靜電場的唯一性定理

1、靜電場邊值問題的靜電場邊值問題的唯一性定理唯一性定理n靜電場小結(jié)靜電場小結(jié)n典型的靜電問題典型的靜電問題n給定導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的給定導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的電量電量或或電勢電勢以及各導(dǎo)體以及各導(dǎo)體的形狀、相對位置（統(tǒng)稱邊界條件），求空間的形狀、相對位置（統(tǒng)稱邊界條件），求空間電場分布，即在電場分布，即在一定邊界條件一定邊界條件下求解下求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程泊松方程,泊松方程,0202UorU靜電場靜電場的邊值的邊值問題問題泛泛定定方方程程邊界條件邊界條件唯一性定理唯一性定理n對于靜電場，給定一組邊界條件，空間能否對于靜電場，給定一組邊界條件，空間能否存在不同的恒定電場分布？存在不同的恒定電場分布？

2、回答：否！回答：否！n邊界條件邊界條件可將空間里電場的分布可將空間里電場的分布唯一唯一地確定地確定下來下來n該定理對包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題該定理對包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題的正確解釋至關(guān)重要的正確解釋至關(guān)重要n理論證明在電動力學(xué)中給出，理論證明在電動力學(xué)中給出，附錄附錄給出普物給出普物方式的論證方式的論證n論證分三步：引理論證分三步：引理疊加原理疊加原理證明證明幾個(gè)引理幾個(gè)引理n引理一：在無電荷的空間里電勢不可能引理一：在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值有極大值和極小值n證明（反證）若有極大，則證明（反證）若有極大，則極大極大極小極小n若有極小，同樣證明若有極小，同樣證明0

3、,ESUPUPd EES，指指向向 點(diǎn)點(diǎn), ,背背離離 點(diǎn)點(diǎn)但但面面內(nèi)內(nèi)無無電電荷荷矛矛盾盾n引理二：若所有導(dǎo)體的電勢引理二：若所有導(dǎo)體的電勢為為0，則導(dǎo)體以外空間的電，則導(dǎo)體以外空間的電勢處處為勢處處為0即意味著空間即意味著空間電勢有極大值，電勢有極大值，違背引理一違背引理一n證明（反證）證明（反證）在在無電荷無電荷空間里電勢分布連續(xù)空間里電勢分布連續(xù)變化，若空間有電勢大于變化，若空間有電勢大于0（或小于（或小于0）的點(diǎn)，而邊界上）的點(diǎn)，而邊界上電勢又處處等于零電勢又處處等于零必出現(xiàn)必出現(xiàn)極大值或極小值極大值或極小值矛盾矛盾n推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空

4、間里各導(dǎo)體的電勢都相等（設(shè)為的電勢都相等（設(shè)為U0），則空間電勢等于，則空間電勢等于常量常量U0引理三：若所有導(dǎo)體都不帶電，引理三：若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢都相等則各導(dǎo)體的電勢都相等n證明（反證）證明（反證）n若不相等，必有一個(gè)最高，若不相等，必有一個(gè)最高，如圖設(shè)如圖設(shè)U1U2、U3，導(dǎo)導(dǎo)體體1是電場線的起點(diǎn)是電場線的起點(diǎn)其其表面只有正電荷表面只有正電荷導(dǎo)體導(dǎo)體1上的總電量不為上的總電量不為0與前與前提矛盾提矛盾n引理二引理二 ( )引理三引理三可推論：所有導(dǎo)體可推論：所有導(dǎo)體都不帶電都不帶電的的情況下空間各處的情況下空間各處的電勢電勢也和導(dǎo)體一樣，等于同一也和導(dǎo)體一樣，等于同一常常

5、量量疊加原理疊加原理n在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對位置后，賦予在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對位置后，賦予兩組邊界條件：兩組邊界條件：n1 1：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢Uk（或總電量（或總電量Qk）n2 2：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢Uk（或總電量（或總電量Qk)n設(shè)設(shè)U、 U滿足上述兩條件，則它們的線性組合滿足上述兩條件，則它們的線性組合 U= =a U+b U必滿足條件必滿足條件3:3: 3 3：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢Uk= =a Uk+b U k （或總電量（或總電量Qk= = Qk a k+b Q k） 特例特例 ： 取取Uk U k，則，

6、則U= =UU(a=1,b=-1)滿足滿足 4 4：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢為：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢為0 0 唯一性定理唯一性定理n給定每個(gè)導(dǎo)體電勢的情形給定每個(gè)導(dǎo)體電勢的情形n設(shè)對應(yīng)同一組邊值設(shè)對應(yīng)同一組邊值 IIIIIIEEUU)2 , 1(kUk 有兩種恒定的電勢分布有兩種恒定的電勢分布 IIIUU 和和相當(dāng)于所有導(dǎo)相當(dāng)于所有導(dǎo)體上電勢為體上電勢為0 0時(shí)時(shí)的恒定電勢分的恒定電勢分布布說明場分布是唯一的說明場分布是唯一的IIIIIISEEUUUdSnUk常常量量00與電勢參與電勢參考點(diǎn)有關(guān)，考點(diǎn)有關(guān)，不影響電不影響電勢梯度勢梯度n給定每個(gè)導(dǎo)體上總電量的情形給定每個(gè)導(dǎo)體上總電量的情形n 第第k個(gè)導(dǎo)

7、體上的電量個(gè)導(dǎo)體上的電量dSnUdSEdSQkkkSSSnek00電量與場電量與場強(qiáng)、電勢強(qiáng)、電勢的關(guān)系的關(guān)系設(shè)對設(shè)對應(yīng)同應(yīng)同一組一組邊值邊值有兩有兩種恒種恒定電定電勢分勢分布布說明場分布是唯一的說明場分布是唯一的解釋靜電屏蔽解釋靜電屏蔽n唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導(dǎo)體平衡特性，又是物理實(shí)在，則這種電荷違背導(dǎo)體平衡特性，又是物理實(shí)在，則這種電荷分布就是分布就是唯一唯一可能的分布。可能的分布。 n圖中是根據(jù)導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零判斷存在兩種實(shí)圖中是根據(jù)導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)處處為零判斷存在兩種實(shí)在的電荷分布的迭加就是唯一的分布在的電荷分布的迭加就是唯

8、一的分布 電像法電像法解靜電問題的一種特殊方法解靜電問題的一種特殊方法n在一接地的無窮大平面導(dǎo)體前有一點(diǎn)電荷在一接地的無窮大平面導(dǎo)體前有一點(diǎn)電荷q求空間求空間的電場分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布的電場分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布n基本思想：基本思想：利用唯一性定理，邊界條件確定了，利用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解解是唯一的，可以尋找合理的試探解像電荷像電荷解：解：n任一任一P點(diǎn)的電勢點(diǎn)的電勢0)(41),(0zrqrqzyxU222222)()(azyxrazyxr；其中其中2222220)(1)(141),(azyxazyxzyxUn導(dǎo)體上電荷的面密度導(dǎo)體上電荷的面

9、密度Ue0nDn2322200)(2ayxaqzUze2l真空中有一半徑為真空中有一半徑為R的接地導(dǎo)體球，距球心的接地導(dǎo)體球，距球心為為a(aR)處有一點(diǎn)電荷處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)電勢求空間各點(diǎn)電勢n尋找像電荷尋找像電荷n對稱性分析，確定像對稱性分析，確定像電荷位置電荷位置n使球面上電勢使球面上電勢0n任取任取 P點(diǎn)，利用疊加點(diǎn)，利用疊加原理求出像電荷位置原理求出像電荷位置0QQrQr QrQrrrQ cos2cos22222QRaaRQRbbR對所有對所有 都成立，都成立，即要求與即要求與 無關(guān)，要求無關(guān)，要求22cosaQbQ 的系數(shù)的系數(shù)？取取 有有QaRQabQaRb2三角形三角形

10、相似相似求求p p點(diǎn)電勢點(diǎn)電勢414100arRQrQrQrQUPcos2cos22222RaaRrRbbRr；其中其中討論：由討論：由高斯高斯定理收斂于球面上的電通量為定理收斂于球面上的電通量為Q，Q=球球面上的總感應(yīng)電荷，它受電荷面上的總感應(yīng)電荷，它受電荷Q產(chǎn)生的電場產(chǎn)生的電場吸引從接地處吸引從接地處傳至導(dǎo)體球上，傳至導(dǎo)體球上，|Q|Q, ,Q發(fā)出的電力線只有一部分收斂于發(fā)出的電力線只有一部分收斂于導(dǎo)體球，剩下的伸展至無窮導(dǎo)體球，剩下的伸展至無窮電偶極層電偶極層n設(shè)想一厚度均勻的曲設(shè)想一厚度均勻的曲面薄殼，兩面帶有符面薄殼，兩面帶有符號相反的面電荷號相反的面電荷 電偶極層，如圖，電偶極層，

11、如圖，求求P P點(diǎn)的電勢和場強(qiáng)點(diǎn)的電勢和場強(qiáng) e 041)(SerdSpU 0)(41SerdS SedSrr11410夾夾角角),( :,cosnrlrr rlrrlrlrrcos11)cos1 (1cos1122cos11cos1rlrrrlr )(pU代代入入 SerdSlpU20cos41)(面元面元dS在垂直在垂直于矢徑于矢徑r方向方向的投影的投影drdS 2cosn定義電偶極層強(qiáng)度：定義電偶極層強(qiáng)度：單位面積上的單位面積上的電偶極矩電偶極矩 lee 0044)(eSedpU P點(diǎn)的電場強(qiáng)度點(diǎn)的電場強(qiáng)度 n電偶極層的電勢和場強(qiáng)只與對場點(diǎn)電偶極層的電勢和場強(qiáng)只與對場點(diǎn)所張的立體角有關(guān)所張的立體角有關(guān)n幾何上決定，電偶極層兩側(cè)立體角幾何上決定，電偶極層兩側(cè)立體角有的躍變有的躍變n負(fù)電荷一側(cè)：負(fù)電荷一側(cè)： 曲面曲面S對場點(diǎn)對場點(diǎn)P 所 張 的 立所 張 的 立體角體角 04)(epUE0, 0cos, 2/,cos2 SdrdSdn正電荷一側(cè)正電荷一側(cè)：0, 0