工程力學(xué)第二章

1、第二章 平 面 力 系第一節(jié)第一節(jié) 平面任意力系的簡(jiǎn)化及簡(jiǎn)化結(jié)果的討論平面任意力系的簡(jiǎn)化及簡(jiǎn)化結(jié)果的討論第二節(jié)第二節(jié) 平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用第三節(jié)第三節(jié) 靜定與超靜定問題及物體系統(tǒng)的平衡靜定與超靜定問題及物體系統(tǒng)的平衡第四節(jié)第四節(jié) 平面靜定桁架內(nèi)力的計(jì)算平面靜定桁架內(nèi)力的計(jì)算小結(jié)小結(jié) 作用在剛體上的力系中，當(dāng)各力的作用線都在同一平面內(nèi)，這種力系稱為平面力系平面力系。第一節(jié)第一節(jié) 平面力系的簡(jiǎn)化平面力系的簡(jiǎn)化一、平面力系的概念一、平面力系的概念 BACWGFNAyFNAxFNBBACWGGFT1FT2FT1FT2WFT3FT3FR2FR1BACFR1FR2F

2、NAyFNAxFNB 當(dāng)各力的作用線匯交于一點(diǎn)時(shí)，稱為平面匯交平面匯交力系力系 。一、平面力系的概念一、平面力系的概念 當(dāng)各力的作用線相互平行時(shí)，稱為平面平行力系平面平行力系 。 當(dāng)各力的作用線既不全部相交，又不全部平行時(shí)，稱為平面任意力系平面任意力系 。WF前F后F 在工程實(shí)際中，結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的位置往往呈空間分布，力的作用線也并不都在同一平面內(nèi)，但若物體的形狀和它所受的力都對(duì)稱或近似對(duì)稱與某個(gè)對(duì)稱平面，那就可將作用在物體上的各力都移到該對(duì)稱平面內(nèi)，把原來的空間問題轉(zhuǎn)化為作用在對(duì)稱平面內(nèi)的平面問題來處理 。F1F2A1A2AnFnxyOxyOxyOO為簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心 二、平面任意力系的

3、簡(jiǎn)化二、平面任意力系的簡(jiǎn)化F1F2FnM1M2MnMOFRMO=M1+ M2+ Mn= MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn) MO=MO(F) （2-2）主矢主矢主矩主矩在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心。 根據(jù)力的平移定理，將各力都向O點(diǎn)平移，得到一個(gè)交于O點(diǎn)的平面匯交力系F1，F(xiàn)2， ，F(xiàn)n，以及平面力偶系M1， M2，Mn。 平面匯交力系F1，F(xiàn)2， ，F(xiàn)n，可以合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)的合矢量FR，它等于力系中各力的矢量和。 FR= F1+F2+Fn=F1+F2+ Fn=F 附加平面力偶系M1，M2，Mn可以合成為一個(gè)合力偶MO， 按式（1-9）可得主矩的值 。xyOMOFR FRx

4、=Fx FRy=Fy222R2RR)()(yxyxFFFFFxyFFarctan其中夾角為銳角，F(xiàn)R的指向由Fx和Fy的正負(fù)號(hào)決定。 （2-1）xyOMOFR22R)()(yxFFFxyFFarctan（2-1）MO=MO(F) （2-2） 單獨(dú)的FR不能和原力系等效，故稱它為力系的主矢主矢。 單獨(dú)的MO也不能和原力系等效，故稱其為原力系的主主矩矩。它等于力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和。 原力系與其主矢FR和主矩M的聯(lián)合作用等效。其中，主矢FR的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)，而主矩M的大小和轉(zhuǎn)向與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。 三、簡(jiǎn)化結(jié)果的討論三、簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 平面任意力系的簡(jiǎn)化，一般可得到主矢

5、FR和主矩MO，但它不是簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，簡(jiǎn)化結(jié)果通常有以下四種情況。 1FR0、MO=0因?yàn)镸O0，主矢FR就與原力系等效，F(xiàn)R即為原力系的合力，其作用線通過簡(jiǎn)化中心。FR=0、MO0 原力系簡(jiǎn)化結(jié)果為一合力偶MOMO(F)， 此時(shí)主矩MO與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。 PPPABCaaaFR=0 ；MA = M B = MC = 0.866Pa 3FR0 、 MO0 根據(jù)力的平移定理逆過程，可以把FR和MO合成為一個(gè)合力FR 。 合力FR的作用線到簡(jiǎn)化中心的O的距離d為RFMdOO。FRAFRFROAFR。MOOA。FRdd 合力FR 是在主矢FR的那一側(cè)，則要根據(jù)主矩的正負(fù)號(hào)來確定 。（2-3）

6、4 FR =0 、 MO = 0 物體在此力系作用下處于平衡狀態(tài)。關(guān)于平衡問題將在下面的節(jié)章中進(jìn)行詳細(xì)討論。 1 基本形式 如平面任意力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，所得主矢、主矩均為零，則物體處于平衡；反之，若力系是平衡力系，則主矢、主矩必同時(shí)為零。因此，平面任意力系平衡的充要條件為 一、一、平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 第二節(jié)第二節(jié)平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用平面任意力系的平衡方程及其應(yīng)用0)()(22RyxFFFMO=MO(F) =0（2-6） 可得一、一、平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 Fx0 Fy0 MO (F) 0 1 基本形式 0)()(22RyxFFFMO=

7、MO(F) =0（2-6） 因平面任意力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，故最多只能求解三個(gè)未知量。 注意到在導(dǎo)出平衡方程的過程中，沒有對(duì)投影軸的方向與矩心的位置做過任何的限制，因此方程組合形式繁多，方程數(shù)三個(gè)是必須的，但須注意它的充分性，例如常見的二矩式 2其它形式 Fx0 MA(F)0 （2-8） MB(F)0 必須加上附加條件才是充分的，它的附加條件為：x 軸不能垂直于AB連線。 （1）兩矩式（2）三矩式注意：A、B、C三點(diǎn)不在一條線上。ABRC0)(0)(0)(FMFMFMcBA 1）確定研究對(duì)象，畫出受力圖確定研究對(duì)象，畫出受力圖。應(yīng)取有已知力和未知力作用的物體，畫出其分離體的受力圖。 2）列

8、平衡方程并求解列平衡方程并求解。適當(dāng)選取坐標(biāo)軸和矩心。若受力圖上有兩個(gè)未知力相互平行，可選垂直于此二力的坐標(biāo)軸，列出投影方程。如不存在兩未知力相互平行，則可選任意兩未知力的交點(diǎn)為矩心列出力矩方程，先行求解。一般水平和垂直的坐標(biāo)軸可以不畫，但傾斜則必須畫出。 題解分析題解分析。將已知量以其代數(shù)量入題。先得代數(shù)形式的解以便分析各參數(shù)對(duì)解的影響，最后一次性代入數(shù)字得數(shù)字解，這是工程分析的習(xí)慣。 二、平面任意力系平衡方程的解題步驟二、平面任意力系平衡方程的解題步驟 搖臂吊車如圖所示，已知梁AB的重力為G14kN，立柱EF的重力為G23kN，載荷為W20kN，梁長(zhǎng)l2m，立柱h1.2m，載荷到A鉸的距離

9、x1.5m，點(diǎn)A、E間水平距離a=0.2m，拉桿傾角30 。試求立柱E、F處的約束反力。 解解 1）畫受力圖 。 2）列平衡方程求解。 hEG1WABDCFaxll/2G2FEyFExFFx 因求E、F處的支座反力，故取整個(gè)搖臂吊車為研究對(duì)象。 注意到受力圖中有兩未知力FFx與FEx互相平行，故取軸y為投影軸，列出投影方程為： Fx0， FEx-FFx=0 FEx=FFx Fy0 ， FEyG1G2W= 0 FEy27 kN （） 已知；G14kN，G23kN，W20kN，l2m，h1.2m，x1.5m，a=0.2m，30 。 試求立柱E、F處的約束反力。 解解 1）畫受力圖 。 2）列平衡方

10、程求解。 hEG1WABDCFaxll/2G2FEyFExFFx 求出FEy后，只存在點(diǎn)F、E上兩處未知力，故可任擇其一為矩心，列出力矩方程為： Fx0， FEx-FFx=0 FEx=FFx Fy0 ， FEyG1G2W= 0 FEy27 kN （）ME(F)=0 ， FFxlh-G1(a+l/2)W(x+a)=0 FFx=G1(2a+l)+2W(x+a)/2 = 32.3 kN （）FEx=FFx = 32.3 kN （ ） 求上題中拉桿的拉力和鉸鏈A的反力。 解解 1）畫受力圖 。 2）列平衡方程求解。 hEG1WABDCFaxll/2G2 因已知力、未知力匯集于AB梁，故取它為研究對(duì)象，

11、畫出AB梁的分離體受力圖 。 圖中A、B、C三點(diǎn)各為兩未知力的匯交點(diǎn)。比較A、B、C三點(diǎn)，取B點(diǎn)為矩心列出力矩方程計(jì)算較為簡(jiǎn)單，即 Fx0， FEx-FTcos =0 FEx=FTcos =29.44 kN （ ） Fy0 ， FTsin+FAyG1W= 0 FAy34 kN （）ABG1WFAyFAxFTMB(F)=0 ， G1l/2 +W(lx)-FAyl=0 FAy = 7 kN （）xy 懸臂梁上作用均布載荷q，在B端作用集中力Fql和力偶Mql2；梁長(zhǎng)度為2l，已知q和l。求固定端的約束反力。 解解 1）取AB梁為研究對(duì)象，畫受力圖。 xy Fx0， FAx=0FAxFAyMAMqA

12、2lBFqFMAB 把均布載荷q簡(jiǎn)化為作用于梁中點(diǎn)的一個(gè)集中力FQ2ql。 FQ2）列平衡方程求解，即 MA(F)=0 ， MMA2FlFQl = 0MA= M2FlFQl = ql22ql22ql2 = ql2 Fy0 ， FAy+FFQ= 0 FAyFQF=2qlql = ql （） 一飛機(jī)作直線水平勻速飛行。已知飛機(jī)的重力G、阻力FD，俯仰力偶矩M 和飛機(jī)尺寸a、b和d。試求飛機(jī)的升力FL，尾翼載荷FQ和噴氣推力FT。 解解 1）以飛機(jī)為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示 。 例2-52）列平衡方程求解，即 MO(F)=0 ， M +FTb+Ga-FQd = 0FQ=(M+FTb+Ga)/d F

13、x0 ， FDFT= 0 FTFD Fy0 ， FL-GFQ= 0 FLG+FQ = G+ (M+FTb+Ga)/dFL1.平面匯交力系Fx0Fy0 若平面力系中各力作用線匯交于一點(diǎn)，則稱為平面匯交平面匯交力系力系。顯見MM(F) 0恒能滿足，則其獨(dú)立平衡方程為兩個(gè)投影方程，即 （2-10）三、平面任意力系的特殊形式三、平面任意力系的特殊形式F1OF2F3F4xy2平面平行力系Fy0MO(F)0 若平面力系中各力作用線全部平行，則稱為平面平行力系平面平行力系，取y軸平行于各力作用線。顯見Fx0恒能滿足，則其獨(dú)立平衡方程為 MA(F)0MB(F)0其中A、B兩點(diǎn)的連線不能與各力平行。（2-11）

14、（2-12）也可用二矩式，即 F1OF2F3Fnxy 外伸梁如圖所示， F=qa/2，M=2ql2, 已知。求A、B兩點(diǎn)的約束反力。MA(F)=0 ， FB2a-M-Fa-FQa/2=0 FB=(M+Fa+0.5FQa)/2a=2qa ()Fy=0 ， FA+FB-F-FQ=0 FA=FQ+F-FB=3qa+qa/2-2qa=1.5qa ()FAFB 解解 1）取AB梁為研究對(duì)象，畫受力圖。2）列平衡方程求解，即 均布載荷化簡(jiǎn)為作用于D點(diǎn)的一個(gè)FQ=3qa 集中力。FQ=3qaqaAaB MFaCD2.5a 塔式起重機(jī)如圖所示，機(jī)架自重為W，最大起重荷載為W，平衡錘的重力為WQ，已知 W 、

15、FP、a、b、e。要求起重機(jī)滿載和空載時(shí)均不致翻倒。求WQ的范圍 。 下一頁(yè)上一頁(yè)起重機(jī)起重機(jī)laeFPWWQbO 解解 1)選起重機(jī)為研究對(duì)象 2）列平衡方程求解。滿滿 載載 滿載時(shí)滿載時(shí)， FP最大則WQ = WQmin，在臨界平衡狀態(tài)A處懸空，即FA=0，機(jī)架繞B點(diǎn)向右翻倒，如圖所示，則： MB(F)0 ， WQmin(a+b)-FPl-We0 WQmin baWelFPFBWQminFP起重機(jī)起重機(jī)laeWWQbO故WQ的范圍 ： WQ起重機(jī)起重機(jī)laeWWQbO空空 載載空載時(shí)空載時(shí)，即FP=0在臨界平衡狀態(tài)，則WQ = WQmax B處懸空，即FB=0，機(jī)架繞A點(diǎn)向左翻倒，如圖所示

16、，則： MA(F)0 ， WQmaxa -W(e+b )0 WQmax WQmaxFAFPabeW)( baWelFPabeW)( 一個(gè)剛體平衡時(shí)，未知量個(gè)數(shù)等于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)，全部未知量可通過靜力平衡方程求得。這類問題稱為靜靜定問題定問題。 對(duì)于工程中的很多構(gòu)件和結(jié)構(gòu)，為了提高其可靠度，采用了增加約束的方法，因而其未知量個(gè)數(shù)超過了獨(dú)立方程個(gè)數(shù)，僅用靜力學(xué)平衡方程不可能求出所有的未知量。這類問題稱為超靜定問題靜定問題。 第三節(jié)第三節(jié)靜定與超靜定問題及物體系統(tǒng)的平衡靜定與超靜定問題及物體系統(tǒng)的平衡一、靜定與超靜定問題的概念一、靜定與超靜定問題的概念 CBAG G 求解力學(xué)問題，首先要判斷研究的問

17、題是靜定的還是超靜定的問題。GFT1FT2FT3平面匯交力系，有三個(gè)未知量。平面平行力系，有三個(gè)未知量。 這些問題中未知量個(gè)數(shù)超過了能列出獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)，都是靜不定問題。對(duì)于超靜定問題的求解，將在材料力學(xué)中討論。FBFAFBFCABFGFAxFAyMA平面任意力系，有四個(gè)未知量。 工程中機(jī)構(gòu)和結(jié)構(gòu)都是由若干個(gè)物體通過一定形式的約束組合在一起，稱為物體系統(tǒng)，物體系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱物系物系。 求解物系平衡問題的步驟是： 1）適當(dāng)選擇研究對(duì)象（研究對(duì)象可以是物系整體、單個(gè)物體，也可以是物系中幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)），畫出各研究對(duì)象的分離體的受力圖。二、物體系統(tǒng)的平衡二、物體系統(tǒng)的平衡 2）分析各受力圖，確定求解

18、順序。研究對(duì)象的受力圖可分為兩類，一類是未知力數(shù)等于獨(dú)立平衡方程數(shù)，稱為是可解的；另一類是未知力數(shù)超過獨(dú)立平衡方程數(shù)，稱為是暫不可解的。若是可解的，應(yīng)先選其為研究對(duì)象，求出某些未知量，再利用作用與反作用關(guān)系，增加已知量，擴(kuò)大求解范圍。有時(shí)也可利用其受力特點(diǎn)，列平衡方程，解出部分未知量。如某物體受平面任意力系作用，有四個(gè)未知量，但有三個(gè)未知量匯交于一點(diǎn)（或三個(gè)未知量平行），則可取該三力匯交點(diǎn)為矩心（或取垂直于三力的投影軸），解出部分未知量。著也許是全題的突破口，因?yàn)橛捎谀承┪粗康那蟪鲋鸩綌U(kuò)大求解范圍，由此即可確定求解順序。 3）根據(jù)確定的求解順序，逐個(gè)列出平衡方程求解。 由于同一問題中有幾個(gè)受

19、力圖，所以在列出平衡方程前應(yīng)加上受力圖號(hào)或加以文字說明，以示區(qū)別。 如圖所示，人字梯由AB、AC兩桿在A處鉸接，并在D、E兩點(diǎn)用水平線相聯(lián)。梯子放在光滑的水平面上，有一人，其重力為G，攀登至梯上H處，如不計(jì)梯重，若已知G、a、l、h。試求繩拉力與鉸鏈支座反力。 解解 以整體研究對(duì)象（b）列平衡方程并解之 MC(F)= 0 ， Gacos FNB2lcos= 0 FNB = Ga/2l（）（a）畫受力圖 FNBFNC ClBADEHGah已知：G、a、a、l、h。試求：繩拉力與鉸鏈支座反力。 解解 以整體為研究對(duì)象FNB = Ga/2l（）（a）畫受力圖 FNBBADHFNC CEGh（b）列平

20、衡方程并解之以AB為研究對(duì)象FAxFAyFTMA(F)= 0 ， FTh FNB2lcos = 0 FT =Gacos/2h Fy0 ， FNB+FAy= 0 FAyFNB =Ga/2l Fx0， FAx+FT =0 FAx= -Gacos/2h laFB例2-9MO 往復(fù)式水泵如圖所示。作用在齒輪上的驅(qū)動(dòng)力偶矩MO，通過齒輪及連桿AB帶動(dòng)活塞在剛體內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)齒輪的壓力角為，齒輪的半徑為r1，齒輪的半徑為r2，曲柄O2Ar3，連桿AB5r1，活塞的阻力為F。已知F、r1、r2、r3和，不計(jì)各構(gòu)件的自重力及摩擦。當(dāng)曲柄O2A在鉛垂位置時(shí)，試求驅(qū)動(dòng)力矩MO的值。 O1FAO2BMOr1r2r3

21、解 1）分別取齒輪和齒輪及及活塞B為分離體，并畫出它們的受力圖。 O1AO2FO2xFO2yFABFBFABFnFnFO1xFO1y下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)已知：F、r1、r2、r3和，求MO。 O1FAO2BMOr1r2r3 解 1）畫受力圖。 FBFABFBAO2FO2xFO2yFABFn 2）活塞受平面匯交力系作用。已知只有兩個(gè)未知力FB、FAB，是可解的，列平衡方程求解，即 Fx0， FABcos -F =0 FAB=F/cosxy 3）由于FAB已解出， Fn為可解，列平衡方程求解，即 MO2(F)= 0 ， FABO2Acos Fnr2cos= 0coscoscoscoscos/cos

22、232222nrFrrAOFrAOFFAB下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)已知：F、r1、r2、r3和，求MO。 O1FAO2BMOr1r2r3 解 1）畫受力圖。 FBFABFBAO2FO2xFO2yFABFnMOO1FnFO1xFO1y 2） FAB=F/cosxy 3） 4）取齒輪為研究對(duì)象，列平衡方程求解，即cos23nrFrF MO1(F)= 0 ， MO Fnr1cos= 02311231coscoscosrrFrrrFrrFMnO下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 一構(gòu)件如圖所示。已知F和a，且F12F。試求兩固定鉸支座A、B和鉸鏈C的約束力。 解解 1）分別取構(gòu)件ACD及BEC為研究對(duì)象，畫出各分離體的

23、受力圖。 FCxFCyFCxFCyFAxFAyFByFBxF1ACDBCFEF1ABCaFaaaDE下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)Fx0， FCx-F+FBx0 FCxF-FBx F-F/2 F/2 2）四個(gè)未知力，不可解；但由三個(gè)未知力匯交于一點(diǎn)，可先求出FBx和FCx，即 已知：F和a，且F12F。試求：A、B和C的約束力。 解解 1）畫出各分離體的受力圖。 FCxFCyFByFBxBCFE MC0， FBx2a-Fa0 FBxF/2 （ ）Fy0，F(xiàn)By-FCy0 FByFCy下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) FCxF/22）已知：F和a，且F12F。試求：A、B和C的約束力。 解解 1）畫出各分離體的受力圖

24、。 FBxF/2 （ ）FByFCyFCxFCyFAxFAyF1ACD 解出FCx出后，圖中的FCx為已知量，因而可解，即 MA0， FCya+FCx2a-F12a0 FCy 2F1-2FCx 4F -2FCx3F Fy0， FAy+FCy-F10 FAyF1-FCy2F-3F =-F （）Fx0， FAx-FCx0 FAxFCx F/2 （ ） FByFCyFCy 3F （）下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)第四節(jié) 平面靜定桁架內(nèi)力的計(jì)算平面靜定桁架內(nèi)力的計(jì)算 工程中的屋架、鐵架橋梁、電視塔、輸變電鐵架等，都是采用桁架結(jié)構(gòu)。 桁架是由一些桿件彼此在兩端連接而組成的一種結(jié)構(gòu)。各桿件處于同一平面內(nèi)的桁架稱為平

25、面桁平面桁架架。桁架中各構(gòu)件彼此連接的地方稱為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)桁架下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 為了簡(jiǎn)化桁架的計(jì)算，工程中采用以下假設(shè)： 1）桁架中各桿的重力不計(jì)，載荷架在節(jié)點(diǎn)上。 2）各桿件兩端用光滑鉸鏈連接。 以上假設(shè)保證了桁架中各桿件為兩力桿，內(nèi)力均沿桿件的軸線方向。 在工程實(shí)際中，一般桁架采用鉚釘或焊接，但據(jù)上述假設(shè)所得的計(jì)算結(jié)果，可基本滿足工程需要。桁架中桿件內(nèi)力的計(jì)算方法，一般由節(jié)點(diǎn)法和截面法兩種。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 1節(jié)點(diǎn)法節(jié)點(diǎn)法 由于桁架的外力和內(nèi)力匯交于節(jié)點(diǎn)，故桁架各節(jié)點(diǎn)承受平面匯交力系作用，可逐個(gè)取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，解出各桿的內(nèi)力。這種方法稱

26、為節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)法法。由于平面匯交力系只有兩個(gè)獨(dú)立平衡方程，故求解時(shí)應(yīng)從只有兩個(gè)未知力的節(jié)點(diǎn)開始。在解題中，各桿內(nèi)力一般假設(shè)受拉狀態(tài)，即其指向背離節(jié)點(diǎn)。如所求力為正即是拉力，反之則為壓力。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)yx 解解 1)取各節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，并畫出各節(jié)點(diǎn)的受力圖。321GACEDBG456 試求圖所示平面桁架中各桿件的內(nèi)力，已知=30，G=10kN。 F2yxAGF1F6F2F3BGF5CyxF4F1F3 2）逐個(gè)取結(jié)點(diǎn)，列平衡方程A結(jié)點(diǎn) Fy0 ， F1sin30-G0 F1=20kN Fx=0， -F1cos30-F20 F2=-17.3kNB結(jié)點(diǎn) Fx0 ，F(xiàn)2-G0 F6=-17.3kN

27、Fy=0， F3-G0 F3=10kNC結(jié)點(diǎn)Fy0 ， -F5cos30-F3cos300 F5=-10kN Fx=0 ，F(xiàn)1-F4+F3sin30-F5sin300 F4=30kN下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 2截面法截面法 截面法是假想用一個(gè)截面將桁架切開，任取一半為研究對(duì)象；在切開處畫出桿件的內(nèi)力，分離體上受平面任意力系作用，它可解三個(gè)未知力。解題時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)： 1）所取截面必須將桁架切成兩半，不能有一根桿件相連。 2）每取一次截面，一般情況下截開的桿件中未知力不應(yīng)超過三個(gè)。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 摩擦是一種普遍存在的現(xiàn)象。在一些問題中，由于其不成為主要因素，故設(shè)想了一種理想化的狀態(tài)，常將摩擦忽

28、略不計(jì)，但在大多數(shù)工程技術(shù)問題中，它仍是一個(gè)不容忽略的重要因素。 摩擦廣泛存在于實(shí)際生活和生產(chǎn)中。如人靠摩擦行走，車靠摩擦制動(dòng)，螺釘無(wú)摩擦將自動(dòng)松開，帶輪無(wú)摩擦將無(wú)法傳動(dòng)，這些都是摩擦有利的一面。但是，摩擦還會(huì)損壞機(jī)件，降低效率，消耗能量等，這是摩擦有害的一面。第五節(jié)第五節(jié) 考慮摩擦?xí)r的平衡問題考慮摩擦?xí)r的平衡問題下一頁(yè)上一頁(yè)返回目錄 一般可將摩擦現(xiàn)象如下分類： 1）按照物體接觸部分可能存在的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，分為滑動(dòng)磨擦與滾動(dòng)摩擦。 2）按照兩接觸體之間是否發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，分為靜摩擦與動(dòng)摩擦。 3）按接觸面之間是否有潤(rùn)滑，可分為干摩擦與濕摩擦。 本節(jié)重點(diǎn)介紹無(wú)潤(rùn)滑的靜滑動(dòng)摩擦的性質(zhì)，以及考慮摩擦?xí)r力系

29、平衡問題的分析方法。下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 兩個(gè)相互接觸的物體發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，或存在相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，彼此之間就有阻礙滑動(dòng)的力存在，此力稱為滑動(dòng)摩擦力滑動(dòng)摩擦力?；瑒?dòng)摩擦力作用于接觸處的公切面上，并與物體間滑動(dòng)方向或滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。一、滑動(dòng)摩擦一、滑動(dòng)摩擦下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 推土機(jī)在卸土工程中，車輪有沿地面向后滑動(dòng)的趨勢(shì)，但滑動(dòng)未產(chǎn)生，故地面給予履帶的靜滑動(dòng)摩擦力Ff1 ，F(xiàn)f2的方向向前；鏟土板上泥土已沿板面向斜下方滑動(dòng)，故泥土給鏟土板的摩擦力Ff為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，其方向沿板面的切向。 Ff1Ff2FN1FN2GFfFPFfFPFT1FT2下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 從限制物體運(yùn)動(dòng)的作用而言，靜摩擦

30、力也是一種被動(dòng)的、未知的約束力，它可以通過平衡條件求得。但它與一般的約束作用亦有不同之處，這一點(diǎn)可通過庫(kù)侖所做之實(shí)驗(yàn)，予以說明：1靜滑動(dòng)摩擦靜滑動(dòng)摩擦下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 1）當(dāng)用一個(gè)較小的力FT去拉重力為W的物體時(shí)，物體保持平衡。由物體平衡條件可知，摩擦力Ff與主動(dòng)力FT大小相等。 AAAWFNFTFf庫(kù)侖實(shí)驗(yàn)庫(kù)侖實(shí)驗(yàn)下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 2）當(dāng)FT逐漸增大， Ff也隨之增加。此時(shí)Ff似有約束反力的性質(zhì)。 所不同的是，當(dāng)Ff隨FT增加到某一臨界值Ffm時(shí)，就不會(huì)再增加；若FT繼續(xù)增加，物體就要開始滑動(dòng)。 因此，靜摩擦力Ff也可稱為切向有限約束反切向有限約束反力力。AAWFNFTFf庫(kù)侖實(shí)驗(yàn)庫(kù)

31、侖實(shí)驗(yàn)Ffm 庫(kù)侖通過大量比較簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，歸納出臨界摩擦力Ffm約為 Ffm=fsFN （2-9） 即臨界摩擦力的大小與物體間的正壓力成正比，式（2-9）稱為庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律或靜摩靜摩擦定律擦定律。 式（2-9）中的比例常數(shù)fs稱為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)，簡(jiǎn)稱靜摩擦因數(shù)靜摩擦因數(shù)。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 靜摩擦因數(shù)靜摩擦因數(shù)fs的大小與兩接觸物體的材料及表面情況（表面粗糙度、干濕度、溫度等）有關(guān)。常用材料的靜摩擦因數(shù)fs可從一般工程手冊(cè)中查得。 應(yīng)當(dāng)注意到，庫(kù)侖通過實(shí)驗(yàn)只是給出了摩擦力的極限值，或者說只是給了摩擦力可能發(fā)生的范圍。至于在物體平衡時(shí)具體摩擦力Ff之值，應(yīng)在0FfFfm范圍內(nèi)

32、，由物體平衡條件來確定。下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 還應(yīng)注意到，庫(kù)侖定律指出了利用和減少摩擦的途徑，即可以從影響摩擦力的兩個(gè)主因（即摩擦因數(shù)與正壓力）同時(shí)入手。例如，一般車輛以后輪為驅(qū)動(dòng)輪，故設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使重心靠近后輪，以增加后輪的正壓力。同時(shí)輪胎表面壓出各種紋路，以增大摩擦因數(shù)。下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 靜摩擦力Ff的三要素為： 1）大小大?。?0FfFfm由物體的平衡條件來決定。在臨界狀態(tài)下，有Ff=Ffm=fsFN 2）方向方向：與物體間相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，并沿接觸表面作用點(diǎn)的切向。 3）作用點(diǎn)作用點(diǎn)：接觸點(diǎn)或接觸面上摩擦力的合力作用點(diǎn)。下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)Ff 當(dāng)力FT超過Ffm時(shí)，物體開始滑動(dòng)

33、，此時(shí)物體所受的摩擦阻力已由靜摩擦力轉(zhuǎn)化為動(dòng)摩擦力Ff。 大量實(shí)驗(yàn)證明，動(dòng)摩擦力Ff的大小與接觸面之間的正壓力的大小成正比，即 Ff=f FN （2-10）式中，f 稱為動(dòng)摩擦因數(shù)動(dòng)摩擦因數(shù)。它是與接觸材料和表面情況有關(guān)的常數(shù)，通常，f 值小于fs值。2動(dòng)滑動(dòng)摩擦動(dòng)滑動(dòng)摩擦AWFNFTFf下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 動(dòng)摩擦力Ff與靜摩擦力Ff相比，有兩個(gè)顯著的不同點(diǎn)：一是動(dòng)摩擦力一般小于臨界靜摩擦力。這就說明維持一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)要比使它由靜止進(jìn)入運(yùn)動(dòng)要容易。其次靜摩擦力之值要由與主動(dòng)力有關(guān)的平衡條件來決定；而動(dòng)摩擦力則不論主動(dòng)力存在與否，只要相對(duì)運(yùn)動(dòng)存在，它就是一個(gè)常值。下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 當(dāng)考慮摩

34、擦?xí)r，物體所受到的接觸面的約束反力包括法向反力FN（正壓力）和切向反力Ff（摩擦力）。將此兩力合成為FR，合力FR。代表了約束面對(duì)物體的全部作用，故稱之為全全反力反力。 全反力FR與接觸面公法線的夾角為，如圖所示。3摩擦角與自鎖現(xiàn)象摩擦角與自鎖現(xiàn)象AWFNFTFfFR返回下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 夾角隨靜摩擦力的變化而變化，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值Ffm時(shí)，夾角也達(dá)到最大值，稱為臨界摩臨界摩擦角擦角，簡(jiǎn)稱摩擦角摩擦角，如圖所示，由圖可知3摩擦角與自鎖現(xiàn)象摩擦角與自鎖現(xiàn)象AWFNFTFfFR AWFNFTFfmFRsNNsNfmtanfFFfFF（2-11）返回下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)返回首

35、頁(yè) 摩擦角也是表示材料和表面摩擦性質(zhì)的物理量。摩擦角表示全反力能夠偏離法向的范圍。如物體與支承面的摩擦因數(shù)在各個(gè)方向都相同，則這個(gè)范圍在空間就形成一個(gè)錐體，稱為摩擦錐摩擦錐。摩擦錐A下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 若主動(dòng)力FP作用在摩擦錐范圍內(nèi)，則約束面必產(chǎn)生一個(gè)與之等值、反向且共線的全反力FR與之平衡。不論怎樣增加FP的大小，物體總能保持平衡而不移動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為自鎖自鎖。摩擦錐AFPFR自鎖的條件應(yīng)為 =arctanfs（2-13） 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 解解 受力分析 在傾角為的斜面上放一物體，物體只受一個(gè)重力W的作用，物體與斜面間的靜摩擦因數(shù)為fs。求物體保持平衡時(shí)，斜面的最大傾角m。WFRm

36、物體受到主動(dòng)力W及全反力FR的作用，據(jù)二力平衡公理，此二力必須等值、反向、共線，故全反力FR的方向應(yīng)沿鉛垂線向上，它與斜面法線間的夾角等于 m 。 根據(jù)靜摩擦自鎖條件，能保持物體平衡的斜面最大傾角為 m=arctan fs下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 摩擦角與自鎖原理在工程實(shí)際中常常得到廣泛的運(yùn)用。例2-12的結(jié)果就可用來測(cè)定兩種材料間的摩擦因數(shù)。用兩種材料做成斜面與滑塊，將滑塊放在斜面上，逐漸增大斜面的傾角，直至滑塊在自重作用下開始下滑。此時(shí)斜面的 m角即為摩擦角，其正切值就是靜摩擦因數(shù)。tanm= fs下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 在堆放松散物質(zhì)如砂、土、煤或糧食時(shí)，能夠堆起的最大坡角m稱為休止角休止角，

37、休止角與上述斜面的最大傾角一樣，就是松散物質(zhì)間的靜摩擦角。 鐵路路基的邊坡坡角小于土壤的休止角。m下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 自鎖原理?？捎脕碓O(shè)計(jì)某些機(jī)構(gòu)和夾具，例如，腳套鉤在電線桿上不會(huì)自行下滑就是自鎖現(xiàn)象；而在另外一些情況下，則要設(shè)法避免自鎖現(xiàn)象的發(fā)生，例如，變速箱中滑移齒輪的撥動(dòng)就絕對(duì)不允許自鎖，否則變速箱就無(wú)法工作。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 1解析法解析法涉力較多的情況下，通常采用解析法來求解。解有摩擦?xí)r的平衡問題的解析法與解一般靜力學(xué)問題不同之處在于： 1）在受力圖上要考慮摩擦力的存在。 2）摩擦力是一項(xiàng)未知量。解題時(shí)，除列出平衡方程外，還需增加補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程數(shù)與摩擦力數(shù)相同。不過，由于

38、摩擦力來自臨界值，故問題的解答也一定是平衡范圍的一個(gè)臨界值。二、考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題二、考慮滑動(dòng)摩擦?xí)r的平衡問題下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)OM 有三種制動(dòng)裝置，如圖所示。已知故輪上的轉(zhuǎn)矩為M，幾何尺寸a、b、c、r及鼓輪與制動(dòng)片間的靜摩擦因數(shù)fs。試求所需之最小力F1、F2和F3。 解解 1）先以制動(dòng)裝置為研究對(duì)象，分別畫出a圖的制動(dòng)桿與鼓輪的受力圖。 FN例2-14a）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）aF1bcFfAAAAFAyFAxFNFfFOyFOx下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)OM已知：M，幾何尺寸a、b、c、r、fs。試求F1、F2和F3。 解解 1）受力圖。 FNaF1b

39、cFfa）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAAAFAyFAxFNFfFOyFOx 2)因所求力為F1之最小值，故摩擦處于臨界狀態(tài)，補(bǔ)充方程應(yīng)為Fffs FN，列平衡方程求解。鼓輪 MO0，MFf r0 Ff M/rFffsFN，F(xiàn)NFffsM/r fs制動(dòng)桿MA0，F(xiàn)Na-Ffc-F1b0 F1 (FNa-Ffc)/b(a-fsc)/rbfs下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)OM已知：M，幾何尺寸a、b、c、r、fs。試求F1、F2和F3。 如有具體數(shù)值，代入后所得之主動(dòng)力F值為零、為負(fù)，說明不用力。甚至略微反向提一下裝置都不會(huì)松開，這就試解析法重的自鎖條件。 FNaF1bcFfa）

40、aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAAAFAyFAxFNFfFOyFOxF1 (a-fsc)/rbfs下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)F1求出后可推論出F2，F(xiàn)3。對(duì)圖b ，c=0。從F1表達(dá)式可推出a）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAA已知：M，幾何尺寸a、b、c、r、fs。試求F1、F2和F3。 F1 (a-fsc)/rbfsarbfMFS2 對(duì)圖c，尺寸c與圖a中的位置相反，用c取代F1表達(dá)式中c，可推出 )(cfarbfMFsS3下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)a）aF1OMrbcaF2OMrbaF3OMrbcb）c）AAA已知：M，幾何尺寸a、b、c、r、fs

41、。試求F1、F2和F3。 F1 (a-fsc)/rbfsarbfMFS2 比較可得F1F2F3 可見，圖a的制動(dòng)裝置所需的力F1最小，且當(dāng)afsc時(shí)有自鎖作用，故圖a所示結(jié)構(gòu)力學(xué)上較為合理。)(cfarbfMFsS3下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)WFA 重為W的物塊，放在傾角為的斜面上，它與斜面間的摩擦因數(shù)為fs，如圖所示，且當(dāng)tan時(shí)，求使物塊靜止時(shí) ，求水平力F的大小。 解解（1）求力F的最大值當(dāng)力F達(dá)到該值時(shí)，物體處于將要上滑的臨界狀態(tài)，此時(shí)，摩擦力F沿斜面向下，并達(dá)到最大值。 Fx= 0 ， Fmaxcos Wsin Ffm = 0 （1）Fy = 0 ， FN Fmaxsin Wcos = 0

42、 （2）補(bǔ)充方程 Ffm=fsFN （3）FmaxFNWAxyFfmWffFSSsincoscossinmax若考慮到摩擦角=arctanfs ，則可以化簡(jiǎn)為 Fmax=Wtan(+ )下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)WFA （2）求力F的最小值 當(dāng)力F達(dá)到該值時(shí)，物體處于將要下滑的臨界狀態(tài)，此時(shí)，摩擦力F沿斜面向上，并達(dá)到最大值。 Fx= 0， Fmincos Wsin +Ffm = 0 （4）Fy = 0， FNFminsin Wcos = 0 （5）補(bǔ)充方程 Ffm=fsFN （6）FminFNWAxyFfmFmax=Wtan(+ )WffFSssincoscossinmin同樣可表示為 Fmin=

43、Wtan(- )FWtan(+ )Wtan(- )下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 2幾何法幾何法 將接觸面的切向和法向約束力合成表示為全反力FR后，若物體平衡問題所涉及的力不超過三個(gè)，用幾何法求解比較簡(jiǎn)便。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè)WFA用幾何法解例2-15。 解解 分別畫出Fmax與Fmin作用下兩種臨界狀態(tài)的受力圖（圖b、c）。 可作出兩個(gè)封閉的力三角形，則由圖b可得 FmaxFRWAFmax=Wtan(+ )a）b）c）由圖c可得 Fmin=Wtan(- )維持重塊平衡的值應(yīng)為 FWtan(+ )Wtan(- )WFmaxFR+FminWAFRWFR-Fmin下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 上例還可得出物塊不下滑的自鎖條件是Wtan(-)0，即 。由于螺旋可以看作斜面在圓柱上繞卷而成，所以本例對(duì)機(jī)械中斜楔、螺旋等自鎖條件的分析十分有用。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 當(dāng)搬運(yùn)重物時(shí)，若在重物底下墊輥軸，比直接放在地面上推動(dòng)省力得多。這說明用輥軸的滾動(dòng)來代替箱底的滑動(dòng)，所受的阻力要小得多。三、滾動(dòng)摩擦簡(jiǎn)介三、滾動(dòng)摩擦簡(jiǎn)介 車輛用車輪，機(jī)器中用滾動(dòng)軸承，就是利用了這個(gè)道理。 下一頁(yè)上一頁(yè)返回首頁(yè) 將一重力為W的車輪放在地面上，在車輪上加一微小的水平拉力F，此時(shí)車輪與地面接觸處就會(huì)產(chǎn)生一摩擦阻力Ff，已阻止車輪滑動(dòng)。主動(dòng)力F與滑動(dòng)摩擦力