數(shù)學(xué)九年級(jí)反證法課件

1、路邊苦李路邊苦李 王戎王戎7歲時(shí)歲時(shí),與小與小伙伴們外出游玩伙伴們外出游玩,看看到路邊的李樹(shù)上結(jié)滿到路邊的李樹(shù)上結(jié)滿了果子了果子.小伙伴們紛小伙伴們紛紛去摘取果子紛去摘取果子,只有只有王戎站在原地不動(dòng)王戎站在原地不動(dòng).王戎回答說(shuō)王戎回答說(shuō):“樹(shù)在道邊而多子樹(shù)在道邊而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李小伙伴摘取一個(gè)嘗了一下果然是苦李. 王戎是怎樣知道李子是苦的呢王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣他運(yùn)用了怎樣的推理方法的推理方法?這與事實(shí)這與事實(shí)矛盾。矛盾。說(shuō)明說(shuō)明李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)李子是甜的這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)的還是對(duì)的的還是對(duì)的？假設(shè)假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，李

2、子不是苦的，即李子是甜的，那么這長(zhǎng)在人來(lái)人往的大路邊的李子會(huì)不會(huì)被那么這長(zhǎng)在人來(lái)人往的大路邊的李子會(huì)不會(huì)被過(guò)路人摘去解渴呢過(guò)路人摘去解渴呢？那么，樹(shù)上的李子還會(huì)這么多嗎那么，樹(shù)上的李子還會(huì)這么多嗎？所以，所以，李子是苦的李子是苦的甲：在五一長(zhǎng)甲：在五一長(zhǎng)假里，我和爸假里，我和爸爸、媽媽去新爸、媽媽去新加坡玩了整整加坡玩了整整6天，真是太高天，真是太高興了興了.乙：這不可能，乙：這不可能，5月月4號(hào)上午還看見(jiàn)你和丙號(hào)上午還看見(jiàn)你和丙在在“長(zhǎng)廊長(zhǎng)廊”逛街呢！逛街呢！丙：是啊丙：是啊,5月月4號(hào)我確實(shí)號(hào)我確實(shí)和甲在和甲在“長(zhǎng)長(zhǎng)廊廊”逛街！逛街！假設(shè)假設(shè)甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天，天，乙：甲沒(méi)有

3、去新加坡玩了乙：甲沒(méi)有去新加坡玩了6天天.那么甲從那么甲從5月月1號(hào)至號(hào)至6號(hào)或是號(hào)或是2號(hào)至號(hào)至7號(hào)在號(hào)在新加坡，新加坡，即即5月月4號(hào)甲在新加坡，號(hào)甲在新加坡，這與這與“5月月4號(hào)甲在達(dá)州市的號(hào)甲在達(dá)州市的“長(zhǎng)廊長(zhǎng)廊”矛矛盾盾,所以所以假設(shè)假設(shè)“甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天天”不正確不正確,于是于是“甲沒(méi)有去新加坡玩了甲沒(méi)有去新加坡玩了6天天”正確正確. 在古希臘時(shí),有三個(gè)哲學(xué)家，由于爭(zhēng)論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里的一棵大樹(shù)下躺下休息睡著了。這時(shí)一個(gè)愛(ài)開(kāi)玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當(dāng)他們醒過(guò)來(lái)后，彼此相看時(shí)都笑了。一會(huì)兒其中有一個(gè)人卻突然不笑了，他是覺(jué)察到什么了？ 他運(yùn)用了

4、怎樣的推理方法？他運(yùn)用了怎樣的推理方法？各抒己見(jiàn)各抒己見(jiàn)假設(shè)假設(shè)自己的前額沒(méi)有被涂黑自己的前額沒(méi)有被涂黑,那么另一個(gè)哲學(xué)家也不會(huì)有異常行為那么另一個(gè)哲學(xué)家也不會(huì)有異常行為,自己的前額也被涂黑了自己的前額也被涂黑了.這與另一個(gè)哲學(xué)家笑個(gè)不停這與另一個(gè)哲學(xué)家笑個(gè)不停矛盾矛盾,所以所以假設(shè)假設(shè)“自己的前額沒(méi)有涂黑自己的前額沒(méi)有涂黑”不正不正確確,于是自己的前額也被涂黑了于是自己的前額也被涂黑了.反證法 曾文勝一、問(wèn)題情境一、問(wèn)題情境小華睡覺(jué)前，地上是干的，早晨起來(lái)，看見(jiàn)地上全濕小華睡覺(jué)前，地上是干的，早晨起來(lái)，看見(jiàn)地上全濕了。小華對(duì)婷婷說(shuō)：了。小華對(duì)婷婷說(shuō)：“昨天晚上下雨了。昨天晚上下雨了?！蹦隳軐?duì)

5、小華的判斷說(shuō)出理由嗎？你能對(duì)小華的判斷說(shuō)出理由嗎？假設(shè)假設(shè)昨天晚上沒(méi)有下雨，昨天晚上沒(méi)有下雨，那么那么地上應(yīng)是干的，這與地上應(yīng)是干的，這與早晨地上全濕了早晨地上全濕了相矛盾相矛盾，所以說(shuō)昨晚下雨是正確的。，所以說(shuō)昨晚下雨是正確的。小華的理由：我們可以把這種說(shuō)理方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)問(wèn)題上。解析：解析：由由C=90C=90可知是直角三角可知是直角三角形，根據(jù)勾股定理可知形，根據(jù)勾股定理可知a a2 2 +b+b2 2 c c2 .2 . 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,AC=b,如果如果C=90C=90，a a、b b、c c三邊有何關(guān)系？為三邊有何關(guān)系

6、？為什么？什么？A AC CB Ba ab bc c一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入探究：探究：假設(shè)假設(shè)a a2 2 +b+b2 2 c c2 2，由勾股定理，由勾股定理可知三角形可知三角形ABCABC是直角三角形，且是直角三角形，且C=90C=90，這與已知條件，這與已知條件C90C90矛矛盾。假設(shè)不成立，從而說(shuō)明原結(jié)論盾。假設(shè)不成立，從而說(shuō)明原結(jié)論a a2 2 +b+b2 2 c c2 2成立。成立。A AC CB B 若將上面的條件改為若將上面的條件改為“在在ABCABC中，中，AB=cAB=c，BC=aBC=a，AC=b,C90AC=b,C90”，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論a a2 2 +b+b2 2

7、 c c2 2成立嗎？成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。請(qǐng)說(shuō)明理由。a ab bc c 這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過(guò)正確的；邏輯推理得出與已知、定理、的反面成立，然后經(jīng)過(guò)正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法叫做叫做反證法反證法。問(wèn)題問(wèn)題：發(fā)現(xiàn)知識(shí)：發(fā)現(xiàn)知識(shí)：二、探究二、探究三、應(yīng)用新知三、應(yīng)用新知在在ABCABC中，中，ABAC,ABAC,求證：求證：B B C CA AB BC C證明：假設(shè)證明：假設(shè)，則則（）

8、這與這與矛盾矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立B B C CABABACAC等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊已知已知ABACABACB B C C小結(jié)：小結(jié)： 反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立邏輯推理邏輯推理得出矛盾得出矛盾肯定原結(jié)論正確肯定原結(jié)論正確例例嘗試解決問(wèn)題嘗試解決問(wèn)題感感受受反反證證法法:證明證明：假設(shè)假設(shè)a a與與b b不止一個(gè)交點(diǎn)，不不止一個(gè)交點(diǎn)，不妨假設(shè)有兩個(gè)交點(diǎn)妨假設(shè)有兩個(gè)交點(diǎn)A A和和A A。 因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A和和A的直線有且只有一條的直線有且只有一條，這與，這與與已知兩條直線與已知兩條直線矛盾矛盾, ,假設(shè)

9、不成立。假設(shè)不成立。 所以所以兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。小結(jié)小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過(guò)的定理、條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過(guò)的定理、公理矛盾公理矛盾例例2 2求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。求證：兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)。已知：如圖兩條相交直線已知：如圖兩條相交直線a、b。求證：求證：a與與b只有一個(gè)交點(diǎn)。只有一個(gè)交點(diǎn)。abAA A，A A證明：假設(shè)證明：假設(shè)a a與與b b不平行，則不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)可設(shè)它們相交于點(diǎn)A A。 那么過(guò)點(diǎn)那么過(guò)點(diǎn)A A 就有兩條直就有兩條直線線a a、b b與

10、直線與直線c c平行，這與平行，這與“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾條直線與已知直線平行矛盾, ,假設(shè)不成立。假設(shè)不成立。 a/b.a/b.小結(jié)小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過(guò)的定理、條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過(guò)的定理、公理矛盾公理矛盾 已知：如圖有已知：如圖有a a、b b、c c三條直線，三條直線，且且a/c,b/c.a/c,b/c. 求證：求證：a/ba/babc例例3 3 求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于求證：在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于或等于6060。已知：已知

11、：ABCABC求證：求證：ABCABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于6060. .證明：假設(shè)證明：假設(shè)，則則。，即即。這與這與矛盾假設(shè)不成立矛盾假設(shè)不成立ABCABC中沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于中沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于6060A60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C180A+B+C180三角形的內(nèi)角和為三角形的內(nèi)角和為180180度度ABCABC中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于中至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于6060. .點(diǎn)撥：至少的反面是沒(méi)有！點(diǎn)撥：至少的反面是沒(méi)有！例例4 4A+B+C60A+B+C60+60+60+60+60=180=180求證求證:在同一平面內(nèi)在同一

12、平面內(nèi),如果一條直線和兩條平如果一條直線和兩條平行線中的一條相交行線中的一條相交,那么和另一條也相交那么和另一條也相交.已知已知: 直線直線l1, l2, l3在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi),且且l1l2, l3與與l1相相交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.求證求證:l3與與l2相交相交.證明證明:假設(shè)假設(shè)_,那么那么_.因?yàn)橐阎驗(yàn)橐阎猒,這與這與“_ _”矛盾矛盾.所以所以假設(shè)不成立假設(shè)不成立,即求證的命題正確即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與與l2 不不相交相交.l3l2l1l2 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直有且只有一條直線平行于已知直線線平行于已知直線所以過(guò)直線所以過(guò)直線l2外一點(diǎn)外一點(diǎn)P

13、,有有兩條直線兩條直線和和l2平行平行,例例6、用反證法證明：等腰三角形的底、用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角角必定是銳角分析分析：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)論，需要分類(lèi)討論論，需要分類(lèi)討論.已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC.求證：求證：B、C為銳角為銳角.證明：證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：么只有兩種情況：(1)兩個(gè)底角都是直角；兩個(gè)底角都是直角；(2)兩個(gè)底角都是鈍角；兩個(gè)底角都是鈍角；（1)由由A=B=90則則A+B+C=A+90+90180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，這與三角

14、形內(nèi)角和定理矛盾，A=B=90這個(gè)假設(shè)不成立這個(gè)假設(shè)不成立.(2)由由90B180， 90C180，則則 A+B+C180，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.兩個(gè)底角都是鈍角這個(gè)假設(shè)也不成立兩個(gè)底角都是鈍角這個(gè)假設(shè)也不成立故原命題正確故原命題正確 等腰三角形的底角必定是銳角等腰三角形的底角必定是銳角.說(shuō)明說(shuō)明：本例中：本例中“是銳角是銳角(小于小于90)”的反面有的反面有兩種情況兩種情況，這時(shí)，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能這時(shí)，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確.此題是對(duì)反證此題

15、是對(duì)反證法的進(jìn)一步理解法的進(jìn)一步理解.假設(shè)結(jié)論的反面正確假設(shè)結(jié)論的反面正確推理論證推理論證得出結(jié)論得出結(jié)論回顧與歸納回顧與歸納反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論 得出矛盾（已知、得出矛盾（已知、公理、定理等）公理、定理等） 假設(shè)不成立，原假設(shè)不成立，原命題成立命題成立.反證法的一般步驟反證法的一般步驟:假設(shè)命題結(jié)假設(shè)命題結(jié)論不成立論不成立假設(shè)不假設(shè)不成立成立假設(shè)命題結(jié)假設(shè)命題結(jié)論反面成立論反面成立與已知條與已知條件件矛盾矛盾假設(shè)假設(shè)推理得出推理得出的結(jié)論的結(jié)論與與定理，定義，定理，定義，公理公理矛盾矛盾所證命題所證命題成立成立什么時(shí)候運(yùn)用反證法呢？什么時(shí)候運(yùn)用反證法呢？證明真命題證明真命題 的方法的方法

16、 直接證法直接證法 間接證法間接證法 反證法反證法萬(wàn)事開(kāi)頭難，讓我們走好第一步！萬(wàn)事開(kāi)頭難，讓我們走好第一步！寫(xiě)出下列各結(jié)論的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正數(shù)；（4）aba0b是0或負(fù)數(shù)a不垂直于bab1.在一個(gè)梯形中，如果同一條底邊上的兩個(gè)內(nèi)在一個(gè)梯形中，如果同一條底邊上的兩個(gè)內(nèi)角不相等，那么這個(gè)梯形是等腰梯形嗎？請(qǐng)證角不相等，那么這個(gè)梯形是等腰梯形嗎？請(qǐng)證明你的猜想明你的猜想誰(shuí)來(lái)試一試！ 2.已知：如圖已知：如圖ABC中，中，D、E兩兩 點(diǎn)分別在點(diǎn)分別在AB和和AC上上 求證：求證：CD、BE不能互相平分不能互相平分 E D C B A （平行四邊形對(duì)邊平行）做一做做一做學(xué)

17、習(xí)是件很愉快的事學(xué)習(xí)是件很愉快的事證明：假設(shè)CD、BE互相平分互相平分連結(jié)DE，故四邊形BCED是平行四邊形BDCE這與BD、CE交于點(diǎn)A矛盾假設(shè)錯(cuò)誤， CD、BE不能互相平分不能互相平分四、鞏固新知四、鞏固新知1 1、試說(shuō)出下列命題的反面：、試說(shuō)出下列命題的反面：（1 1）a a是實(shí)數(shù)。是實(shí)數(shù)。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。 （4 4）至少有）至少有2 2個(gè)個(gè)（5 5）最多有一個(gè)）最多有一個(gè) （6 6）兩條直線平行。）兩條直線平行。2 2、用反證法證明、用反證法證明“若若a a2 2 b b2 2, ,則則a a b”b”的第一步是的第一步是。3 3、用反證法

18、證明、用反證法證明“如果一個(gè)三角形沒(méi)有兩個(gè)相等的角，那么如果一個(gè)三角形沒(méi)有兩個(gè)相等的角，那么這個(gè)三角形不是等腰三角形這個(gè)三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是實(shí)數(shù)不是實(shí)數(shù)a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于沒(méi)有兩個(gè)沒(méi)有兩個(gè)一個(gè)也沒(méi)有一個(gè)也沒(méi)有兩直線相交兩直線相交假設(shè)假設(shè)a=ba=b假設(shè)這個(gè)三角形是等腰三角形假設(shè)這個(gè)三角形是等腰三角形已知：在梯形已知：在梯形ABCDABCD中，中，AB/CDAB/CD，CDCD求證：梯形求證：梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .證明：假設(shè)梯形證明：假設(shè)梯形ABCDABCD是等腰梯形。是等腰梯形。 C=D C=D（等腰梯形

19、同一底（等腰梯形同一底上的兩內(nèi)角相等）上的兩內(nèi)角相等） 這與已知條件這與已知條件CDCD矛盾矛盾, ,假設(shè)不成立。假設(shè)不成立。梯形梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .、求證：如果一個(gè)梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角不、求證：如果一個(gè)梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角不相等，那么這個(gè)梯形不是等腰梯形相等，那么這個(gè)梯形不是等腰梯形。A AB BC CD D五、拓展應(yīng)用五、拓展應(yīng)用1 1、已知：如圖，在、已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，APBAPCAPBAPC。求證：求證：PBPCPBPCA AB BC CP P證明：假設(shè)證明：假設(shè)PB=PCPB=PC。 在在ABPABP與與ACPA

20、CP中中 AB=AC(AB=AC(已知）已知） AP=APAP=AP（公共邊）（公共邊） PB=PCPB=PC（已知）（已知） ABPABPACPACP（S.S.S)S.S.S) APB=APC( APB=APC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）相等） 這與已知條件這與已知條件APBAPCAPBAPC矛盾，矛盾，假設(shè)不成立假設(shè)不成立. . PBPC PBPC六、全課總結(jié)六、全課總結(jié)1 1、知識(shí)小結(jié)：、知識(shí)小結(jié)： 反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立反證法證明的思路：假設(shè)命題不成立正確的推正確的推理理, ,得出矛盾得出矛盾肯定待定命題的結(jié)論肯定待定命題的結(jié)論2 2、難點(diǎn)提示、難點(diǎn)提示: : 利用反證法證明命題時(shí)利用反證法證明命題時(shí), ,一定要準(zhǔn)確而全面的找出一定要準(zhǔn)確而全面的找出命題結(jié)論的反面。至少的反面