矩陣教案第一講

1、返回 矩 陣 理 論返回導(dǎo)導(dǎo) 引引1、矩陣方法在電路網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用、矩陣方法在電路網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用E(t)abcd1R2R5R4R3RR6返回)(0)()()(621atititi結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn) KCL(基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律: :在集總電路中，任何時(shí)刻，在集總電路中，任何時(shí)刻，對任意結(jié)點(diǎn)對任意結(jié)點(diǎn),所有流出結(jié)點(diǎn)的支路電流的代數(shù)和恒等所有流出結(jié)點(diǎn)的支路電流的代數(shù)和恒等于零于零 ) )的矩陣表示的矩陣表示)(0)()()(541btititi結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn) )(0)()()(532ctititi結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn) )(0)()()(643dtititi結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn) 返回0)()()()()()(10110001011

2、0011001100011654321 titititititi返回12221111111111(,),jnjnnnnnjnnxxxxxxV xxxxxxxC ，其其中中（）2. 在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用（在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用（Vandermonder矩陣）矩陣）出現(xiàn)在多項(xiàng)式插值中出現(xiàn)在多項(xiàng)式插值中, 諧波恢復(fù)中諧波恢復(fù)中返回22121242(1)12(1)(1)2(1,)1111111.其其中中 nnnnnninFVe F稱為稱為Fourier矩陣，出現(xiàn)在離散矩陣，出現(xiàn)在離散Fourier分析分析及快速及快速Fourier變換中變換中.返回3. 盲信號(hào)分離中的應(yīng)用盲信號(hào)分離中的應(yīng)用在離散時(shí)間t時(shí)刻，

3、n個(gè)未知源信號(hào)S(t)=s1(t), sn(t)T被m個(gè)傳感器觀測到的信號(hào)X(t)=x1(t), xm(t)T，加性噪聲V(t)=v1(t), vm(t)T，則觀測信號(hào)和源信號(hào)之際的關(guān)系如下： X(t)=AS(t)+V(t)，其中A=(aij)為mn的未知列滿秩混合矩陣， AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置。為了討論方便，這里假設(shè)無噪音，因此模型如下： X(t)=AS(t) (簡記X=AS)。返回假設(shè)傳感器的個(gè)數(shù)m大于等于信號(hào)源的個(gè)數(shù)n，各信號(hào)源si(t) (i=1, , n)之間相互獨(dú)立，在此情況下，BSS的目標(biāo)就是根據(jù)累積量矩陣找到一個(gè)mn的分離矩陣W，使得 Y=WX=WAS是S的一個(gè)近似。 從上述表達(dá)

4、式可以看出，分離矩陣W可以看作是混合矩陣A的某種“廣義逆矩陣”。返回根據(jù)假設(shè)源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，觀測信號(hào)的二階和高階累積量矩陣組具有可聯(lián)合對角化結(jié)構(gòu)，可歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題如下：首先，根據(jù)觀測信號(hào)得到一組實(shí)對稱的矩陣組G1, , Gk，其中Gi具有如下結(jié)構(gòu) Gi=AiAT，i=1, , k，其中i是nn的未知的對角矩陣；其次，對給定矩陣組G1, , Gk利用聯(lián)合對角化算法，估計(jì)混合矩陣A或者分離矩陣W；最后，計(jì)算得到源信號(hào)的估計(jì) Y=WX。此類算法屬于非正交算法。返回 利用正交矩陣具有的性質(zhì)，可把觀測信號(hào)作白化預(yù)處理，然后再利用白化后的信號(hào)計(jì)算累積量矩陣，此時(shí)獲得的累積量矩陣組具有可正交聯(lián)合對角化結(jié)構(gòu)

5、。歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題如下：首先，對觀測信號(hào)X作白化處理得到白化后的信號(hào)Z=BX，其中B為白化矩陣；其次，根據(jù)白化后觀測信號(hào)Z計(jì)算得到一組實(shí)對稱的累積量矩陣組G1, , Gk，其中Gi具有如下結(jié)構(gòu) Gi=UiUT，i=1, , k, 其中i是nn的未知的對角矩陣，UUT=UTU=I，I表示單位矩陣。返回 最后，對給定累積量矩陣組G1，Gk利用正交聯(lián)合對角化算法，估計(jì)混合矩陣U，并計(jì)算得到源信號(hào)的估計(jì) Y=UTZ= UTBX。返回 nnnnnngggggggggG2122221112114、信號(hào)濾波的矩陣分析：、信號(hào)濾波的矩陣分析： NsX s 返回5. Google矩陣。遷移概率矩陣，仍記為鏈接數(shù)。

6、這個(gè)矩陣稱為矢量除以各自（全概率），把各個(gè)列總和為轉(zhuǎn)置。為了將各列失量矩陣是把矩陣，的方陣，稱為為數(shù)，那么來表示頁面。如果；否則有鏈接，則向頁面若從頁面。用來表達(dá)網(wǎng)頁鏈接關(guān)系為網(wǎng)頁關(guān)聯(lián)矩陣，矩陣定義：AAPageRankGoogleNNANaajiaAijijij101 : )(Google 返回返回 在互聯(lián) 網(wǎng)上，如果一個(gè)網(wǎng)頁被很多其它網(wǎng)頁所鏈接，說明它受到普遍的承認(rèn)和信賴，那么它的排名就高。這就是 PageRank 的核心思想。 當(dāng)然 Google 的 PageRank 算法實(shí)際上要復(fù)雜得多。比如說，對來自不同網(wǎng)頁的鏈接對待不同，本身網(wǎng)頁排名高的鏈接更可靠，于是給這些鏈接予較大的權(quán)重。Pa

7、geRank 考慮了這個(gè)因素，可是現(xiàn)在問題又來了，計(jì)算搜索結(jié)果的網(wǎng)頁排名過程中需要用到網(wǎng)頁本身的排名，這不成了先有雞還是先有蛋的問題了嗎？ 返回Google 的兩個(gè)創(chuàng)始人拉里佩奇 （Larry Page ）和謝爾蓋.布林 (Sergey Brin) 把這個(gè)問題變成了一個(gè)二維矩陣相乘的問題，并且用迭代的方法解決了這個(gè)問題。他們先假定所有網(wǎng)頁的排名是相同的，并且根據(jù)這個(gè)初始值，算出各個(gè)網(wǎng)頁的第一次迭代排名，然后再根據(jù)第一次迭代排名算出第二次的排名。 他們兩人從理論上證明了不論初始值如何選取，這種算法都保證了網(wǎng)頁排名的估計(jì)值能收斂到他們的真實(shí)值。值得一提的是，這種算法是完全沒有任何人工干預(yù)的。 返回

8、 理論問題解決了，又遇到實(shí)際問題。因?yàn)榛ヂ?lián)網(wǎng)上網(wǎng)頁的數(shù)量是巨大的，上面提到的二維矩陣從理論上講有網(wǎng)頁數(shù)目平方之多個(gè)元素。如果我們假定有十億個(gè)網(wǎng)頁，那么這個(gè)矩陣 就有一百億億個(gè)元素。這樣大的矩陣相乘，計(jì)算量是非常大的。拉里和謝爾蓋兩人利用稀疏矩陣計(jì)算的技巧，大大的簡化了計(jì)算量，并實(shí)現(xiàn)了這個(gè)網(wǎng)頁排名算法。今天 Google 的工程師把這個(gè)算法移植到并行的計(jì)算機(jī)中，進(jìn)一步縮短了計(jì)算時(shí)間，使網(wǎng)頁更新的周期比以前短了許多。 返回6 機(jī)械力學(xué)全長370米，寬4米，主跨144米，2000年6月10日開通。返回中新浙江網(wǎng)11月7日電 倫敦千禧橋在2000年剛開放兩天之后就關(guān)閉了，原因是在2000年6月這座橋的

9、開放的那一天，當(dāng)擁擠的人群走過的時(shí)候，這個(gè)鋼筋結(jié)構(gòu)的，320米長的大橋開始從一邊向另一邊搖晃。據(jù)路透社倫敦報(bào)道科學(xué)家最新發(fā)現(xiàn)，千禧橋的搖晃不穩(wěn)，是一種自然現(xiàn)象，而不是設(shè)計(jì)上的失誤，引起這個(gè)搖晃的原因是一種叫做集體同步的現(xiàn)象?！斑@種現(xiàn)象是指隨意地，按照他們自己最喜歡的速度行走的人們，在沒有任何組織的情況下，不自覺地使用同一種頻率行走?！奔~約康奈爾大學(xué)(Cornell University)的斯蒂文斯道格茲說?！熬褪沁@種現(xiàn)象。人們?yōu)槭裁磿?huì)開始同步移動(dòng)？他們完全是下意識(shí)的。這種情況是誰也沒有想到，而設(shè)計(jì)橋的工程師也不曾預(yù)料到的?！睉?yīng)用數(shù)學(xué)家和有關(guān)專家說，現(xiàn)在，集體同步現(xiàn)象應(yīng)該是橋梁工程師在設(shè)計(jì)的時(shí)候

10、就應(yīng)該考慮到的問題。返回斯道格茲和他在康奈爾大學(xué)以及美國、英國和德國其他大學(xué)的同事基于發(fā)生在千禧大橋身上的事，設(shè)計(jì)出了一種理論，用來計(jì)算一座步行橋需要多少阻尼和穩(wěn)定減搖作用。他們的這一發(fā)現(xiàn)將在科學(xué)期刊自然上發(fā)表。在一次采訪中，他說：“我們認(rèn)為我們的這個(gè)理論會(huì)為幫助橋梁設(shè)計(jì)師避免這樣的問題提供一些指導(dǎo)?！?一定會(huì)有其他的可能發(fā)生集體同步現(xiàn)象的巧合情況。在倫敦千禧橋搖晃的事件中，是大批的人群穿過一步行橋，而這座橋的震動(dòng)頻率在每秒一周，恰好和人的步行頻率相等?！叭撕蜆虍a(chǎn)生了共振”，斯道格茲說。 當(dāng)橋開始搖晃的時(shí)候，人們?yōu)榱朔€(wěn)住自己而在搖晃中加緊步伐。他們?yōu)榱烁菀仔凶叨哟罅俗约旱牟椒@樣做使他

11、們在無意中加劇了大橋的搖晃。返回“很多人在責(zé)備這座漂亮的，樣式新穎的千禧大橋，認(rèn)為是它的設(shè)計(jì)過于先鋒導(dǎo)致的不穩(wěn)固。而實(shí)際上并不是這樣的?！痹谧匀唤?，有很多集體同步現(xiàn)象發(fā)生。比如蟋蟀會(huì)同時(shí)鳴叫。在某些地方，很多螢火蟲會(huì)完全同步地一明一暗，像圣誕樹上的彩燈一樣。而住在一起的女人也會(huì)有月經(jīng)趨于同步的現(xiàn)象?！斑@總是令人震驚甚至是詭異的，因?yàn)榫拖袷菑幕靵y中理出了頭緒，”斯道格茲說。在花費(fèi)了5百萬英鎊和關(guān)閉20個(gè)月對它進(jìn)行整修和加固以后，倫敦千禧橋在2002年2月成功地重新開放通行了。返回一個(gè)質(zhì)點(diǎn)-彈簧系統(tǒng)返回 二次特征值問題在很多領(lǐng)域有其應(yīng)用，例如：機(jī)械力學(xué)的動(dòng)力分析中，流體力學(xué)的線性穩(wěn)定性等領(lǐng)域。返回

12、一、線一、線 性性 空空 間間中定義加法：中定義加法：在在是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域是一非空集合，是一非空集合，設(shè)設(shè)VPV.1、什么是線性空間？、什么是線性空間？如果如果之間定義數(shù)量乘法：之間定義數(shù)量乘法：與與在在.; kPVv 加法與數(shù)量乘法滿足：加法與數(shù)量乘法滿足：)()1加法交換律加法交換律 )()()()2加法結(jié)合律加法結(jié)合律 )(0,0)3加法零元加法零元有有 VV4),0()VV使得加法負(fù)元素返回 1)5 )()()6kllk lklk )()78)()kkk.VP則 稱為數(shù)域 上的線性空間.2向量空間向量空間判斷下列集合是否構(gòu)成判斷下列集合是否構(gòu)成1)空間中不平行于一已知 向量 的全體

13、向量所構(gòu)成成的的集集合合. .2)(1)Pn n數(shù)域 上次數(shù)等于定數(shù) 的多項(xiàng)式全體所構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合. .其中的元素也稱為向量.返回陣的全體所成的集合，陣的全體所成的集合，階對稱矩陣與反對稱矩階對稱矩陣與反對稱矩n)34)?R全體實(shí)數(shù)的集 是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線 性空間?是否構(gòu)成復(fù)數(shù)域上的線 性空間件中，“加法滿足件中，“加法滿足線性空間定義的八個(gè)條線性空間定義的八個(gè)條證明證明:3.交換律”不是獨(dú)立的交換律”不是獨(dú)立的證：證：V ,)(2 22 )11()11( 1111 )()(2 )(11( )(1)(1 返回 1111 )( )( )( 返回121221dim.nnVnVnVVVn 定

14、義 在線性空間 中，如果有 個(gè)向量 , ,線性無關(guān), 而 中任意個(gè)向量線性相關(guān), 則稱 , ,為的一組基底, 線性空間的一組基底中向量個(gè)數(shù)稱為線性空間的維數(shù)，記為. 4與一組基與一組基求下列線性空間的維數(shù)求下列線性空間的維數(shù)1)n nPnP數(shù)域 上全體 階方陣構(gòu)成的空間 ，2).n nPP中全體對稱矩陣構(gòu)成數(shù) 域 上的空間解：解：njiEPijnn, 2 , 1,)1 基為基為2)dim(nPnn 返回njiEEEFiijiijij 1)2令令.2)1( nn維數(shù)為維數(shù)為返回可交換的矩陣組可交換的矩陣組，證明：全體與，證明：全體與設(shè)設(shè)APAnn 5( ).C A成的一個(gè)子空間，記為 證證EAA

15、E ).(ACE )(,21ACAA 2211,AAAAAAAA AAA)()121 AAAA21 21AAAA )(21AAA :,.PVWVWV定定義義3 3 如如果果數(shù)數(shù)域域 上上的的線線性性空空間間 的的一一非非空空子子集集對對于于 的的兩兩種種運(yùn)運(yùn)算算也也構(gòu)構(gòu)成成線線性性空空間間 則則稱稱是是 的的線線性性子子空空間間返回AkA )()21)(1AAk )(1AAk )(1kAA .)(的子空間的子空間是是nnPAC 則則的兩個(gè)非平凡子空間，的兩個(gè)非平凡子空間，是線性空間是線性空間、設(shè)設(shè)VVV21. 6.21同時(shí)成立同時(shí)成立、，使，使中存在向量中存在向量VVV 是非平凡子空間是非平凡子空間1V證：證：1V 存在向