2013年高考理科數(shù)學(xué)湖南卷試題與答案word解析版_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、2013 湖南理科數(shù)學(xué)第1頁(yè)2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(湖南卷)一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2013 湖南,理 1)復(fù)數(shù)z=i(1+i)(i 為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2013 湖南,理 2)某學(xué)校有男、女學(xué)生各 500 名,為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異,擬從全體學(xué)生中抽取 100 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則宜采用的抽樣方法是().A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽

2、樣法3.(2013 湖南,理 3)在銳角ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若 2asinB=3b,則角A等于().nnnnA.12B.6C.4D.3八2x,I4.(2013 湖南,理 4)若變量x,y滿足約束條件x+y蘭1,則x+2y的最大值是().w555A.2B.0C.3D.25.(2013湖南,理 5)函數(shù)f(x)=2lnx的圖象與函數(shù)g(x)=x2-4x+5 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為().A.3B.2C.1D.06 .(2013 湖南,理 6)已知a,b是單位向量,a-b=0,若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是().A.i2-1,i21B.-2-1,22C.1,一2

3、1D.1,-227 .(2013 湖南,理 7)已知棱長(zhǎng)為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為 1 的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于().72-1.21A.1B.2C.2D.2&(2013 湖南,理8)在等腰直角三角形ABC中,AB=AO4,點(diǎn)P為邊AB上異于A,B的一點(diǎn),光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P.若光線QF經(jīng)過ABC勺重心,貝 UAP等于().A.2B.1C.D.二、填空題:本大題共(一) 選做題 (請(qǐng)考生在第9.(2013 湖南,理8 小題,考生作答 7 小題,每小題 5 分,共 35 分.9,10,11 三題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分

4、lx=t,l:(tly=ta9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線fx=3cos,(0為參數(shù))的右頂點(diǎn),則常數(shù)y=2sin;:10.(2013 湖南,理 10)已知 a,b,c最小值為.11.(2013 湖南,理 11)如圖,在半徑為a的值為R,a+2b+3c=6,則7 的O 中,弦 ABPA=PB=2,PD=1,則圓心O到弦CD的距離為為參數(shù))過橢圓 C:a2+4b2+9c2 的CD 相交于點(diǎn) P,C2013 湖南理科數(shù)學(xué)第2頁(yè)2013 湖南理科數(shù)學(xué)第3頁(yè)(二)必做題(1216 題)T12. (2013 湖南,理 12)若x2dx=9,則常數(shù) T 的值為.13.(2013 湖南,理 13)執(zhí)行

5、如圖所示的程序框圖,如果輸入 a=1,b=2,則輸出的 a 的值為.221丄-122_I14. (2013 湖南,理 14)設(shè) F1,F2 是雙曲線 C:ab(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn), P 是 C 上一點(diǎn).若|PF1|+|PF2|=68,且厶PF1F2的最小內(nèi)角為 30,則C的離心率為.15. (2013 湖南,理 15)設(shè) Sn 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,Sn=(1)nan 丄n2,nN*,貝 U(1)a3=;(2)S1+S2+,+S=.16. (2013 湖南,理 16)設(shè)函數(shù) f(x)=ax+bxcx,其中 ca0,cb0.(1)記集合M=(a,b,c)|a,b,c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三

6、條邊長(zhǎng),且a=b,則(a,b,c)M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為若a,b,c是厶ABC勺三條邊長(zhǎng), 則下列結(jié)論正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))1-x(g,1),f(x)0;2xR,使ax,bx,cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng);3若ABC為鈍角三角形,貝 Ux(1,2),使f(x)=0.三、 解答題: 本大題共 6 小題, 共 75 分解答應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟.nn丨x17.(2013 湖南,理 17)(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)=sinixcosix,g(x)=2sin2.I6丿I3丿2(1)若a是第一象限角,且f(a)=33,求g(a)的值;5(2)求

7、使f(x)g(x)成立的x的取值集合.2013 湖南理科數(shù)學(xué)第4頁(yè)12 分)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為 4 米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示:(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;從所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望.X1234Y51484542這里,兩株作物“相近”是指它們之間的 1 米18.(2013 湖南,理 18)(本小題滿分縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)2013 湖南理科數(shù)學(xué)第5頁(yè)2013 湖南理

8、科數(shù)學(xué)第6頁(yè)19.(2013 湖南,理 19)(本小題滿分 12 分)如圖,在直棱柱ABCDABCD中,AD/BC,/BAD=90,AC丄BDBC=1,AD=AA=3.(1) 證明:ACLBD;(2) 求直線BC與平面ACD所成角的正弦值.2013 湖南理科數(shù)學(xué)第7頁(yè)20.(2013 湖南,理 20)(本小題滿分 13 分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MMMMN與路徑MNN都是M到N的“L路徑”.某21.(2013 湖南,理 21)(本小題滿分 13 分)過拋物線E:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為匕,k

9、2的兩條不同直線丨1,丨2,且匕+k2=2,11與E相交于點(diǎn)A,B,I2與E相交于點(diǎn)C,D,以AB,CD為直徑的圓M圓N(MN為圓心)的公共弦所在直線記為I.(1)若k10,k20,證明:FMFNv2p2;(2)若點(diǎn)M到直線I的距離的最小值為,求拋物線E的方程.5地有三個(gè)新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心.(1)寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(2) 若以原點(diǎn)O為圓心, 半徑為 1 的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū), 置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小.(不要求證明)

10、:L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位2013 湖南理科數(shù)學(xué)第8頁(yè)(1) 記f(x)在區(qū)間0,4上的最大值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;(2) 是否存在a,使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn),在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(2013 湖南,理 22)(本小題滿分 13 分)已知a0,函數(shù)f(x)=x-ax2a在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直?若存2013 湖南理科數(shù)學(xué)第9頁(yè)2013年普通咼等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(湖南卷)一、選擇題:本大題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 答案:B

11、解析:z=i+i2=1+i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,1),故在第二象限,選 B.2. 答案:D解析:看男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好是否存在明顯差異,應(yīng)當(dāng)分層抽取,故宜采用分層抽樣.3. 答案:D解析:由 2asinB=.3b得 2sinAsinB=.3sinB故 sinA=3,故 A=或勺.又厶ABC為銳角233n三角形,故A=-.34. 答案:C解析:約束條件表示的可行域?yàn)槿鐖D陰影部分.由h(x)=2x4-=0 得xi=1,2,X2=1-,2(舍).x當(dāng)h(x)v0 時(shí),即x(0,1,2)時(shí),h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)h(x)0,即x(1.2,+)時(shí),h(x)單調(diào)遞增.又h(1)=20,h(2)=12ln

12、2v0,h(4)=52ln40,h(x)與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn),故答案為B.6.答案:A22解析:由題意,不妨令a=(0,1),b=(1,0),c=(x,y),由|cab|=1 得(x1)+(y1)=1,|c|=.x2y2可看做(x,y)到原點(diǎn)的距離,而點(diǎn)(x,y)在以(1,1)為圓心,以 1 為半徑的圓上如圖所示,當(dāng)點(diǎn)(x,y)在位置P時(shí)到原點(diǎn)的距離最近,在位置P時(shí)最遠(yuǎn),而PO=2-1,PC=21,故選 A.1d令x+2y=d,即卩yx,22由線性規(guī)劃知識(shí)可得最優(yōu)點(diǎn)為-,-,所以133丿5.答案:B解析:設(shè)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(X,則y=2lnx,y=x24x+5,聯(lián)立得 2lnx

13、=dmax=5-3-4-3y),x24x+5,令h(x)=x24x+5-2lnx(x0),2013 湖南理科數(shù)學(xué)第10頁(yè)故正視圖的面積為S=2cos0(0n),4KSw.2,x/2I2i而一1(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c212,當(dāng)a=2b=3c=2 時(shí)等號(hào)成立,所以11.答案:丄3解析:如圖所示,取CD中點(diǎn)E,連結(jié)OE2由圓內(nèi)相交弦定理知PD-PC=PA-PB所以PC=4,CD=5,則C氐-,OC=72所以O(shè)到CD距離為OE=OCa2+4b2+9c2的最小值為 12.(二)必做題(1216 題)3;-x1312.答案:3 解析:0 x2dx=13T3x|0T0=9,.T=3.31

14、3.答案:9解析: 輸入a=3不滿足a=5 不滿足a=7 不滿足a=1,a8,a8,a8,b=2,不滿足a8, 故a=3; 故a=5;故a=7;故a=9,滿足a8,終止循環(huán).輸出a=9.14.答案:,3解析:不妨設(shè)|PF|PF|,由1PFJ1吧,可得|PR|-|PF2卜2a|PF1|=4a,|PF2|=2a./2av2c,./PFF2=30,=(2c$+(4af_(2aj,2漢2a+3a2;;3ac=0,即e2J3e+3=0,e=-、3.111:(1)(2)100-1163遼丿(1)x|0vx0.nsinxI6丿2從而 2kn+-g(x)成立的x的取值集合為f2n1x|2kn_x_2kn,kZ

15、I3J18.解:(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為 3,邊界上的作物株數(shù)為 12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C;C;2=36 種,選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有 3+3+2=8 種.故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,它們恰好相近”的概率為(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列.因?yàn)镻(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),RY=45)=RX=3),P(Y=42)所以只需求出 RX=k)(k=1,2,3,4)即可.記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=

16、1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=匹得N24RX=1)=,RX=2)=15Y51484542P24211515552134649042“+42X=46.55519.解法 1:(1)如圖,因?yàn)锽B丄平面ABCDA匚平面ABCD所以ACLBB.(1)由f(a)=33得 sin5又a是第一象限角,所以從而g(a)=1COSa=1 一(1sin2:=1一4丄55f(x)g(x)等價(jià)于.3sinx1cosx,即 3sinx+cosx1.1_-.RX=3)=6=2,P(X=4)=31551515故所求的分布列為所求的數(shù)學(xué)期望為24E(Y)=51X+48X+45X1

17、5152013 湖南理科數(shù)學(xué)第14頁(yè)又ACLBD所以ACL平面BBD.而BD平面BBD,所以ACLBD.因?yàn)锽C/AD所以直線BC與平面ACD所成的角等于直線AD與平面ACD所成的角(記為9).如圖,連結(jié)AD,因?yàn)槔庵鵄BCABCD是直棱柱,且/BAD=/BAD=90,所以AB丄平面ADG.從而A1B1LAD.又AD=AA=3,所以四邊形ADDi是正方形,于是ADAD.故AD丄平面ABD,于是AD丄BD.由(1)知,ACLBD,所以BD丄平面ACD故/ADB=909.在直角梯形ABCD,因?yàn)锳CLBD,所以/BAC=ZADB從而 RtABRtDAB_8_2369故AB=BC.即AB=、DABC

18、二;3.DAAB連結(jié)AB,易知ABD是直角三角形,且BiD2=BB2+BD=BB2+AW+AD=21,即BiD=.21.AD3在RtABD中,cos/ADB=di=仝BQV21從而 sine=217427解法 2:(1)易知,ABADAA兩兩垂直如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),ABADAA所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=t,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:A(0,0,0),B(t,0,0),B(t,0,3),C(t,1,0),C(t,1,3),Q0,3,0),D(0,3,3).從而B1D=(t,3,3),AC=(t,1,0),BD=(t,3,0).因?yàn)锳CLBD所以ACBD=t2+3+0=

19、0.解得t=:鬲或t-3(舍去).于是B1D=(-、3,3,3),AC=(.3,1,0).因?yàn)锳CBiD=3+3+0=0,所以AC丄B1D,即ACLBD.由(1)知,AD1=(0,3,3),AC=(.3,1,0),B1C1=(0,1,0)設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD的一個(gè)法向量,則nACm即Exy=,nAD0,3y3z=0.令x=1,則n=(1,-.3,3).設(shè)直線BC與平面ACD所成角為e,則sine=|cosn,B1C1I=:BIC1.|n|BG即直線BC與平面ACD所成角的正弦值為-21720.解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).(1)點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值為|x3|+|y2

20、0|,xR,y0,W).由題意知, 點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)度最小值之和(記為d)的最小值.1當(dāng)y1時(shí),d=|x+10|+|x14|+|x3|+2|y|+|y20|,因?yàn)閐1(x)=|x+10|+|x14|+|x3|x+10|+|x14|,(*)當(dāng)且僅當(dāng)x=3 時(shí),不等式(*)中的等號(hào)成立,又因?yàn)閨x+10|+|x14|24,(*)當(dāng)且僅當(dāng)x10,14時(shí),不等式(*)中的等號(hào)成立.所以d1(x)24,當(dāng)且僅當(dāng)x=3 時(shí),等號(hào)成立.d2(y)=2y+|y20|21,當(dāng)且僅當(dāng)y=1 時(shí),等號(hào)成立.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)時(shí),P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小,且最小值為

21、 45.2當(dāng) 0Wywi時(shí),由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),所以d=|x+10|+|x14|+|x3|+1+|1y|+|y|+|y20|,2013 湖南理科數(shù)學(xué)第 11 頁(yè),即 cos(90-e)即直線BiC與平面ACD所成角的正弦值為P分別到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)I)y2013 湖南理科數(shù)學(xué)第16頁(yè)此時(shí),di(x)=|x+10|+|x14|+|x3|,d2(y)=1+|1y|+|y|+|y20|=22y21.由知,d1(x)24,故d1(x)+d2(y)45,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1 時(shí)等號(hào)成立.綜上所述,在點(diǎn)P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小.21

22、.解:(1)由題意,拋物線E的焦點(diǎn)為F0,衛(wèi),直線l1的方程為I2丿由八漱子得x22pkxp2=0.x2=2py設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1,y,(X2,y2),則X1,X2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.從而X1+X2=2pk1,2y1+y2=k1(X1+X2)+p=2pk+p.同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為1pk2,pk22+PI2丿于是FMFN=p2(k1k2+k12k22).由題設(shè),匕+k2=2,匕0,k20,k1k2,4=1.I2丿故FMFNvp2(1+12)=2p2.由拋物線的定義得|FA=y1+衛(wèi),|FB=y2+衛(wèi),222所以|AB=y1+y2+p=2pk1+2p.從而圓M的半徑r1=pk1+p,故圓M的方程為(Xpk1)2+iypk12-E=(pk12+p)2.I2丿3化簡(jiǎn)得X2+y22pk1Xp(2k12+1)yp2=0.4同理可得圓N的方程為3x2+y22pk2Xp(2k22+1)yp2=0.4于是圓M圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2kjx+(k22k12)y=0.又k2匕工 0,k1+k2=2,貝Ul的方程為x+2y=0.因?yàn)閜0,所以點(diǎn)M到直線l的距離2|2pk1pk1_p|752p|2k1k11|y=kx+,2所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為pk1,pk12,FM=(pk1,pk1).2,FN=(pk2,pk2).所以0vkkv20

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