圖形的擺放與探究 (2)

1、首都師大附中首都師大附中 張文娣張文娣 用一對全等的直角三用一對全等的直角三角形按下列位置擺一擺，角形按下列位置擺一擺，并畫出圖形并畫出圖形. .(1)(1)(2)(2)(3)(3) 根據圖形提問題根據圖形提問題C CO OD DB BA A(1)(1)已知：如圖，已知：如圖，ABC ABD C= D=90， 點點A A和點和點B B是對應點是對應點求證：求證：ACOACOBDOBDO SSS SAS ASA AAS HL SSS SAS ASA AAS HL 問題問題1 1B BD DA AE EC C(2)(2)如圖如圖, ,已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=AC,AB

2、=AC, BE BE、CDCD是是ABCABC的的高高求證：求證：BE=CDBE=CD 等腰三角形等腰三角形兩腰上的兩腰上的高相等高相等問題問題2 2如圖如圖, ,已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC, BE、CD是是ABCABC的的中線中線 等腰三角形等腰三角形兩腰上的兩腰上的中線相等中線相等條件條件變式變式B BD DE EC CA A變式變式1 1猜想線段猜想線段BEBE和和CDCD的數量關系。的數量關系。BE=CD如圖如圖, ,已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC, BE、CD是是ABCABC的的角平分線角平分線 等腰三角形等腰三角形兩底角的兩底角的角平

3、分線相等角平分線相等條件條件變式變式變式變式2 2B BD DE EC CA A猜想線段猜想線段BEBE和和CDCD的數量關系。的數量關系。BE=CD等腰三角形等腰三角形兩腰上的兩腰上的高相等高相等B BD DE EC CA A等腰三角形等腰三角形兩底角的兩底角的角平分線相等角平分線相等等腰三角形等腰三角形兩腰上的兩腰上的中線相等中線相等等腰三角形等腰三角形兩底角兩底角相等相等等腰三角形等腰三角形底邊上的高、底邊上的底邊上的高、底邊上的 中線、頂角的角平分線中線、頂角的角平分線互相重合互相重合C CD DB BA A如圖如圖, ,已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC, BE、C

4、D是是ABCABC的的角平分線角平分線結論結論變式變式變式變式2 2求證：求證：BE=CDBE=CD證線段相證線段相等的方法等的方法有那些？有那些？在一個三角形中在一個三角形中在兩個三角形中在兩個三角形中求證：求證：OB=OCOB=OCB BD DE EC CA AO O變式變式3 3已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中， DE=DFDE=DF, DB=DCDB=DC，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足為，垂足為E E、F.F.求證：求證： AB=AC. .(3)(3)A AD DE EF FB BC C比比比比誰聰明誰聰明問題問題3 3已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中， ,

5、 DB=DCDB=DC，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足為，垂足為E E、F.F.求證：求證： . .A AD DE EF FB BC C逆向逆向變式變式DE=DFAB=ACDE=DFAB=AC變式變式4 4證法證法1 1： AB=AC AB=AC， B=C. B=C.DEABDEAB，DFACDFAC， BED=CFD=90 BED=CFD=90. .又又 BD=DC BD=DC，DBEDBEDCF.DCF.（AASAAS） DE=DF. DE=DF.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC, DB=DCDB=DC，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足為，垂足為E E

6、、F.F.求證：求證：DE=DF.DE=DF.A AD DE EF FB BC C變式變式4 4證法證法2 2: 連結連結AD.(AD.(如圖如圖) ) AB=AC AB=AC，BD=DCBD=DC，ADAD是是 ABC ABC的角平分線（的角平分線（等腰三角形底邊上中線與頂等腰三角形底邊上中線與頂角平分線互相重合）角平分線互相重合）又又 DEAB DEAB，DFACDFAC，DE=DFDE=DF（角平分線上的點到（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）角的兩邊距離相等）. . 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC, DB=DCDB=DC，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足為

7、，垂足為E E、F.F.求證：求證：DE=DF.DE=DF.A AD DE EF FB BC C多證多證變式變式變式變式4 4連結連結AD,(AD,(如圖如圖) ) BD=DC BD=DC， . . DE DEABAB，DFDFACAC，又又 AB=AC, AB=AC, DE=DF.DE=DF.ABDACDSS1122AB DEACDF面積法面積法已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC, DB=DCDB=DC，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足為，垂足為E E、F.F.求證：求證：DE=DF.DE=DF.A AD DE EF FB BC C證法證法3：多證多證變式變式變式變

8、式4 4已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，DB=DCDB=DC，DEABDEAB，DFACDFAC，CMAB,CMAB,垂垂足為足為E E、F F、M.M.猜想猜想DEDE、DFDF與與CMCM的數量的數量關系？并證明你的猜想關系？并證明你的猜想綜 合綜 合變式變式 連結連結ADAD，則，則 DE DEABAB，DFDFACAC，CMCMAB,AB, AB=AC, AB=AC, DE+DF=CM. DE+DF=CM.ABDACDABCSSS111222AB DEAC DFAB CM變式變式5 5A AD DE EF FM MB BC C面積法面積法猜想：猜想

9、：證明：證明：DE+DF=CM.已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，D D是邊是邊BCBC上任一點上任一點，DEABDEAB，DFACDFAC，CMAB,CMAB,垂足為垂足為 E E、F F、M.M. 是否還是否還有有DE+DF=CMDE+DF=CM成立？成立？拓展拓展變式變式變式變式6 6A AD DE EF FM MB BC CA AD DE EF FM MB BC C1 12 2ABAB S SABDABD+S+SACDACD=S=SABCDEFABCDEFDE+DF=CMDE+DF=CM面積法面積法已知：如圖，在已知：如圖，在ABCABC中，中，AB

10、=ACAB=AC，D D是是邊邊BCBC的延長線上任一點的延長線上任一點，DEABDEAB，DFACDFAC，CMAB,CMAB,垂足為垂足為E E、F F、M.M.是否是否還有還有DE+DF=CMDE+DF=CM成立？若成立，請給予成立？若成立，請給予證明；若不成立，證明；若不成立，請找出請找出DEDE、DFDF、CMCM之間的新的數量關系，并給予證明之間的新的數量關系，并給予證明. . 拓 展拓 展變式變式DEDF=CM變式變式7 7A AD DE EF FM MB BC C1 12 2ABAB S SA AB BD D- -S SA AC CD D= =S SA AB BC CD DE

11、EF F面積面積法法變式變式8 8請直接應用上述信息解決下列問題請直接應用上述信息解決下列問題: :當點當點P P在在ABCABC內內（如圖（如圖2 2）、）、點點P P在在ABCABC外外（如圖（如圖3 3）這兩種情況時，上）這兩種情況時，上述結論是否還成立？若成立，請給予述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，又有怎樣的關系，證明；若不成立，又有怎樣的關系，請寫出你的猜想，不需要證明請寫出你的猜想，不需要證明. .已知：等邊已知：等邊ABCABC和點和點P P，設點，設點P P到到ABCABC三邊三邊ABAB、ACAC、BCBC的距離分別為的距離分別為 ABCABC的的高高為為 . .“若點若點P P在一邊在一邊BCBC上（如圖上（如圖1 1），此時），此時 ，可得結論：，可得結論： .” .” 123,h h hh30h 123hhhh面積法面積法B BE EF FM MD DA AP PC CB BE EF FM MD DA AP PC CB BE EM MD DA AP PC C圖圖3圖圖2圖圖1黑龍江中考題黑龍江中考題h hh h2 2h h1 1h h3 3B BE EM MD DA AP PF FC Ch h2 2h h1 1h h3 3h hC CP PA AD DM ME EB BF F= =+ + + h h3 3h hh h1 1h h2 2= =