cosZUV<5 - 4成'-6萩;法二:延長(zhǎng)3a到。使。q二日反二,由余弦定理得'火=即6.3。= 0,大圓(4)在邊長(zhǎng)為2行的菱形中,/方“)二60' 沿對(duì)角線即*折成二面角A- HD-C為120的四面體AH(1),則此四面體的外接球表面積為解:如圖,取A。的中點(diǎn)工九 刀打。和的外接圓半徑為斤二口 = 2,14RD和M洲。的外
23、心(九。到弦加)的距離(弦心距)為二4二I ,法一;四邊電OO,M0,的外接圓直徑0A, 2 , R - 41 , 5 - 2M ;法二:。產(chǎn)后,R = /h法三:作出(7?1)的外接圓直徑(無(wú),則= f'A = 4 , Mk,AE = 47 t AC二加、sin ZAEC =啤 2V7(5)在四棱推AfZ)中,/加M = 120 , Z/J/X =I50 , AD=HD-l, GO =行,二面角力 ?。?的平面角的大小為120 ,則此四面體的外接球的體積為解,如圖,過(guò)兩小圓圓心作相應(yīng)小圓所在平面的垂線確定球心.M»U =西詡時(shí)宵HM”遣W*KMAH iji , r2 =
24、2 ,弦 |小距(7;M = a/JHC = %' 13 ,二 J】3 ,弦,t/距 f)、V = 25,二。=后,0M = 2行, sinl20h法一七 ?. R- = 0D- - 11 + OM- =29,汽二回,噎二法二:OOi=OXf2-O.r=25 t 1個(gè)=CD;+ 00; =29 , R=四, _ 116729,7日二 ;類型七、兩直角三角形拼接在一起斜邊相同.也可看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱鋒)模型題設(shè):如圖7,乙4/W-/次7J=90 ,求三棱錐P-$8(巧卜接球半徑(分析:取公共的斜邊的中點(diǎn)。,連接則Q.4 = O9=。0,= 加入為三棱錐 尸-加,外接球球心,然后
25、在。尸中求出半徑),當(dāng)看作矩形沿對(duì)京線折起所得 三校錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān),只要不是平角球半徑都為定值一 例7。)在近形9中,AB = 4t 8c = 3,沿.4(,將矩形月取。折成一個(gè)直二面角則四面體用TC。的外接球的體積為(12氏空尸9C.巴6解:(1)2& = 4C = 5, R = -,=+獻(xiàn)=。工: 選C 233860在矩形用以刀中,.4月二,ZJC = 3t沿加將矩形必折疊,連接“,所得三棱推A-執(zhí)力的外接球的表面積為解:川)的中點(diǎn)是球心”二二布 #=4派上二1M類型八.集體的內(nèi)切球問(wèn)題1題設(shè):如圖X",三棱錐產(chǎn)-加*上正三棱椎,求其內(nèi)切球的半徑.第一步:先
26、現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,£以分別是兩個(gè)三角形的外心;第二步;求療,PO = PH-r,產(chǎn)D是惻面A4E一的高;3第三步:由A/P上相似于建立等式:DHZ題設(shè):如圖"2,四棱惟尸-HX是正四棱錐,求其內(nèi)切球的半徑第一步:先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖,RO三點(diǎn)共線;第二步:求"/ = 欣 PO = PH-r,是側(cè)面AT(。的 2高;第三步:由相似于建立等式:H卜 尸F(xiàn)解出3題設(shè)工三棱錐尸秋是任意三棱推,,求其的內(nèi)切球半運(yùn)方法,等體積法,即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相等第一步=先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積;第二步:設(shè)內(nèi)切球的半徑為,建立等式:修皿也. + 口
27、 Sw -、*詠q (S&皿+1出+ §/+ 5.)廣 b-FuJuJuJb-FAr第三步:解出產(chǎn) ",工,M + % 3 + %戶"+ %戶M例S (1)樓長(zhǎng)為仃的正四面體的內(nèi)切球表面積是解工設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為將正四面體放入棱長(zhǎng)為;的正方體中(即撲形為正方體),如圖.則f/ _lr _ 。加一3%才伴一3運(yùn)_麗,又*,7工.,內(nèi)切球的表面積為小4=更(注:還有別的方法,此瑜6正四棱錐(。的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為?,則其內(nèi)切球的半徑為解:如圖,正四棱錐N力的高力士",正四棱惟萬(wàn)/投。的體積為S-.4BLD = 丁三棱錐產(chǎn)-4次,中,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,產(chǎn)月,底面用坎二PA = 2 ,則該三棱錯(cuò)的
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