示范人口預測的數(shù)學模型

1、人口預測的數(shù)學模型摘要本題要求根據(jù)給出的01到05年的人口情況的數(shù)據(jù)，對我國的人口增長建立數(shù)學模型并做出預測。我們建立遞歸模型，從2005年開始預測。按照性別和市，鎮(zhèn)，鄉(xiāng)的區(qū)別把人口分為6類。按照年齡進行分段，每一個年齡作為一段。用2005年的每個年齡的人數(shù)預測06年統(tǒng)一年齡的人數(shù)。把06年各年齡的預測值相加，即可得到2006年的總人數(shù)的預測值。然后依次遞歸，得出其他年份的人口數(shù)據(jù)。影響人口增長的主要因素有：出生率、死亡率、政府政策、老齡化、和鄉(xiāng)村城鎮(zhèn)化的影響。我們在遞歸模型主題框架的基礎上，逐步深入建立了四個模型：模型一，只考慮出生率和死亡率對人口增長的影響，從2001年到2005年的數(shù)據(jù)中

2、，求出平均出生率和平均死亡率，并假定2005年以后的平均出生率和平均死亡率不變。為了減少累計誤差，用05年數(shù)據(jù)逐步迭代得到人口隨時間的變化曲線。然后，用01年的數(shù)據(jù)運用模型一迭代出0105年人數(shù)，與修正后的數(shù)據(jù)進行比較，求得我們的模型的估計值與實際值相近，進而推出模型基本的合理性。模型二，在模型一的基礎上加上政策因素的影響，引進人口政策影響因子R,通過對結果進行分析，發(fā)現(xiàn)政府政策對人口的變化情況會產生較大的影響。體現(xiàn)為了控制人口數(shù)量，國家可以進行較好的宏觀調控。模型三，在模型二的基礎上加上老齡化對人口增長的影響，引進阻滯因子，建立人口隨時間的變化曲線。模型四，在模型三的基礎上加上鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化

3、的影響，通過對結果進行分析我們發(fā)現(xiàn)模型四與前幾個模型的主要區(qū)別是在城鎮(zhèn)人口的數(shù)量，及城鎮(zhèn)人口在全國人口總人口的比率上，更符合實際情況。在每個模型的基礎上，進一步分別對人口總數(shù)，性別比例，老齡化程度，生育期內婦女總數(shù)，有勞動力的人數(shù)等做出了預測。此外根據(jù)國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告計劃的目標，在模型四的基礎上，通過對R值進行調整，得到當R=1.36基本能夠滿足國家的戰(zhàn)略計劃。并對國家的政策給出合理化建議。運用matlab編程求解，求得四個模型人口峰值及達到峰值時間如下表;模型一模型二模型三模型四202520402038203513.67億14.81億14.65億14.56億在模型的最后，對模型的優(yōu)缺

4、點及不足之處進行了分析。關鍵詞：遞歸模型，人口政策影響因子，阻滯因子，人口城鎮(zhèn)化1. 問題的重述中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運用數(shù)學建模的方法，對中國人口做出分析和預測是一個重要問題。近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。2007年初發(fā)布的國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告還做出了進一步的分析。關于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，建立中國人口增長的數(shù)學模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨

5、勢做出預測；2. 問題分析本題要求我們通過20012005年的數(shù)據(jù)，從我國的實際情況和人口增長的特點出發(fā)，建立人口增長的數(shù)學模型，對我國人口增長的中短期和長期的趨勢做出預測。由題中所給數(shù)據(jù)，不同性別，不同地區(qū)包括（城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)），我們將人員分為六類。對每類人分別進行分析，具體分類情況如下：表1人員分類情況表分類市男市女鎮(zhèn)男鎮(zhèn)女鄉(xiāng)男鄉(xiāng)女i123456對每一類人分別進行遞歸，得到0到90歲人口的變化情況。在遞歸過程中，首先考慮死亡率和生育率，通過01年05年的數(shù)據(jù)求出平均死亡率和平均生育率。對模型進行再分析，人口的增長不僅僅由出生率和死亡率決定，還有很多社會因素，包括城市化進程，老齡化，性別比例及政

6、府的政策。如目前國家已經放寬了計劃生育政策，允許夫妻雙方都是獨生子女的生第二胎。除了考慮因素外，人口的增長還受社會平均教育水平等多方面因素的影響。所以，我們應不斷增加模型的考慮因素，對模型進行優(yōu)化。在我們的模型中，采用老年人的衡量標準是60歲，有勞動能力的人的衡量標準是15到59歲；孕期婦女的衡量標準是15到49歲。3. 模型假設1忽略中國人口出國和外國人口加入我國國籍的情況；2.假定每年的平均出生率和平均死亡率恒定不變；3假定沒有影響人口非正常增長的意外情況發(fā)生；4、人口遷移后與當?shù)厝说母鞣矫嬉蛩叵嗤?.假設短期，中期和長期分別為5年，20年和50年；4. 符號約定5. 模型一的建立與求解

7、5.1問題的進一步分析城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口的出生率和死亡率是不同的，不同年齡不同性別的死亡率也是不同的。在對平均死亡率的處理上，我們將不同年齡、性別的人的死亡率分別考慮。題目中給出了01到05年全國人口分布情況，我們采用遞歸法，后一年各年齡上的人數(shù)，是上一年小一歲的人數(shù)減去該人數(shù)在本年中死亡人數(shù)。用01年到05年，每年新出生的嬰兒的總量，和5年女性人口的總數(shù)取比值，可以求出01到05年平均生育率。據(jù)模型假設,05年以后的平均出生率，等于計算得到的平均出生率。5.2數(shù)據(jù)的預處理國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)01到05年全國總人數(shù)如下表。表20105年全國人口總數(shù)（單位：萬人）200120022003200420

8、05127627128453129227129988130756目中給出的2005年中國人口1%調查數(shù)據(jù)是：表3題目給出的05年數(shù)據(jù)表城市男城市男鎮(zhèn)男鎮(zhèn)女鄉(xiāng)男鄉(xiāng)女總數(shù)235767923502241464804144417647624004606484表4修正后2005年的數(shù)據(jù)市男城女鎮(zhèn)男鎮(zhèn)女鄉(xiāng)男鄉(xiāng)女總數(shù)181605218077161127500111092936623263544768對2001年到2004年的數(shù)據(jù)做同樣的修正利用經過上述處理的數(shù)據(jù)，可以算出01到05年各類人，各年齡的平均死亡率(5.1)i,j01到05年第i類年齡為j的死亡人數(shù)01到05年第i類年齡為j的總人數(shù)'平均

9、出生率i為：01到05年，第i類年齡為0的總人數(shù)i01到05年，第i類女人的總數(shù)i2,4,6;；01到05年，第i類年齡為0的總人數(shù)(5.2)i01到05年，第(i+1)類女人的總數(shù)i1,3,5;各年出生的男孩女孩的性別比計算如下：表52001至U2005年出生嬰兒的男女性別比例市鎮(zhèn)鄉(xiāng)年份男嬰人數(shù)女嬰人數(shù)男嬰人數(shù)女嬰人數(shù)男嬰人數(shù)女嬰人數(shù)20051667101144965312540221074876468789338945572004152080713266621135296885145.84643516375903720031311788118060910550389207604888792

10、40739932002144927612845868845487265935169821439820620011388248124056293370582292651384444448206平均性別比0.530940.469060.5429340.4570660.5438390.4561615.3模型建立由于城市，城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的人口情況差別很大，我們在建立模型的時候，以對城市人口的情況進行建模為例進行說明。城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村人口的模型與城市人口的模型，從數(shù)學的角度來講完全一樣，只是有關的參數(shù)的數(shù)值有些許的差別。此時，i=1,2.由于2001年到2005年，總的人口情況已經給出，所以我們只要對從2006年

11、開始的以后年份開始預測即可。因為人口變化的影響因素很多，并且我們的模型只是局部適用的，不可能對所有的年份都適用，我們只對2006年到2055年的人口模型進行預測。我們建立遞歸的模型如下：第i類，第j年，年齡為0的城市人數(shù)，即第j年新出生的第i類人數(shù)，符號表示如下：90Mi,j,0M2,j,mim0(5.3)2005j2054;i1,2;第i類，第j年，年齡為k的城市人數(shù)是由第(j-1)年，年齡為(k-1)的人數(shù)乘以(1i,k-1)后剩余的總人數(shù)，符號表示如下：Mi,j,kMi,j1,k1(1i,k-1);i1,2;(5.4)1k90;第i類，第j年，年齡為90的城市人數(shù)由兩部分組成，一部分是第

12、(j-1)年，年齡為89歲人經過一年，年齡變?yōu)?0;另外一部分是第(j-1)年，年齡為90的人經過一定的存活率(1j,90)之后剩余的人數(shù)。兩類人數(shù)總和即為第i類，第j年，年齡為90的人數(shù)，用符號表示如下：Mi,j,90Mi,j,90(11,90)Mi,j1,89(1i89)；2005j2054;i1,2;(5.5)第j年末的總的城市人數(shù)量符號表示如下：2289Mjj。Mi.)Mij'i,j,0i,j,i19U丿i1m1(5.6)2005j20542005的城市人口情況的數(shù)據(jù)已經給出，通過以上模型，可以遞歸出2006年城市的人數(shù)。同樣的處理方法，我們可以遞歸出2006年的鄉(xiāng)村和城鎮(zhèn)的人

13、數(shù)。然后依次遞歸，即可求出后面每年的人口數(shù)量。因為我們建立的遞歸模型只和相鄰兩年的數(shù)據(jù)有關，我們從2005年開始遞歸。綜上所述，模型一為：5.4模型求解編制的MATLAB?序計算里面，分別考慮了城男，城女，鎮(zhèn)男，鎮(zhèn)女，鄉(xiāng)男和鄉(xiāng)女六種情況，并且計算了每一年六種人數(shù)的總和。程序運行的結果如下：表6模型一預測2006年到2054年全國人口數(shù)據(jù)（單位：萬人）年份2005200620072008200920102011201220132014人數(shù)130693131268131815132336132830133297133734134143134522134871年份201520162017201820

14、1920202021202220232024人數(shù)138979139679140355141006141633142235142812143362143884144379年份2025202620272028202920302031203220332034人數(shù)147811147931148021148082148116148123148105148065148004147923年份2035203620372038203920402041204220432044人數(shù)147811147931148021148082148116148123148105148065148004147923年份147811

15、147931148021148082148116148123148105148065148004147923人數(shù)147822147706147580147442147301147160147015146869146716146558圖1模型一預測全國人口變化圖圖2模型一預測城鎮(zhèn)人口變化圖圖3模型一預測農村人口變化圖圖4模型一預測老年人口變化圖圖5模型一預測勞動人口變化圖圖6模型一預測育齡婦女變化圖圖7模型一預測性別比變化圖從上面的圖形可以看出，我國的人口數(shù)量在2025年達到最大值13.7億。此后人口的總數(shù)下降。在2055年降到12.4億以下。5.5結果分析從上面的結果，可以看出在2023年，人

16、口會達到峰值13.56億。城鎮(zhèn)人口的數(shù)量是先上升后下降的過程。不過城鎮(zhèn)人口占全國人口的比值是一直下降的，并且在峰值之后，下降的速度很快。農村人口的數(shù)量是一個先上升后下降的過程，不過農村人口占全國人口的比值是一個一直上升的過程。從上面的結果可以看出，我們建立的模型過于簡單，僅考慮平均出生率和平均死亡率的影響。沒有考慮其他因素的影響，尤其是鄉(xiāng)村城鎮(zhèn)化的因素。單純的把城市，城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的分開單獨考慮，與實際情況下的人口變化差距很大。本來城市人口的平均出生率就比鄉(xiāng)村人口的出生率低，鄉(xiāng)村人口的基數(shù)又比城鎮(zhèn)人口的基數(shù)大很多。要是沒有鄉(xiāng)村人口向城鎮(zhèn)遷移的話，城鎮(zhèn)人口占全國總人口的比值就會一直下降，即使城鎮(zhèn)人口

17、總數(shù)在增加，但沒有鄉(xiāng)村人口增加的快。鄉(xiāng)村人口的變化真好與城鎮(zhèn)人口的變化相反。我們預測出來的鄉(xiāng)村人口變化情況和城鎮(zhèn)人口變化情況的圖形，正好驗證了我們的分析。說明鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化對人口變化的影響很大，是我們以后改經模型的一個重要的出發(fā)點。模型的優(yōu)點是大致預測出了以后人口的變化趨勢，說明我國人口不會無限期的增加，達到一定時間之后，人口的總數(shù)會下降。5.6模型檢驗運用修正后的數(shù)據(jù)，從01年開始遞歸，得到0205年的估計人口數(shù)，與修正后的數(shù)據(jù)進行比較。得到如下對比圖：圖8模型一2001年到2005年模型檢驗圖表7模型一檢驗的絕對誤差與相對誤差年份2002200320042005實際誤差1436758281

18、066642702846028468相對誤差0.0011190.0021750.0032850.00461從相對誤差的大小可以看出，我們建立模型的預測值和實際值的誤差非常小，據(jù)此可以說明建立的遞歸模型，是基本合理的，說明遞歸模型在解決此問題時，是適用的。6. 模型二的建立與求解6.1問題分析與建模在上面的模型中，我們只考慮了根據(jù)國家的人口計劃生育政策，一個孕婦只生一個小孩的情況。其實在人口問題中，國家的人口政策對人口數(shù)量的影響是很大的，這也是我們在考慮問題時不可忽略的一個重要因素。所以我們對模型做出以下的改進，第年的年城市人口年齡為0,即第i年新出生的城市人口數(shù)為：90Mi,j,0iRM2,j

19、k0i1,2;90(6.1)Mi,j,0iRM4,jk0i3,4;90Mi,j,0iRM4,jk0i5,6;第i類，第j年，年齡為k的城市人數(shù)是由第(j-1)年，年齡為(k-1)的人數(shù)，乘以(1i,k-i)后剩余的總人數(shù)，符號表示如下：，Mi,j,kMi,j1,k1(1i,k-1);i1,2;(6.2)1k90;第i類，第j年，年齡為90的城市人數(shù)由兩部分組成，一部分是第(j-1)年，年齡為89歲人經過一年，年齡變?yōu)?0;另外一部分是第(j-1)年，年齡為90的人經過一定的存活率(1i,90)之后剩余的人數(shù)。兩類人數(shù)總和即為第i類，第j年，年齡為90的人數(shù)，用符號表示如下：Mi,j,90Mi,

20、j,90(11,90)Mi,j1,89(1i,89)；2005j2054;(6.3)i1,2;第j年末的總的城市人數(shù)量符號表示如下：2289(6.4)Mj(Mi,j,0Mi,j,90)Mi,j,mi1''i1m12005j2054通過以上的步驟，我們建立了城市人口新的遞歸模型。同樣的道理和步驟，我們可以建立鄉(xiāng)村和城鎮(zhèn)人口的新的遞歸模型。綜上所述，模型三為：6.2模型求解R值的大小到底取多少才能夠比較符合我國的現(xiàn)實人口狀況是我們在模型中要考慮的一個重點。對R的取值要進行適當?shù)氖止ふ{整。對R在1.0到1.5之間取值，求得人口增長情況見下圖（從左至右從上至下依次為1.0到1.5）圖9

21、R的調整對人口變化的影響在我們求解的時候，我們對R的值取一系列的值，比較不同的R值情況，得出的人口預測模型的結果。從上面的結果可以看出R的取值范圍在1R1.3和現(xiàn)實的狀況比較接近。我們取定R的值為1.25。解決問題的程序見附錄二的MATLAB?序。在取定R值為1.25的情況下，我們建立的模型對以后年份的預測結果如下：表8模型二預測2005年到2054年全國人口數(shù)據(jù)（單位：萬人）年份2005200620072008200920102011201220132014人數(shù)130693131597132468133317134143134945135725136479137208137914年份2015

22、201620172018201920202021202220232024人數(shù)138593139250139881140485141067141621142152142655143124143570年份2025202620272028202920302031203220332034人數(shù)143983144368144723145047145346145609145843146043146209146341年份2035203620372038203920402041204220432044人數(shù)146437146501146533146536146507146450146371146261146135

23、145986年份2045204620472048204920502051205220532054人數(shù)145823145655145471145289145121144939144763144536144260144035圖10模型二預測全國人口變化圖圖12模型二預測鄉(xiāng)村人口變化圖圖14模型二預測勞動人口變化圖圖16模型二預測性別比變化圖圖11模型二預測城鎮(zhèn)人口變化圖圖13模型二預測老年變化圖圖15模型二預測育齡婦女變化圖6.3結果分析從上面的結果可以看出，此模型下我國未來人口的峰值出現(xiàn)在2040年，峰值是14.8億。相對于模型一來講，峰值出現(xiàn)的時間向后推遲，而峰值比模型一的要大。其實模型而僅在

24、計算新出生的人口是于模型一不同，其他年齡段的人口遞歸方程與模型一的完全相同。R的值如果變大的話，峰值出現(xiàn)的時間還會向后偏移，并且峰值會變大。R的變大相對于政府放寬了人口計劃生育政策。城鎮(zhèn)人口的變化趨勢和模型一中的變化趨勢基本類似，不過比模型一時曲線要平緩的多。而鄉(xiāng)村人口的變化趨勢在此模型下呈現(xiàn)出新的特點。鄉(xiāng)村人口總數(shù)和鄉(xiāng)村人口占全國人口比值都是一直增加的。和模型一相比，無論是總數(shù)還是變化率在同一年份都要比模型一的大。而城鎮(zhèn)人口則沒有這么的明顯，說明放寬計劃生育政策，鄉(xiāng)村人口的變化更明顯，而城鎮(zhèn)人口的變化比較遲鈍。模型的優(yōu)點是：此模型基本反映了政策因素對人口的變化影響，這能反應大致趨勢。不能完全

25、用來做預測。此模型也就是在模型一的基礎上，增加考慮政策因素。模型的缺點是，仍然沒有考慮，鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化的因素，與實際情況不太吻合。另外，R值的確定具有很大的主觀因素和隨意性，必須在有其他輔助條件的情況下，才有可能確定。全國人口在達到峰值之后的下降趨勢很慢。我們無法確定其可信度。R值是一個政策性的因子，人為R值的影響較大。所以此模型不適合中長期預測，只適合在政策可以預期的一段保持不變的時間內有作用，只適用于短期定性預測。7. 模型三7.1問題的進一步分析我們建立的模型一，只是對城市，城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的人口變化情況，單獨考慮與預測，沒有考慮鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化，人口老齡化，以及性別比例持續(xù)升高等因素的影響。這

26、些因素的影響隨著時間的推移，對人口數(shù)量的變化影響的作用越來越明顯。在模型一的基礎上，建立了新的模型三如下：將所有的影響因素整體考慮為阻滯因子，老齡化上升，鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化的加強，生存資源的約束都會對人口發(fā)展起阻滯作用。不考慮他們對人口增長的影響，引入帶阻尼系數(shù)的預測模型。由于老齡化和鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化都會使，總人口數(shù)量減少。阻滯因子的對人口變化起負面影響。7.2模型建立第i類，第j年，年齡為k的人口數(shù)量的數(shù)學模型如下：2Mi,j,kMi,ji,k1(1i1,k1)i1,k1Mi,j1,k1(8.1)上面方程中的第一項，表示平均死亡率的影響，第二項表示阻滯項。其中的i,k表示第i類，年齡為k的阻滯系數(shù)

27、。根據(jù)前5年的數(shù)據(jù)，估計上述阻滯函數(shù)的參數(shù)，在01年05年的過程中，我們可以得到每種類型的人的數(shù)量，對不同年齡的人求：Mi,j,90Mi,j1,89(1i,89)2i1,k1Mi,j1,89Mi,j1,90(1i,90)；1k89;i,kMi,j,kMi,j1,k1(1i,k)Mi,j1,k1(8.2)我們以第i類，2歲阻滯因子的求解為例。根據(jù)01到05年的已有數(shù)據(jù)，得到4組倒2歲變化過程的數(shù)據(jù)。求出四個阻滯因子并比較其大小，取最小的一個作為1到2歲變化過程中的阻滯因子。對0到90+歲分別求得系數(shù)，代入公式(8.1)得0到90歲人數(shù)變化的公式。新出生的人口數(shù)量沒有阻滯因子的影響。第i類，第j年

28、，新出生的人口數(shù)量的數(shù)學模型方程為：90iRM2,j1,k；k1i1,2;90(8.3)(8.4)Mi,j,0iRM4,j1,k；k1，i3,4;90Mi,j,0iRM4,j1,k；k1i5,6;第i類，第j年，年齡為k的人口數(shù)量的數(shù)學模型方程為:2Mi,j,kMi,j1,k1(1i1,k1)i1,k1Mi,j1,k1；1k89；第i類，第j年，年齡為90的人口數(shù)量的數(shù)學模型方程為：2Mi,j,90Mi,j1,89(1i,89)i,k1Mi,j1,89Mi,j1,90(1i,90)；(85)第j年總的人口數(shù)量的數(shù)學模型方程為：690MjMi,j,k；(8.6)i1ko綜上所述，模型三為：7.3

29、模型求解按照上面建立的模型，通過編寫MATLAB?序，求出了一組的初始值。不過用用這組初始值，去預測2005年以后的人口變化。預測的結果很差。分析可能的原因之后，我們認為主要是由于的值過大造成的。采取的處理方法是，分別對的值縮小一定的倍數(shù)。用縮小后的值預測的2005年以后人口的變化情況。給出以下機幾組典型縮小值后的人口預測圖形如下。圖18值不縮小時預測人口變化圖圖19值縮小為0.1倍時預測人口變化圖圖20值縮小為0.01倍時預測人口變化圖圖21值縮小為0.001倍時預測人口變化圖根據(jù)附件中的中國人口網2007年2月1日發(fā)布的國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告中的有關數(shù)據(jù)。我們發(fā)現(xiàn)當值縮小為0.01倍時，

30、作出的預測模型是比較符合實際情況的。對比以上四個圖形，可以得出如下的結論，隨著阻滯因子的不斷減小，人口出現(xiàn)峰值的年齡會相有偏移。當不縮小時，的阻滯影響太強列，不符合實際。經過比較，我們選定值縮小為原來的0.01值，作為的修正后的值，并用于預測2005年以后年份的人口數(shù)量。通過Matlab程序求解，見model3.m.求出如下的結果：表9改進模型預測2005年到2054年全國人口數(shù)據(jù)(單位：萬人)年份2005200620072008200920102011201220132014人數(shù)130693131597132468133317134143134945135725136479137208137

31、914年份2015201620172018201920202021202220232024人數(shù)138593139250139881140485141067141621142152142655143124143570年份2025202620272028202920302031203220332034人數(shù)143983144368144723145047145346145609145843146043146209146341年份2035203620372038203920402041204220432044人數(shù)146437146501146533146536146507146450146371146

32、261146135145986年份2045204620472048204920502051205220532054人數(shù)145823145655145471145289145121144939144763144536144260144035圖23模型三預測城鎮(zhèn)人口變化圖圖25模型三預測老年變化圖圖27模型三預測育齡婦女變化圖圖24模型三預測農村人口變化圖圖26模型三預測勞動人變化圖圖28模型三預測性別變化圖圖22模型三預測全國人口變化圖7.4結果分析從上面的結果可以看出，總人口2042年，取得峰值14.9億，然后下降，和模型相比，模型的峰值附近的值的變化比較快，峰值附近的值持續(xù)時間短。說明，我們

33、的阻滯因子卻是起到了作用。城鎮(zhèn)人口和鄉(xiāng)村人口的變化情況，和模型二相比變化很小。此模型的優(yōu)點，是把更多的因素考慮進了模型，更加接近實際；缺點是單純的用一個籠統(tǒng)的變量來反應，不夠精確和合理。并且沒有把鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化的因素考慮進去。8. 模型四8.1問題的進一步分析考慮人口城鎮(zhèn)化因素影響，第i類人，第(j+1)年，年齡為(k+1)的城市人口數(shù)量Mj不僅與第j年，年齡為k的人口存活量有關，還與從鄉(xiāng)村遷入城市的年齡為(k+1)的人口數(shù)量有關。以2004年1歲人口和2005年2歲人口的變化來說明我們建立模型的思路。從附件中提取如下數(shù)據(jù)：表1004年和05年1歲人口和2歲人口的有關數(shù)據(jù)市鎮(zhèn)鄉(xiāng)存活數(shù)總數(shù)存活數(shù)

34、總數(shù)存活數(shù)總數(shù)20051歲3078037311675323495162351292835207983660862歲27171752899305221582422169328355829836608620041歲2180055218182216567801656780710504271108092歲258350425846201854874185639278684227875412注：T1:04年1歲城市人口存活數(shù)；T2:05年2歲城市人口總數(shù);H1:04年1歲城鎮(zhèn)人口存活數(shù)；H2:05年2歲城鎮(zhèn)人口總數(shù);K2:04年1歲鄉(xiāng)村人口存活數(shù)；K1:05年2歲鄉(xiāng)村人口總數(shù);從上面的數(shù)據(jù)可以看出，200

35、5年城市2歲人的總數(shù)比2004年1歲人的存活數(shù)要大，說明在2005年有一部分2歲的人口從鄉(xiāng)村遷移到城市，對于城鎮(zhèn)有類似的結論。對于鄉(xiāng)村來說，2005年2歲人的總數(shù)比2004年1歲人的存活數(shù)要小，說明在2005年，有一部分2歲的人口從鄉(xiāng)村遷出。結合我們的模型假設，鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化只有兩種情況，從鄉(xiāng)村遷移到城鎮(zhèn)和從鄉(xiāng)村遷移到城市，不存在從城鎮(zhèn)遷移到城市的情況。鄉(xiāng)村人口的變化量和變化率的符號表示如下：K1K2，;城市人口變化量為：K11T2T1;城鎮(zhèn)人口變化量為：2H2H1。當鄉(xiāng)村人口向城市和城鎮(zhèn)遷移的變化過程中，如果全國所有城市，城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村全部考慮進去，會有以下的等式成立：12，不過我們的題目中只是

36、全國情況的一個抽樣，滿足上述等式關系的可能性不大。所以我們求出如下的兩個相對遷移率:(8.1)P1122歲鄉(xiāng)村遷出人口，遷移到城市的數(shù)量占2歲鄉(xiāng)村遷出總量的相對遷入率P22;(8.2)122歲鄉(xiāng)村遷出人口，遷移到城鎮(zhèn)的數(shù)量占2歲鄉(xiāng)村遷出總量的相對遷入率。只要我們得出每個年齡鄉(xiāng)村人口遷出率，以及每個年齡城鎮(zhèn)和城市人口的相對遷入率，就可以得出在考慮遷移因素影響下的城市，城鎮(zhèn)和鄉(xiāng)村的人口變化模型?；谶@一思想，通過對2004年到2005年所有類型的人口各求出一組以上的三個參數(shù)，u,p1,p28.2模型建立鄉(xiāng)村人口變化的遞歸方程是：2.Mi,j+1,k+1(1i,k)(1i,k1)Mj,j,ki,kM

37、i,j,k;i5,6；(8.3)城鎮(zhèn)人口變化的遞歸方程是：2.Mi,j+1,k+1(1i,k)Mi,j,kP2i,k(1i2,k)i2,k1Mi2,j,ki,kMi,j,k；i3,4；(8.4)城市人口變化的遞歸方程是：2.Mi,j1,k1(1i,k)Mi,j,kP1i,k(1i4,k)i4,k1Mi4,j,ki,kMi,j,k；i1,2；(8.4)在上面的遞歸方程中，沒有考慮0歲和90人口的計算方法，并且這兩個年齡的人口方程不符合上面的遞歸方程。歲的人口數(shù)量的方程如下：0歲的人由于剛出生，不參與遞歸過程。第i類第j年090Mi,j,0RiM2,j,m；(85)m0(8.5)i1,2；90Mi

38、,j,0RiM4,j,m；(86)m0(8.6)i3,4；90Mi,j,0RiM6,j,m；(86)m0(8.6)i5,6；在計算第i類第j年90歲以上的人口數(shù)量的時，仍然要從兩個方面來考慮。計算方程如下:Mi,j+1,90+Mi,j,89(1i,89)(1i,90)i,89Mi,j,89Mii4,j,90(1i4,90)P1;i4,90i,90'i1,2;Mi,j+1,90+Mi,j,89(1i,89)(1i,90)2i,89Mi,j,89Mii2,j,90(1i2,90)P2;i2,90i'90;(8.7)i3,4;Mi,j+1,90(1i,89)(1i,90)Mi,j,8

39、9i,89Mi,j,89;i5,6;則第j年全國人口的總數(shù)是：690MjM“k；(8.8)i1k0綜上所述，模型四為：8.3模型求解從上面的方程可以看出，只要求出也P1i,k,P2i,k就可以得到遞歸方程的確切形式。然后就可以遞歸出05年以后每年的人口情況。2003年，SARSW毒爆發(fā)期間，國家實施了強制的政策，限制了人口的自然流動。所以2003年的數(shù)據(jù)在鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化方面，不能真實反映自然情況。又因為2001年和2002的數(shù)據(jù)距離我們模型預測的起點較遠。最終，我們選擇2004和2005年的數(shù)據(jù)，作為我們的求解依據(jù)。根據(jù)04年和05年的數(shù)據(jù)，編寫MATLAB1序實現(xiàn)模型四問題進一步分析中的i,

40、k,P1i,k,P2i,k的求解方法，得出90組數(shù)據(jù)，p1,p2。通過分析得到的結果，發(fā)現(xiàn)有些年齡組的數(shù)據(jù)不符合實際，例如有些年齡組的城市的遷入率是負值，有些年齡組的鄉(xiāng)村的遷出率是負值。分析之后，發(fā)現(xiàn)是由于樣本數(shù)據(jù)本身不具備全局代表性導致的。對于不符合實際情況的數(shù)據(jù)做出如下修正。用距離不符合實際數(shù)據(jù)最近的一個符合實際的數(shù)據(jù)代替不符合實際的數(shù)據(jù)，因為年齡相近的人口遷移率基本上是相同的。我們的修正是在程序當中實現(xiàn)的。分析實際情況下的鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化的過程后，我們發(fā)現(xiàn)不同年齡段的鄉(xiāng)村人口向城鎮(zhèn)遷移率是不同的。一般老年人和兒童向城鎮(zhèn)遷移率比較小，青壯年人向城鎮(zhèn)的遷移率比較大。我們按年齡把鄉(xiāng)村人口劃分為三

41、類：20歲以下的人，21到50歲的人和50歲以后的人。對每一類人，我們給定一個平均的遷移率。在計算的過程中，用平均遷移率，來遞歸05以后每年的人口數(shù)量。通過Matlab程序求解，見model4.m.模型的求解結果如下：表11模型四預測2005年到2054年的人口數(shù)年份2005200620072008200920102011201220132014人數(shù)130693131595132464133309134132134929135702136450137170137865年份2015201620172018201920202021202220232024人數(shù)13853313917413978714

42、0375140933141466141968142436142877143286年份2025202620272028202920302031203220332034人數(shù)143666144017144335144628144881145102145290145440145554145627年份2035203620372038203920402041204220432044人數(shù)145661145658145621145543145434145293145113144914144685144447年份2045204620472048204920502051205220532054人數(shù)144200143936143689143454143201142937142576142150141788141439圖29模型四預測全國人口變化圖圖30模型四預測城鎮(zhèn)人口變化圖圖32模型四預測老年人口變化圖圖34模型四預測育齡婦女變化圖圖31模型四預測農村人口變化圖圖33模型四預測勞動人口變化圖圖35模型四預測性別變化變化圖8.4結果分析通過圖13我們可以看出，在2036年中國人口數(shù)量達到峰值14.28億。然后人口數(shù)量開始下降，在2054年左右人口數(shù)量降到13.6億左右。在峰值