2020屆四川省宜賓市第二中學(xué)高三下學(xué)期第一次在線月考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、2020屆四川省宜賓市第二中學(xué)高三下學(xué)期第一次在線月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1 .設(shè)集合 A x| x 2 ,B 1,0,1,2,3 ，則 AB （）A. 0,1B. 0,1,2C. 1,0,1D. 1,0,1,2）【答案】C【解析】解絕對值不等式求得集合A,由此求得A。B【詳解】由 |x 2 ,解得 2 x 2,所以 A B 1,0,1.故選：C【點睛】本小題主要考查集合交集的概念和運算，考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.定義運算A.第一象限a,c,ad bc,若 zB.第二象限1,i,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】試題分析:1, 22_z .2 i 2i 1 2

2、i,z 1 2i ,所以復(fù)數(shù)2對應(yīng)的點i, i在第二象限，選 B.【考點】復(fù)數(shù)概念【名師點睛】本題重點考查復(fù)數(shù)的基本運算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù) 的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i,(a,b,c.d R).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a bi（a,b R）的實部為a、虛部為b、模為Ja2 b2、對應(yīng)點為（a,b）、共軻為a bi.3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論

3、錯誤的是（）月攙待帝喜堂(萬人)1 I I I I I J I I I I I J I I I I I I I I I L I I J I I I I I I I I L I Ifc0 1 2 j i 5 6 8 91611121 13 4 5 6 7 S 91011121 234567 8 9 10 11152017 年201g 年2019 年A.年接待游客量逐年增加B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30萬人D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】C【解析】利用折線圖的性質(zhì)直接求解.【詳解】解：

4、由2017年1月至2019年12月期間月接待游客量的折線圖得：在A中，年接待游客量雖然逐月波動，但總體上逐年增加，故 A正確；在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正確；在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)小于30萬人，故C錯誤；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相對于 7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.故選：C .【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4 .右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)” .執(zhí) 行該程序框圖，若輸入 a,b分別為14,18 ,則輸出的a ()D.1

5、4【解析】由a=14, b=18, avb,b變?yōu)?8- 14=4,a> b,a變?yōu)?4- 4=10,a> b,a變?yōu)?0- 4=6,a> b,a變?yōu)閍< b,b變?yōu)閍=b=2則輸出的a=2.故選B.5.已知a,b均為單位向量，若的夾角為（）A.一6B.一3C.12D.角.因為2b2b J3可求出,再根據(jù)向量的夾角公式，即可求出a與b的夾、3 ,所以設(shè)a與b的夾角為故選：B.a 2bcos所以1J1 4a b4 如,解得 a b本題主要考查向量夾角公式和向量的模的計算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.36.函數(shù)f（x） x一 在6,6的圖像大致為（）x xe e【解析】利用定義考

6、查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的符號以及 f 2與1的大小關(guān)系辨別函數(shù)y f x的圖象.【詳解】33''f x _x_f x，所以，函數(shù) y f x為奇函數(shù)，排除 dx xx xe e e e選項；當x 0時，x3 0,則f x 0,排除A選項；238又f 2，.8- 1 ,排除B選項.故選C.2222e e e e【點睛】本題考查函數(shù)圖象的辨別，在給定函數(shù)解析式辨別函數(shù)圖象時，要考查函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及特殊值，利用這五個要素逐一排除不符合要求的選項，考查 分析問題的能力，屬于中等題.7. a2 b2 a 2b 6的展開式中a4b4的系數(shù)為（）A. 320B. 300

7、C. 280D. 260【答案】B【解析】a 2b 6展開式的通項為：Tr 1 C636 r 2b r 2C；a6b,則：丁5c 4c4 6 4. 42,42 2 6 2, 24. 22 c6 a b 240a b , T32 c6 a b 60a b ,據(jù)此可得：a4b4的系數(shù)為240 60 300.本題選擇B選項.8. 5人并排站成一行，如果甲乙兩個人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（）1 . 12B. 36C. 72D. 120【答案】C【解析】由分步原理，先排除去甲、乙兩人外的3人，再將甲、乙兩人從 4個空中選2個插入即可得解.【詳解】解：先除去甲、乙兩人，將剩下的3人全排，共 A3 3

8、2 1=6種不同的排法，再將甲、乙兩人從 4個空中選2個插入共A2 =12種不同的排法,即5人并排站成一行，如果甲乙兩個不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是6 12 72,故選C.本題考查了排列組合中的不相鄰問題，屬基礎(chǔ)題9 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體最長的棱長為（）A. 4曲 B . 4應(yīng) C . 6 D . 275【解析】由題可得立體圖形：則AB AC 4, PC J16 4 2J5, BC 4v/2 ,AP BP 116 16 4 6,所以最長棱為6點睛：考察三視圖10 .將函數(shù)f x 3sin 4x 圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右

9、6平移一個單位長度，得到函數(shù) y g x的圖象，則y g x圖象的一條對稱軸是62A. x B. x -C. x -D. x 12633【答案】C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)y=Asin (x+?)的圖象變換規(guī)律，得到 g (x) =3sin (2x-),從而得到g (x)圖象的一條對稱軸是 x .63詳解：將函數(shù)f (x) =3sin (4x+)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，可得6函數(shù)y=3sin (2x+)的圖象，6再向右平移 一個單位長度，可得 y=3sin2 (x- )+=3sin (2x-)的圖象，故 g ( x) =3sin (2x -).令 2x=k % + , kCz,得至

10、ij x= ? % + , kCz.6223則得y=g (x)圖象的一條對稱軸是x ,3故選C.點睛：本題主要考查函數(shù)y=Asin ( w x+?)的圖象變換規(guī)律，函數(shù) y=Asin ( w x+?)的圖象的對稱軸，屬于中檔題.y=Asin (co x+?)圖象的變換，函數(shù)圖像平移滿足左加右減的原則，這一原則只針對x本身來說，需要將其系數(shù)提出來，再進行加減.11 .設(shè) a log 3 0.4, b log 2 3 ,則()A.ab0 且 ab0B.ab0且 ab0C.ab0 且 ab0D.ab0 且 ab0【答案】B【解析】容易得出1 log3 0.4 0, log2 3 1 ,即得出1 a

11、0, b 1,從而得出 ab 0 , a b 0.【詳解】1c，一 八八-0.4 1,1 log3 0.4 0.3又 log2 3 1 ,即 1 a 0, b 1,ab 0, a b 0.故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求解時注意總結(jié)規(guī)律，即對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)同時大于1或同時大于0小于1,函數(shù)值大于0;若一個大于1,另一個大于0小于1,函數(shù)值小 于0.212 .過雙曲線X2 1的右支上一點P分別向圓c：(X 2)2 y2 4和圓C2：3(x 2)2 y2 1作切線，切點分別為 M ,N ,則| PM |2 | PN |2的最小值為()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A2【

12、解析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x2 L 1的左右焦點為Fi( 2,0),3F2(2,0),連接 PFi,PF2, FiM , F2N ,運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值.【詳解】22圓Ci：(x 2)y4的圓心為(2,0),半徑為r, 2；22圓C2：(x 2)y1的圓心為(2,0),半徑為r2 1,設(shè)雙曲線x2y231的左右焦點為F1( 2,0) , F2(2,0),連接 PF1, PF2 , F1M , F2N ,可得_ 2 | PM |_22222|PN | (| PF1 | r1 ) (| PF2 | 2)22(| PF1 | 4

13、) (| PF2 |1)22 |PFi|PF2| 3 (|PFi| |PF2|)(|PFi| IPF2I) 32a(|PF" IPF2I)3 2(|PFJ | PF2 |) 32212c 3 24 3 5.當且僅當P為右頂點時，取得等號，即最小值5.故選A.【點睛】本題考查最值的求法，注意運用雙曲線的定義和圓的方程，考查三點共線的性質(zhì),以及運算能力，屬于中檔題.二、填空題*I I13 .已知“ 4,曲1, a b 2,則向量2a b在b方向上的投影為【答案】32a b b【解析】先求出2a b b的值，再由而一可得結(jié)果.【詳解】因為id 4, b 1, a b 2,所以 24b b

14、2/ b 1 4 1 3,2b b 3向量2a b在b方向上的投影為 - 1 3,故答案為3.【點睛】本題主要考查向量的投影及平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積主要ab,應(yīng)用以下幾個方面：(1)求向量的夾角，cos司H (此時a b往往用坐標形式求解）；（2）求投影，a在b上的投影是J b-g- ；（ 3）J, b向量垂直則J b0 ；（4）求向量mJ nb的模（平方后需求J b _ . .TT14 . zXABC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為J,b,c.若b 6,j 2c, B 3面積為【答案】6、3【解析】本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于c的方程，應(yīng)用a,c的關(guān)系、三角形面積公

15、式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運算求解能力的考查.由余弦定理得b2 a2ac cos B ,所以(2c)2 c22c即c212解得2、3 c2.3（舍去）所以2 c 4,3S ABC1acsin B 24 .3 2,3 6.3.2本題涉及正數(shù)開平方運算,易錯點往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯誤.答此類問題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上,準確記憶公式，細心計算.15 .在直三棱柱ABC ABC1中,BAC90且AB 73, BBi 4 ,設(shè)其外接球的球心為O ,且球O的表面積為28ABC的面積為【答案】3-2【解析】先計算球的半徑為 用確定球心

16、為HG的中點，根據(jù)邊角關(guān)系得到 AC 3,計算面積得到答案.球O的表面積為4 R2 28R .73、, 32如圖所示：H , G為BC, BQi中點，連接HGBAC 90 ,故三角形的外心在 BC中點上，故外接球的球心為 HG的中點.1在 Rt OGC 中：OG -BB1 2,OC R "，故 CG 73; 2在 Rt ABC 中：BC 2CG 2書,AB 73 ,故 AC 3 ,故 S ABC【點睛】本題考查了三棱柱的外接球問題，確定球心的位置是解題的關(guān)鍵交C的準線16.以拋物線C： y2 2Px(p 0)的頂點為圓心的圓交 C于A,B兩點，于D,E兩點.已知|AB| 2J6, |

17、DE| 2J10,則P等于.【答案】.2 .【解析】畫出圖形，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即得p的值.【詳解】如圖：| AB| 2提,|AM |展,| DE | 2而，| DN | 師，|ON | p ,x'3人 2P p ',|OD | |OA|,ON |DN | 2_ _ _2OM | AM |p29- 106,4p故答案為J2.本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.三、解答題17設(shè)Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，S9= 81, a2 a<3= 8.(1)求an的通項公式；(2)右S3, a14, Sm成等比數(shù)列

18、，求S2m.【答案】(1) an= 2n 1 (2) 324【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前n項和公式，列出關(guān)于方程組即可求解；(2)由題意，寫出數(shù)列前 n項和公式，根據(jù)等比中項公式列方程，解.【詳解】I *(1) , Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S9= 81, a2 a3= 8.a1和d的方程組，解求解 m值，即可求S99a59a14d 81 ?a2 a32d 3d 8解得 ai=1 d=2 ,a=1 n 1 2= 2n 1n.（2）由（1）知，Snn 1 2n 122,S3 -1 a14, Sm 成等比數(shù)列，S3sma14,即 9m2=272 解得 m9,S2 m 1823 24【

19、點睛】本題考查（1）等差數(shù)列基本量的求解（2）等比中項概念，屬于基礎(chǔ)題18.每年七月份，我國 J地區(qū)有25天左右的降雨時間，如圖是 J地區(qū)S鎮(zhèn)2000-2018年降雨量（單位：mm的頻率分布直方圖， 試用樣本頻率估計總體概率，解答下列問題:（1）假設(shè)每年的降雨天氣相互獨立，求S鎮(zhèn)未來三年里至少有兩年的降雨量超過350mm的概率；（2）在S鎮(zhèn)承包了 20畝土地種植水果的老李過去種植的甲品種水果，平均每年的總利潤為31.1萬元.而乙品種水果的畝產(chǎn)量m （kg/畝）與降雨量之間的關(guān)系如下面統(tǒng)計表所示，又知乙品種水果的單位利潤為32-0.01 xm（元/kg ）,請幫助老李排解憂愁，他來年應(yīng)該種植哪個

20、品種的水果可以使利潤E （萬元）的期望更大？（需說明理由）；降雨量100 , 200)200 , 300)300 , 400)400 , 500)500700600400【答案】（1）且；（2）乙品種楊梅的總利潤較大 .32【解析】（1）由頻率分布直方圖中矩形面積和為1,計算第四組的頻率，再求出第三組矩形面積的一半，求和即可求出對應(yīng)的概率值， 再利用獨立重復(fù)試驗概率公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)直方圖求隨機變量的概率，可得隨機變量的分布列，求出乙品種楊梅的總利潤的數(shù)學(xué)期望，與過去種植的甲品種楊梅平均每年的總利潤為28萬元比較得出結(jié)論和建議.【詳解】（1）頻率分布直方圖中第四組的頻率為1 100 0.

21、002 0.004 0.003 0.1該地區(qū)在梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率為50 0.003 0.1 0.25所以該地區(qū)未來三年里至少有兩年梅雨季節(jié)的降雨量超過350mm的概率為23C； 11 -C33 -9 （或 0.15625.）44464 6432（2）據(jù)題意，總利潤為 20n 32 0.01n 元，其中 n 500,700,600,400所以隨機變量（萬元）的分布列如下表：273531.222.4P0.20.40.30.1故總利潤（萬元）的期望E 27 0.2 35 0.4 31.2 0.3 22.4 0.15.4 14.0 9.36 2.24 31 （萬元）因為31 28,所

22、以老李應(yīng)該種植乙品種楊梅可使總利潤（萬元）的期望更大.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為1； （2）組距與直方圖縱坐標的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標、組距相乘后求和可得平均值；（4）直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標表示中位數(shù)19.如圖，梯形 ABCD 中，AB/DC , AB 4 , AD DC CB 2,將 BCD 沿 BD折到 BC'D的位置，使得平面 BC'D 平面ABCD .(1)求證：AD BC'(2)求二面角B AC 

23、9; D的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)利用長度關(guān)系可證AD BD,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得AD平面BC'D ,即可求證結(jié)論;(2)建立空間直角坐標系，分別求出平面ADC '與平面ABC '的法向量，運用空間向量法，即可求解.【詳解】(1)在梯形ABCD中，過D作DH AB于H ,則 AH 1 ,又 AD 2 ,所以 DH J3,DAH 60 , ABD 30 ,故 ADB 90 ,即 AD BD. 又平面BC'D 平面ABCD ,平面BC'D。平面ABCD BD , AD 平面ABCD ,所以AD 平面BC' D ,又

24、BC' 平面BC'D,所以AD BC'.(2)以D為原點，建立空間直角坐標系 D xyz如圖所示，則A 2,0,0 , B 0,273,0 , C' 0,73,1 ,DA 2,0,0 , AC'2,石,1AB2,2 3,0設(shè)平面ADC'的法向量n1%,%,乙2x1 0x1即廠，解得2x1 3yl z1 0z100,令 y 1,得 n1 0,1,73,設(shè)平面ABC'的法向量n2x2,y2,Z2，則日口2x22局2-2x21I所以 cos ni,n2、3,1, . 3ni n222 .7,77'結(jié)合圖形可知，二面角 B AC'

25、 D為鈍角，它的余弦值為7L7本題考查空間垂直的轉(zhuǎn)換證明線線垂直,考查用空間向量法求二面角，考查計算能力,屬于中檔題.20.已知點F1.0 ,直線 l ： x4, P為平面內(nèi)的動點，過點 P作直線l的垂線，垂(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)過點F作兩條互相垂直的直線AB與MN分別交軌跡C于A, B, M , N四點.的取值范圍.22【答案】(1) - -y- 1 (2)43開計算得到x, y的關(guān)系式即可;【解析】(1)設(shè)動點P x, y(2)當直線AB的斜率不存在(或者為 0)時，可求出A, B, M , N四點坐標，即可得到 ABMN7 ；當直線AB的斜率存在且不為 0時，設(shè)為k ,直線

26、AB的方程為y k x 1 ,與軌跡C的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得到的表達式，然后利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識可求出ABMN的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)動點 P x, y ,則 H 4, y ,2212所以 x 1 y x 4 , 422化簡得士 L i.4322故點P的軌跡C的方程為 1 .43(2)當直線AB的斜率不存在時，AB x軸，33可設(shè) A 1, 一 , B 1,一 , M 2,0 , N 2,0 , 22AB 3, MN 4, AB MN 7,當直線AB的斜率為0時，AB y軸，同理得 AB MN 7,當直線AB的斜率存在且不為 0時，設(shè)為k ,則直線AB的方程為:y k x 1設(shè)

27、A x1，y1 , B x2, y2 ,由 x2y2得:1433 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0,2-_則 144k144 0, x, x28k22 ， x,x23 4k4k2 123 4k2所以AB222x1x2y1y21 k22x1 x24x1x2k264k416k2 482 -Z. 23 4k23 4k2144 k2 12 23 4 k2則AB巴k， 3 4k 1直線MN的方程為：y x 1 , k所以k2同理可得:12 k21,則t12t21121k12 k2 123k 43 4k1,12t1212k2 13k2 43t 1 4t 184t t 222 ,3t 1 4t 10

28、,綜上所述,1,212t3t 1上單調(diào)遞減,48712t4t 12,212t2 t的取值范圍是上單調(diào)遞增48T,7 .487本題考查了軌跡方程的求法，考查了向量的數(shù)量積,考查了直線與橢圓統(tǒng)合問題，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，及計算能力，屬于難題.1-，、21.已知函數(shù)f(x) ln x - mx在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，m R. x(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)當m取最大值時，若直線l ： y ax b是函數(shù)F(x) f (x) 2x的圖像的切線,且a,b求a b的最小值.1a -Xo(1)(1)lnx根據(jù)2；(2)a b的最小值為-1.設(shè)切點坐標為2 ,又由lnxoXoXo0,1

29、上恒成立可得實數(shù) m的取值范圍.(2)由題意得1Xo,lnxo 一 Xo,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得Xoa b lnx011小1 ,然后再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h xInx最小值即可.【詳解】(1) Xo1,1(x 0)的 xlnx12 x又函數(shù)f f則當x1時,2,，實數(shù)在區(qū)間0,1上為增函數(shù),0 在 0,1x 在 0,1上恒成立.0,1取得最小值，且txminm的取值范圍為,2(2)由題意的F xlnx2x2xlnx設(shè)切點坐標為x,lnx則切線的斜率x0又 lnx0ax012， xx0b,lnx。x0lnx)lnxxOx01x012 x01(x0),故當x 0,1時，h x 0,h x單調(diào)遞減；當x

30、 1, 時，h x 0,h x單調(diào)遞增.，當x 1時，h x有最小值，且h x min h 11,a b的最小值為 1.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，其中在研究函數(shù)的性質(zhì)中,單調(diào)性是解題的工具和基礎(chǔ)，而正確求導(dǎo)并判斷導(dǎo)函數(shù)的符號是解題的關(guān)鍵，考查計算 能力和轉(zhuǎn)化意識的運用，屬于基礎(chǔ)題.3x 2t22.在直角坐標系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為2（t為參數(shù)），以坐標原點5y 2tZ31 2sin22為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.曲線C2的極坐標方程為（1）求曲線C1的普通方程，曲線 C2的參數(shù)方程;（2）若巳Q分別為曲線C1 , C2上的動點，求PQ的最小值，并求PQ取得最小值時，Q點的直角坐標.廠【答案】（