外接球與內(nèi)切球解題方法

1、空間幾何體的外接球與內(nèi)切球一.有關(guān)定義L球的定義】空間中到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡，叫球面，簡稱球.2,外接球的定義：若一個多面體的各個頂點都在一個球的球面上，則稱這個多 面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球.3內(nèi)切球的定義;若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面 體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切球。二、外接球的有關(guān)知識與方法L性質(zhì)：性質(zhì)1：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等；性質(zhì)j經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面鼓球所得圓是大圓；性質(zhì)黯過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定理I

2、;性質(zhì)4:球心在大國面和小圓面上的射影是相應圓的圓心：性質(zhì)5在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應的圓面的直線相交，交點是 球心（類比；在同圓中.兩相交弦的中垂線交點是圓心）.初圖】初圖上結(jié)論1:長方體的外接球的球心在體對角線的交點處，即長方體的體對角線的中 點是球心；結(jié)論2;若由長方體切得的多面體的所有頂點是原長方體的頂點，則所得多面體 與原長方體的外接球相同；結(jié)論3,長方體的外接球亙徑就是面對角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形 的外接圓圓心，換言之，就是:底面的一條對角線與一條高棱）構(gòu)成的直角三角 形的外接圓是大圓;結(jié)論4：圖柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段中點處i結(jié)論5:圓柱

3、體軸截面矩形的外接圓是大圓.該矩形的對角線I外接圓直徑）是球 的直徑；結(jié)論3直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結(jié)論7；圓錐體的外接球球心在圓錯的高所在的直線上；結(jié)論8:圓鍵體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球 的直徑；結(jié)論9 ：測棱相等的棱推的外接球與該棱推外接圓椎有相同的外接球一3.線極利器；勾股定理*正弦定理及余弦定理（解三角形求線段長度）；三.內(nèi)切球的有關(guān)知識與方法1.若球與平面相切，則切點與球心連線與切面垂直八與直線切圓的結(jié)論有一致性） Z內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等.外接球球心到多面體各頂點的距離均 相等。類比；與多邊形的內(nèi)切圖|3正多面體的

4、內(nèi)切球和外接球的球心重合.4.正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合.構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；(2)怵積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法(等體積法工四、八大模型類型一，墻角模型(三條棱兩兩垂直，不找球心的位置即可求出球半徑)ffl-l圖I圍2用I15方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2幻,即2貝二求出火例1(1)已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的裹面積是tC )A. 16汗B. 20萬C.MtD.32jt解：/二 cr 分= 16, a-2, 4/ =tj2+ A2 4 + 4 + 16 = 24, S = 24 ,選 C;：若三棱錐的三個

5、側(cè)面兩兩垂百，日惻樓長均為45.則苴外接球的表面積是在正三棱錯5胃朋.中，時、N分別是桂*'、HV解：4*=3 + 3 + 3 = 9, X = 4花R* ="）花；'-/比,外接球的表面積是.361的中點“且4W1MN,若AN梭&1 = 24則正三棱錐解;引理：正三棱維的對棱互相垂直，證明如下:如期明“引理)圖(3 )-1,取的中點連接川也。交于打，連接俯，則3是底面正三角形才放的中心, 二5月工平面月H，v AC = BC, /Q = Z?。，d/?,二 4/?1 平面 4cP,a AJiLSC,同理：HC1SA, ACVSH,即正三棱鏈的對棱互垂直,本題

6、圖如圖(3 卜2, v AM _L MV , S1L7 MV ,AM LSU，丁 AC 工 SH 一J_ 平面 SAC,SB ISA, SB 1 SC, v SB ISA, BC 1 SA ,，必 _1_平面、*，/. SA 1 SC T故三棱錐、-AH(的三棱條惻棱兩兩互相垂直,A (2Jf)1=(273)- + (273)s + (2、36 ,即 4r = 36,M)& 2 (MHD，正三棱椎3 -4雙 外接球的表面積是如廣(4)在四面體S-川"中，NX L 平面RHN* ZBAC = 120SA= AC2,AB = 1.!1|®四面體的外接球的表面積為(D)/

7、汽3外 接 球 直 徑 為 2rHC V7 2V7sin ABAC 解：在A/IHC中，fiC1 = AC2 + Afi1 -2Afi fiC cQS2 = 7 . RC = 6、A/IH的. QR)'(2療+ ”=+ 4二竺40落(5)如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4.3,那么它的外接球的表面積是 解：由已知得三條側(cè)棱兩兩垂直，設三條側(cè)棱長分別為n也門口.瓦則ab = 12be £ , ，£fbc - 24 ,=3 , b = 4 , c = 2, t =尊友 + b? + = 29 ,uc = 6S = 4部- -2t笈，6已知某幾何體的三視

8、圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為解：= £/ + A2 + r2 = 3 , R =.類型二，對梭相等模型（撲形為長方體）題設：三棱錐4即四面體中，已知三組對棱分別相等.求外接球半徑抒一（刀,= AC=HI來源：簡單高中生“D jiandanlOOcn)第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱;第二步:設出長方體的長寬高分別為白也c. AD = HC = x.Afi = CD = yt 4=加）=二，列方程名目,u? +b7 = jc1L J t n.21 l 2- + V17 + 二”,IT +c =y =>

9、(2RY -a- +6- +c =222 tc +a =z圖，|第三步根據(jù)墻角模型補充；圖2-1中，匕香g*二1+尸十三,+ .求出112BV 8丸思考：如何求桂長為“的正四面體體積，如何求其外接球體積？例2")如下圖所示三棱錐月-8口，其中/£ =。= 5"匚=切，=6"心=日。=7.則該三棱錐外接球的表面積為.解；對棱相等，補形為長方體，如圖2-1,設長寬高分別為口也c,2(cr + +) = 25 + 36 + 49 = 110,/+ + / = 55, 4* =55, ,¥ = 55常ulteFf(2)在三棱鍍片ACD 中，AB = C

10、D = 2t AD = BC = 3 t AC HD = 4,則三棱鋌A力"外接球的表面積為解；如圖工1,設補形為長方體，三個長度為三對面的對龜線長.設長寬高分別 為凡瓦c,則/+力=9.b-4,c:+a- =16:.2(£/-+/>z+c?) = 9 + 441629(3)正四面體的各條棱長都為,5,則該正面體外接球的體積為解,正四面體對棱相等的模式，放入正方體中，代子（4）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如下圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是科）題（4）思解捽圖解:如解答圖將正四面體放入正方體中，截面為VYR,面積是J2

11、.類型三.漢堡模型（直棱柱的外接球,圓柱的外接球）題設士如圖3-1,圖4-2,圖"*直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：確定球心0的位置，0是A彷的外心，則(7Q_L平面1*；第二步；算出小圓日的半徑4。二八0a =；/4二;力(M4 =4也是圓柱的高打 第三步：勾股定理：OA2 (A2 +Op內(nèi)二(+。出"審 ,解出1(例況1)一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為2,底面周長為九則這個球的體積 8為解：設正六邊形邊長為明正六橫柱的高為力，底面外接圓的半徑為一則

12、口=二 2正六棱柱的底面積為$ = 6.及.)/=*咳, y =加Nig' :4工04288842=I' +(V3)1 =4也可* =(爭、(/"R=l,球的體枳為噎表；直三棱柱的各頂點都在同一球面上.若AH-AC = AAx - 2tZBAC = 120° ,則此球的表面積等于2石解：BC - 2-Jj , 2r = = 4 t r = 2 , J? = J5 , S - 20 ;sin 120(3)已知"工出所在的平面與矩形月加。所在的平 面互相垂直 1 /A= 3, AD - 2,ZAEB - 60 ,則多面體E-ABCD的外接球的表面積 為

13、.16不解：折誨型，法一：A塌斤的外接圓半徑為久; 0 （） =1 t k = Vf+3=2 ； 法二,。四斗3建E瀉=4 法三：補形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，喀一 換一種方式.通過算圓柱的軸截面的時角線長來求球的直徑：(2/?)2 = (2V3): + 21 = l6( 5衣=16產(chǎn)；伊）在直三棱柱月以:48£中，,則直三棱柱力火，-片尚（；的外接球的表面積為160我3解：法：M 2 = 16 + 36 2+ 4 - 6 = 28 T Hi * = 24 ¥ , 2r = m,r = -J-,2V3 V3 v31602即=>+( 法二：

14、求圓柱的軸截面的對角線長得球立徑，此略類型四、切底模型（兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一正弦定理求大圓直徑是通法L如圖dl,平面平面且為小圓的直徑）,且產(chǎn)的射影是,欣的外心o三楂饞 -.4取,的三條側(cè)棱相等。三棱P-ABC的底面在圓錐的底上，頂點尸點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步:確定球心。的位置,取的外心q,則RQQ三點共線：第二步：先算出小圓。的半徑月科-人再算出棱雄的高，a =似也是圓鎮(zhèn)的高）;第三步:勾股定理:二af+ahn膽解出心事實上，山f（的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出院Z如圖4-2,平面嚴內(nèi)（"1平面用"，且/X _LH（即月。為小圓的直徑

15、），且M±AC,則利用勾股定理求三棱鏈的外接球半徑：（2R產(chǎn)=PJ2+（2r）5 0 2R十（24；*=/ +fgQ/二J產(chǎn)十（）0；3如圖右3,平面1X_L平面月次,且力E_L* （即HC為小圓的直徑）OC2 =Ol-（）l（）i。爐=/十。4戶 o AC = 2yjRl-0,（4題設：如圖44,平面月（平面/?（',且工E _1_6（即”為小圓的直徑）第一步:易知理心。必是4上4（的外心，即A/X的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑/Cr；來源；簡單高中生QDjiandanlOOcn）第二步：在A/XC中,可根據(jù)正弦定理， =-=二 =2七 求出乩 Sin A sin J?

16、sin （例4（1）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱鏈的高為I,底面邊長為入3,則該球的表面積為.解：法一：由正弦定理（用大圓求外接球直徑）；法二：找球心聯(lián)合勾股定理，2/f = 7 f S = 4或之二 49若1仁）正四桂錯N加*了）的底面邊長和各側(cè)校長都為各頂點都在同一球面上,則此球體積為解；方法一:找球心的位置，易知二I ,力-1人故球心在正方形的中心HI#4j?r處，八1, r=y方法二:大圖是軸微面所的外接圓，即大圈是4M的外接圓，此處特殊， 的斜邊是球半徑 2K = 2, A = ,尸=.(3)一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為I的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則

17、該正三棱錐的體積是()A.些B至C.2D走43412解；高力R 1,底面外接圓的半徑為次lt直徑為2犬2,設底面邊長為明 則工及=，_ = 2,s = a2=-t三棱錐的體積Sin 6044工 I框為產(chǎn)二L銷二上； 34(4)在三棱錐尸-中，乩4 =尸# =以'=JJ,側(cè)棱凡4與底面川義所成的角為60 ,則謨?nèi)饩S外接球的體積為()我4后"R -C4;rD 33解：選D,由線面角的知識,得皿8的頂點4從在以-卓為半徑的圓上,在圓錐中求解,無二1：已知三棱鍵的所有頂點都在球。的求面上,是邊長為I的正三角形,V為球門的直徑，且W2,則此棱錐的體積為()A3B.正C.巨 D立663

18、2研 U 曰r 7瓦？2611 V3 276 41解；0(). R r =J|一() = t h * Fui = -Sh ',="1 、,33 寸3 3436類型五.垂面模型(一條直線垂直于一個平面)1題設：如圖5,，功上平面"，求外接球半徑.解題步理;第一步士將乂打畫在小匱!面上，/為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑月門，連接以八 則”)必過球心"；第二十二化為A/fNr的外心,所以門平面才以二 算出小圓q的半徑0Q二F(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理.得一二工二一J二2), sm A sin B sm (00 - PA 1 2第三步：利用勾股定理

19、求三桂錐的外接球半徑：= /7, +(")，<=> 2/?=(”了 ；解= o R = 4+ 00：.2題設：如圖5-1至5-8這七個圖形”的射影是MBC的外心。三棱錐P -4友的三條側(cè)棱相等0三棱錐的底面在圓錐的底上.頂點廣點也是圓惟的頂點一解題步驟:第一步士確定球心。的位置，取中水的外心a，則p。,a三點共線；第二步：先算出小圓a的半徑“a二，再算出棱錐的高網(wǎng)）、=似也是圓錐的高）;第三步:勾股定理上 d =*二-勒±+/.解出用方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑例5 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）CA.

20、3aB, InC,產(chǎn)IX以上都不對解：選C,法一；（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上.法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角形/皿耳的外接網(wǎng)是大IS,于是2K = - = 3,下略； sm 60<3類型六、折疊模型題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)圖619第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將八以。畫在小圓上,找出和&©掰) 的外心修和吃;第二步；過見和/分別作平面月CJ和平面4WJ的垂線，兩垂線的交點即為球 心O,連接OZOC;第三步；解“圮乜，算出小 在由中，勾股定理:OH; + <

21、77; - ()' 注：易知r匯/四點共面且四點共圓,證略例6(1)三棱推P-?。中，平面尸/_!_平面尸和均為邊長為2的正三角形，則三棱年產(chǎn)-/月外接球的半徑為.242解：如圖，22尸廣亞防=用，4=百,法二；»口二七0明+AH=,R' = AO2 AH' rO.H-犬二半(2)在直角梯形/取力中.ABf/CD, = W t Z(' = 45 ABADt沿對角線用"斤成四面體W-成刀，使平面才丹0平面取若四面體4-刖力的頂點在同一個球面上，則該項球的表面積為 4ff解：如圖，易知球心在占廣的中點處.二二(3)在四面體、-4枚中，AB = S

22、C = 429二面角$-40-N的余弦值為-、則四面體,S -ABC的外接球表面積為 61解：如圖,法，一：cos Z5aB = cos(Z(X)/J_,十9=sin ZOO.fk =, cos ZOO.Oj =,1231 23()( =cosZUV<5 - 4成'-6萩;法二：延長3a到。使。q二日反二，由余弦定理得'火=即6.3。= 0,大圓(4)在邊長為2行的菱形中，/方“)二60' 沿對角線即*折成二面角A- HD-C為120的四面體AH(1),則此四面體的外接球表面積為解:如圖，取A。的中點工九 刀打。和的外接圓半徑為斤二口 = 2,14RD和M洲。的外

23、心（九。到弦加）的距離（弦心距）為二4二I ,法一；四邊電OO,M0,的外接圓直徑0A， 2 , R - 41 , 5 - 2M ;法二：。產(chǎn)后，R = /h法三：作出（7?1）的外接圓直徑（無，則= f'A = 4 , Mk,AE = 47 t AC二加、sin ZAEC =啤 2V7（5）在四棱推AfZ）中，/加M = 120 , Z/J/X =I50 , AD=HD-l, GO =行,二面角力 小）（.的平面角的大小為120 ,則此四面體的外接球的體積為解，如圖，過兩小圓圓心作相應小圓所在平面的垂線確定球心.M»U =西詡時宵HM”遣W*KMAH iji , r2 =

24、2 ,弦 |小距（7;M = a/JHC = %' 13 ,二 J】3 ,弦，t/距 f）、V = 25,二。=后,0M = 2行, sinl20h法一七 ?. R- = 0D- - 11 + OM- =29,汽二回，噎二法二：OOi=OXf2-O.r=25 t 1個=CD；+ 00； =29 , R=四, _ 116729,7日二 ；類型七、兩直角三角形拼接在一起斜邊相同.也可看作矩形沿對角線折起所得三棱鋒）模型題設：如圖7,乙4/W-/次7J=90 ,求三棱錐P-$8（巧卜接球半徑（分析:取公共的斜邊的中點。，連接則Q.4 = O9=。0，= 加入為三棱錐 尸-加，外接球球心，然后

25、在。尸中求出半徑），當看作矩形沿對京線折起所得 三校錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值一 例7。）在近形9中，AB = 4t 8c = 3,沿.4（,將矩形月取。折成一個直二面角則四面體用TC。的外接球的體積為（12氏空尸9C.巴6解：（1）2& = 4C = 5, R = -,=+獻=。工: 選C 233860在矩形用以刀中，.4月二，ZJC = 3t沿加將矩形必折疊，連接“，所得三棱推A-執(zhí)力的外接球的表面積為解：川）的中點是球心”二二布 #=4派上二1M類型八.集體的內(nèi)切球問題1題設:如圖X",三棱錐產(chǎn)-加*上正三棱椎，求其內(nèi)切球的半徑.第一步:先

26、現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，£以分別是兩個三角形的外心;第二步;求療,PO = PH-r,產(chǎn)D是惻面A4E一的高;3第三步:由A/P上相似于建立等式：DHZ題設：如圖"2,四棱惟尸-HX是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，RO三點共線;第二步：求"/ = 欣 PO = PH-r,是側(cè)面AT（。的 2高;第三步:由相似于建立等式：H卜 尸F(xiàn)解出3題設工三棱錐尸秋是任意三棱推,，求其的內(nèi)切球半運方法，等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步=先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;第二步：設內(nèi)切球的半徑為，建立等式：修皿也. + 口

27、 Sw -、*詠q （S&皿+1出+ §/+ 5.）廣 b-FuJuJuJb-FAr第三步：解出產(chǎn) ",工，M + % 3 + %戶"+ %戶M例S （1）樓長為仃的正四面體的內(nèi)切球表面積是解工設正四面體內(nèi)切球的半徑為將正四面體放入棱長為；的正方體中（即撲形為正方體），如圖.則f/ _lr _ 。加一3%才伴一3運_麗，又*,7工.,內(nèi)切球的表面積為小4=更（注:還有別的方法，此瑜6正四棱錐（。的底面邊長為2,側(cè)棱長為？，則其內(nèi)切球的半徑為解：如圖，正四棱錐N力的高力士",正四棱惟萬/投。的體積為S-.4BLD = 丁三棱錐產(chǎn)-4次,中，底面是邊長為2的正三角形，產(chǎn)月,底面用坎二PA = 2 ,則該三棱錯的