偏導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、7.3 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義定義1.),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對(duì)在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxxfxx00 x則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)x00(,);xfxy00(,)xxyz同樣可定義對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy若函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對(duì) x,xzxfxz則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù), 也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,( , )xfx y( , )yfx y) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在

2、 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì)處對(duì) x 的的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)7.3.2 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對(duì) x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線0 xyTyxzOxT

3、0y對(duì) y 軸的0M),(00yx函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz(0, 0)0 xf(0, 0)0yf注意：注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例 例例1 . 求求223yyxxz解法解法1 1xz)2, 1 (xz解法解法2 2) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求例例2. 設(shè)設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln

4、1 例例3. 求求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry.2的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求例例yxz .,)sin(332yxzzyxyxz，求，求設(shè)設(shè)例例 .5222rzrzyryxrxzyxr ，求求證證：設(shè)設(shè)例例二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的推廣二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的推廣. 37.3.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)).,(),(),(),(),(,),(),(),(),(),(. 1yxfyxfyxfyxfyxfzyxyxfyxfDyxfyxfDyxfzyyyxxyxxyxyx：有有下下列列四四個(gè)個(gè)二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)變變量量求求導(dǎo)導(dǎo)次次序序

5、的的不不同同的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，按按照照對(duì)對(duì)們們是是函函數(shù)數(shù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)也也存存在在，則則稱稱它它數(shù)數(shù)的的的的函函數(shù)數(shù)，如如果果這這兩兩個(gè)個(gè)函函都都是是內(nèi)內(nèi)那那么么在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有偏偏在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義 .arctan1偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求它它的的所所有有的的二二階階設(shè)設(shè)例例xyz .),(),(),(. 2相相等等二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必那那么么在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)域域及及合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的兩兩個(gè)個(gè)二二階階混混如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理Dyxfyxfyxfzxyyx .sin2242zyxuyxxzu ，求，求設(shè)設(shè)例例.,1

6、32242xutuetutx 滿滿足足證證明明函函數(shù)數(shù)例例. 014222222222 zuyuxuzyxu拉拉斯斯方方程程：滿滿足足拉拉普普證證明明例例)2(:98)3(),1(:618、頁頁作作業(yè)業(yè) P7.3.3 高階偏導(dǎo)高階偏導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzx

7、yx數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)為為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1偏導(dǎo)數(shù)為11nnxzyxe22例例5. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此處此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二階偏導(dǎo)數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0

8、(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那么定理定理.說明說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) , 而初等(證明略) ,)(xuuf備用

9、題備用題 設(shè), )(ufz 方程)(uuxytdtp )(確定 u 是 x , y 的函數(shù) ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp連續(xù), 且, 1)( u求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(07.3.4 偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 在一元函數(shù)微分學(xué)中在一元函數(shù)微分學(xué)中,我們引出了邊際和我們引出了邊際和彈性的概念彈性的概念,來分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變來分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率和相對(duì)變化率化率和相對(duì)變化率,這些概念也可以推廣到多

10、這些概念也可以推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中去元函數(shù)微分學(xué)中去,并被賦予了豐富的經(jīng)濟(jì)含并被賦予了豐富的經(jīng)濟(jì)含義義.實(shí)例實(shí)例某種品牌的電視機(jī)營銷人員在開拓市場(chǎng)時(shí)某種品牌的電視機(jī)營銷人員在開拓市場(chǎng)時(shí),除除關(guān)心本品牌電視機(jī)的價(jià)格取向外關(guān)心本品牌電視機(jī)的價(jià)格取向外,更關(guān)心其他更關(guān)心其他品牌同類型電視機(jī)的價(jià)格情況品牌同類型電視機(jī)的價(jià)格情況,以決定自己的以決定自己的營銷策略營銷策略.即該品牌電視機(jī)的銷量即該品牌電視機(jī)的銷量 是它的是它的價(jià)格價(jià)格 和其他品牌電視機(jī)價(jià)格和其他品牌電視機(jī)價(jià)格 的函數(shù)的函數(shù).AQAPBP BAAPPfQ, APBP通過分析其邊際通過分析其邊際 及及 可知道可知道, 隨隨著著 及及 變化的

11、規(guī)律變化的規(guī)律.AQAAPQ BBPQ AAAAPQPQ 進(jìn)一步分析其彈性進(jìn)一步分析其彈性,可知這種變化的靈敏度可知這種變化的靈敏度.BABAPQPQ 及及的的彈彈性性對(duì)對(duì)AAPQ的的彈彈性性對(duì)對(duì)BAPQ性性彈彈叉叉交交的的對(duì)對(duì)BAPQ亦稱為亦稱為解解:15 XYPQ2401015152120 YQ625. 02401015 YXXYXYQPPQE則則時(shí)時(shí)商商品品的的交交叉叉彈彈性性，求求當(dāng)當(dāng)，某某商商品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為例YXXYYPPPPQ例例 9 9 隨隨著著我我國國養(yǎng)養(yǎng)雞雞工工廠廠化化的的迅迅速速發(fā)發(fā)展展，肉肉雞雞價(jià)價(jià)格格會(huì)會(huì)不不斷斷下下降降?，F(xiàn)現(xiàn)估估

12、計(jì)計(jì)明明年年肉肉雞雞價(jià)價(jià)格格將將下下降降 5 5% %, ,已已知知肉肉雞雞價(jià)價(jià)格格與與豬豬肉肉需需求求量量的的交交叉叉彈彈性性為為0 0. .8 85 5。問問明明年年豬豬肉肉的的需需求求量量將將如如何何變變化化？ 解：解：雞雞肉肉價(jià)價(jià)格格的的變變化化率率豬豬肉肉需需求求量量的的變變化化率率 XYE%25. 4%585. 0 雞肉價(jià)格的變化率雞肉價(jià)格的變化率化率化率所以，豬肉需求量的變所以，豬肉需求量的變XYE交叉彈性的經(jīng)濟(jì)意義交叉彈性的經(jīng)濟(jì)意義;為為替替代代品品與與交交叉叉彈彈性性大大于于零零，稱稱YX為為互互補(bǔ)補(bǔ)品品；與與交交叉叉彈彈性性小小于于零零，稱稱YX相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的商商品品與與交交叉叉彈彈性性等等于于零零，稱稱YX經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義的的相相關(guān)關(guān)性性，具具有有明明確確的的映映了了兩兩種種商商品品之之間間不不同同交交叉叉彈彈性性的的值值，反反一般定義一般定義 的的相相對(duì)對(duì)改改變變量量函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)存存在在處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xyxyxfz, yxfyxfyxxfzzx, 之之比比的的相相對(duì)對(duì)改改變變量量與與自自變變量量xxx xxzzx .,兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的彈彈性性到到從從對(duì)對(duì)稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxxxyxf 即即.lim0zxxzxxzzEExxxzx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx