2020屆湘贛皖十五校高三下學期第一次聯(lián)考模擬數(shù)學(文)試題(解析版)

1、2020屆湘贛皖十五校高三下學期第一次聯(lián)考模擬數(shù)學（文）試題、單選題1 .若i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足（1-i） z 1 i,則z （）A. 1C. iD. 1 2i【答案】B 一,、,1 i 一、 r【解析】將原式變形為 z ，然后利用復數(shù)的除法計算出z即可.1 i【詳解】因為z(1 i)2 2i.i.(1 i)(1+ i) 2故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，難度較易.復數(shù)進行除法運算時，注意分子分母同乘以分母的共軻復數(shù).2 .若集合A x| 1 x 2, Bx|2x4,則 AB （）A.B. x| 1x 2C.x|0x2D.x 10 x 4【答案】B【解析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解

2、出不等式2x 4的解集作為集合 B ,然后根據(jù)交集概念求解出A。B.【詳解】：2x 4,2x 22, x 2, B x|x 2,；A x| 1 x 2, ApB x| 1x2.故選：B.【點睛】 本題考查集合的交集運算，其中涉及到解指數(shù)不等式，難度較易3 .若a, b是任意實數(shù)，且a b ,則（）C. lg(a b) 0【答案】D1 一【解析】通過a, b的正負以及大小判斷 A, B, C的正確性，利用指數(shù)函數(shù) y 的 2單調(diào)性判斷D.【詳解】b若a 0, b 0,則2 1 ,故A錯誤； a若a b為負數(shù)，則y Vb不成立，故B錯誤；若0 a b 1 ,則lg(a b) 0,故C錯誤；X, a

3、 , b一，1 11 一 人因為根據(jù)f(x) 在R上單調(diào)遞減，則一一，故D正確，222故選：D.【點睛】本題考查根據(jù)已知條件判斷不等關(guān)系是否正確，其中涉及到利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，難度較易.CD ,則直線AC與平面4 .在九章算術(shù)中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉月需.如圖，在鱉月需A BCD 中，AB 平面 BCD,且 BD CD,AB BDABD所成角的正切值是()c. 73A.拒B .2【答案】B【解析】根據(jù)條件判斷出直線AC與平面ABD所成角即為 CAD ,然后根據(jù)線段長度即可計算出線面角的正切值 .【詳解】因為AB 平面BCD,所以AB CD ,又因為BD CD,ABp|B

4、D B ,所以CD 平面ABD,所以直線AC與平面ABD所成角即為 CAD ,又因為AB BD CD ,所以tan CADCD 2AD 2故選：B.【點睛】本題考查線面垂直關(guān)系的判斷與證明以及求解線面角的正切值，難度一般.利用幾何方法求解線面角的三角函數(shù)值時， 首先可考慮根據(jù)線面垂直關(guān)系作出線面角， 然后再求解相關(guān)值.5 .某公司由三個部門組成，總職工人數(shù)是2000名，其中部門（一）有職工 800人,部門（二）的職工人數(shù)只有總職工人數(shù)的四分之一.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全公司抽取60名職工，則在部門（三）中應(yīng)抽取的職工人數(shù)是（）A. 15B . 16C. 21D . 24【答案】C【解析】根據(jù)已知

5、條件先確定出分層抽樣的抽樣比以及部門（三）的職工人數(shù)，然后將部門（三）的職工人數(shù)乘以抽樣比即可得到結(jié)果 6031因為抽樣比為：且部門（三）的職工人數(shù)為：2000 800 2000 700,20001004所以部門（三）應(yīng)抽取的職工人數(shù)為：700 21 ,100故選：C.【點睛】本題考查分層抽樣的相關(guān)計算，難度較易.注意分層抽樣的各層的抽樣比相同.16 .下列函數(shù)中其定義域和值域分別與函數(shù)v 2 y 2的定義域和值域相同的是（）y 2 xa. y 3 xB. y lnxC. y 2log2xD. y 2x【答案】C1【解析】先分析出 v 2 Y 2的定義域和值域，然后再逐項判斷是否定義域和值域均

6、相 y 2 x同.【詳解】1;函數(shù)V 2 Y5的定義域為（0,），值域為（0,）, y x xA中y 3x的定義域為R,故不符合；.B中y ln x的值域為r,故不符合;C可化為y x（x 0） , C的定義域和值域都為（0,）,故符合;D中定義域為R ,故不符合.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)定義域與值域的判斷，難度較易.（1）求解對數(shù)函數(shù)的定義域時，注意對數(shù)式的真數(shù)大于零；（2）注意對數(shù)運算：alogaNNa 0且a 1, N 07 .已知 tan -2 ,則 sin 2(A.1213【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關(guān)系中的商數(shù)關(guān)系、平方和關(guān)系求解出cos2 ,再根據(jù)條件將2sin 2 表本

7、為cos的形式即可求出結(jié)果.tan2” cos2,又 sin22cos1,2cos15,sin22sincos4cos2故選：A.本題考查同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系的運用,難度較易.同角的三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系：（1）商數(shù)關(guān)系：sn tan cosk ,k Z ；（2）平方和關(guān)系:.22/sin cos 1.8.已知向量 oA (1,1),OB (3,2),（2,3）, AABC的重心為G ,則 AB與AG的夾角的余弦值是（A.210B也10P '10C 10【解析】分別求解出aB和aG的坐標表示，然后根據(jù)坐標形式下向量的夾角公式計算出AB與AG夾角的余弦值【詳解】"aB oB

8、 oA2,1 ,BC oC OB如圖,1,1 ，AG AB | Ag| | aB| cos , cos3 W10故選：B.【點睛】本題考查坐標形式下向量夾角余弦值的計算,其中涉及到三角形重心的簡單應(yīng)用,難度較易.三角形的重心將所在中線分為2:1的兩段.29 .已知直線y X m與圓x22xy2 3 0交于A B兩點，且|AB| 272A.1或 3C.【解析】根據(jù)圓心到直線的距離半弦長AB、圓的半徑構(gòu)成直角三角形的三邊,由此求解m的值.圓的方程可化為:4,圓心是1,0，半徑r 2設(shè)圓心（1,0）到直線|1|一 ,12, m 1 或3.故選：D.本題考查根據(jù)直線與圓相交的弦長求解參數(shù)，難度較易.注

9、意直線與圓相交的弦長問題10 .設(shè)函數(shù)f(x)A. X 1【答案】C中，可根據(jù)垂徑定理進行分析(圓心到直線的距離、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形的三 邊).1,x 0,x 則滿足f(x 2) f (3x)的x的取值范圍是()2x,x 0,B.xC.2 x 1 D. 0 x 1f (3x)對應(yīng)的不等式組，由此求【解析】作出f x的圖象，根據(jù)圖象判斷 f (x 2)解出x的取值范圍【詳解】作出f x的圖象如下圖:當f (x2)f(3x)時，由函數(shù)f(x)的圖象可知3x02 3x3x 0或，x 2 0解得：2x1.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的圖象解不等式，主要考查了學生對函數(shù)圖象的理解，難度

10、一般.11 .在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c, A 45,a 4,如果ABC有 兩組解，那么b的取值范圍是()A. (4,)B. (0,4)C. (472,8)D, (4,472)【答案】D【解析】構(gòu)造關(guān)于A的余弦定理由此得到關(guān)于 c的方程組，根據(jù)三角形解的個數(shù)判斷方程組解的個數(shù)，由此得到關(guān)于 b的不等式組，從而可求 b的取值范圍.法一：設(shè)b x,則由余弦定理，42 x2 c2 2c x cos45 ,c2 J2x c x2 16 0, .三角形有兩組解，"程c2 J2x c x2 16 0有2個不同的正數(shù)根，設(shè)為 G,c2,(.2x)2 4(x2 16) 0,ci

11、 c2 歷 0,4 x 4短，即 4 b 4短；2c1G2 x 16 0,法二：:)ABC有兩組解，bsinA a b,所以b 4 b，所以4 b 472 .2故選：D.【點睛】本題考查解三角形問題中根據(jù)三角形解的個數(shù)求解參數(shù)范圍，難度一般.此類問題常見解答方法：（1）作圖法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程根的分布進行分析212 .已知雙曲線0a是其右支上的兩點,2卷1（a 0,b 0）的左、右焦點分別是F1（ 2,0）、 bAf2 3F2B,| Af1| | AB|,則該雙曲線的方程是（F2(2,0) ， AB2A- T y2 12B. 2 y2 1【解析】先根

12、據(jù)長度關(guān)系以及雙曲線的定義求解出AF1 , AF2 , BF1 , BF2 ,然后利用AF2F1, BF2F1對應(yīng)的余弦定理即可求解出22 .a ,b的值，從而雙曲線的方程可求設(shè) F2B m,則 AF23m,| AB| 4m,AF1 |AB| 4m,由 |AFJ| AF21 2a 得 m 2a, BF1 4a,設(shè) AEF1由余弦定理可知:(8a)2 42 (6a)2 48a cos (4a)2 42 (2a)2 16a cos 由，得a2 1 ,又a2 b2 c2 4,b2 3,2，雙曲線方程為x2 L 1.3故選：D.【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，其中涉及到互為鄰補角對應(yīng)的余弦定理以及雙

13、曲線的定義，對學生的轉(zhuǎn)化與計算能力要求較高，難度較難.如果兩個角互為鄰補角，則兩角的余弦值和為零.二、填空題13 .函數(shù)f(x) (x 2019) ln x在x 1處的切線方程為 .【答案】2020 x y 2020 0【解析】先求解出 f x ,然后計算出f 1 , f 1 ,再根據(jù)點斜式方程求解出切線方程.【詳解】1 ,f (x) ln x (x 2019) -, f (1) 2020, f 10,1 xf (x)在 x 1 處的切線方程為：y f (1) 2020( x 1),即 2020 x y 2020故答案為：2020 x y 2020 0.【點睛】本題考查曲線上某點處切線方程的求

14、解，考查學生的基本的理解與計算，難度較易14 .函數(shù) f (x) cosx(sinx 73 cosx) x-,-的單調(diào)遞增區(qū)間為2 21212(填,12 12,12 125,12 12都可以)【解析】先利用二倍角公式以及輔助角公式將f x整理，然后根據(jù)單調(diào)增區(qū)間的求解公式求解出X的取值范圍，再根據(jù)所給范圍進行取舍即可3 1 cos2xsin(2x -)【詳解】I -1f(x) sin2x 22k-<2x -2、32,k Z，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為5,.12 12故答案為:5 甫,一 或12 12512,125上一，,都可以）.12 12本題考查求解正弦型函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間,難

15、度一般.求解y Asin wx 小的單調(diào)增區(qū)間，可采用整體替換的方式令2k解出的x的取值范圍即為對應(yīng)的單調(diào)增區(qū)間15 .設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，已知a1 2 ,且點（Sn,an 1）在直線(n N ),則 S5【解析】先根據(jù)an 1與Sn的關(guān)系求解出an的通項公式，然后即可求解出S5的值.an 1Sn1 ,時,anSn又22 S1 1 3. a3 6,a412包24, S5 a a2 a31，一得an 1故答案為：47.本題考查數(shù)列通項求解以及前n項和的計算，難度一般.已知Sn與an的等量關(guān)系，可考慮將n替換為n 1得到另一個等式，兩等式作差得到an與an 1的關(guān)系，從而求解出通項公式.1

16、 一16 .如圖，長方體 ABCD ABiCiDi 中，AB BC,BE AB ,點 F 為 AD1中點, 3O為直線DBi與平面EFC的交點，則67DOOB1【解析】作DiCi的六等分點H ,然后根據(jù)M ,N,O三點共線以及由平行對應(yīng)的比列關(guān)DO系求解出-的值即可.OBi作DiCi的六等分點'1 DiH BE 'DiF BC設(shè) FH Bi DiDiH iH日H D1cl 6可知FH /CEN,CE BD M連接MN ,則M、N、O三點共線（平面EFC 平面BB1D1D MN）” BM 1DM 31 DM 3, BD 4'過F作FP/ABi交BiDi于P點，-DiN D

17、iH 1111 NP FP 6 2 3,NP 3D1N,DiNDiN1 NB1 7BD1 8D1N 8, B1D1 8DO DM 3 7 6OB1 NB1 4 8 7 .故答案為：.7本題考查根據(jù)空間中的位置關(guān)系求解線段長度比，對學生在空間中點線面的位置關(guān)系的掌握上要求較高，難度較難.注意利用相交線被平行線所截的線段成比例去計算三、解答題17 .某校100位學生第一次月考考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：50,70), 70,90), 90,110), 110,130),130,150. liff Q.DW-t 0-0IO- 50 70 90 IJQ r$0 成情(1)

18、求圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生數(shù)學成績的中位數(shù)(中位數(shù)的結(jié)果精確到 0.1 );(2)求這100名學生的平均成績.【答案】(1) a 0.0025;中位數(shù)為93.3 (2) 96分【解析】(1)根據(jù)頻率之和為1即可求解出a的值；由中位數(shù)對應(yīng)頻率值為0.5,由此列出方程求解出中位數(shù)的值；(2)將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)頻率并相加，由此計算出平均數(shù)【詳解】(1)；(a 0.02 0.015 0.01 a) 20 1解得 a 0.0025.又設(shè)中位數(shù)為 x,則有 0.0025 20 0.02 20 (x 90) 0.015 0.5解得x 93.3.(2)設(shè)這100名學生的平均

19、成績是 X貝U x (60 0.002580 0.02100 0.015120 0.01140 0.0025)2096所以這100名學生的平均成績是 96分.【點睛】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖求參數(shù)以及中位數(shù)、平均數(shù)，難度較易.（1）頻率分布直方圖中的參數(shù)計算，多數(shù)情況是根據(jù)頻率和為1求解的；（2）頻率分布直方圖中的中位數(shù)計算是根據(jù)應(yīng)頻率為 0.5求解的；（3）頻率分布直方圖中的平均數(shù)是將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對應(yīng)的頻率并相加得到的.18 .已知正數(shù)數(shù)列 an中，a1 1 ,向量a （an 1 3an,1）,b3,J bb （an 1 an, an 1 3an ）,a b .（1）求數(shù)列 an的

20、通項公式；（2）設(shè)bn log3an 1,Tn為數(shù)列3bn的前n項和，求滿足Tn 112的n最小值.n 1【答案】（1） an 3 （2） 6【解析】（1）根據(jù)向量垂直對應(yīng)的數(shù)量積為0得到an 1,an之間的關(guān)系，由此判斷出 an為等比數(shù)列，從而通項公式可求；（2）先根據(jù)等比數(shù)列求和求解出 Tn,然后根據(jù)Tn的單調(diào)性以及取值情況，分析出 n的 取值范圍，從而n的最小值可求.即 (an 1 3al) (an 1an) an 1 3an 0(ani 3an)(an 1 an 1) 0 ,an 1 3an3an數(shù)列an是首項為1 ,公比為3的等比數(shù)列3n 1(2)b bnlOg3an2,bnn 23

21、n 3Tn3 IIITn隨著n的增大而增大,1(1 3n)31 3121 3n16364121.3 1123【點睛】涉及到根據(jù)遞推公式求解通項公式以及根據(jù)數(shù)列本題考查向量的數(shù)量積與數(shù)列的綜合，單調(diào)性求解參數(shù)，屬于綜合型問題，難度一般19 .如圖，在四棱錐 S ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD 60 ,側(cè)面SBC為等邊三角形，SD 2.(1)求證：SD BC;(2)求點B到平面ASD的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 72【解析】(1)取BC中點E ,通過線面垂直的判定定理證明BC ±平面SDE ,由此證明線線垂直；(2)先根據(jù)已知條件判斷出平面 SAD、平面SDE

22、的位置關(guān)系，再結(jié)合線段長度以及“已知平行于平面的直線上的點到平面的距離相等”求解出B到平面ASD的距離.【詳解】(1)證明：設(shè)BC邊中點是E ,連接DE,SE:'SBC是等邊三角形，SE BC又由已知ZXDBC是等邊三角形，DE BCBC 平面SDEBC SD.(2)(方法一)* ASBC是邊長為2的等邊三角形，SE J3,同理DE 芯,取SD的中點P,連接PE,SE DE V3,PE SD 且 pe TSE2PS2 V2，又 E 是 BC 中點， BDE 30 , ADE 90 , AD DE ,又 SD BC,AD/BC, AD SD,且 DESD D, AD 平面 SDE,又因為

23、AD 平面SAD ,所以平面SAD 平面SDE ,又AD /BC, AD 平面SAD , BC 平面SAD ,所以BC/平面SAD ,B到平面SAD的距離等于 E到平面SAD的距離，又“PE SD,平面SAD 平面SDE SD,所以PE 平面SAD,E到平面ASD的距離為PE J2，B到平面ASD的距離為J2 ;（方法二）. SBC是邊長為2的等邊三角形,SE J3,同理 DE J3,又 SD 2又由（1）知BCL平面SDE,BCD-Sasde BC 32.2VS ABDVs ABCD2VS BCD4,.23又易知四棱錐S BCD是正四面體S在底面BCD上的射影H為&BCD各邊中線的交

24、點，且為 & BCD的重心H在AC上由勾股定理，sa .sh2 AH2，222 一又CH -OC -V3 （其中。為AC與BD的交點）， SH -V6 , 333AH 73 -V3, SA 2拒，SD2 AD2 SA2, SD AD , 33-1 ,Szxsad - 2 2 2 .設(shè)點B到平面ASD的距離為h 2 *, VS ABD Vb SAD1c,2-,-Sa sadh2,h、2.33故點B到平面ASD的距離為J2.【點睛】本題考查由線面垂直證明線線垂直以及計算點到平面的距離，難度一般.求解點到平面的距離，除了直接作出點在平面內(nèi)的射影點，根據(jù)長度計算對應(yīng)點到平面的距離，還可以采用間

25、接求解的方法：等體積法.20 .在平面直角坐標系 xOy中，已知圓O:x2 y2 4, A(2,0),線段BC的中點是坐1標原點O ,設(shè)直線AB,AC的斜率分別為ki,k2,且kik2-.4(1)求B點的軌跡方程；(2)設(shè)直線AB,AC分別交圓O于點E、F ,直線EF、BC的斜率分別為Kef、kBc ,c 6 c已知直線EF與x軸交于點D 一,0 .問：是否存在常數(shù) ，使得KbcKef若存5在，求出 的值；若不存在，說明理由.x2c2【答案】(1)土y21(y 0) (2)存在；45【解析】(1)設(shè)出B點坐標，根據(jù)斜率關(guān)系得到關(guān)于x,y的等式，由此得到軌跡方程；(2)聯(lián)立直線 AB與橢圓得到B

26、點坐標，聯(lián)立直線 AB與圓得到E點坐標，分別利用斜率表不'出Kbc , Kef ,由此確定出的值.【詳解】(1)設(shè) B(x, y),則C( x, y),又 A(2,0),2k k ayy 1k1 k22.x 2 x 2 x2 44x22 .-一y 1 ,又斜率存在， x 242點B的軌跡方程是 y2 1(y 0). 4y K (x 2),2222(2)聯(lián)立 x22得(4k11)x16kl x 4(4kl 1) 07 y 1,解得：Xb22(4k2 1)1 4k2，VbK(Xb 2)4kl4k12 1Yb 02kiT -T2 7xB 04kl 12),24 得(k21)x2 4k2x 4

27、(k2 1) 0.左 /口2(k12 1)解得：Xe 2- ，Yek1 14 klk2 1Ye 05kl4k12 1kBCkBC kEF 22,存在常數(shù)一，使得kBC -kEF .55【點睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程以及探究型問題的求解，難度一般.(1)軌跡方程的兩種求解方法：直接法、定義法；(2)圓錐曲線中的斜率有關(guān)的問題，多數(shù)情況下選擇用坐標的形式去轉(zhuǎn)化計算21 .已知函數(shù) f (x) x 2 sinx.(1)當x 0時，求f(x)的最小值；(2)若X 0,時，f(x)1 a)x x cosx,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1) f (X)min- V3 (2) (,13【解析】(1)

28、先分析f x在0,的單調(diào)性并確定出最小值，再根據(jù) x , 時f x的取值特點，從而可分析出f x在0,上的最小值；(2)將不等式變形，利用構(gòu)造函數(shù)思想分析新函數(shù)F(x) 2sin x xcosx ax的單調(diào)性，采用分類討論法確定出F x 0時a的取值范圍【詳解】11(1) f (x) 1 2cosxx 0,一 時 f (x) 0,x 3時 f (x) 0x 0, 時 f (x)的極小值為f %33當x 時，f(x) 2 第 3當 x 0 時，f(x)min - J3. 3(2)問題可轉(zhuǎn)化為 2sin x xcos x ax，0(x0,)設(shè) F(x) 2sin x xcosx axF (x) c

29、osx xsin x a令 g(x) cosx xsinx a, g (x) x cosx當x 0，5 時，g(x)，0,g(x)單調(diào)遞增，當x 2, 時，g (x)40,g(x)單調(diào)遞減.F (x)在0, 上先增后減.又F (0) 1 a,F ( )1 a,F - a.當F 22 a40即a),時，F(xiàn) (x)40,x 0,F(x)單調(diào)遞減，又F(0) 0,則F(x)<0,不合題意；當F 0即a 一時,22I .若 F (0)，0,F ()0,則一定存在m使得F (m) 0.F(x)在(0, m)上單調(diào)遞增，在(m,)上單調(diào)遞減.F(0)/0,則 人得F()加，而 F。1 G0,1 aF

30、( )1 a 0,1.n .若F,F ( )0,則F(x)在0,上單調(diào)遞增且F(0) 0,則 F(x)0在0,上恒成立.此時F(0)F()出.若F (0)存在n 0,-使得F (n) 0, F(x)在(0,n)上單調(diào)遞減，又F (0) 0x (0,n)時，F(xiàn) (x) 0 ,不合題意.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(,1.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應(yīng)用， 其中涉及到利用導數(shù)求解函數(shù)最值以及利用導數(shù)解決 不等式恒成立問題，難度較難.和導數(shù)有關(guān)的不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題的求解方 法：分類討論法、參變分離法 .x 4t2,22 .在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點Oy 4t為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l的極坐標方程為cos 、3 sin 1 0.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求直線l被曲線C所截的弦長.【答案】(1) y2 4x,x 73y 1 0 (2) 16【解析】(1)直接消去參數(shù)t