函數(shù)的周期性與對稱性

1、函數(shù)的周期性與對稱性1、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y=f(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。f(x+a)=f(xa)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1/f(x)f(x+a)=1/f(x)2、函數(shù)的對稱性與周期性性質5若函數(shù)y=f(x)同時關于直線x=a與x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|性質6、若函數(shù)y=f(x)同時關于點(a,0)與點(b,0)中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|性質7、若函數(shù)y=f(x)既關于點(a,0)中心對稱，又關于直線x=b軸對稱，則函數(shù)

2、f(x)必為周期函數(shù)，且T=4|ab|3.函數(shù)yf(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若f(xa)f(xb),則f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx),則f(x)具有對稱性：“內同表示周期性，內反表示對稱性”。1、f(ax)f(bx)yf(x)圖象關于直線x但一x)一(b一x)a一b對稱22推論1：f(ax)f(ax)yf(x)的圖象關于直線xa對稱推論2、f(x)f(2ax)yf(x)的圖象關于直線xa對稱推論3、f(x)f(2ax)yf(x)的圖象關于直線xa對稱2、f(ax)f(bx)2cyf(x)的圖象關于點(旦c)對稱2，推論1、f(ax)f(ax)2byf(x)的圖象關于點(a,

3、b)對稱推論2、f(x)f(2ax)2byf(x)的圖象關于點(a,b)對稱推論3、f(x)f(2ax)2byf(x)的圖象關于點(a,b)對稱例題分析：1 .設£(刈是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(47.5)等于(A)0.5(B)0.5(C)1.52、(山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足A.-1B.0C.1f(x),當0x1時，f(x)x,則()(D)1.5f(x2)f(x),則f(6)的值為()D.23.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(1)2,f(x1)f(x6),求f(10).5,則ff(5)一，一，14 .函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x2)，若f(1)f

4、(x)5 .已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它白圖像關于直線x1對稱。(1)求f(0)的值；(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)若f(x)x(0x1),求xR時，函數(shù)f(x)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)f(x)至少一個周期的圖象。6 .設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=f(x).當xC0,2時，f(x)=2xx2.(i)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當xC2,4時，求f(x)的解析式.鞏固練習：1 .函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當xC0,2時，f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在1,3上的解集為()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1

5、,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)2 .設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xCR恒有f(x+1)=f(x1),已知當xC1.0,1時，f(x)=21x,則：2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增；1一函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是0;當xC(3,4)時，f(x)=丁3.其中所有正確命題的序號是.13.設定義在R上的奇函數(shù)y=f(x),滿足對任意tCR,都有f(t)=f(1-t),且xC0,2時，f(x)=x2,則f(3)+f-3的值等于()A.-1B,、C.-1D.£223454.若偶函數(shù)y=f(x)為R上的周期為6的周

6、期函數(shù)，且滿足f(x)=(x+1)(x-a)(-3<x<3),則f(6)等于.ax115、(1)f(x)-尸關于點(一,一)對稱：f(x)f(1x);axa224x1f(x)y丁2x1關于(0,1)對稱：f(x)f(x)(3)若f(x)f(2ax),設f(x)0有n個不同的實數(shù)根，則Xix2xn.6.設f(x)是(一8,+oo)上的奇函數(shù)，f(x+2)=f(x),當0WxW1時，f(x)=x.(1)求f(3)的值；(2)當一4WxW4時，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積.7 .設f(x)是定義在(，)上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2,3上，一一一2f(x)

7、2(x3)4.求x1,2時，f(x)的解析式.8 .設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x)且f(0)0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間30,30上與x軸至少有多少個交點.9 .已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T5,函數(shù)yf(x)(1x1)是奇函數(shù).又知yf(x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x2時函數(shù)取得最小值5.(1)證明：f(1)f(4)0;(2)求丫f(x),x1,4的解析式；(3)求yf(x)在4,9上的解析式.，、，11、一，10 .已知f(x)x(萬7-),(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明：f(x)011、定義在1

8、,1上的函數(shù)yf(x)是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若f(a2a1)f(4a5)0,求實數(shù)a的范圍。2xb一一12.(重慶文)已知定義域為R的函數(shù)f(x)不一是奇函數(shù)。2a(I)求a,b的值；(n)若對任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范圍。復習題:3211.已知數(shù)列，,其前n項和為Sh,點(n,Sn)在拋物線y,x-x±；各項都為正數(shù)的11等比數(shù)列bn?兩足b1b3-,b5.IO32(I)求數(shù)列an,bn的通項公式；(n)記Cnanbn,求數(shù)列Cn的前h項和工.,222-2 .在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且b一c-SABc(其23中S人

9、眈為ABC的面積).,、BC(i)求sincos2A；(n)右b2,ABC的面積為3,求a.3 .某日用品按行業(yè)質量標準分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：0.20.45(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件，求a,b,c的值；(n)在(1)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1,x2,x3,等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2,現(xiàn)從x1，x2,x3,y1，y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結果，并求這兩件日用

10、品的等級系數(shù)恰好相等的概率.P4 .如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC,ACBC,H為PC的中點，PAAC2,BC1.(I)求證：AH平面PBC;/(n)求經過點PABC的球的表面積。/'25 .已知拋物線x8(y8)與y軸交點為M,動點P,Q在拋物線uuiruuun上滑動，且MPMQ0(1)求PQ中點R的軌跡方程W；(2)點A,B,C,D在W上，A,D關于y軸對稱，過點D作切線l,且BC與l平行，點D到AB,AC的距離為d1,d2,且&d2J21AD|,證明：ABC為直角三角形Inx6.設函數(shù)f(x)-2-.(1)求f(x)的極大值；(2)求證：12elnn(n1)(n

11、2)L21(n2n)(2n1)(nN*)2aax2txt(3)當方程f(x)0(aR)有唯一解時，方程g(x)txf(x)20也有2ex唯一解，求正實數(shù)t的值；函數(shù)的周期性與對稱性1、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y=f(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。f(x+a)=f(xa)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=1/f(x)f(x+a)=1/f(x)2、函數(shù)的對稱性與周期性性質5若函數(shù)y=f(x)同時關于直線x=a與x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|性質6、若函數(shù)y=f(x)同時關于點(a

12、,0)與點(b,0)中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=2|a-b|性質7、若函數(shù)y=f(x)既關于點(a,0)中心對稱，又關于直線x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T=4|ab|3.函數(shù)yf(x)圖象本身的對稱性(自身對稱)若f(xa)f(xb),則f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx),則f(x)具有對稱性：“內同表示周期性，內反表示對稱性”。1、f(ax)f(bx)yf(x)圖象關于直線x0_x)(b_x).a-b對稱22推論1：f(ax)f(ax)yf(x)的圖象關于直線xa對稱推論2、f(x)f(2ax)yf(x)的圖象關于直線xa對稱推論3、f(x)f(2ax

13、)yf(x)的圖象關于直線xa對稱2、f(ax)f(bx)2cyf(x)的圖象關于點(abc)對稱2，推論1、f(ax)f(ax)2byf(x)的圖象關于點(a,b)對稱推論2、f(x)f(2ax)2byf(x)的圖象關于點(a,b)對稱推論3、f(x)f(2ax)2byf(x)的圖象關于點(a,b)對稱例題分析：1 .設£(刈是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(47.5)等于(A)0.5(B)0.5(C)1.52、(山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足A.-1B.0C.1f(x),當0x1時，f(x)x,則()(D)1.5f(x2)f(x),則f(6)的值為()D.23.設f(x

14、)是定義在R上的奇函數(shù),f(1)2,f(x1)f(x6),求f(10).4.函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x2)1，若f(1)5,則ff(5)f(x)5 .已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它白圖像關于直線x1對稱。(1)求f(0)的值；(2)證明f(x)是周期函數(shù)；(3)若f(x)x(0x1),求xR時，函數(shù)f(x)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)f(x)至少一個周期的圖象。6 .設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=f(x).當xC0,2時，f(x)=2xx2.(l)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當xC2,4時，求f(x)的解析式.解：(1)證明：f(

15、x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).，f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)/x2,4,xC4,2,.4x0,2,f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.又.f(4x)=f(x)=f(x),.f(x)=-x2+6x-8,即f(x)=x2-6x+8,xC2,4.鞏固練習：1 .函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當xC0,2時，f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在1,3上的解集為()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)解析：選Cf(x)的圖像如圖.當xC(1,0)時，由xf(x)>0得xC

16、(1,0);當xC(0,1)時，由xf(x)<0得xC?;當xC(1,3)時，由xf(x)>0得xC(1,3).故xC(1,0)U(1,3).2 .設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的xCR恒有f(x+1)=f(x1),已知當xC1.0,1時，f(x)=21x,則：2是函數(shù)f(x)的周期；函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增;一一1一函數(shù)f(x)的最大值是1,最小值是0;當xC(3,4)時，f(x)=2x3.其中所有正確命題的序號是.解析：由已知條件：f(x+2)=f(x),則y=f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，正確；,一1一當一1Wx<0時0W-x&

17、lt;1,f(x)=f(-x)=21x,函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示:當3<x<4時，一1<x4<0,1f(x)=f(x-4)=2x3,因此正確，不正確.答案：3.設定義在R上的奇函數(shù)y=f(x),滿足對任意tCR,一一一1都有f(t)=f(1-t),且xe0,萬時,的值等于()3f(x)=-x2,則f(3)+f2解析：選C由f(t)=f(1t)得f(1+t)=f(1)=f(t),所以f(2+t)=f(1+t)=f(t),所以f(x)的周期為2.又f(1)=f(1-1)=f(0)=0,所以f(3)+f-|=f(1)+f1=0-12=-1.22244.若偶函數(shù)y=f(x

18、)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)=(x+1)(x-a)(-3<x<3),則f(6)等于.解析：:y=f(x)為偶函數(shù),且f(x)=(x+1)-(x-a)(-3<x<3),f(x)=x2+(1a)xa,1a=0.a=1.f(x)=(x+1)(x1)(3WxW3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.x_，.-a5、(1)f(x)*a-a,11一，f(1x)1;關于點(二)對稱：f(x)224x1f(x)2x1關于(0,1)對稱：f(x)f(x)2(3)若f(x)f(2ax),設f(x)0有n個不同的實數(shù)根，則x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)

19、xn(2axn)na.22(當n2k1時，必有x12ax1,x1a)6.設f(x)是(一8,+oo)上的奇函數(shù)，f(x+2)=f(x),當0WxW1時，f(x)=x.(1)求f(3)的值；(2)當一4WxW4時，求f(x)的圖像與x軸所圍成圖形的面積.解：(1)由f(x+2)=f(x)得，f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(3)=f(3-4)=-f(1)=-1.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x),得f(x1)+2=f(x1)=f(x1),即f(1+x)=f(1x).故知函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱.又

20、0wxw1時，f(x)=x,且f(x)的圖像關于原點成中心對稱，則一1WxW0時,f(x)=x,則f(x)的圖像如圖所示.1一.當4WxW4時，設f(x)的圖像與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4Saoab=4X-X2X1=4.7.設f(x)是定義在(，)上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2,3上，f(x)2(x3)24.求x1,2時，f(x)的解析式.解：當x3,2,即x2,3,2_2f(x)f(x)2(x3)42(x3)4又f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，于是當x1,2,即3x42時，有f(x)f(x4)22f(x)2(x4)342(x1)24(1x2).-2一f(x)2(x

21、1)4(1x2).8 .設函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x)且f(0)Q判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間30,30上與x軸至少有多少個交點.解：由題設知函數(shù)f(x)圖象關于直線x2和x7對稱，又由函數(shù)的性質得f(x)是以10為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間0,10上，f(0)Qf(4)f(22)f(22)f(0)0且f(x)不能恒為零，故f(x)圖象與x軸至少有2個交點.而區(qū)間30,30有6個周期，故在閉區(qū)間30,30上f(x)圖象與x軸至少有13個交點.9 .已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T5,函數(shù)yf(x)(1x1)是奇函數(shù).又知yf(x)在0,1

22、上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x2時函數(shù)取得最小值5.(1)證明：f(1)f(4)0；(2)求丫f(x),x1,4的解析式；(3)求yf(x)在4,9上的解析式解：f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，且在1,1上是奇函數(shù)，f(1)f(1)f(51)f(4),f(1)f(4)0.2當x1,4時，由題意可設f(x)a(x2)5(a0),由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250,a2,f(x)2(x2)25(1x4).:yf(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(0)0,又知yf(x)在0,1上是一次函數(shù)，可設f(x)kx(0x1)一_2而f(1)2(12)53,.k3,.當0x1時，f(x

23、)3x,從而1x0時，f(x)f(x)3x,故1x1時，f(x)3x.當4x6時，有1x51,f(x)f(x5)3(x5)3x15.當6x-f(x)f(x)10.已知f(x)11、定義9時，1x54,f(x5)2(x5)2252(x7)253x15,4x6.2(x7)25,6x9,11、一、一、八x(21鼻)，(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明：f(x)0在1,1上的函數(shù)yf(x)是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若_2f(aa1)f(4a5)0,求實數(shù)a的范圍。12.(重慶文)已知定義域為R的函數(shù)f(x)2x2x1函數(shù)。(I)求a,b的值；(n)若對任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒

24、成立,求k的取值范圍。10(1)偶函數(shù)(2)奇函數(shù)11(1)偶函數(shù)12、1333，2復習題：3212.已知數(shù)列，,其前n項和為S,點(n,SJ在拋物線y/x-x±；各項都為正數(shù)的1.1等比數(shù)列bn滿足b1b3-,b5.1632(I)求數(shù)列an,bn的通項公式；(n)記Cnanbn,求數(shù)列Cn的前n項和T.2222.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且b一c-Sabc(其2 3中S人配為ABC的面積)ABC(I)求sin2BCcos2A；(n)若b2,ABC的面積為3,求a.23 .某日用品按行業(yè)質量標準分成五個等級，等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品

25、中隨機抽取20件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：X12345頻率a0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，等級系數(shù)為5的恰有2件,求a,b,c的值；(n)在(1)的條件下，將等級系數(shù)為4的3件日用品記為為，x2,x3,等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1，y2,現(xiàn)從x1，x2,x3,y1，y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，寫出所有可能的結果，并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.4 .如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC,ACBC,H為PC的中點，PAAC2,BC1.(I)求證：AH平面PBC;(n)求經過點P

26、ABC的球的表面積。25 .已知拋物線x8(y8)與y軸交點為M,動點P,Q在拋物線uuiruuun上滑動，且MPMQ0(1)求PQ中點R的軌跡方程W;(2)點A,B,C,D在W上，A,D關于y軸對稱，過點D作切線l,且BC與l平行，點D到AB,AC的距離為d1,d2,且d1d2J21AD|,證明：ABC為直角三角形Inx6 .設函數(shù)f(x)-x.(1)求f(x)的極大值；x(2)求證：12elnn(n1)(n2)L21(n2n)(2n1)(nN*)a-ax22txt(3)當萬程f(x)0(aR)有唯一解時，方程g(x)txf(x)x多一t0也有2ex唯一解，求正實數(shù)t的值；復習題答案：1、解

27、:(I)QSn當n2時,Sn12(n1)2例1t-nJ2八321)-n2n1時，ai5n12anS數(shù)列an0i3n1是首項為2,公差為又Q各項都為正數(shù)的等比數(shù)列3的等差數(shù)列，an,1,bn滿足bid一也43n1132.1.4b2b1q-,bq43211,解得b1,q22bn，1(11)由題得品(3n1)(-)2125(2)2.(3n4)12Tn-得12(2)135().(3n2(：)n1(3n1)21n4)(2)(3n1 1)n2 2)11)(2)2Tn(2)241(1)3L(1)n221 n1(2)2 (3n1)I21、n1(3n1)(2)53(，(3n1)g)n1Tn3n52n12分2、解

28、析:由已知得2bccosA81.一bcsinA即3cosA4sinA02sinAsin2B35C2cosA-5(n)由(i)-11cosAcos2A2o164225232.cos2A2cosAcosA122sinA4252562595012c545abcbcsinA3,b2,22bcosA1312分3、.解：(1)由頻率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,a+b+c=0.35因為抽取的20件日用品中，等級系數(shù)為4的恰有3件，所以b=0.15205、解:直線（1）顯然直線MP的斜率存在且不為0,MP:ykx8與2X28(y8)聯(lián)立解得:設為k,設PQ的中點R(x,y)2P(8k,8k28)同理:Q(4k8_8k,k248)4PQ的中點R(4k-,4kk(2)4k2k4記2X/日得:4軌跡方程：x24y設D(X0,x02方)。92X1),2X2)則A(2XX0，.)41(X1X2)41一X0,2X1X22x01B(2X0X1-(2X01又kAB(x0X1)4又&d2、2|AD|ABC為直角三角形X1)2)1(X14X0)則kACkABDACDABDACDABd104513分d2等級系數(shù)為5的恰有2件，所以c=-2-=0.14分20從而a=0.35-b-c=0.1所以a=0.1b=0.1