信息學科立體化教材

1、2022-4-27信息學科立體化教材1第4章 離散傅里葉變換 4.1 傅里葉變換的幾種形式4.2 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì)4.3 離散傅里葉變換及性質(zhì)4.4 頻率抽樣理論2022-4-27信息學科立體化教材24.1 傅里葉變換的幾種形式 傅里葉變換就是建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻率函數(shù)(頻譜)”之間的某種變換關(guān)系。所以，當自變量“時間”或“頻率”取連續(xù)值還是離散值，就形成各種不同形式的傅里葉變換對。在深入討論離散傅里葉變換DFT之前，先概述四種不同形式的傅里葉變換對。 時間時間 頻率頻率連續(xù)連續(xù) FT 連續(xù)連續(xù) DTFT FS離散離散 DFS(DFT) 離散離散20

2、22-4-27信息學科立體化教材34.1 傅里葉變換的幾種形式1.連續(xù)時間、連續(xù)頻率連續(xù)時間、連續(xù)頻率傅里葉變換傅里葉變換(FT) 一個非周期實連續(xù)時間信號xa(t)的傅里葉變換，即頻譜Xa(j)是一個連續(xù)的非周期函數(shù)。在“信號與系統(tǒng)”課程的內(nèi)容中，已知這一變換對為 可以看出，時域連續(xù)函數(shù)造成非周期的頻譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。 dejXtxdtetxjXtjaatjaa)(21)()()(2022-4-27信息學科立體化教材44.1 傅里葉變換的幾種形式2.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉級數(shù)(FS) 一個周期性連續(xù)時間信號xp(t)，其周期為Tp，該信號可展成傅里葉級數(shù)，其傅里

3、葉級數(shù)的系數(shù)為X p(jk)，即x p(t)的傅里葉變換或頻譜Xp (jk)是由各次諧波分量組成的，并且是非周期離散頻率函數(shù)。這一變換對為 式中，=2F=2/Tp，為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔，k為譜諧波序號?？梢姡瑫r域連續(xù)函數(shù)造成頻域非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)相對應(yīng)。ktjkpTTtikpPpejkXtxdtetxTjkX)()()(1)(22002022-4-27信息學科立體化教材54.1 傅里葉變換的幾種形式3.離散時間、連續(xù)頻率離散時間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT) 在第3章里討論了一個非周期連續(xù)時間信號xa (t)經(jīng)過等間

4、隔抽樣的信號（x(nT)），即離散時間信號序列x(n)，其傅里葉變換是以2為周期的連續(xù)函數(shù)。它們的變換關(guān)系為 這里的是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率的關(guān)系為=T。若振幅特性的頻率軸用表示，則周期為s=2/T。同樣可以看出，時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)，這在第3章中討論過。deeXnxenxeXnjjnnjj)(21)()()(2022-4-27信息學科立體化教材64.1 傅里葉變換的幾種形式4.離散時間、離散頻率離散時間、離散頻率 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(級數(shù)）級數(shù)）(DFT orDFS) 從以上討論可發(fā)現(xiàn)：如果信號頻域是離散的，表現(xiàn)為周期性的時間函數(shù)。相反，

5、在時域上是離散的， 則該信號在頻域必然表現(xiàn)為周期性的頻率函數(shù)。這三種傅里葉變換至少在一個域（時域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的，因而都不適合在計算機上運算。同時，不難設(shè)想，一個離散周期序列，它一定具有既是周期又是離散的頻譜，這正是我們所期望的時域及頻域都是離散的情況，適合于進行數(shù)字計算，便于計算機處理，也就是即將要研究的離散傅里葉變換。對它的全面討論將在后面內(nèi)容進行。2022-4-27信息學科立體化教材74.1 傅里葉變換的幾種形式 從以上簡單討論，可以總結(jié)得出一般的規(guī)律：一個域的離散對應(yīng)另一個域的周期延拓， 一個域的連續(xù)必定對應(yīng)另一個域的非周期。表4-1對這四種傅里葉變換形式的特點作了簡要歸納。表4

6、-1 四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散2022-4-27信息學科立體化教材8圖 4-1 各種形式的傅里葉變換 xa(t)txp(t)ootTpx(nT)oN點xp(n)oN點nTn(a)(b)(c)(d)|Xa( j)|10o0|Xp( jk)|ok|X( ej)|1/T|X( ejk)|sooN點sT4.1 傅里葉變換的幾種形式2022-4-27信息學科立體化教材94.2 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì) 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS) 4.2.2 離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)20

7、22-4-27信息學科立體化教材104.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS) 設(shè) 是一個周期為N的周期序列，即 ， r為任意整數(shù)。正如連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示一樣， 周期序列也可以用離散傅里葉級數(shù)來表示，該級數(shù)相當于成諧波關(guān)系的復指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說，復指數(shù)序列的頻率是周期序列的基頻（2/N）的整數(shù)倍。這些復指數(shù)序ek(n)的形式為 )()(rNnxnx)(nx)()(2neenerNkknNjkktjkpTTtikpPpejkXtxdtetxTjkX)()()(1)(2200連續(xù)連續(xù)FS2022-4-27信息學科立體化教材114.2.1 周期序列的離散傅里葉

8、級數(shù)(DFS) 因而可展成如下的離散傅里葉級數(shù)，即 （48） 式中，求和號前所乘的系數(shù)1/N是習慣上已經(jīng)采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。 下面我們來求解系數(shù) ，這要利用復正弦序列的正交特性，即 將式（48）兩端同乘以 ，然后從n=0 到N1 的一個周期內(nèi)求和，則得到 102)(1)(NkknNjekXNnx)(kX01111122102rNjrNNjNnrnNjeeNeNr=mN, m為整數(shù) 其他r rnNje22022-4-27信息學科立體化教材124.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)把r換成k可得 這就是求k=0 到N1的N個諧波系數(shù)的公式。同時看出也是一個

9、以N為周期的周期序列，即 )(1)()(1)(10)(210)(21010102rXeNkXekXNenxNnnrkNjNknrkNjNkNnNnrnNj102)()(NnknNjenxkX)()()()(21010)(2kXenxenxmNkXknNjNnNnnmNkNj2022-4-27信息學科立體化教材134.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)定義WN為 周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）變換對為式中，n和k都是離散變量。如果將n當作時間變量，k當作頻率變量，則DFS表示時域到頻域的離散傅里葉級數(shù)正變換， IDFS表示由頻域道時域的離散傅里葉級數(shù)反變換。從上面

10、看出，只要知道周期序列一個周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。 所以，這種無限長周期序列實際上只有一個周期中的N個序列值有信息。 NjNeW2nkNNknkNjNknkNNnnkNjNnWkXNekXNkXIDFSnxWnxenxnxDFSkX)(1)(1)()()()()()(1021010210(4-12)(4-13)2022-4-27信息學科立體化教材14例例4-1 設(shè) 為周期脈沖串)(nx)()(rNnnxr（4-14） 因為對于0nN-1，, 所以利用式（4-6）求出 的DFS系數(shù)為 )()(nnx)(nx1)()()(1010nkNNnnkNNnWnWnxkX（4-15） 在這種情況

11、下，對于所有的k值 均相同。于是，將式（4-15）代入式（4-13）可以得出表示式 )(kX1021011)()(NknkNjnkNNkreNWNrNnnx（4-16） 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-27信息學科立體化教材15 例例4-2 已知周期序列 如圖4-2所示，其周期N=10, 試求解它的傅里葉級數(shù)系數(shù) 。 )(kX)(kX圖4-2 例4-2的周期序列 （周期N=10） )(nx 100 1 2 3 4 5 6 7 8 910n)(nx4.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-27信息學科立

12、體化教材16由式（4-12） 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（4-17） 這一有限求和有閉合形式 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（4-18） 圖 4-3 圖4-2所示序列的傅里葉級數(shù)系數(shù) 的幅值 )(kX 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101520k| )(|kx54.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-27信息學科立體化教材17 式（4-12）中的周期序列 可看成是對 的第一個周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2/N采樣而得到的。令 )(kX)(nx0)()(

13、)()(nxnRnxnxN0nN-1 其他n 通常稱x(n)為 的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為 )(nx10)()()(NnnnnznxznxzX（4-19） 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-27信息學科立體化教材18把式（4-19）與式（4-12）比較可知 kKGNjkNeWzzXkX4*2)()(（4-20） 可以看出，當0kN-1 時， 是對X(z)在Z平面單位圓上的N點等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化， 的值呈周期變化。 圖4-4畫出了這些特點。 )(kX)(kX4.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(D

14、FS)2022-4-27信息學科立體化教材19jImz 234567(=N-1)k =02 / NRez o|z |=114.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)圖44 )(kX圖44 是對X(z)在Z平面單位圓上的N點等間隔角點抽樣示意圖)(kX2022-4-27信息學科立體化教材20 由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所以周期序列 也可以解釋為的一個周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。 因為 )(kX)(nx1010)()()(NnnjNnnjjenxenxeX（4-21） 比較式（4-21）和式（4-12），可以看出 NkjeXkX/2)()(這相

15、當于以2/N的頻率間隔對傅里葉變換進行采樣。 （4-22） 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-27信息學科立體化教材21 例例4-3 為了舉例說明傅里葉級數(shù)系數(shù) 和周期信號 的一個周期的傅里葉變換之間的關(guān)系，我們再次研究圖4-2所示的序列 。 在序列 的一個周期中： )(kX)(nx)(nx)(nx01)(nx0n4 其他 （4-23） 則 的一個周期的傅里葉變換是 )(nx)2/5sin()2/5sin(11)(2405jnjjnjjeeeeeX)10/sin()10/5sin()()(10410/2kkeeXkXkjkj（4-24） 可以證

16、明，若將=2k/10 代入式（4-18）， 即 4.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-27信息學科立體化教材22圖 4-5 對圖4-2所示序列的一個周期作傅里葉變換的幅值 |X(ej)|5o2344.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-27信息學科立體化教材23圖 4-6 圖4-3和圖4-5的重疊圖(它表明一個周期序列的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉變換的采樣) |X(ej)| , | X(k)|o2341020k504.2.1 周期序列的離散傅里葉級數(shù)周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)2022-4-2

17、7信息學科立體化教材24 由于可以用采樣變換來解釋DFS，因此它的許多性質(zhì)與變換性質(zhì)非常相似。但是，由于 和 兩者都具有周期性， 這就使它與Z變換性質(zhì)還有一些重要差別。此外，DFS在時域和頻域之間具有嚴格的對偶關(guān)系，這是序列的Z變換表示所不具有的。 設(shè) 和皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS分別為： )(nx)(kX)(1nx)(2nx)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材251. 線性線性 )()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS（4-25） 式中，a和b為任意常

18、數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。這一性質(zhì)可由DFS定義直接證明，留給讀者自己去做。 4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材262. 序列的移位序列的移位 )()()()()(2lkXnxWDFSkXekXWmnxDFSnlNmkNjmkN（4-26） （4-27a） 或)()()(2nxenxWlkXIDFSnlNjnlN證 （4-27b） mkNkiNmNminkNNnWWixWmnxmnxDFS110)()()(i=n+m 4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教

19、材27由于 都是以N為周期的周期函數(shù)， 故 kiNWix及)()()()(10kXWWixWmnxDFSmkNkiNNimkN 由于 與 的對稱特點，可以用相似的方法證明式（4-27a）： )(nx)(kX)()()()()(1010lkXWnxWnxWnxWDFSnklNNnknNNinlNnlN4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材283. 周期卷積周期卷積 如果 )()()(21kXkXkY則 ）（mnxmxkYIDFSnyNm2101)()()(或 ）（mnxmxnyNm1102)()(證證 knNNkWkXkXNkXkXID

20、FSny）（210121)(1)()()(代入 mkNNmWmxnX1011)()(4-28)4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材29得 )()(1)()(1)(2101)(210101)(210101mnxmxWkXNmxWkXmxNnyNmkmnNNkNmkmnNNkNm）（）（將變量進行簡單換元，即可得等價的表示式 ）（mnxmxnyNm1102)()(4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材30 式（4-28）是一個卷積公式， 但是它與非周期序列的線性卷積不同。 首先

21、， 和（或 和 都是變量m的周期序列，周期為N，故乘積也是周期為N的周期序列; 其次，求和只在一個周期上進行，即m=0到N-1，所以稱為周期卷積。 )(1mx)(2mnx)(2mx)(1mnx4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材31 周期卷積的過程可以用圖4-7來說明，這是一個N=7的周期卷積。每一個周期里 有一個寬度為4的矩形脈沖， 有一個寬度為3的矩形脈沖，圖中畫出了對應(yīng)于n=0, 1, 2 時的 。 周期卷積過程中一個周期的某一序列值移出計算區(qū)間時，相鄰的同一位置的序列值就移入計算區(qū)間。運算在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)進行， 即在一

22、個周期內(nèi)將與 逐點相乘后求和，先計算出n=0, 1, , N-1的結(jié)果，然后將所得結(jié)果周期延拓，就得到所求的整個周期序列 。 )(1nx)(2nx)(2mnx)(2mnx)(1mx)(ny4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材32圖 4-7 兩個周期序列（N=7）的周期卷積 n0n(a)(c)(1mxm)(1nx NN)(2nx10 NN0N 1(d)4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材33圖 4-7 兩個周期序列（N=7）的周期卷積 (d)(e)mn 1N10)1 (2m

23、x)0(2mxN10mn 04.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材34圖 4-7 兩個周期序列（N=7）的周期卷積 ( f )( g ) N0Nn)(ny1123 320)2(2mxmn 2N14.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材35 由于DFS和IDFS變換的對稱性，可以證明（請讀者自己證明）時域周期序列的乘積對應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果 )()()(21nxnxny則 )()(1)()(1)()()(1102210110lkXlXNlkXlXNWnynyDFS

24、kYNlNlNnnkN (4-29) 4.2.2 離散傅里葉級數(shù)離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)的性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材364.3.1 離散傅里葉變換（DFT）的定義4.3.2 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì) 4.3 離散傅里葉變換離散傅里葉變換(DFT)及性質(zhì)及性質(zhì)2022-4-27信息學科立體化教材374.3.1 DFT的定義的定義 在實際應(yīng)用中，把無限長的周期序列送給計算機處理是不現(xiàn)實的，也是不必要的。而在上一節(jié)討論過，周期序列實際上只有有限個序列值有意義，它和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。實際上，可以把長度為N有限長序列x(n)看成周期

25、為N的周期序列的一個周期，這樣利用離散傅里葉級數(shù)計算周期序列的一個周期，也就是計算了有限長序列的離散傅里葉變換。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長序列之間的這種本質(zhì)關(guān)系， 由周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示式推導得到有限長序列的離散頻域表示，即離散傅里葉變換（DFT）。 設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，即x(n)只在n=0到N-1點上有值，其他n時，x(n)=0。即 nNnnxnx其他010)()(4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材38 為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列 的一個周期，而把 看成x(n)的以N為周期的周期延拓， 即

26、表示成:)(nx)(nxnNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()( 這個關(guān)系可以用圖4-8來表明。通常把 的第一個周期n=0 到n=N-1 定義為“主值區(qū)間”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱 為x(n)的周期延拓。對不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成 )(nx)(nx)(nxNnxNnxnx)()mod()(4-32) (4-31) (4-30) 2022-4-27信息學科立體化教材394.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義N -1n-N0N -1n主值區(qū)間x ( n )(nx圖4-8 有限長序列及其周期延拓2022-4-2

27、7信息學科立體化教材40 用(n)N表示（n mod N），其數(shù)學上就是表示“n對N取余數(shù)”， 或稱“n對N取模值”。 令 mNnn10n1N-1, m為整數(shù) 則n1為n對N的余數(shù)。 例如， 是周期為N=9的序列，則有： )(nx)8()1() 1()4()22()22()4()13()13()8()8()8(9999xxxxxxxxxxxx4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材41利用前面的矩形序列RN(n)，式（4-30）可寫成 )()()(nRnxnxN(4-33) 同理，頻域的周期序列 也可看成是對有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長

28、序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即: )(kX)(kX)()()()()(kRkXkXkXkXNN(4-34) (4-35) 我們再看表達DFS與IDFS的式(4-12)和式(4-13)： 1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFSkX4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材42 這兩個公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值區(qū)間進行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長序列的離散傅里葉變換的定義： 1010)(1)()()()()(Nk

29、nkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX0kN-1 0nN-1 （4-36） （4-37） 4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材43 x(n)和X(k)是一個有限長序列的離散傅里葉變換對。我們稱式(4-36)為x(n)的N點離散傅里葉變換(DFT), 稱式(4-37)為X(k)的N點離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個序列，就能惟一地確定另一個序列。這是因為x(n)與X(k)都是點數(shù)為N的序列，都有N個獨立值（可以是復數(shù)），所以信息當然等量。 此外，值得強調(diào)的是，在使用離散傅里葉變換時，必須注意所處理的有限長序列都

30、是作為周期序列的一個周期來表示的。 換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。 4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材44 例例4-4 已知序列x(n)=(n)，求它的N點DFT。 解解 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（4-36）得到： 1001)()(NnNnkNWWnkX k=0, 1, , N-1 (n)的X(k)如圖4-9。這是一個很特殊的例子，它表明對序列(n)來說，不論對它進行多少點的DFT，所得結(jié)果都是一個離散矩形序列。 4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材45圖4-9

31、序列(n)及其離散傅里葉變換 10n(n)X(k)10 12N1k2022-4-27信息學科立體化教材46 例例 4-5 已知x(n)=cos(n/6)是一個長度N=12的有限長序列， 求它的N點DFT。 解解 由DFT的定義式（4-36） 110)1(122110)1(122110122661211021216cos)(nknjnknjnnkjnjnjnkneeeeeWnkX 利用復正弦序列的正交特性（4-3）式，再考慮到k的取值區(qū)間，可得 11, 0,011, 16)(kkkkX其他4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材47圖 4-10 有

32、限長序列及其DFT0 1 211x(n)n01X(k)11n4.3.1 離散傅里葉變換的定義離散傅里葉變換的定義2022-4-27信息學科立體化教材48 若x(n)是一個有限長序列，長度為N，對x(n)進行Z變換 10)()(NnnznxzX比較Z變換與DFT，我們看到，當z=W-kN時 )()()(10nxDFTWnxzXNnnkNWzkN即 kNWzzXkX)()(（4-38） 4.3.2 DFT與序列傅里葉變換與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 2022-4-27信息學科立體化教材49 表明 是Z平面單位圓上幅角為 的點，也即將Z平面單位圓N等分后的第k點，所以X(k)也就是對X(

33、z)在Z平面單位圓上N點等間隔采樣值，如圖4-11所示。此外， 由于序列的傅里葉變換X(ej)即是單位圓上的Z變換，根據(jù)式（4-38）， DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為 kNjkNeWz2kNWkN2NeXeXkXNjkkNjN2)()()(2（4-39） （4-40） 4.3.2 DFT與序列傅里葉變換與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 2022-4-27信息學科立體化教材50 式（4-39）說明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ej)在區(qū)間0, 2上的N點等間隔采樣，其采樣間隔為N=2/N， 這就是DFT的物理意義。顯而易見，DFT的變換區(qū)間長度N不同， 表示對X(ej)

34、在區(qū)間0, 2上的采樣間隔和采樣點數(shù)不同， 所以DFT的變換結(jié)果也不同。 圖 4-11 DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系 jIm(z)o2NW1NW0NWk 0)2( NNW)3( NNWRe zoX(ej)X(k)4.3.2 DFT與序列傅里葉變換與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系變換的關(guān)系 2022-4-27信息學科立體化教材51 本節(jié)討論離散傅里葉變換（DFT）的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的離散傅立葉級數(shù)（DFS）概念有關(guān)，而且是由有限長序列及其離散傅里葉變換（DFT）表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點有限長序列，用DFT表示N點DFT，且設(shè)：DFTx1(n)=X1(k

35、)DFTx2(n)=X2(k)4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材522.圓周移位圓周移位 （1）定義：）定義：一個長度為N的有限長序列x(n)的圓周移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(n) （4-42） 我們可以這樣來理解上式所表達的圓周移位的含義。具體計算步驟為：i）將x(n)以N為周期進行周期延拓得到周期序列 ; ii）將 加以移位： Nnxnx)()()(nx)()(mnxmnxN1.線性線性 )()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT式中，a, b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。 4.3.3 離散傅里葉變換

36、的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材53iii）對移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0 到N-1）上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。所以，一個有限長序列x(n)的圓周移位序列y(n)仍是一個長度為N的有限長序列，這一過程用圖4-12（a）、（b）、（c）、（d）來表達。 從圖上可以看出，由于是周期序列的移位，當我們只觀察 0nN-1 這一主值區(qū)間時，某一采樣從該區(qū)間的一端移出時， 與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進。因而，可以想象x(n)是排列在一個N等分的圓周上，序列x(n)的圓周移位， 就相當于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn)，如圖4-12（e）、（f）、(g

37、)所示， 因而稱為圓周移位。若將x(n)向左圓周移位時，此圓是順時針旋轉(zhuǎn); 將x(n)向右圓周移位時，此圓是逆時針旋轉(zhuǎn)。此外，如果圍繞圓周觀察幾圈， 那么看到的就是周期序列 。 )(mnx)(nx4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材54圖 4-12 圓周移位過程示意圖 (e)x(n)21n 0N 1N 2on 0N 1N 221n 0N 2N 1( f )( g )210 x(n)n0n)(nxNnxnx)2()2(0n)()2(nRnxNN0N1n(a)(b)(c)(d )N1N1N14.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì)

38、2022-4-27信息學科立體化教材55（2）時域圓周移位定理）時域圓周移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)圓周移位，即 )()()(nRmnxnyNN則圓周移位后的DFT為 )()()()()(kXWnRmnxDFTnyDFTkYmkNNN證證 利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。 )()()(kXWmnxDFSmnxDFSmkNN4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材56再利用DFS和DFT關(guān)系 )()()()()()()(kXWkRkXWnRmnxDFTnRmnxDFTmkNNmkNNNN這表明，有限長序列的圓周移位

39、在離散頻域中引入一個和頻率成正比的線性相移 ，而對頻譜的幅度沒有影響。 mkNjknNeW24.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材57（3） 頻域圓周移位定理頻域圓周移位定理 對于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個N等分的圓周上，所以對于X(k)的圓周移位，利用頻域與時域的對偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)： 若 )()(nxDFTkX則 )()()()(2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN這就是調(diào)制特性。它說明，時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息

40、學科立體化教材583.圓周卷積圓周卷積 （1）時域圓周卷積定理 設(shè)x1(n)和x2(n)都是點數(shù)為N的有限長序列（0nN-1），且有：)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT若 )()()(21kXkXkY則 10121021)()()()()()()()(NmNNNmNNnRmnxmxnRmnxmxkYIDFTny4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) (4-45) 2022-4-27信息學科立體化教材59 一般稱式(4-45)所表示的運算為x1(n)和x2(n)的N點圓周卷積。 下面先證明式(4-45)，再說明其計算方法。 證證 這個卷積相當于周期序列 和 作周期

41、卷積后再取其主值序列。 先將Y(k)周期延拓， 即 )(1nx)(2nx)()()(21kXkXkY根據(jù)DFS的周期卷積公式 NNmNNmmnxmxmnxmxny)()()()()(102121014.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材60由于0mN-1 為主值區(qū)間， ， 因此 )()(11mxmxN1021)()()()()()(NmNNNnRmnxmxnRnyny 將 式經(jīng)過簡單換元，也可證明 )(ny1012)()()()(NmNNnRmnxmxny4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教

42、材61 圓周卷積過程可以用圖4-13來表示。分為5步： i）周期延拓：先作出x1(n)和x2(n)。將x2(m) 在參變量坐標m上延拓成周期為N的周期序列x2(m)N ； ii）反轉(zhuǎn)：將x2(m)N反轉(zhuǎn)形成x2(-m)N ； iii）移位和取主值： 將x2(-m)N移n位并取主值序列得到x2(nm)NRN(n)； iv）相乘：將相同m值x2(nm)NRN(n)與x1(m)相乘； V）相加：將iv）中得到的乘積累加起來，便得到圓周卷積y(n)。 可以看出,它和周期卷積過程是一樣的，只不過這里要取主值序列。特別要注意，兩個長度小于等于N的序列的N點圓周卷積長度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷

43、積用符號 來表示。 圓周內(nèi)的N表示所作的是N點圓周卷積。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) N2022-4-27信息學科立體化教材62圖圖 4-13 圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖 x1(n)1N 1nx2(n)1N 1nx2(0m)NRN(m)1N 1mooo4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材63圖圖 4-13 圓周卷積過程示意圖圓周卷積過程示意圖 x2(1m)NRN(m)1N 1mx2(2m)NRN(m)1N 1my(n)x1(n) x2(n)233211N 1noooN4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅

44、里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材64)()()()()()(210121nRmnxmxnxnxnyNNNmN或 )()()()()()(110212nRmnxmxnxnxnyNNNmN記為：4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材65N （2）頻域圓周卷積定理 利用時域與頻域的對稱性，可以證明頻域圓周卷積定理（請讀者自己證明）。 若 )()()(21nxnxny x1(n)，x2(n) 皆為N點有限長序列，則 )()(1)()()(1)()()(1)()(2111022101kXkXNkRlkXlXNkRlkXlXNnyDF

45、TkYNNNlNNNl即時域序列相乘，乘積的DFT等于各個DFT的圓周卷積再乘以1/N。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材664.有限長序列的線性卷積與圓周卷積有限長序列的線性卷積與圓周卷積 時域圓周卷積在頻域上相當于兩序列的DFT的乘積，而計算DFT可以采用它的快速算法快速傅里葉變換（FFT）（見第5章）， 因此圓周卷積與線性卷積相比，計算速度可以大大加快。但是，在許多實際問題中常需要計算線性卷積，例如一個FIR數(shù)字濾波器的輸出等于輸入與濾波器的單位沖激響應(yīng)的線性卷積。如果能將線性卷積轉(zhuǎn)化為圓周卷積，就能夠用圓周卷積來計算線性卷積而加

46、快計算速度。因此，需要討論圓周卷積與線性卷積在什么條件下相等及如何用圓周卷積運算來代替線性卷積運算的問題。 設(shè)x1(n)是N1點的有限長序列（0nN1-1），x2(n)是N2點的有限長序列（0nN2-1）。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材67它們的線性卷積 1021212111)()()()()()()(Nmmmnxmxmnxmxnxnxnyx1(m)的非零區(qū)間為0mN1-1 x2(n-m)的非零區(qū)間為0n-mN2-1 (4-43)4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材68將兩個不等

47、式相加，得到 0nN1+N2-2 在上述區(qū)間外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1 點有限長序列，即線性卷積的長度等于參與卷積的兩序列的長度之和減1。例如，圖4-14 中，x1(n)為N1=4 的矩形序列（圖4-14（a），x2(n)為N2=5 的矩形序列（圖4-14（b），則它們的線性卷積y1(n)為N=N1+N2-1=8 點的有限長序列（圖 4-14（c）。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材69再來看x1(n)與x2(n)的圓周卷積。先討論進行L點的圓周卷積，再討論L取何值時

48、，圓周卷積才能代表線性卷積。 設(shè)y(n)=x1(n) x2(n)是兩序列的L點圓周卷積，LmaxN1, N2，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點的序列。在這L個序列值中，x1(n)只有前N1個是非零值，后L-N1個均為補充的零值。同樣， x2(n)只有前N2個是非零值，后L-N2個均為補充的零值。則 102121)()()()()()(LmLLnRmnxmxnxnxnyL（4-47） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) L 為了分析其圓周卷積，我們先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進行周期延拓 2022-4-27信息學科立體化教材70)()()()()()(22

49、2111rLnxnxnxkLnxnxnxrLkL將它們代入式（447）得其周期卷積序列為 )()()()()()()()(1210121012101rLnymrLnxmxmrLnxmxmnxmxnyrLmrrLmLLm（4-48） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材71 前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N21個非零值。因此可以看到， 如果周期卷積的周期LN1+N21，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊起來，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L N1+N21 時，才沒有交疊現(xiàn)象。這時, 在y1(n)的周期延拓 中， 每一個周期L

50、內(nèi)，前N1+N21個序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N21)個點上的序列值則是補充的零值。所以L點圓周卷積點圓周卷積y(n)是線性卷積是線性卷積yl(n)以以L為為周期的周期延拓序列的主值序周期的周期延拓序列的主值序列。列。)(1ny4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材72所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為 121NNL（4-49） 滿足此條件后就有 )()(1nyny即 x1(n) x2(n)=x1(n)*x2(n) L 圖4-14（d）、（e）、（f）正反映了（4-46）式的圓周卷積與線性卷

51、積的關(guān)系。在圖4-14（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，這時產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，其圓周卷積不等于線性卷積；而在圖4-14（e）、（f）中, L=8和L=10，這時圓周卷積結(jié)果與線性卷積相同，所得y(n)的前8點序列值正好代表線性卷積結(jié)果。 所以只要LN1+N2- 1，圓周卷積結(jié)果就能完全代表線性卷積。 (4-50) 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材73圖4-14 線性卷積與圓周卷積x1(n)n1N1 41230 x2(n)n112340N2 5y1(n)N1 N2 1 8n123405 6789 10 11234(a)(b)(c)x1(

52、n) x2(n)L 6n12340 x1(n) x2(n)L 8n1234x1(n) x2(n)L 10n1234(d)(e)( f )12345012345670123456789LLL4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材74例例 4-6 一個有限長序列為 )5(2)()(nnnx（1） 計算序列x(n)的10點離散傅里葉變換。 （2） 若序列y(n)的DFT為 )()(1022kXekYkj式中，X(k)是x(n)的10點離散傅里葉變換，求序列y(n)。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) （3）若10點序列y(n)的

53、10點離散傅里葉變換是 )()()(kWkXkY式中, X(k)是序列x(n)的10點DFT，W(k)是序列w(n)的10點DFT 01)(nw0n6 其他 求序列y(n)。 2022-4-27信息學科立體化教材75 解解 （1） 由式（4-36）可求得x(n)的10點DFT kkjknkNnnnkNeWWnnWnxkX) 1(212121)5(2)()()(510251010101100 （2）X(k)乘以一個WNkm形式的復指數(shù)相當于是x(n)圓周移位m點。 本題中m=-2, x(n)向左圓周移位了2點， 就有 y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8) 4.3.3

54、離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) （3）X(k)乘以W(k)相當于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進行圓周卷積，可以先計算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。 x(n)與w(n)的線性卷積為 z(n)=x(n)*w(n)=1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 22022-4-27信息學科立體化教材76圓周卷積為 )()10()(10nRrnznyr 在 0n9 求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對n=0, 1, 2, , 9求和，得到： n0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11Z(n)z(n

55、+10) 1 1 1 1 1 3 3 2 2 22 2 0 0 0 0 0 0 0 02 20 0y(n)3 3 1 1 1 3 3 2 2 2_ _所以10點圓周卷積為 y(n)=3, 3, 1, 1， 1, 3, 3, 2, 2, 2 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材775 共軛對稱性共軛對稱性（1）復共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復序列，則 DFTx*(n)=X*(-k)NRN(k)=X*(N-k)NRN(k) =X*(N-k) 0kN-1 且 X(N)=X(0) （4-51） 證證 )(*)()(*)()()()

56、(*)()()()(*)(*10)(10*10kNXkRkNXkRWnxkRkXkRWnxkRWnxnxDFTNNNNnnkNNNNNnNNnnkNNnkN0kN-1 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材78這里利用了 122njnNNjnNNeeW因為X(k)的隱含周期性，故有X(N)=X(0)。 用同樣的方法可以證明 )(*)()(*)()(*kXnRnNxDFTnRnxDFTNNNN也即 )(*)(*kXnNxDFT（4-52） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材79（2）DFT

57、的共軛對稱性 在前面章節(jié)里討論了序列傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)，且定義了共軛對稱序列與共軛反對稱序列的概念。在那里，對稱性是指關(guān)于坐標原點的縱坐標的對稱性。DFT也有類似的對稱性，但在DFT中，涉及的序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)均為有限長序列，且定義區(qū)間為 0 到N1，所以，這里的對稱性是指關(guān)于N/2 點的對稱性。 設(shè)有限長序列x(n)的長度為N點，則它的圓周共軛對稱分量xep(n)和圓周共軛反對稱分量xop(n)分別定義為: )()(21)()()(21)(*nNxnxnxnNxnxnxopep（4-53） （4-54） 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022

58、-4-27信息學科立體化教材80則兩者滿足: )()()()(*nNxnxnNxnxopopepepnN-1 nN-1 （4-55） （4-56） 如同任何實函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣， 任何有限長序列x(n)都可以表示成其圓周共軛對稱分量xep(n)和圓周共軛反對稱分量xop(n)之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n) 0nN-1 （4-57） 由式（4-53）及式（4-54），并利用式（4-51）及式（4-52），可得圓周共軛對稱分量及圓周共軛反對稱分量的DFT分別為： 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材81D

59、FTxep(n)=eX(k)DFTxop(n)=j Im X(k)(4-58)(4-59)證證 )(21)(21)()(21)(*nNxDFTnxDFTnNxnxDFTnxDFTep利用式（4- 52），可得 )(Re)()(21)(*kXkXkXnxDFTep則式(4-58)得證。同理可證式（4-59）。 4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 2022-4-27信息學科立體化教材82下面我們再來討論序列實部與虛部的DFT。 若用xr(n)及xi(n)分別表示有限長序列x(n)的實部及虛部，即 x(n)=xr(n)+jxi(n) (4-60) 式中： )()(21)(Im)()

60、()(21)(Re)(*nxnxnxjnjxnxnxnxnxir則有： )()(21)()()()(21)()(*kNXkXkXnjxDFTkNXkXkXnxDFTopiepr4.3.3 離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換的性質(zhì) 式中，Xep(k)為X(k)的圓周共軛對稱分量且Xep(k)=X*ep(N-k)，Xop(k)為X(k)的圓周共軛反對稱分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。 (4-62) (4-61) 2022-4-27信息學科立體化教材83證證 )(*)(21)(nxDFTnxDFTnxDFTr利用式（4- 51）， 有 )()()(21)(*kXkNXkXnxDFTepr這