拉氏變換與反拉氏變換

1、1第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 22、 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征

2、，同時(shí)數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。應(yīng)對(duì)模型的簡潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。 實(shí)驗(yàn)法 33、數(shù)學(xué)模型的形式、數(shù)學(xué)模型的形式 時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差 分方程、狀態(tài)方程 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖 頻率域：頻率特性 二二、系統(tǒng)的微分方程1、定義、定義：時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。2、 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過程， 確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 4 從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程； 消去中間變量，得到描述元

3、件或系統(tǒng)輸入、 輸出變量之間關(guān)系的微分方程； 標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列3、 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：5 質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm 彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)6ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121 阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()(

4、)()()()(21217q 機(jī)械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCi8)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。 9q 彈簧阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

5、為一階常系數(shù)微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi10q 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C 粘性阻尼系數(shù)柔性軸11)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo12 電氣系統(tǒng) 電阻電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)()(tRitu 電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t)13 電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)q R-L-C無源電

6、路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)回路電壓定律即基爾霍夫定律14dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，則系統(tǒng)簡化為：)()()(tututudtdRCioo15)()(0)(21titituaq 有源電網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：a點(diǎn)是運(yùn)算放大器點(diǎn)是運(yùn)算放大器的反相輸入端。由的反相輸入端。由于其開環(huán)放大系數(shù)于其開環(huán)放

7、大系數(shù)值很大，輸入阻抗值很大，輸入阻抗一般都很高。一般都很高。有：有：i-= i+ =0 (虛斷）虛斷） u- = u+ （虛短）（虛短）16例：列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t),輸出為x(t) 2)列寫微分方程，受力分析xmxckxf 3)整理可得：fkxxcxm17例：列寫下圖所示電網(wǎng)絡(luò)的微分方程解：1)系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為u1,輸出為u22)列寫原始微分方程3)消除中間變量，并整理：18 小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法） 。 從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入

8、作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)； 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。19 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)； q 線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf

9、齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：各個(gè)輸入產(chǎn)各個(gè)輸入產(chǎn)生的輸出互生的輸出互不影響。不影響。20疊加 液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱體截面積；根據(jù)托里拆利定理，出水量與根據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比。水位高度平方根成正比。21)()()(tqtHtHdtdAi上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，為常數(shù)。q 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式 )()()()()()()(

10、)(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn22式中，a1，a2，an和b0，b1，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，mn。 三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1、 線性化問題的提出線性化問題的提出 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進(jìn)行處理。 非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由 于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有 鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 23 線性化的提出q 線性系統(tǒng)是有條件存在的，只

11、在一定的工作 范圍內(nèi)具有線性特性； q 非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的； q 對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線 性化模型近似代替非線性模型進(jìn)行處理，能 夠滿足實(shí)際需要。 2、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 泰勒級(jí)數(shù)展開法 函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0, y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為： 243003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的項(xiàng)，則：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = K

12、x， 其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0 = f (x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；25增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。 對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y = f (x1, x2)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開獲得線性化的增量方程。 )()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：2

13、6 滑動(dòng)線性化切線法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非線性關(guān)系線性化A線性化增量方程為：y y =xtg切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。適用前提適用前提假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個(gè)假設(shè)在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過程中，各個(gè)元件的調(diào)節(jié)過程中，各個(gè)元件的輸入和輸出量只是在平衡輸入和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。點(diǎn)附近作微小變化。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立、系統(tǒng)線性化微分方程的建立 步驟 27q 確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)； q 列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程； q 消除中間變量，得到以增量表示的線性化微 分方程； 實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化 )()()(tqtHtHdtdAi節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t

14、)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)0000,ioiqHqq解解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：)(tH非線性項(xiàng)的泰勒展開為：2820022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHHHHHHHHdHHdHH0000021)(則：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：29)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：此時(shí)，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點(diǎn)的增量。4、線性化處理的注意事項(xiàng)、線性化處理的注意事項(xiàng) 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)； 線性化是有條件的，必須注意線性

15、化方程適 用的工作范圍； 30 某些典型的本質(zhì)非線性本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間 隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不 能通過泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì) 系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作 為非線性問題處理。 inout0近似特性曲線真實(shí)特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性31inout0繼電器非線性inout0間隙非線性例：液壓伺服機(jī)構(gòu)解：1）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入為x,輸出為y2)列寫原始微分方程：32),(21pxqqyAqApycymppp，設(shè)3)非線性函數(shù)線性化：4)代入方程，整理可得：xKAKyKAcymcqc)(2),(:) 1 (000qpx設(shè)為確定系統(tǒng)預(yù)定工作點(diǎn)

16、ppqxxqpxqpxqTaylorppxxppxx0000),(),(,)2(00級(jí)數(shù)形式展開成)(1:)3(qxKKpqc表示成增量化形式33四、拉氏變換和拉氏反變換1、拉氏變換、拉氏變換 設(shè)函數(shù)f(t) (t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)，使得：0)(limtfett則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實(shí)數(shù)）；0)()()(dtetftfLsFst340dtest稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。2、拉氏反變換、拉氏反變換 0,)(21)()(

17、1tdsesFjsFLtfjjstL1為拉氏反變換的符號(hào)。式中是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。35直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到原函數(shù)的形式。若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。363、幾種典型函數(shù)的拉氏變換、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 q 單位階躍函數(shù)1(t) 10tf(t)單位階躍函數(shù)0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst37q 指數(shù)函數(shù)atetf)(（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)1)0)(

18、Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat38q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin390)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj從而：22cossstL同理：40q 單位脈沖函數(shù)(t) 0tf(t)單位脈沖函數(shù)1)0(1lim)0(0)(0tttt且00000001( )lim11limlim1lim(1)stststsLtedtedteses)

19、()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達(dá)法則：1lim)(0setL所以：41q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 10tf(t)單位速度函數(shù)1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst42q 單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。 434、拉氏變換積分下限的說明、拉氏變換積分下限的說明 在某些情況下，函數(shù)f(t)在t0處有一個(gè)脈沖函數(shù)(或在t=0處具有間斷點(diǎn))。這時(shí)必須明確拉氏變換的積分下限是0還

20、是0+，并相應(yīng)記為：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst44常用拉氏變換表常用拉氏變換表455、拉氏變換的主要定理、拉氏變換的主要定理 疊加定理 q 齊次性：Laf(t)=aLf(t)，a為常數(shù)；q 疊加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。 微分定理 0)()0( ),0()()(ttfffssFdttdfL4600)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明證明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：)0()()(fssFdttdfL所以

21、：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同樣有：47)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：當(dāng)f(t)在t=0處具有間斷點(diǎn)時(shí)，df(t)/dt在t=0處將包含一個(gè)脈沖函數(shù)。故若f(0+) f(0)，則：48 積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL當(dāng)初始條件為零時(shí)：若f(0+) f(0)，則：sfssFdttfLsfssFdttf

22、L)0()()()0()()()1()1()0()()(),0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL49證明證明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同樣：50)(1)(sFsdttfLnn當(dāng)初始條件為零時(shí)： 延遲定理 )()(sFetfLs設(shè)當(dāng)t0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意0，有：函數(shù) f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)51 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinss

23、tLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat 初值定理 )(lim)0()(lim0ssFftfst52證明證明：初值定理建立了函數(shù)初值定理建立了函數(shù)f(t)在在t=0+處的初值與函數(shù)處的初值與函數(shù)sF(s)在在s趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。趨于無窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即： 終值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面， 即：)(limtft存在。則：53證明證明：)0()(lim)0()(lim)(lim0

24、00fssFfssFdttdfLsss)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)(lim)(0ssFfs)0()(lim)0()(0fssFffs即：終值定理說明終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與穩(wěn)定值與sF(s)在在s=0時(shí)的初值相同。時(shí)的初值相同。547、求解拉氏反變換的部分分式法、求解拉氏反變換的部分分式法 部分分式法 如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1

25、F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)55)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，-p1，-p2，-pn為方程A(s)=0的根，稱為F(s)的極點(diǎn)；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此時(shí)，即可將F(s)展開成部分分式。 56 F(s)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)(

26、)(式中，Ai為常數(shù)，稱為s = -pi極點(diǎn)處的留數(shù)。() ( )()( )( )( )( )()()limlimiiiiispspiisp B ssp B sB sAA sA sB pA p實(shí)際常如下計(jì)算：實(shí)際常如下計(jì)算：57例例：求)6(2)(22ssssssF的原函數(shù)。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA54) 3(2)()2(2223sssssssFsA215431158131)(ssssF即：)0(5415831)()(231tees

27、FLtftt58例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)f（t）s10s7s1s2) s (F23解：解：32( )2121( )( )(2)(5)710B sssF sA ss sssss其中：其中：p10、p2-2、p3-51102( )21|0.1( )31410spSB ssAA sss同理：同理：A2=0.5、A30.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (Ft5t2e6 . 0e5 . 01 . 0) t (f其反變換為：其反變換為：59 F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 假設(shè)F(s)含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)-p1、-p2，其余極點(diǎn)均為各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。注意，此時(shí)F(s)仍

28、可分解為下列形式：niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(由于p1、p2為共軛復(fù)數(shù)，因此， A1和A2也為共軛復(fù)數(shù)。ipsiipssFA)()(60例 試求 的拉氏反變換。 321sF ssss解： 31232113132222AAAsFssssssjsj1321322113132226sjsAsjjsss 21326Aj 則 332011ssAssss 32131311262613132222jjsFssssssjsj61則 131322221213131 12626333sincos1 1322jtjttf tjejetettt tjtjtjtjeeteejt

29、21cos21sin這里用到歐拉公式 62例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)5s2s3s) s (F2解：解：p11+j2、p21j2411242( )| 2( )0.5 2( )2cos(2)4jsjjtN sKjeD sKef tet 則：63 F(s)含有重極點(diǎn) 設(shè)F(s)存在r重極點(diǎn)-p0，其余極點(diǎn)均不同，則： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA640)(001pspssFAr0

30、)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr65tpnnentpsL0)!1()(1101注意到：)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr所以：66例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)23s) 1s (1) s (F解：解：B（s）0有有 p11的三重根、的三重根、p20的二重根，所以的二重根，所以F（s）可以展開為：可以展開為：2212231121213sKsK) 1s (K) 1s (K1sK) s (F23s1) s

31、 (F) 1s (故：3s1dsd21K2|s1dsdK1|s1K222131s2121s21132) 1s (1) s (Fs3|) 1s (1dsdK1|) 1s (1K0s3220s321tetteetfssssssFttt32123)(13) 1(1) 1(213)(2232從而：67例例：求的原函數(shù)。) 1()2(3)(2ssssF解解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFdsdA21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF6

32、8)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：8、 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方 程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達(dá)式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 69原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程70 實(shí)例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi (t) =1(t)，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求xo(t)。解解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換： )0()0

33、()()(222ooooxsxsXsdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL71)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)(6)(6sXtxLoostLsXtxLii1)( 1)()(對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2從而：323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo7261065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB

34、)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB73) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：74q 應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始 條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式 中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù) 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏 變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。 由上述實(shí)例可

35、見：q 系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸 入響應(yīng) 75五、傳遞函數(shù)1、傳遞函數(shù)的概念和定義、傳遞函數(shù)的概念和定義 傳遞函數(shù) 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。 零初始條件：q t0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；q 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工 作狀態(tài)，即t 0 時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也 均為0；76 傳遞函數(shù)求解示例 q 質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù) )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始條件均為零時(shí)，其拉

36、氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：77q R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：78q 幾點(diǎn)結(jié)論 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函 數(shù)G(s) 決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的 固有動(dòng)態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān) 系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的 輸入輸出特性來描述系

37、統(tǒng)的內(nèi)部特性。 79 一般有nm 同一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng)輸入量和輸出量的選擇不相同時(shí)，可能會(huì)有不同的傳遞函數(shù)。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。80 傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：81mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)(

38、令：)()()()()(sNsMsXsXsGio則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn) 特征方程式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)： G(0)=bm/an=K82從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K 反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。 零點(diǎn)和極點(diǎn) )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將G(s)寫成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj

39、 (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性83系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 零、極點(diǎn)分布圖 將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖0 12312-1-2-3-1-2j84時(shí)間常數(shù)形式時(shí)間常數(shù)形式853、傳遞函數(shù)

40、的幾點(diǎn)說明、傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明 傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常 系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函 數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)是 s 的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)； 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零 時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于 相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能 反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律； 86 傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系， 無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出 的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。 4、脈沖響

41、應(yīng)函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的相同信息。875、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 環(huán)節(jié) 具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。 任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。 典型環(huán)節(jié)示例 q 比例環(huán)節(jié) 輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。88其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、x

42、i(t)分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。KsXsXsGio)()()(比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(89q 慣性環(huán)節(jié) )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為： T時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和 環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；90)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：彈簧-

43、阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC91q 微分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的微分。dttdxtxio)()(運(yùn)動(dòng)方程為：ssXsXsGio)()()(傳遞函數(shù)為：式中，微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨(dú)立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。92RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò) RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。 除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：93) 1()()(

44、)(sKsXsXsGio微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢(shì)的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。q 積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。 tiodttxTtx0)(1)(運(yùn)動(dòng)方程為：TssXsXsGio1)()()(傳遞函數(shù)為：式中，T積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。94AtTAdtTtxto11)(0積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)： 輸出量取決于輸入量對(duì)時(shí)間的積累過程。 且具有記憶功能； 具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當(dāng)輸入量為常值 A 時(shí)，由于：輸出量須經(jīng)過時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t = 0時(shí)的值A(chǔ)。95如：有源積分網(wǎng)絡(luò)

45、+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(96液壓缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()()(97q 振蕩環(huán)節(jié) 含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio傳遞函數(shù)：式中，T振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù) 阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，0 1 K比例系數(shù)98TsssGnnnn1,2)(222振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為

46、（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)12/11)(222TssTKKCsmssG傳遞函數(shù)：mKCKmT2,式中，99mkC2當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。q 二階微分環(huán)節(jié) 式中，時(shí)間常數(shù) 阻尼比，對(duì)于二階微分環(huán)節(jié)，01 K比例系數(shù) 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio運(yùn)動(dòng)方程：12)(22ssKsG傳遞函數(shù)：01100q 延遲環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅 由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要 求的輸出值；)()(txtxio運(yùn)動(dòng)方程：sesG)(傳遞函數(shù)：式中，為純延遲時(shí)間

47、。 延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0 時(shí)間內(nèi), 沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：101ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量vLththio)()( 小結(jié) q 環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；102q 一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性 共同組成；q 同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸 出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。 六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖1、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖 系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的

48、數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。103 方框圖的結(jié)構(gòu)要素 q 信號(hào)線 帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。X(s), x(t)信號(hào)線q 信號(hào)引出點(diǎn)（線） 表示信號(hào)引出或測量的位置和傳遞方向。 同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。 引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)104q 函數(shù)方框(環(huán)節(jié)) G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 傳遞函數(shù)的圖解表示。q 求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）信號(hào)之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號(hào)“ ”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”

49、表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。 105相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。律、結(jié)合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。 106R1Cs1求和點(diǎn)函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號(hào)線、函數(shù)方框、信號(hào)引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方框圖來表示。 107 系統(tǒng)方框圖的建立 q 步驟 建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號(hào) 的因果關(guān)系（輸入/輸出）。

50、對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，繪制各部 件的方框圖。 按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依 次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng) 的方框圖。 108q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網(wǎng)絡(luò) 無源RC網(wǎng)絡(luò) )()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏變換得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi109從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。 R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)R1Cs1Ui(s)U(s)I

51、(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖110 機(jī)械系統(tǒng) m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(22txKtfoK111)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi112211smFi(s)X(s)FC(s

52、)FK1(s)(a)()()(1)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC113221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s) (c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK114211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s) K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機(jī)械系統(tǒng)方框圖115 系統(tǒng)方框圖的簡化 q 方框圖的運(yùn)算法則 串聯(lián)連接 G1(s)G2(s)Gn(s)X

53、i(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s)116 并聯(lián)連接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s)117 反饋連接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG118q 方框圖的等效變換法則 求和點(diǎn)的移動(dòng) G(s)ABC求和點(diǎn)后移G(s)ABC求和點(diǎn)前移G(s)

54、ABCG(s)G(s)ABC)(1sG119 引出點(diǎn)的移動(dòng) 引出點(diǎn)前移G(s)ACC引出點(diǎn)后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA120一般系統(tǒng)方框圖簡化方法：1)明確系統(tǒng)的輸入和輸出。對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，針對(duì)每個(gè)輸入及其引起的輸出分別進(jìn)行化簡；2)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)無交叉回路無交叉回路，則根據(jù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，并聯(lián)和反饋連接的等效從里到外從里到外進(jìn)行簡化；3)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)有交叉回路有交叉回路，則根據(jù)相加點(diǎn)、分支點(diǎn)等移動(dòng)規(guī)則消除交叉回路，然后按每2）步進(jìn)行化簡；注意：分支點(diǎn)和相加點(diǎn)之間不能相互移動(dòng)。注意：分支點(diǎn)和相加點(diǎn)之間不能相互移動(dòng)。121例：求下圖所示系統(tǒng)的

55、傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A解解：1、A點(diǎn)前移；H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)1222、消去H2(s)G3(s)反饋回路)()()(1)()()(232321sHsGsGsGsGsGH1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)()()()()()(1)()()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsGH3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s) 反饋回路123)()()()()()()()()()(1)()()(3321232121321sHsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGXi(s)Xo(s)4、消去H3(s) 反饋回路例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化124125例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化1262、梅遜公式、梅遜公式 1)()()(遞函數(shù)每一反饋回路的開環(huán)傳積前向通道的傳遞函數(shù)之sXsXsGiob 在相加點(diǎn)，對(duì)反饋信號(hào)為相加時(shí)取負(fù)號(hào)，對(duì)反饋信號(hào)為相減時(shí)取正號(hào)。條件：1）整個(gè)方框圖只有一條前向通道；2）各局部回路存在公共的傳遞函數(shù)方框。127例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化321GGG前向通道：232312123211相加點(diǎn)處、：相加點(diǎn)處、：相加點(diǎn)處、