二元一次方程組知識點與典型例題

1、二元一次方程組小結與復習一、知識梳理（一）二元一次方程組的有關概念1二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫作二元一次方程。2二元一次方程的一個解：適合一個二元一次方程的一對未知數(shù)的值，叫這個二元一次方程的一個解。任何一個二元一次方程都有無數(shù)個解。3方程組和方程組的解（1）方程組：由幾個方程組成的一組方程叫作方程組。（2）方程組的解：方程組中各個方程的公共解，叫作這個方程組的解。4二元一次方程組和二元一次方程組的解（1）二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組。（2）二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個方程的公共解，叫作這

2、個二元一次方程組的解。（二）二元一次方程組的解法：1代入消元法2加減消元法 二、典例剖析題型一1二元一次方程及方程組的概念。二元一次方程的一般形式：任何一個二元一次方程經過整理、化簡后，都可以化成（a,b,c為已知數(shù)，且a0，b0）的形式，這種形式叫二元一次方程的一般形式。練習1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？練習2、若方程練習3、（1）若方程(2m6)x|n|1+(n+2)y=1是二元一次方程，則m=_，n=_專題二：二元一次方程組的解法：解二元一次方程組的基本思想是消元轉化。（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程組跟蹤訓練：解方程組：（1） （2）2、變形代入 例2 解方

3、程組跟蹤訓練：（1） （2）(3) (4) （二）、加減消元法例題、解方程組（1） （2）（3）跟蹤訓練：（1） （2） （3）(4) (5)(6)（三）、選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M （1） （2）（3） （4）題型三：代數(shù)式的變形1、在方程5中，用含的代數(shù)式表示為：，當3時，。2、在二元一次方程x+2y=11中，用含x的式子表示y得_題型四：有關二元一次方程組的解：（1）二元一次方程3a+b=9在正整數(shù)范圍內的解的個數(shù)是_.（2）已知(3x2y+1)2與|4x3y3|互為相反數(shù)，則x=_，y=_（3）若方程組的解互為相反數(shù)，求m的值。（4）解關于x，y的方程組，并求當解滿足方程4x3y21時

4、的k值（5）：（6）：若方程組 的解是方程ax-by=4的解，你能求出a、b的值嗎？題型五：墨漬題練習1、已知方程組，甲正確的解得，而乙粗心，把c看錯了，解得，求a、b、c的值。練習2、一個被滴上墨水的方程組如下： ，小明回憶到：“這個方程組的解為，經檢查后發(fā)現(xiàn)，我的錯誤是由于看錯了第二個方程中x的系數(shù)所致”，請你根據(jù)小明的回憶，把原方程組還原出來。練習3：小明和小華同時解方程組，小明看錯了m，解得，小華看錯了n ，解得，則原方程組正確的解是多少？題型六：方程組的解的情況例題已知關于x，y的方程組，分別求出當a為何值時，方程組(1)有唯一一組解；(2)無解；(3)有無窮多組解變式：（1）當為何

5、值時，方程組有唯一的解 分析：（2）×2：6x+2y=6 (3) (3)-(1): (6-a)x=5當a6時，方程有唯一的解（1） 當為何值時，方程組有無窮多解？分析： （1）×2：2x+4y=2 (3) (3)-(2): (4-m)y=0 4-m=0即m=4，有無窮多解題型七：應用題（分配調運問題）某校師生到甲、乙兩個工廠參加勞動，如果從甲廠抽9人到乙廠，則兩廠的人數(shù)相同；如果從乙廠抽5人到甲廠，則甲廠的人數(shù)是乙廠的2倍，到兩個工廠的人數(shù)各是多少？解：設到甲工廠的人數(shù)為x人，到乙工廠的人數(shù)為y人題中的兩個相等關系：1、抽9人后到甲工廠的人數(shù)=到乙工廠的人數(shù) 可列方程為：x

6、-9=2、抽5人后到甲工廠的人數(shù)=可列方程為：（行程問題）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時相遇。二人的平均速度各是多少？ 解：設甲每小時走x千米，乙每小時走y千米 題中的兩個相等關系：1、同向而行：甲的路程=乙的路程+可列方程為：2、相向而行：甲的路程+= 可列方程為：（百分數(shù)問題）某市現(xiàn)有42萬人口，計劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8，農村人口增加1.1,這樣全市人口將增加1，求這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口與農村人口？ 解：這個市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農村人口有y萬人 題中的兩個相等關系： 1、現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口+=現(xiàn)在全市總人口 可列方程為： 2、明年增加后的城鎮(zhèn)人口+

7、=明年全市總人口 可列方程為：（1+0.8）x+=（分配問題）某幼兒園分萍果，若每人3個，則剩2個，若每人4個，則有一個少1個，問幼兒園有幾個小朋友？ 解：設幼兒園有x個小朋友，萍果有y個 題中的兩個相等關系：1、萍果總數(shù)=每人分3個+可列方程為：2、萍果總數(shù)=可列方程為：（濃度分配問題）要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？ 解：設含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%的鹽水有y千克。 題中的兩個相等關系 ：1、含鹽10%的鹽水中鹽的重量+含鹽85%的鹽水中鹽的重量=可列方程為：10%x+= 2、含鹽10%的鹽水重量+含鹽85%的鹽水重量= 可列方

8、程為：x+y=（金融分配問題）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能與每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的雜拌糖200千克？解：設每千克售4.2元的糖果為x千克，每千克售3.4元的糖果為y千克 題中的兩個相等關系 ：1、每千克售4.2元的糖果銷售總價+=可列方程為：2、每千克售4.2元的糖果重量+=可列方程為：（幾何分配問題）如圖：用8塊相同的長方形拼成一個寬為48厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少？ 解：設小長方形的長是x厘米，寬是y厘米 題中的兩個相等關系 ： 1、小長方形的長+=大長方形的寬 可列方程為： 2、小長方形的長= 可列方程為：（材料分配問題）一張桌子由桌面

9、和四條腳組成，1立方米的木材可制成桌面50張或制作桌腳300條，現(xiàn)有5立方米的木材，問應如何分配木材，可以使桌面和桌腳配套？ 解：設題中的兩個相等關系 ：1、制作桌面的木材+= 可列方程為：2、所有桌面的總數(shù)：所有桌腳的總數(shù)= 可列方程為：（數(shù)字問題）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？解：設個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y。 題中的兩個相等關系： 1、個位數(shù)字=-5，可列方程為：2、新兩位數(shù)=可列方程為：（分配調運）一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽運公司的甲、乙兩種貨車，已知過去租用這兩

10、種汽車運貨的情況如左表所示，現(xiàn)租用該公司5輛甲種貨車和6輛乙種貨車，一次剛好運完這批貨物，問曱乙兩種貨車的載重量分別是多少噸？ 解：設題中的兩個相等關系： 1、第一次：甲貨車運的貨物重量+=36可列方程為： 2、第二次：甲貨車運的貨物重量+=26 可列方程為：方案問題.北京和上海都有某種儀器可供外地使用，其中北京可提供10臺，上海可提供4臺。已知重慶需要8臺，武漢需要6臺，從北京上海將儀器運往重慶、武漢的費用如下表所示、有關部門計劃用8000元運送這些儀器。請你設計一種方案，使武漢、重慶能夠得到所需的儀器，而且運費正好夠用。運費表：終點起點武漢（元/臺）重慶（元/臺）北京400800上海300

11、500二元一次方程組課后練習（一）：一、填空題：1、用加減消元法解方程組，由×2得。2、在方程5中，用含的代數(shù)式表示為：，當3時，。3、在代數(shù)式中，當2，1時，它的值為1，則；當2，3時代數(shù)式的值是。4、已知方程組與有相同的解，則，。5、若，則，。6、有一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為11，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調，所得的新數(shù)比原數(shù)大63，設原兩位數(shù)的個位數(shù)字為，十位數(shù)字為，則用代數(shù)式表示原兩位數(shù)為，根據(jù)題意得方程組。7、如果3，2是方程的解，則。8、若是關于、的方程的一個解，且，則。9、已知，那么的值是。二、選擇題：10、在方程組、 、中，是二元一次方程組的有（ ）A、2

12、個 B、3個 C、4個 D、5個11、如果是同類項，則、的值是（ ）A、3，2 B、2，3 C、2，3 D、3，212、已知是方程組的解，則、間的關系是（ ）A、 B、 C、 D、13、若二元一次方程，有公共解，則的取值為（ ）A、3 B、3 C、4 D、414、若二元一次方程有正整數(shù)解，則的取值應為（ ）A、正奇數(shù) B、正偶數(shù) C、正奇數(shù)或正偶數(shù) D、015、若方程組的解滿足0，則的取值范圍是（ ）A、1 B、1 C、1 D、116、方程是二元一次方程，則的取值為（ ）A、0 B、1 C、1 D、217、解方程組時，一學生把看錯而得，而正確的解是那么、的值是（）A、不能確定 B、4，5，2C

13、、不能確定，2 D、4，7，218、當時，代數(shù)式的值為6，那么當時這個式子的值為（ ）A、6 B、4 C、5 D、119、設A、B兩鎮(zhèn)相距千米，甲從A鎮(zhèn)、乙從B鎮(zhèn)同時出發(fā)，相向而行，甲、乙行駛的速度分別為千米小時、千米小時，出發(fā)后30分鐘相遇；甲到B鎮(zhèn)后立即返回，追上乙時又經過了30分鐘；當甲追上乙時他倆離A鎮(zhèn)還有4千米。求、。根據(jù)題意，由條件，有四位同學各得到第3個方程如下，其中錯誤的一個是（ ）A、 B、 C、 D、三、解方程組： 20、 21、四、列方程（組）解應用題：22、王大伯承包了25畝土地，今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜，用去了44000元。其中種茄子每畝用了1700元，獲

14、純利2400元；種西紅柿每畝用了1800元，獲純利2600元。問王大伯一共獲純利多少元？23、在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調查了高峰時段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車輛數(shù)），三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環(huán)路車流量為每小時10000輛”；乙同學說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛”；丙同學說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍”；請你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少？五、綜合題：24、已知關于、的二元一次方程組的解滿足二元一次方程，求的值。25、某同學在A、B兩

15、家超市發(fā)現(xiàn)他看中的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元。（1）求該同學看中的隨身聽和書包單價各是多少元？（2）某一天該同學上街，恰好趕上商家促銷，超市A所有商品打八折銷售，超市B全場購物滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家超市購買看中的這兩樣物品，你能說明他可以選擇哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？三、歷年中考試題中二元一次方程組的整理1.某校初三（2）班40名同學為“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情況如下表：捐款（元）1234人數(shù)67表

16、格中捐款2元和3元的人數(shù)不小心被墨水污染已經看不清楚.若設捐款2元的有名同學，捐款3元的有名同學，根據(jù)題意，可得方程組（）.（A）（B）（C）（D）2.已知二元一次方程組為，則_，_.3.若方程組的解與相等，則_.4.若是二元一次方程，則值等于_.5.有一個兩位數(shù)，減去它各位數(shù)字之和的3倍，值為23，除以它各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，則這樣的兩位數(shù)（）A不存在B有惟一解C有兩個D有無數(shù)解6.4x+1=m(x2)+n(x5),則m、n的值是（ ）A. B. C. D.7.如果方程組無解，則a為（ ）A.6 B.6 C.9 D.98.若方程組的解之和：x+y=5，求k的值，并解此方程組.9.以

17、方程組的解為坐標的點在平面直角坐標系中的位置是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限10.若關于的方程組的解是，則為（）A1B3C5D211.若關于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則k的值為（A）（B）（C）（D）12.已知代數(shù)式與是同類項，那么的值分別是（）ABCD二、應用問題的整理13.為了防控甲型H1N1流感，某校積極進行校園環(huán)境消毒，購買了甲、乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶（1）如果購買這兩種消毒液共用780元，求甲、乙兩種消毒液各購買多少瓶？（2）該校準備再次購買這兩種消毒液（不包括已購買的100瓶），使乙種瓶數(shù)是甲種瓶數(shù)的2倍，且

18、所需費用不多于1200元（不包括780元），求甲種消毒液最多能再購買多少瓶？14.在直角坐標系中有兩條直線：和，它們的交點為P，第一條直線與x軸交于點A，第二條直線與x軸交于點B（1）求A，B兩點的坐標（2）求PAB的面積15.一群學生前往位于青田縣境內的灘坑電站建設工地進行社會實踐活動，男生戴白色安全帽，女生戴紅色安全帽.休息時他們坐在一起，大家發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象，每位男生看到白色與紅色的安全帽一樣多，而每位女生看到白色的安全帽是紅色的2倍.問題：根據(jù)這些信息，請你推測這群學生共有多少人？16.在“家電下鄉(xiāng)”活動期間，凡購買指定家用電器的農村居民均可得到該商品售價13%的財政補貼.村民小李

19、購買了一臺A型洗衣機，小王購買了一臺B型洗衣機，兩人一共得到財政補貼351元，又知B型洗衣機售價比A型洗衣機售價多500元.求：（1）A型洗衣機和B型洗衣機的售價各是多少元？（2）小李和小王購買洗衣機除財政補貼外實際各付款多少元？17.某服裝專賣店老板對第一季度男、女服裝的銷售收入進行統(tǒng)計，并繪制了扇形統(tǒng)計圖（如圖）由于三月份開展促銷活動，男、女服裝的銷售收入分別比二月份增長了，已知第一季度男女服裝的銷售總收入為20萬元（1）一月份銷售收入為萬元，二月份銷售收入為萬元，三月份銷售收入為萬元；（2）二月份男、女服裝的銷售收入分別是多少萬元？第17題圖一月份25%二月份30%三月份45%234(備用圖)2yx234xy(第18題)abc18.如圖，在3×3的方陣圖中，填寫了一些數(shù)和代數(shù)式(其中每個代數(shù)式都表示一個數(shù))，使得每行的個數(shù)、每列的個數(shù)、斜對角的