(公開課)3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1、3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式正切公式一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入sinsincoscoscos)(sinsin(coscos(cos(cos)sinsin(coscos(cos(cos)22(coscos )(si nsi n)2cos()2ababab+-=2sinsincoscos2cos22)()()(一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式C（-）coscoscossinsin （）-cos()C （）能能不不能能由由公公式式推推出出的的值值嗎嗎？二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解cos()cos() 由由于于cos()coscossi

2、nsinC （）所所以以，對(duì)對(duì)于于任任意意角角 ，有有簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為coscos()sinsin() coscossinsin 于是，對(duì)于任意角于是，對(duì)于任意角、都有都有coscoscossinsin（）CCSS符號(hào)相反cos75二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解-sin,sinCC （）（） 探探究究：上上面面我我們們得得到到了了兩兩角角和和與與差差的的余余弦弦公公式式，我我們們知知道道，用用誘誘導(dǎo)導(dǎo)公公式式五五（或或六六）可可以以實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)正正弦弦、余余弦弦的的互互化化。你你能能根根據(jù)據(jù)，及及誘誘導(dǎo)導(dǎo)公公式式五五（或或六六），推推導(dǎo)導(dǎo)出出用用任任意意角角 ， 的的正正弦弦、余余弦弦值值表表示示（

3、） （）的的公公式式嗎嗎？2()sin 誘誘導(dǎo)導(dǎo)公公式式五五：c co os s二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解sin()cos()2sin()cos()2cos()2cos()cossin()sin22sincoscossincos()2cos()cossin()sin22sincoscossin():兩兩角角和和 差差 的的正正弦弦公公式式二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解()()S sin()sin coscos sin ()()S sin() sin coscos sin 123:( );( ),;( ):sincoscossin . 公公式式的的特特點(diǎn)點(diǎn)公公式式對(duì)對(duì) 、 取取任任意意值

4、值都都成成立立公公式式中中右右邊邊有有兩兩項(xiàng)項(xiàng) 中中間間符符號(hào)號(hào)與與左左邊邊兩兩角角間間的的符符號(hào)號(hào)相相同同右右邊邊三三角角函函數(shù)數(shù)的的排排列列的的順順序序是是、正余余正符號(hào)相同sin15sin75二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解()tan() tan()CS（），探究：你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系，從出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角 ， 的正切表示的、公式嗎？cossintan:提示tan().首先推導(dǎo)sin()tan()cos()sincoscossincoscossinsin(這里有什么要求這里有什么要求?)sin coscos sincos coscos coscos cossin si

5、ncos coscos cos(又有什么要求又有什么要求?)tantan1tantan2()kkZ 22()kkkZ 二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解tantantan()1tantan:?問 如何解決兩角差的正切問題tantan()tan()tan()1tantan() tantan1tantantan():兩角差的正切公式12134( ),;( ),(),().( ),(),.( )tantan,tantan,. 公公式式中中、 、的的取取值值要要使使正正切切值值有有意意義義公公式式中中右右邊邊是是分分式式 分分子子是是 與與 的的正正切切和和 差差 分分母母是是 與與、 的的正正切切積積

6、的的差差 和和公公式式中中都都是是正正切切運(yùn)運(yùn)算算 分分子子的的運(yùn)運(yùn)算算與與左左邊邊的的和和 差差 相相同同 分分母母相相反反兩兩角角和和的的正正切切公公式式中中有有式式子子 因因此此常常又又與與一一元元二二次次方方程程聯(lián)聯(lián)系系在在一一起起:兩角和的正切公式4.64.6兩角和與差的正弦、余弦、正切兩角和與差的正弦、余弦、正切(3)(3):公公式式的的特特點(diǎn)點(diǎn)():T 代號(hào)():T 代號(hào)二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解tantantan()1tantan:?問 如何解決兩角差的正切問題tantan()tan()tan()1tantan() tantan1tantantan():兩角差的正切公式:

7、兩角和的正切公式():T 代號(hào)():T 代號(hào)二、基礎(chǔ)知識(shí)講解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解注意： 1 1 必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式。 即：即：tantan ，tantan ，tan(tan( ) )只要有一個(gè)不存只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解。如導(dǎo)公式來解。如: :已知已知tan tan =2, =2,求求 不不能用能用 tan()2()T 2 2 注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)。注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)。4.64.6兩角和與差的正弦、余弦、正切兩角和與差的正弦、余弦、正切(3)(3)二、基礎(chǔ)知識(shí)講

8、解二、基礎(chǔ)知識(shí)講解兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的內(nèi)在聯(lián)系兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的內(nèi)在聯(lián)系C(-)C(+)- 代代 S(-)2S(+)2- 代代 - 代代 T(+)CS相除T(-)CS相除三、例題分析三、例題分析利用和（差）角公式，求下列各式的值：(1)sin15 (2)cos75 (3)sin75 (4)tan15課本P131練習(xí)1正用公式正用公式6262sin15,cos15,tan1523446262sin75,cos75,tan752344 記憶三、例題分析三、例題分析335444sin,sin(),cos(),tan(). 例例 ：已已知知是是第第四四象象限限角角，求求的

9、的值值,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1 sin1 (),5 sin3tancos4 所 以)sincoscossin444于是有sin(24237 2();252510 正用公式正用公式三、例題分析三、例題分析335444sin,sin(),cos(),tan(). 例例 ：已已知知是是第第四四象象限限角角，求求的的值值)coscossinsin444cos(24237 2();252510 tantantan14tan()41tan1tantan4314731()4正用公式正用公式三、例題分析三、例題分析335444sin,sin(),cos(),tan(). 例例

10、 ：已已知知是是第第四四象象限限角角，求求的的值值7 2)410cos(7 2)410sin(4cos4sin證明利用誘導(dǎo)公式利用和(差)角公式P131練習(xí)2,3,4正用公式正用公式 =( =()2=2=（）- - （-）=- =- （-）2 =2 =（）+ + （-）=（）- - +=( -)+( -)222 變通公式變通公式二教P74例1三、例題分析三、例題分析000000000041 sin72 cos42cos72 sin42 ;2 cos20 cos70sin20 sin70 ;1tan15(3)1tan15例 ：利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（）（ ）44143 02co s

11、co ssinsin ()sin; 。解解 ： （ 1 1 ) ) 由由 公公 式式 得得 ： s s i i n n 7 7 2 22 27 7 2 22 27 7 2 22 22207020702070900() coscossinsincos()cos 。逆用公式逆用公式三、例題分析三、例題分析000000000041 sin72 cos42cos72 sin42 ;2 cos20 cos70sin20 sin70 ;1tan15(3)1tan15例 ：利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（）（ ）115451531545154515603tantantan( )tantantantan

12、()tan 。1 1- -1 1- -0000cos15sin15cos15sin15變式：P131練習(xí)5逆用公式逆用公式三、例題分析三、例題分析P132練習(xí)6(1)(2)sincosxbx(3)asincosxbxa222222sincosbabxxababa令令2222cossinabbaba22sin coscos sinxabx22sinabx22cosabx逆用公式逆用公式三、例題分析三、例題分析P131練習(xí)6(1)(2)sincosxbx(3)a xcosbxsina)xsin(ba 22.sinbab,cosbaa 2222其中其中:統(tǒng)一函數(shù)名P131練習(xí)6(3)(4),7逆用公

13、式逆用公式思考：根據(jù)公式思考：根據(jù)公式 ，tantantantan可變形為什可變形為什么？么？ Ttantan=tan(+)(1-1- tantan)求值：求值：tan17tan28+tan17tan28逆用公式逆用公式t ta an n+ +t ta an n= =t ta an n( (+ +) )( (1 1- -t ta an nt ta an n) )t ta an n- -t ta an n= =t ta an n( (- -) )( (1 1+ +t ta an nt ta an n) )tantantantan(1tan(1tantantan)=)=tan()tan()tant

14、antantan=1tan()tantantantan=1tan()二教P75借題發(fā)揮3例5ABC中,求證 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.證明：,tantan1tantanBABA tanA+tanB=tanA、tanB、tanC都有意義，ABC中沒有直角， tan(A+B)=tan(180C)tanAtanBtan(180C)= tanC+tanAtanBtanC，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)tanAtanBtan(A+B)tanAtanB1.二教P75例7規(guī)律總結(jié)給值求角給值求角( (二教二教P75P75例例6) 6)

15、來確定角數(shù)值，再探討角度范圍要求角度，先求三角函510sin,cos,510例：已知 ， 均為銳角，且求兩角和與差三角公式的變通兩角和與差三角公式的變通 1 1：若：若coscosa，sinsinb，則則cos()等于什么？等于什么？2 2：若：若sincosa，cossinb，則則sin()等于什么？等于什么？222cos()2abab+-+=222si n()2abab+-+=三、例題分析三、例題分析2235tan.sin(),sin(),.tan 例例5 5已已知知求求的的值值tansincos:,tancossinsincos,cossin. 分分析析從從已已知知條條件件中中 應(yīng)應(yīng)用用方方程程的的思思想想解解出出代代入入即即可可三、例題分析三、例題分析200.()tan,tan,tan().axbxcaac 例例6 6已已知知一一元元二二次次方方程程且且的的兩兩個(gè)個(gè)根根為為求求的的值值tantan:tan()1tantan分析tantan.tantanbaca 而代入即可cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincoscossin四、小結(jié)四、小結(jié)差角公式、和角公式：差角公式、和角公式：變形：變形：t ta an n+