平面向量的線性運算及其坐標表示知識點及題型歸納總結(jié)

1、平面向量的線性運算及其坐標表示知識點及題型歸納總結(jié) 知識點精講 、向量的基本概念 向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用 uuu 如AB（其中A為起點，B為終點）. 注：談到向量必須說明其方向與大小 2.零向量、單位向量、相等向量、平行（共線）向量 r 零向量：長度為零的向量，記為0,其方向是不確定的 ，、，一、一，一，一一，一rr 長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為ab. 方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，因為任何平行向量經(jīng)過平移后，總可以移到同 r 規(guī)定零向量與任何向量a平行（共線） r,r ,即0/a. 注：數(shù)學中研究的向量都是自由向量, 一rrrr

2、 平行不可以重合；a/b,b/c 可以任意平移；向量中的平行就是共線, 向量的線性運算 向量的加法 求”uu量和的運叫陰量的加法，已知向量向量AC叫做向量a與b的和（或和向量），即 r ,b,在平面內(nèi)任取一點runrunruuurbABBCAC. 向量加法的幾何意義：向量的加法符合三角形法則和平行四邊形法則 .如圖 可以重合，而幾何中 unrruuir A,作ABa,BC uur rr 5-1所不，向重AC=ab. 注：若a;b為不共線向量，加法的三角形法則和平行四邊形法則都適用；當a,b r r來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示, 向量的大小，有就是向量的長度（或稱模） uuu

3、AB 單位向量: r 模為1個單位長度的向量.當 a 0時，向量 r 4-是與向量a共線（平行）的單位向量a 相等向量: 平行向量： 一條直線上 三角形法則可推廣至若干向量的和.如圖5-2所示. 2.向量的減法 (1)相反向量 r. 與a長度相等、萬向相反的向量叫做 a的相反向量，記作a. 規(guī)定：零向量的相反向量仍為零向量; rrrrr -(-a)=a,a+(-a)=0; rr一一 若a,b互為相反向量，則 rrrrrrra=-b,b=-a,a+b=0. (2)向量的減法 向量a與b的相反向量的和叫做向量a與b的差或差向量，即 r a-b=a+(-b) 向量減法的幾何意義：向量的減法符合三角形

4、法則 uur1ruuuruurrr .如圖5-3所示，OAa,OBb則向量BAab. 注：向量加法的三角形法則是兩向量首尾相連，和向量是以第一個向量的起點為起點，以第二個向量的終點為終點；向量減法的三角形法則是將兩個向量的起點移到一起，差向量是連接兩向量的終點，箭頭指向被減向量的終點的向量. 3.向量的數(shù)乘 (1)實數(shù)入與向量 a 的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作:下： a,它的長度和方向規(guī)定如 當入0寸，a 的方向與 a 的方向相同；當入0寸，a的方向與 a 的方向相反；當0時，a0 方向不確定；a0 時，a0 方向不確定. (2)向量數(shù)乘運算的運算律. 設(shè) a、b 為任意向量，

5、、為任意實數(shù)，則(a)()a;()aaa;(ab)ab. 三、平面向量基本定理和性質(zhì) 共線向量基本定理 rrrrrrrrrr 如果 ab(R),則 ab；反之，如果a/b且b0,則一定存在唯一的實數(shù)，使ab.(口 訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘) 平面向量基本定理 ，一 ur一印. 如果 e和 e2 是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量, r i,2,使得 a LT印 LT ei,e2.io LTLU iei2e2，我們把不共線向量 uur 2e2叫做向量a關(guān)于基底 r 那么對于該平面內(nèi)的任一向量a,都存在唯一的一對實數(shù) LTH ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為 注：由平面向量基

6、本定理可知：只要向量 urur urur ie2e2的形式，并且這樣的分解是唯一的 ITurr e與e2不共線，平面內(nèi)的任一向量a都可以分解成形如 ur ie 定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù), uuurur 2叫做 e，e2 的一個線性組合也是向量的坐標表布的基礎(chǔ) .平面向量基本 推論i：若 a IT iei uu 2e2 ir 30 uu 4金 3,2 推論2：若 a IT lei ur 2e? r, 0,則 20. 線段定比分點的向量表達式 如圖5-4所示，在ABC中，若點D是邊 uur BC上的點，且BD uuir DC( uuu i),則向量 AD uuu AB

7、 uuir AC 在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有練掌握. 化腐朽為神奇 i ”之功效， 建議熟 三點共線定理 平面內(nèi)三點A,B,C共線的充要條件是： 存在實數(shù)面內(nèi)一點. UULT ,使 OC uuirOA uur OB淇中 此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握 A、B、C三點共線 存在唯一的實數(shù) ，使得 uuir AC 存在唯一的實數(shù) ，使得 HIT OC uuu AB； uuuOA uur AB； 存在唯一的實數(shù) ，使得 uuu OC (1 iuu )OA uur OB； 存在 uuuri，使得OC uuu OA uuirOB. 中線向量定理 uuir 如

8、圖5-5所示，在ABC中，若點D是邊BC的中點，則中線向量AD 四、平面向量的坐標表示及坐標運算 (1)平面向量的坐標表示. rr, 在平面直角坐標中，分別取與x軸，y軸正半軸萬向相同的兩個單位向量 I,j作為基底，那么由平面向量 rrrr 基本TE理可知，對于平面內(nèi)的一個向重a,有且只有一對實數(shù)x,y使 axiyj,我們把有序?qū)崝?shù)對(x,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y). (2)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有 向量(x,y)脩一常髭向量SA脩一翠昌1點A(x,y) rrrrrr (3)設(shè) a(x1,y1),b(x2,y2)，則 ab(x1x2,y1y2)，a

9、b 的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差 廿rr,、 右2=(x,y),為實數(shù)，則 a(x,y)應(yīng)坐標. 五、向量的平行 當xiy2x2yi0時，可表示為上叢，即對應(yīng)坐標成比例 又2y2 題型歸納及思路提示 題型i平面向量的基本概念思路提示 準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵.共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關(guān)，兩個向量方向相同且長度相等，就是相等向量 共線向量或相等向量均與向量起點無關(guān).1uuuuuur -(ABAC),反之亦正確. 2 (x1x2,y1y2),即兩個向量 ,即實數(shù)與向量的積的坐標, 等于用

10、該實數(shù)乘原來向量的相 uuu (4)設(shè)A(xi,yi),BM,y2),則AB的有向線段的終點的坐標減去始點坐標 uuu OB uuu OA=(x1 x2,yi y2), 即一個向量的坐標等于該向量 uruu 注：設(shè) e,e2是夾角為 45的兩個單位向量，且 ur e uur 2e2，b ur 2e uu e rr ，求 ab 的值. rrir 錯解因為ab=e1 uuuruuITuu 2e2+2e,2=303e2，所以 b=(3,3),則 a b=j99372. 剖析上面解法中, ur 是單位向量，且向 ra ur % r b=(3,3)是錯誤的，雖然題目中的 時，才能按上述方法計算, 表示向

11、量時，才等價于給出坐標 rrr .即若 ai2j LTH e1,%是單位向量, 但它們并不垂直, 一般地，題目中使用單位正交基底(多用 r ,則等價于給出 a(1,2) urur只有當 e,為rr+一 i,j表示) (為，)，b(x2,y2).a/b的充要條件是 種表達也經(jīng)常使用：當b0時，可表示為a xiy2x2yi0.除了坐標表示 xy2x2% r b; 0 外，下面兩 例5.1已知下列三個命題：有向線段就是向量，向量就是有向線段；向量 uuu uuiu A,B,C,D四點共線；如果ab,b/C,那么a/C.其中正確命題的個數(shù)是（ AB與向量CD共線，則 A.0 B.1 C.2 D.3 分

12、析聯(lián)系向量的基本概念，注意零向量 解析不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，如 rrr-r 人一二-b0時，則a與c不一定共線 可以重合，也可以平行；不正確當 b0時，則 評注本題容易忽視零向量這一特殊向量，認為命題 是正確的. 變式1給出下列六個命題: 兩個向量相等，則它們的起點和終點相同；若 uuu若AB uur DC,則 ABCD為平行四邊形；在平行四邊形 ABCD r 若a rr,“r c.若a/b, rr b/c rr a/c 其中不正確的命題的個數(shù)是（ A.2 B.3 C.4 D.5 題型2平面向量的線性表示 線段定比分點的向量形式在向量線性表示（運算）中的應(yīng)用 uu

13、r r 0;不正確，共線向量所在的直線 .所以，均不正確 .故選A. rb; 中，一定有 uur AB uur DC; 例5.2設(shè)P是ABC所在平囿內(nèi)的一點, BCBA2BP,則（ ）. r uw uuuuu uuuur uur uw r uuruur A.PAPB0 B.PC PA 0 C.PBPC 0 D. PA PBPC 解析如圖5-6所示， uuruuu因為BCBA uuu2BP, 故點 P為線段AC的中點，因此 uuuPC uurPA r 0.故選B nm uiui uu 變式1已知O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且20A uuu OB ujur OC uuiruur A

14、.AOOD uur B.AO unr 2OD uur C.AO uur 3OD uuur D.2AO r 0,那么（ uur OD 變式2如圖5-7所示，在平行四邊形 ABCD中, uuuruur ABa,AD ruuruur uuuu b,AN3NC,M為BC的中點，則 MN （用 a,b 表示）. D D 圖5 5- -7 7 例5.3在ABC 中, uur AB ruurrc,ACb, 若點 uuir D滿足 BD uuuruur 2DC,則AD= A2b B. 2b5c 33 D.1b2C 33 分析 根據(jù)題意畫出草圖, 利用向量的力口、 減、數(shù)乘的幾何意義表示 解析 解法一：如圖5-

15、8所示, uuur AD uuuuur ABBD uur2uur AB-BC 3 uun 解法二：因為 BD r2” c(bc)=bc.故選A. 333 uuu 2DC,由定比分點線性表示知 uuur AD rr c2b2r b 123 1r C.故選A. 3 解法三：特殊化思想：如圖5-9所示，把此三角形特殊為等腰直角三角形, 21uur 一)=AB33 并把點 2uur -AC 3 A 2r-b 3 置于原點 1一一c.故選3 O, A. 1 AB=AC=1,則各點坐標為：B1,0,C0,1D 3 評注 uuur若BD umr DC( uur R),則 AD uurAB 1 uiur AC

16、 ，利用此結(jié)論，本題可直接的到正確選項 變式 rb 1(2012大綱全國理 uuir 2,則 CD uuu 6改編）在ABC中，AB邊上的高為CD,若CB rr （用 a,b 表示）. ra, uuu CA 0, 1, 變式 在ABC 中，點D在邊AB上，CD平分/ACB,若CB uurr uuu CA rb, 2, uuu則CD A1A.-a 2b3 02r B.-a 3 1b3 4.r 3r4rC-ab 4r3r D-a-b unr uuruuu uur uur 變式 uuur AD 設(shè)D,E,F分別是 uur uuruuu ABC 的三邊 BC,CA,AB上的點，且DC2BD,CE 2E

17、A,AF uuu 2FB,則 BECF與BC( ). A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 unruuruuur 變式4如圖5-10所示，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若 ACAEAF,其中，R,則. 變式5uuur若AC 在平行四邊形ABCD中，AC與BDruuurruuur 交于點O,E是線段OD的中點，AE的延長線與 CD交于點F, a,BC A” 4 1b 2 B.2a 3 1b3 C.ia 2 1b4 D.ia 3 2b 3 B B 圖5 5- -1010 向量線性運算的幾何意義在解題中的應(yīng)用 例5.4若非零向量 a,b 滿足 a

18、r A.2b r 2b r B.2b r 2b r C.2a r 2b r D.2a r 2b 分析對于 可通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為等腰三角形處理 ULUruurr設(shè)ADa,ABb, 解析如圖 5-11所示, 延長線段 ra uuur BD rb rb r uuu AB, 即 A.2b 2b 成立，故選 A. r2b AB至ijC,使得BC=AB,連接DC,uuin 2BD，則AACD為直角三角形， uurrr 則CDa2b, 且/ADC=90，故 UUIT AC rrr 變式1已知向量ae,e 1,滿足對任意t rr R，恒有 ate r A.a rr eB.a r (a re) rrrC.

19、e(ae) rrrrD.(ae)(ae) 變式2已知在ABC中，若對任意 tR, urnuur BAtBC uuur AC,則ABC一定為 A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上都不對 題型3向量共線的運用 思路提示 要證明AuuB，Cuur產(chǎn)緣只需證明則必有AB與BC共線，從而存在實數(shù) uuuuuu AB與BC共3即證 uiru AB= 例5.5對于非零向量 A.充分不必要條件 解析對于非零向量 變式1平面向量 rr A.a,b 方向相同 C. r R,b ,使得AB= uuuBC. uuu BC(R).若已知 A,B,C三點共線, rrrrrrr a,b,ab0”是 3/

20、小”的( B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 rr a,b 共線的充要條件是( r b,因此 a/b；但a/b時, 未必有 rr b0。故選A. rr B.a,b 兩向量中至少有一個為零向量 D.存在不全為零的實數(shù) r 2b rr 變式2設(shè) a,b 都是非零向量，下列四個條件中，使 r a 十 a r b 十成立的充要條件是( b r A.a rr B.a/b rr C.a2b D.a/b且 a 變式3 已知A (1,3),B(4,-1) 則與向量 uuiu AB同方向的單位向量為 A.(5 5，3) 55 C.( 4) D.(4，|) 55 uur Iuu uuiu

21、iu uuiT Lur 如果 AB ei e2， BC 3e 2e2， CD 8e1 2e2,求證：A,C,D三點共線； uur I uu uuiT u uu uuiT ur uu 如果 AB ei e2， BC 2e 3e2， CD 2e ke2，且A,C,D二點共線，求實數(shù) 三點共線問題可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題解決 .例如若 in 與 e2不共線. ur 例5.6設(shè)兩個非零向量 e k的值. uurruurunruur A,B,C三點共線，則AB/BC或AB/AC. uuLur WIT 解析 (1) AB e1 e2， BC uuu uur uu u uu 1 AC AB BC 4e e2

22、2( C,所以A, C, D三點共線 . uuur uuu Ul LT in AC AB B 3e1 2e2, uuuuu ur ur IT AC C ,即 3e 2e2 (2e 分析 ir 36 ir8ei 因為in iu 2e2， ur 2e2) uuurir CD8e1 uu 2e2，uuruuu njuruuu A,C,D 1uur CD,所以AC與CD共線.又因為AC與CD有公共點2 njuruuu 三點共線，所以AC與CD共線，從而存在實數(shù)使得 ke2),由平面向量基本定理得 2 一 2.故實數(shù) 4 k的值為4. 3 變式1 A.A,B,D uur 已知向量 a,b,且AB B.A

23、,B,C 題型4平面向量基本定理及應(yīng)用 平面向量的基本定理 思路提示 r 2b, uuu BC r5a ruuirrr 2b,CD7a2b,則一定共線的三點是( C. B,C,D D.A,C,D 平面向量基本定理是指同一平面內(nèi)的任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合,標表示奠定了基礎(chǔ)，在向量運算及證明有關(guān)問題方面有廣泛的應(yīng)用 這就為向量的坐 .,一 urin 例5.7已知向量 61,62不共線，實數(shù) ur uu x,y滿足(3x4y)e(2x3y)e2 ur 661 un 362，則2xy的值為 解析 ,一一3x4y6 由平面向量基本定理可知y,解得 2x3y3 評注 向量的線性表示對同

24、一組基底而言，具有唯一性 變式1 LTuur 設(shè) G,3 是不共線的非零向量，且 a ur 6 故2xy 9. rr a,b 表示向量 uu 262， ur ei ur 32. uruu. 3e162 求證: 用 ur 的值. rr a,b 可以作為一組基底; unrr 例5.8如圖5-12所示，在平行四邊形ABCD中，M和N分別為 DC r試用c, iruuuuuur d表示AB和AD. 和BC的中點, uuurruuIT已知AMc,ANd, 分析 組基底, ruuuu uiur 本題若直UUUl1c巒表示AB，ADu有uf的困難，可轉(zhuǎn)化一下角度，用 uuir uuu uur uuuuur

25、AB,AD作為平面的一 表示出AM,AN,進而求出AB,AD. uuuiruuuruuur uur1嗎uu111r1叫一.AMADDM 解析因為M和N分別為DC和BC的中點，所以BNAD,DMAB,于是有 uuiruuuuuur 22ANABBN r uui1uuu uuu 2r 4u c AD 1AB AB c d 2- 3 3uuu2r4uuur4r2出 .解 KJ 3，即AB-c-d,AD-c-d ir uur 1uur uuir 4r 21r3333 d AB AD AD -c d 2 3 3 評注注意轉(zhuǎn)化思想在本題中的應(yīng)用，通過本題可以發(fā)現(xiàn)，只要是平面內(nèi)不共線的兩個向量都可以作為組基

26、底，而恰當?shù)剡x取平面的一組基底，往往可以提高解題效率 三點共線定理及其應(yīng)用 uuiruuuuuu 例5.9點P在AB上，求證：OPOAOB且1(,R,O是AB外一點) uuuuuu 解析因為P在AB上，所以AP與AB共線，所以 uuuuuuuuuuuuuuiruuu AP=tAB,故 OPOAt(OBOA),所以 uuuuuuuuuuuruuuuuu OPOAtOBtOA(1t)OAtOB,令1t= uuuuuuuur t=，則 OPOAOB且1(,R) 評注本題考查平面向量基本定理即對共線向量的理解,題所得到的結(jié)論進行解題. uuruuuuuu 三點共線定理：A,B,P三點共線的充要條件是：

27、存在實數(shù)，使 OPOAOB,其中 1, O為AB外一點. uuruuuuur 變式1在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足 OCOAOB, 其中，R,1,則點C的軌跡方程為() 點，且P,A,B三點共線，則00二 變式3如圖5-14所示，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩uuruuuuur山也 點M和N,若ABmAM,ACnAN，則mn的值為. 例5.10給定兩個長度為1的平面向量OA和潴，它們的夾角為120,點C在以點O為圓心的圓弧AB上運動分析如圖5-13所示，由于點的向量進行轉(zhuǎn)化. P在AB上, uuruu

28、uu uuuuur 可知AP與AB共線，設(shè)AP=tAB,可利用以點O為起點 A.2x2y110 22 B.x1y25 C.2xy0 D.x2y50 變式2 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列，前 n項和為 uuuuur uur S若 OPa1OAa100OB,O 為坐標原 uuruuuuuin .若 OCxOAyOB,其中x,yR,則xy的最大值 是 解析 uuur OD uuur OC 解法一：如圖5-15(a)所示，連接AB交OC與點D,由A,D,B三點共線，可設(shè) uuu OA(1uuu OA(1 求解 uuu )OB(0 uuir )OB,uuur uuur與OC uuur 1),又O,D,C三

29、點共線，可設(shè) OC 的最大值.因為 OC1,要使得 uuuuuu xOAyOB對應(yīng)可得xy uuur 最大，故 OD 最小，顯然當 uiur OD( ,要求解 ODAB時, y最大，因為AO=OB,/AOB=120，則/OAB=30 uur ，則OD min iAO y最大值為2. 解法二：如圖5-15(b)所示，A( uuur OC uuuxOA uuuyOB uur y,x),且 OC=1,得 2 xy 1)得 y的最大值，等價于 uuur OD max y21 最小，最大, uuuri OC OD min ，令x 2, x,得 x2x(x)(x)21,整理得 3x2 2,故的最大值為2,

30、即xy最大值為2. 10, 32120, 120 uuruur OAOC uuucos=OA uuu(xOA uuu uuu yOB)=xyOA uuu OB=x 1 2y uuuuiur OBOC cos(120 uuu)=OB uuuuur uuuuuu (xOAyOB)=xOAOB 所以 xy2coscos(120)cos3sin=2sin()(0 6 2、 ），因此當 3 時，即 5時，xy取得最大值為2. 評注 變式1 本題解法一利用三點共線的向量形式，巧妙地利用轉(zhuǎn)化思想化曲為直，解法之妙值得品味 uuin 如圖5-16所示，在扇形OAB中，/AOB=60,C為弧AB上一個動點，若0

31、c uurxOA uuuyOB C C 則x3y的取值范圍是 0 0 八tiBEtiBE 圖5 5- -1616圖5 5- -1717 例5.11如圖5-17所示，在平行四邊形 uurruuur BCb,則AH等于 ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，DE與AF交于點 uurrH,設(shè)ABa, 2r4r Aa-b 02r B.-a 5 4b5 2r4r C.-ab 55 D. 2ra 5 fb5 分析 本題主要考查向量的線性運算，可以利用三點共線定理相關(guān)知識求解 解析uuurAH 解法一:uuur (AB 因為E,uuuBE)(1 H,D三點共線，所以可設(shè) uuur )AD r (a 存在

32、實數(shù) uuur R,使AH uur AF r (b 1r 2b) 1r、 2a) (1 r )b (1 1b)b,且a, 2 r b不共線，得 解法二：特殊化思想.如圖5-18所示, A(0,0), y2x,直線 DE的坐標方程為：y uuu AHAB 所以 1 2ra r )b, (1 0 2 b 0 2 uuur 又因為AH uur 與AF共線，則 r )b UULT 2r .故AH=-a 5 r b,即 4r b.故選B. 5 1_1 B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(1,),F(一,1)，直線AF的方程為: 22 1,聯(lián)立得 y 1 x 2 .得 1 y 5,4 5 rr2

33、4 即 H(-，).設(shè) 55 24 UUL 2uur 4 umr 2r4T . ,即 AH -AB AD ab.故選 B 55 5 5 55 2 2x x 1 -x 2 uuur AD(1,0)(0,1),則 uuu PA 、內(nèi)心 uuir 例5.12O為LABC所在平面內(nèi)一定點，動點P滿足 OP 軌跡一定通過ABC的（ 分析根據(jù)平面向量的幾何表示及內(nèi)心的定義解題圖 5-18 AMBAMB 圖5 5- -1919 評注應(yīng)熟練掌握平面向量解決三點共線問題的基本方法，即A,B,C三點共線 有且只有 uuuuuuuuu 一組實數(shù)，使得 OCOAOB,且 1.O為平面ABC內(nèi)任意一點 變式1如圖5-1

34、9所示，設(shè)6是4OAB的重心，過G的直線與OA,OB分別交于P和Q, 已知 OP OA OQ,11 h,k,求證：一一 3. OBhk 題型5向量與三角形的四心 思路提示 用向量有關(guān)知識表小三角形的內(nèi)心、高及中線. 外心、垂心、重心的位置實質(zhì)是描述三角形的角平分線、 垂直平分線、 (1) 內(nèi)心: 三角形的內(nèi)心在向量 uuuuuur 制旨 iuuCi所在的直線上. ABAC uuu AB uuir PC uuuruum uuuuuu BCPCCAPB P為ABC的內(nèi)心. (3) 垂心: urn PA uur PB uuruur PBPC uuiruur PCPAP為ABC 的垂心. (4) 重心

35、: uur PA uur PB uurr PC0 P為/ABC的重心. A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 (2) uuu uu/AB AC (uuu uu AB AC ），則點P的 P為ABC的外心. uuu PB uuu OA ),(0, 解析 /BAC uuur 因為AB uuu 為 AB方向上的單位向量, uuu 的角平分線 AD 的方向，又 (0, uuur ACuuurAC uuur 為AC方向上的單位向量，則 ).所以 uuur /AB (-uuu AB uur uur ABACuuu1的萬向為 AC uuruuuuuur AC、ABAC uuur)的方向與 Tuuu；Tuu

36、tFr ABAC AC 方向相同，而 uum AB(-UUtTr AB uur ACuuuutC-)=OPAC uuuuuur OA=AP， uuu uuur AP與 AD 同方向，所以點 P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心.故選 B. 變式1 已知非零向量 uuruuur AB與AC滿足( uuuABuuuAB uuuruuruur AC、uur口 ABAC1 皿上 uutfr)BC=0,且 Tuuuvrutur一,貝UABC為 ACI|AB|IAC2 A.等邊三角形B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形 二、重心 例5.13若O為ABC內(nèi)一點, uuruuuuuurr OA

37、OBOC0,則O是ABC的 A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心 解析 uuu OB 如圖5-20所示，以uuuruuuruur OCOD2OE,的 UUU uur OB,OC 為鄰邊作平行四邊形 OBDC.取BC的中點為巳 uuuuur uuruur OA2OE,即AO2OE, O為ABC 的重心. UULT1UUU 證明：OG(OA3 uuu OB uuur OC)G為ABC 的重心. 二、垂心 例5.14求證：ABC中, uuuuuuuuu OAOBOB uuur OC uuur OC uuu OA O為4ABC 的垂心. uuruuruuuuuruur解析由OAOBOBOCOC uu

38、u OA uuu OB uuu (OA uuur OC) uuruuur OBAC uur OB uur AC; uuruuuuuuuur同理OC(OBOA)OC O為乙ABC的垂心. uuu AB0 uuuruuruuuuuuuuur OCAB;OA(OBOC) uur OA uuu CB uur OA uuu CB,因止匕, 變式1O是平面上一定點, A,B,C uuu 是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP uuu OA uuuuuur ABAC. (U*U-uuuf),(R)則點P的軌跡一7E通過ABC( ABcosBACcosC A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心 四、外心 uuruu

39、uuunuur 例5.15求證：若O是ABC的外心，H是4ABC的垂心，則OHOAOBOC（歐拉定理的引理） mnunr 解析如圖5-21所示，連接BO并延長交外接圓于點D,連接AD,CD,有OBOD,因為BD為 圓O的直徑，則DA AB,CH AB,CDLBC,又因為AH BC故CH/DA且AH/DC,得四邊形AHCDunruuirunrunrumrLLUuuu 為平行四邊形，從而有AHDC,又DCOCODOCOB,得 uiiruurunruurunruuruuruujr OHOAAHOADCOAOBOC. 評注由三角形重心的性質(zhì)定理可以很快地得到歐拉定理：對于ABC的重心G, UJITiU

40、ULUUHUULT OG（OAOBOC）,3 uuirULUuuuuuir 再由上述引理，OHOAOBOC,所以 uuuriuuur OGOH,即三角形的外心、重心、垂心三點共線 3 題型6平行向量的坐標運算思路提示 向量的坐標是向量的代數(shù)表示，每一種向量運算都對應(yīng)著其坐標運算，因此解決向量的相關(guān)問題可以通過向量的代數(shù)運算去進行.（歐拉線），且重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍. uuuJUTuuuruuuUUT 變式1已知點O,N,P在ABC所在平面內(nèi)，且 OAOBOC,NANB UUUUUUUUUUUTuurUJIT PAPBPBPCPAPC，則點O,N,P依次是ABC的( Luur

41、NC r0, A.重心、 外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心 C.外心、 重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心 圖圖5-21 r一r1.3.r 例5.16已知平面向量a(J31)b(一 X),向量 x22 ru r a(t ru3)b,y rka r tb 淇中t和k是不同時 為零的實數(shù).若 x/y,求此時t和k滿足的函數(shù)關(guān)系式 kg(t). 分析 ru 由 x/yx1y2 x2y1求解. 解析 不共線, ru因為 x/y, 故有1 t3 且 y0,所以存在實數(shù) k ，從而 1tt k(t 3),故 r3)b rrrr (katb).又a,b 0,t3). 變式 1平面內(nèi)給定 r 3個向量 a(3,

42、2), r 1,2),c (4,1),回答下列問題. (1) 求3a r 2c； (2) 求滿足 rmb r，一 nc的實數(shù) m, n; (3) r右(a kb)/(2ba),求實數(shù) (4) urrr (x,y)滿足(dc)/(a ir =1,求d. 題型 7向量共線(平行)的坐標表示 思路提示 向量平行 (共線)問題，可以轉(zhuǎn)化為向量的幾何表示 平面向量 r a(x/) ra= r b,如果涉及到坐標 ，則有其坐標表示形式如下: 向或反向還需求 例5.17已知兩個向量 解析 r 解法一：當ka (X2,y2),若 rr a/b,則 丫丫 2 x2y1=0,(或8 x2 m,X2Y2y2 0).

43、但要問同 (1,2), r 3,2),當實數(shù)k取何值時，向量ka 2b與2a r 4b平行? 2b與2a r 4b平行時，必存在唯一的實數(shù) r 2b rka r2b r 4b, 即(k2 r )a (4 r2)b r,k 0 成立，則 4 (2a4b), 1 2,故當k 1 1時, rka 2b與2a r 4b平行. 解法二: r 使ka rr 因為 ka2bk(2,1) 2b與2a4b平行，則(k 2( 3,2) (k r 6,2k4),2a r 4b 2(1,2) 4( 3,2)(14, 評注 6)(4)(2k4)140, 解得 k1. 本題從兩向量平行的線性表示與坐標表示形式兩個角度來解決問題，兩種方法的本質(zhì)是一樣的，在 研究兩向量平行時，若向量的坐標的坐標已知，用解法二更簡單一些 變式1設(shè)向量 a,b 滿足 a -rrrr 2 而 b(2,1),且 a 與 b 的方向相反，則a的坐標為 例5.18已知向量 uuu (k,12),OB uuur (4,5),OC(k,10),且A,B,C三點共線，則k的值為() B.2 3 分析 由于 A,B, C三點共線，所以 C.2 3 uuruuur AB與AC平行，即它們的對應(yīng)坐標成比例，由此可求出 k的值. 解析 uuuuuu ABOB uuuuuur OA(4k