2412垂直于弦的直徑

1、問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實(shí)踐探究實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾

2、次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸它的對稱軸圓的對稱性及圓的對稱性及特性特性n圓也是中心對稱圖形圓也是中心對稱圖形, ,它的對稱中心就是圓它的對稱中心就是圓心心. .n用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到用旋轉(zhuǎn)的方法可以得到: :n一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度意一個(gè)角度,都能與原來的圖都能與原來的圖形重合形重合.n這是圓特有的一個(gè)性質(zhì)這是圓特有的一個(gè)性質(zhì): :圓的圓的旋轉(zhuǎn)不變性旋轉(zhuǎn)不變性O(shè)如圖，如圖，AB是是 O的一條弦

3、，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？OABCDE活活 動(dòng)動(dòng) 二二（1）是軸對稱圖形直徑）是軸對稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對稱軸直線是它的對稱軸（2） 線段：線段： AE=BE弧?。?ACBC ADBD把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重重合，合， ， 分別與分別與 、 重重合合AC

4、ADBCBDOABCDEAEBE， ，ACBCADBD即直徑即直徑CD平分弦平分弦AB，并且平分并且平分及及ABACB垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條?。?）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條?。?)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧且平分弦所對的兩條?。?）平分弦所對的一條弧的直徑）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧一條弧垂徑定理的推論垂徑定理的推論

5、 如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所平的弧相那么這兩條弦所平的弧相等嗎等嗎? 老師提示老師提示: 這兩條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè)OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.垂徑定理及逆定理垂徑定理及逆定理OABCDM條件結(jié)論命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平并且平 分弦所對的兩條弧分

6、弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對的并且平分弦所對的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平并且平分弦和所對的另一條弧分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧并且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓

7、心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 例例1 1 如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧( (即即圖中弧圖中弧CD,CD,點(diǎn)點(diǎn)O O是弧是弧CDCD的圓心的圓心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E為弧為弧CDCD上的一點(diǎn)上的一點(diǎn), ,且且OECDOECD垂足為垂足為F,EF=90m.F,EF=90m.求這段彎路的半徑求這段彎路的半徑. .n解解: :連接連接OC.OC.OCDEF.)90(,mROFRm則設(shè)彎路的半徑為,CDOE ).(3006002121mCDCF得根據(jù)勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.

8、545,R得解這個(gè)方程.545m這段彎路的半徑約為解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中在圖中例例2 2：如圖，用：如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心所在圓的圓心為為O O，半徑為，半徑為R R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O 作弦作弦AB AB 的垂線的垂線OCOC，D D為為垂足

9、，垂足，OCOC與與AB AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D D 是是AB AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD CD 就是拱高就是拱高ABABAB 2.已知：如圖，在以已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦圓中，大圓的弦AB交小圓于交小圓于C，D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。你認(rèn)為你認(rèn)為AC和和BD有什么關(guān)系？為什么？有什么關(guān)系？為什么？證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE1.1.在半徑為在半徑為3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，則

10、，則O O到到ABAB的距離是的距離是= = ， OABP24mm注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作注意：解決有關(guān)弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法是一種常用輔助線的添法活活 動(dòng)動(dòng) 三三3如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.118422AEAB 4如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂

11、直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是

12、圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 分別過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對分別過弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線，將弦所對的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 練習(xí)練習(xí)3:在圓在圓O中，直徑中，直徑CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圓求圓O的半徑。的半徑。10DCEOAB反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半徑的半徑r、 圓心到弦的距離圓心到弦的距離d、弦長、弦長a中，中， 任意知道兩個(gè)量，可根據(jù)任意知道兩個(gè)量，可根據(jù)定理求出

13、第三個(gè)量：定理求出第三個(gè)量：CDBAO例例3：如圖，圓：如圖，圓O的弦的弦AB8 ， DC2，直徑，直徑CEAB于于D， 求半徑求半徑OC的長。的長。DCEOAB垂徑垂徑直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點(diǎn)于點(diǎn)F.例例4：如圖，已知圓：如圖，已知圓O的直徑的直徑AB與與 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圓，且圓O的半徑為的半徑為 10，CD=16 ，求，求AE-BF的長。的長。練習(xí)練習(xí)4:如圖，如圖，CD為圓為圓O的直徑，弦的直徑，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的長。的長。GEFAOBCDEDOCAB圖中相等的

14、線段有圖中相等的線段有 :駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我畫一畫畫一畫 2.已知：如圖已知：如圖, O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點(diǎn)于點(diǎn)F.圖中相等的線段有圖中相等的線段有 : .圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有: .FEOMNABCDOAB60在直徑是在直徑是20cm的的中，中，的度數(shù)是的度數(shù)是，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是. D A B O5 3cm弓形的弦長為弓形的弦長為6cm，弓形的高為，弓形的高為2cm，則，則這弓形所在的圓的半徑為這弓形所在的圓的半徑為. D C A B O134cmOO3cm已知已知P為為內(nèi)一點(diǎn)，且內(nèi)一點(diǎn)

15、，且OP2cm，如果，如果的半徑是的半徑是，那么過，那么過P點(diǎn)的最短點(diǎn)的最短的弦等于的弦等于. E D C B A P O2 5cm船能過拱橋嗎船能過拱橋嗎 1 . 如圖如圖,某地有一圓弧形拱橋某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為橋下水面寬為7.2米米,拱頂拱頂高出水面高出水面2.4米米.現(xiàn)有一艘寬現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并米、船艙頂部為長方形并高出水面高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這此貨船能順利通過這座拱橋嗎？座拱橋嗎？ 相信自己能獨(dú)相信自己能獨(dú)立完成解答立完成解答. 做一做做一做垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用 在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示面如圖所示.若