初中數(shù)學(xué)競賽常用解題方法代數(shù)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初中數(shù)學(xué)競賽常用解題方法(代數(shù))一、配方法例1、化簡x12、,x二2,x12/x二2.2練習(xí)：右(xz)4(xy)(yz)=0,試求x+z與y的關(guān)系。二、非負(fù)數(shù)法.-1例2、在頭數(shù)氾圍內(nèi)斛方內(nèi),x-y一1：jz-2=-(xy-z).三、構(gòu)造法(1)構(gòu)造多項(xiàng)式例3、三個整數(shù)a、b、c的和是6的倍數(shù).，那么它們的立方和被6除，得到的余數(shù)是()(A)0(B)2(C)3(D)不確定的(2)構(gòu)造有理化因式例4、已知(x+Jx2+2002)(y+Jy2-2002)=2002.22則x-3xy-4y-6x-6y+58=。(3)構(gòu)造對偶式例5、已知a、P是方程x2x1=0的兩根，則a4+3P的

2、值是。(4)構(gòu)造遞推式例6、實(shí)數(shù)a、b、x、y滿足ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42.求ax5+by5的值。(5)構(gòu)造幾何圖形例7、(構(gòu)造對稱圖形)已知a、b是正數(shù)，且a+b=2.求u=Ja2+1+Jb2+4的最小值練習(xí)：(構(gòu)造矩形)若a,b均為正數(shù)，且Ja2+b2,“a2+b2,Ja2+4b2是一個三角形的三條邊的長，那么這個三角形的面積等于。四、合成法例8、若Xi,X2,x3,人和x5滿足方程組學(xué)習(xí)必備歡迎下載確定3x4+2x5的值。2x1x2x3x4x5=0x12x2x3x4x5=12x1x22x3x4x5=24x1x2x32x4x5=48x1

3、x2x3x42x5:965、 比較法（差值比較法、比值比較法、恒等比較法）例9、71427和19的積被7除，余數(shù)是幾？練習(xí)：設(shè)a>b>c>0,求證：a2ab2bc2caab%bc,ca七.6、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法）an-bn=（a-b）（anJanb.abnbnJ）nnn-1n-2n-2n、ab（ab）（a-ab.-abb）3o1例10、設(shè)n是整數(shù)，證明數(shù)M=n3+n2+-n為整數(shù)，且它是3的倍數(shù)。22練習(xí)：證明993993+991991能被1984整除。七、換元法（用新的變量代換原來的變量）29例11、解萬程（8x+7）2（4x+3）（x+1）=3

4、11.1練習(xí)：解方程xX=11.1.8、 過度參數(shù)法（常用于列方程解應(yīng)用題）例12、一商人進(jìn)貨價便宜8%,售價保持不變，那么他的利潤（按進(jìn)貨價而定）可由目前的x%增加到（x+10）%,x等于多少？9、 判別式法（:b2-4ac判定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的性質(zhì)）2x-2xa4例13、求使A=x22x4為整數(shù)的一切實(shí)數(shù)x.x2-3x3練習(xí)：已知x,y,z是實(shí)數(shù)，且求證:十、學(xué)習(xí)必備歡迎下載0_xa,0_ya,0_za.c、x2=)a333韋達(dá)法(韋達(dá)定理：x1+x2=B,x1a例14：y2y=.55共鈍根式法(設(shè)A使含有根式的表達(dá)式，若存在另一個不恒等于零的表達(dá)式B,使乘積AB不含根

5、式，則稱B為A的共軻根式)例11、設(shè)a,b分別表示一L二的整數(shù)部分與小數(shù)部分，求a2+(1+J7)ab的值為3-7練習(xí)：求不超過(J7+J5)6的值的最大整數(shù)為。十二、反證法例12、已知a,b,c為實(shí)數(shù)，設(shè)A=a22b+,B=b22c+,C=c22a+236證明：A,B,C中至少有一個大于零。練習(xí)：命題“如果a,b都是無理數(shù)，那么ab也是無理數(shù)”是否正確，如果正確，試給予證明；如果不正確，試說明理由.代數(shù)常用的四種解題方法數(shù)學(xué)離不開思維。學(xué)習(xí)效果的大小，取決于思維活動的發(fā)展與思維能力的發(fā)揮。而思維方法是思維的鑰匙，有了科學(xué)的思維就能從總體上把握事物的本質(zhì)聯(lián)系。從而，有效地提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題

6、的能力。很多學(xué)生天天做練習(xí)，但成績就是不理想。為什么呢？主要原因就是沒有吃透教材的基本原理，就是沒有掌握解題的科學(xué)方法。掌握方法，是攻克難題的有力武器，只有掌握方法，才能觸類旁通，舉一反三。不管遇到什么難題，都能得心應(yīng)手，迎刃而解。那么在初中代數(shù)中有那些常用的解題思維方法呢？一、待定系數(shù)法用一個或多個字母來表示與解答有關(guān)的未知數(shù)，這些字母就叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是一種最基本的數(shù)學(xué)方法，這個方法多用于多項(xiàng)式運(yùn)算、方程和函數(shù)方面較多。例如：32例1試用關(guān)于(x-1)的各次哥表不多項(xiàng)式2x-4x+3x-5o解：設(shè)2x34x2+3x5=2(x1)3+a(x1)2+b(x1)+c。因?yàn)樯鲜绞呛愕仁?，?/p>

7、以不學(xué)習(xí)必備歡迎下載論x取什么數(shù)，兩邊都應(yīng)相等，據(jù)此可設(shè)x=1,代入上式得c=4,x=0,代入上式得5=2+ab+2x=2,代入上式得1616+65=2+a+b+c.聯(lián)立上面三個式子解得au2,bu1,Cu-4_32_3_22x-4x+3x5=2(x1)+2(x1)+(x1)4。這道例題在求待定系數(shù)時運(yùn)用了特殊值法。要盡量減少待定系數(shù)的個數(shù)，比如可以斷3定(x-1)3的系數(shù)是2,就沒有必要再將(X-1)項(xiàng)的系數(shù)設(shè)為待定系數(shù)了。例2根據(jù)二次函數(shù)的圖象上(-1,0)、(3,0)、(1,-5)三點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出函數(shù)的解析式。解：由題設(shè)知，當(dāng)x=-1和x=3時，函數(shù)y的值都等于0.故設(shè)二次函數(shù)的解析式為

8、y=a(x1)(x-3),5把(1,-5)代入上式a=W4故所求的解析式為55oy=4(x1歸3tx515x-.24.此題若設(shè)所求二次這道例題告訴我們用待定系數(shù)法確定函數(shù)式時要講究一些解題技巧函數(shù)的解析式為y=ax2bxc,用待定系數(shù)法，把已知的三點(diǎn)代入，得到一個三元一次方程組,進(jìn)而求出三個待定系數(shù)a,b,c,這種解法運(yùn)算量較大二、配方法配方，一般是指在一個代數(shù)式中通過加減相同的項(xiàng)，把其中若干項(xiàng)變形為n次哥形式的項(xiàng)這是恒等變形的重要方法之一.因?yàn)樗袕V泛的遷移意義。舉例如下：例3分解因式(1) x4+64(2) b2-2ab-3a2-4a-1解：(1)x4+64=(x416x264)-16x2

9、=(x28)2-(4x)2=(x24x8)(x2-4x8)22b-2ab-3a-4a-1學(xué)習(xí)必備歡迎下載222=(b2-2aba2)-(4a24a1)=(b-a)2-(2a1)2二(b-a2a1)(b-a-2a-1)=(ba1)(b-3a-1)例4已知n為正整數(shù)，且47+4n+41998是一個完全平方數(shù)，則n的一個值是。(第九界“希望杯”賽試題)解：設(shè)47.4n-41998=21422n-23996214+22n+23996=(27+2x)2將(27+2x)2展開后得(27+2x)2=214+2272x+22x由、得214.22n-23996=214-28x-22x比較兩邊的指數(shù)，得8+x=2

10、n,或者8+x=39962x=399612x=2i.解之得n=1003或者n=3988。此題有兩解，所以任意填其中的一個都行。三、換元法把一個簡單的含變元的式子替換一個較為復(fù)雜的含變元的式子，從而使問題得以簡化。這樣的方法就叫做換元法。換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，根據(jù)問題的特點(diǎn)，進(jìn)行巧妙的換元，往往可以化繁為簡，化難為易，收到事半功倍的功效，現(xiàn)舉例說明。1996319971995-199719962例5化簡32。(第七界“希望杯”賽培訓(xùn)試題)1996-19951997-19951996解：設(shè)1996為a,則1997=(a+1),1995=(a-1),所以，原式a3(a1)(a-1)-(a1)

11、a2a3-(a-1)(a1)-(a-1)a232/32_aa-1-a-a一32432a-a1-aa111例6解方程組意x窗著學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：令Xy'U，代入方程組中，得U2-3v；36,13u-v=0.解得u=12,和uYv=36.v-9.代入式中，得rxy=12,rxy-3,xy=36.xy-9.分別解之，得Y-3-35x=6,x_，1y=6*'y=升35y-'2-.顯然，這些例題運(yùn)用了換元法就變的簡捷了。四、同一法同一法屬于間接證法，它的理論依據(jù)分別是邏輯學(xué)中的同一律與矛盾律和排中律。同一法就是應(yīng)用“同一法則”進(jìn)行證明的方法。同一法則是如果兩個互逆的命題的條件和結(jié)論所關(guān)聯(lián)的事物是唯一存在的，那么兩個命題同時為真，或同時為假。例如：1 11例7設(shè)a,b,g都是銳角，它們的正切依次是-,-,-o2 58求證：a+b+g=450。1 1+證明：Qtg(a+b)=tga+tgb=2一5=,以及a,b都是銳角。1