隱函數(shù)的求導(dǎo)ppt課件

1、0),(. 1 yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形例例驗(yàn)證方程驗(yàn)證方程0122 yx在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 0(

2、的某鄰的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、且域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值可導(dǎo)、且0 x時(shí)時(shí)1 y的隱函數(shù)的隱函數(shù))(xfy ，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在數(shù)在0 x的值的值.解解令令1),(22 yxyxF那那么么,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)時(shí)1 y的的函函數(shù)數(shù))(xfy 函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyx

3、xy ,13y . 1022 xdxyd解解令令,arctanln),(22xyyxyxF 那那么么,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(. 2 zyxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函

4、數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .解解令令,4),(222zzyxzyxF 那那么么,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 關(guān)于隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)以以0),( zyxF為例，為例， 主要方法有：主要方法有：公式法一階偏導(dǎo)的基礎(chǔ)上求）公式法一階偏導(dǎo)的基礎(chǔ)上求）222)()(zzxzxFFxFFFxz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 類似地可求得類似地可求得222,yzyxz 直接法直接法方程兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次方程兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次0 x