mathematics第5講

1、軟 件 介 紹第第5 5講講 自定義函數(shù)自定義函數(shù)2/505.1 自定義函數(shù)自定義函數(shù)5.2 函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用3/505.1 自定義函數(shù) 前面幾章所介紹的各種函數(shù)都是在前面幾章所介紹的各種函數(shù)都是在Mathenatiea系系統(tǒng)中給好定義、明確功能，提供給用戶(hù)直接調(diào)用的。統(tǒng)中給好定義、明確功能，提供給用戶(hù)直接調(diào)用的。 但在實(shí)際問(wèn)題中還有許多函數(shù)因?yàn)橛脩?hù)特殊需要，但在實(shí)際問(wèn)題中還有許多函數(shù)因?yàn)橛脩?hù)特殊需要，而系統(tǒng)中沒(méi)有定義，在這種情況下需要由用戶(hù)自己來(lái)而系統(tǒng)中沒(méi)有定義，在這種情況下需要由用戶(hù)自己來(lái)給出定義，以供后面使用的方便，這就是下面要介紹給出定義，以供后面使用的方便，這就是下面要介紹的自定

2、義函數(shù)。的自定義函數(shù)。4/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù)5.1.2 自定義多元函數(shù)自定義多元函數(shù)5.1.3 自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出5/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù) 自定義一元函數(shù)方法如下：自定義一元函數(shù)方法如下：f x_ := 自選表達(dá)式自選表達(dá)式 例如例如fx_ := 2x + 3等，如果將此式同數(shù)學(xué)中常用的等，如果將此式同數(shù)學(xué)中常用的函數(shù)定義符號(hào)函數(shù)定義符號(hào)f(x)=2x+3相比較，容易看到二者間的差相比較，容易看到二者間的差別。別。 按照按照Mathematica的規(guī)定，應(yīng)該將圓括號(hào)換為專(zhuān)用的規(guī)定，應(yīng)該將圓括號(hào)換為專(zhuān)用于函數(shù)的方

3、括號(hào)，即于函數(shù)的方括號(hào)，即fx=2*x+3。 于是二者間的主要差別有二于是二者間的主要差別有二: 一是自變量一是自變量“x_”與與“x”的差別，的差別， 二是定義符二是定義符“:=”與與“=”的差別。的差別。6/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù) (1) 先看，先看，x_與與x功能上的差別功能上的差別【例【例1-1】fx_:= 2 x + 3b;fxfyfbf1, 2, 37/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù) (1) 先看，先看，x_與與x功能上的差別功能上的差別【例【例1-1】gx:= 2x + 3b;gxgy無(wú)定義，找不到與右端表達(dá)式相匹配的無(wú)定義，找不到與右端表達(dá)式

4、相匹配的y，原樣輸出，原樣輸出gbg1, 2, 38/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù) (1) 先看，先看，x_與與x功能上的差別功能上的差別 上面例子說(shuō)明：上面例子說(shuō)明： 自定義函數(shù)符號(hào)自定義函數(shù)符號(hào)fx_ := 2x + 3b中的中的x_(在在x后面后面必須緊跟著加一個(gè)下劃線必須緊跟著加一個(gè)下劃線)同數(shù)學(xué)函數(shù)符號(hào)同數(shù)學(xué)函數(shù)符號(hào)f(x)中中x的功的功能基本上一樣，都是起著自變量的作用，能基本上一樣，都是起著自變量的作用， 在在Mathemtica里將里將x_稱(chēng)為規(guī)則變量或模式變量，稱(chēng)為規(guī)則變量或模式變量， 而而fx中的中的x類(lèi)似于數(shù)學(xué)里的一個(gè)常量，即類(lèi)似于數(shù)學(xué)里的一個(gè)常量，即fx

5、只代只代表表fx_在某一點(diǎn)的值。在某一點(diǎn)的值。9/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù) (1) 先看，先看，x_與與x功能上的差別功能上的差別 上面例子說(shuō)明：上面例子說(shuō)明： fx_ := 2x + 3b中模式變量中模式變量x_代表著一類(lèi)重要的代表著一類(lèi)重要的實(shí)體，它不僅可以取實(shí)數(shù)，還可以取向量和矩陣，以實(shí)體，它不僅可以取實(shí)數(shù)，還可以取向量和矩陣，以及由及由f所規(guī)定的同右端表達(dá)式中與所規(guī)定的同右端表達(dá)式中與x_相匹配的任何結(jié)構(gòu)相匹配的任何結(jié)構(gòu)的量。的量。10/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù) (2) 再看再看“=”與與“:=”功能上的差別功能上的差別 差別是：前者為立即賦值，

6、差別是：前者為立即賦值， 后者為延時(shí)賦值后者為延時(shí)賦值 亦即使用亦即使用“=”號(hào)時(shí)，右邊表達(dá)式在定義時(shí)被立即賦號(hào)時(shí)，右邊表達(dá)式在定義時(shí)被立即賦值，而使用值，而使用“:=”號(hào)時(shí)，右邊的表達(dá)式在定義時(shí)暫不號(hào)時(shí)，右邊的表達(dá)式在定義時(shí)暫不賦值，直到被調(diào)用時(shí)才被賦值。賦值，直到被調(diào)用時(shí)才被賦值。 請(qǐng)看下面的例子：請(qǐng)看下面的例子：11/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù) (2) 再看再看“=”與與“:=”功能上的差別功能上的差別 請(qǐng)看下面的例子：請(qǐng)看下面的例子：【例【例1-2】Clearf, g;x = 2;fx_ = x2;gx_ := x2;f3g312/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義

7、一元函數(shù) (2) 再看再看“=”與與“:=”功能上的差別功能上的差別 上面例子說(shuō)明，上面例子說(shuō)明，fx_ = x2在定義時(shí)便被賦值在定義時(shí)便被賦值x = 2，在調(diào)用它時(shí)，在調(diào)用它時(shí)，f3中的值已是中的值已是22了，了， 而而gx_ := x2在定義時(shí)暫時(shí)不賦值，直到調(diào)用在定義時(shí)暫時(shí)不賦值，直到調(diào)用g3時(shí)才被賦值時(shí)才被賦值g3 = 32。 在使用自定義函數(shù)時(shí)，要特別注意到它與數(shù)學(xué)中已在使用自定義函數(shù)時(shí)，要特別注意到它與數(shù)學(xué)中已經(jīng)習(xí)慣使用的函數(shù)符號(hào)經(jīng)習(xí)慣使用的函數(shù)符號(hào)f(x)在這兩點(diǎn)上的不同，以避在這兩點(diǎn)上的不同，以避免一些不必要錯(cuò)誤的發(fā)生。免一些不必要錯(cuò)誤的發(fā)生。13/505.1.1 自定義一元

8、函數(shù)自定義一元函數(shù) (2) 再看再看“=”與與“:=”功能上的差別功能上的差別 例中設(shè)置開(kāi)頭語(yǔ)句例中設(shè)置開(kāi)頭語(yǔ)句Clearf, g，是為了清除掉前面，是為了清除掉前面對(duì)對(duì)f與與g的所有定義，否則容易引起同例的所有定義，否則容易引起同例1中中f，g的混淆，的混淆，常用的清除函數(shù)有：常用的清除函數(shù)有：fx_ :=.清除清除fx_的定義的定義Clearf清除清除f的所有定義的所有定義14/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù)說(shuō)明說(shuō)明:(1) x_的使用使的使用使x可作自變量：若可作自變量：若fx=3+x，則，則fx與與fy不同不同(2) :=為延時(shí)賦值，每次調(diào)用時(shí)才計(jì)算，大多數(shù)情況下為延時(shí)賦

9、值，每次調(diào)用時(shí)才計(jì)算，大多數(shù)情況下與賦值與賦值=產(chǎn)生相同的結(jié)果，但有時(shí)必須使用。產(chǎn)生相同的結(jié)果，但有時(shí)必須使用。例如，定義遞歸函數(shù)必須使用延時(shí)賦值：例如，定義遞歸函數(shù)必須使用延時(shí)賦值：f0 = 1;fn_ := n fn - 1;f715/505.1.1 自定義一元函數(shù)自定義一元函數(shù)說(shuō)明說(shuō)明:分段函數(shù)定義也必須使用延時(shí)賦值：分段函數(shù)定義也必須使用延時(shí)賦值：fx_ := Whichx 5, x3,True, 0(3) =較快，較快，:=較慢較慢 其他其他05032xxxxy16/50上一講中鐵路托運(yùn)行李問(wèn)題，可以編寫(xiě)代碼如下：上一講中鐵路托運(yùn)行李問(wèn)題，可以編寫(xiě)代碼如下：fw_ : = Ifw =

10、 50, 0.25 w, Ifw 10(-6), x = x0; x0 = x - fx/fx; PrintNumberFormx0, 9)( )(1nnnnxfxfxx輸入輸入0次近似值次近似值x0與允許誤差限與允許誤差限eps當(dāng)當(dāng)|x0 - x| epsx x0 x0 x f(x)/f (x)輸出近似值輸出近似值x018/505.1.2 自定義多元函數(shù)自定義多元函數(shù) 自定義二元函數(shù)的一般形式是自定義二元函數(shù)的一般形式是fu_，v_ := 自選表達(dá)式自選表達(dá)式 如在第如在第2章的參數(shù)式繪圖中，繪制螺旋面時(shí)我們?cè)碌膮?shù)式繪圖中，繪制螺旋面時(shí)我們?cè)肓艘肓藊u_, v_ := u*Cosv

11、; yu_, v_ := u*Sinv; zu_, v_ := a*u + b*v; 共有共有3個(gè)自定義二元函數(shù)。這為我們繪制參數(shù)曲線個(gè)自定義二元函數(shù)。這為我們繪制參數(shù)曲線面提供了很大的方便。類(lèi)似的還可以定義三元、四元面提供了很大的方便。類(lèi)似的還可以定義三元、四元以及更多元的自定義函數(shù)。以及更多元的自定義函數(shù)。19/505.1.2 自定義多元函數(shù)自定義多元函數(shù) 自定義二元函數(shù)的一般形式是自定義二元函數(shù)的一般形式是fu_，v_ := 自選表達(dá)式自選表達(dá)式例如例如ha_, k_, x_ := a*Exp -k2*x2 帶參數(shù)的概率函數(shù)帶參數(shù)的概率函數(shù)sa_, b_, c_, x_ := a*Sin

12、b*x + c帶參數(shù)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)函數(shù)帶參數(shù)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)函數(shù)20/505.1.3 自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出 已經(jīng)自定義好的函數(shù)，如果希望以后多次使用，這已經(jīng)自定義好的函數(shù)，如果希望以后多次使用，這就需要妥善保存與重新調(diào)出，保存的方法如下：就需要妥善保存與重新調(diào)出，保存的方法如下：Save“文件名文件名”，自定義函數(shù)名序列，自定義函數(shù)名序列f，g，h，【例【例1-3】將函數(shù)保存到文件】將函數(shù)保存到文件file1中。中。fx_ := 1/(1+x2);Savefile1, f 如果還有新的函數(shù)想要追加到文件如果還有新的函數(shù)想要追加到文件file1中，可以中，可以gu_, v_

13、 := u2 + v2;ha_, x_, y_ := a*Exp -(x2 + y2);Savefile1, g, h21/505.1.3 自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出 已經(jīng)自定義好的函數(shù)，如果希望以后多次使用，這已經(jīng)自定義好的函數(shù)，如果希望以后多次使用，這就需要妥善保存與重新調(diào)出，保存的方法如下：就需要妥善保存與重新調(diào)出，保存的方法如下：Save“文件名文件名”，自定義函數(shù)名序列，自定義函數(shù)名序列f，g，h，【例【例1-3】將函數(shù)保存到文件】將函數(shù)保存到文件file1中。中。fx_ := 1/(1+x2);Savefile1, f 如果想要查看一下文件如果想要查看一下

14、文件file1中的內(nèi)容，有中的內(nèi)容，有!file122/505.1.3 自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出自定義函數(shù)的保存與重新調(diào)出 保存在文件保存在文件filel中名為中名為f，g，h的函數(shù)如果要重新調(diào)的函數(shù)如果要重新調(diào)用，方法如下：用，方法如下： 首先進(jìn)入首先進(jìn)入Mathematica，然后調(diào)出，然后調(diào)出file1文件，便可文件，便可直接使用文件中的函數(shù)了。直接使用文件中的函數(shù)了。 例如，計(jì)算例如，計(jì)算f1 + g1, 2的值有：的值有：(Abs#l-#2”號(hào)定義的變換規(guī)則中，號(hào)定義的變換規(guī)則中，還可附加條件，它們定義的形式如下：還可附加條件，它們定義的形式如下：模式模式 := 表達(dá)式；條件；表達(dá)

15、式；條件；模式模式 : 表達(dá)式；條件表達(dá)式；條件其中；是附加條件用的操作符。其中；是附加條件用的操作符。【例【例2-1】利用帶條件的規(guī)則定義階乘函數(shù)】利用帶條件的規(guī)則定義階乘函數(shù)f(n) = n!。f0 = 1;fn_ := n*fn 1 /; IntegerQn & n 039/505.2.2 變換規(guī)則變換規(guī)則3. 帶有條件的規(guī)則帶有條件的規(guī)則 它們定義的形式如下：它們定義的形式如下：模式模式 := 表達(dá)式；條件；表達(dá)式；條件；模式模式 : 表達(dá)式；條件表達(dá)式；條件其中；是附加條件用的操作符。其中；是附加條件用的操作符?！纠纠?-1】利用帶條件的規(guī)則定義階乘函數(shù)】利用帶條件的規(guī)則定

16、義階乘函數(shù)f(n) = n!。f0 = 1;fn_ := n*fn 1 /; IntegerQn & n 040/505.2.2 變換規(guī)則變換規(guī)則3. 帶有條件的規(guī)則帶有條件的規(guī)則它們定義的形式如下：它們定義的形式如下：模式模式 := 表達(dá)式；條件；表達(dá)式；條件；模式模式 : 表達(dá)式；條件表達(dá)式；條件其中；是附加條件用的操作符。其中；是附加條件用的操作符?！纠纠?-1】利用帶條件的規(guī)則定義階乘函數(shù)】利用帶條件的規(guī)則定義階乘函數(shù)f(n) = n!。f0 = 1;fn_ := n*fn 1 /; IntegerQn & n 0其中附加條件的內(nèi)容是當(dāng)其中附加條件的內(nèi)容是當(dāng)n為整數(shù)時(shí)

17、其值為真；否則為整數(shù)時(shí)其值為真；否則為假，同時(shí)還要求為假，同時(shí)還要求n 0。41/505.2.2 變換規(guī)則變換規(guī)則3. 帶有條件的規(guī)則帶有條件的規(guī)則【例【例2-2】利用帶條件的規(guī)則定義分段函數(shù)】利用帶條件的規(guī)則定義分段函數(shù)gx_ := 1 + x/; -1= x 2;gx_ := 5 x/; 2 = x = 5;gx_ := 0 /; x 5; 這樣定義的規(guī)則除了模式與對(duì)象表達(dá)式必須匹配以這樣定義的規(guī)則除了模式與對(duì)象表達(dá)式必須匹配以外，同時(shí)還要求附加條件也要滿足，執(zhí)行的結(jié)果才能外，同時(shí)還要求附加條件也要滿足，執(zhí)行的結(jié)果才能正確。正確。 其其他他, 052,521,1)(xxxxxg42/505

18、.2.3 函數(shù)運(yùn)算與算子函數(shù)運(yùn)算與算子 在數(shù)學(xué)中算子是完成特定計(jì)算或者操作的函數(shù)，從在數(shù)學(xué)中算子是完成特定計(jì)算或者操作的函數(shù)，從廣義的角度來(lái)說(shuō)，可以將函數(shù)看成算子，比如數(shù)學(xué)上廣義的角度來(lái)說(shuō)，可以將函數(shù)看成算子，比如數(shù)學(xué)上常用的拉普拉斯算子，其實(shí)就是完成相應(yīng)操作的函數(shù)。常用的拉普拉斯算子，其實(shí)就是完成相應(yīng)操作的函數(shù)。 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)fx，完全可以看成是對(duì)對(duì)象，完全可以看成是對(duì)對(duì)象x施以算子施以算子f定定義的算子運(yùn)算。義的算子運(yùn)算。 將函數(shù)看成算子，將函數(shù)看成算子，Mathematica系統(tǒng)提供了對(duì)算子系統(tǒng)提供了對(duì)算子進(jìn)行運(yùn)算的運(yùn)算函數(shù)，也就是以函數(shù)為變量的函數(shù)。進(jìn)行運(yùn)算的運(yùn)算函數(shù)，也就是以函數(shù)

19、為變量的函數(shù)。43/507.2.3 函數(shù)運(yùn)算與算子函數(shù)運(yùn)算與算子 對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)fx，完全可以看成是對(duì)對(duì)象，完全可以看成是對(duì)對(duì)象x施以算子施以算子f定定義的算子運(yùn)算。義的算子運(yùn)算。 將函數(shù)看成算子，將函數(shù)看成算子，Mathematica系統(tǒng)提供了對(duì)算子系統(tǒng)提供了對(duì)算子進(jìn)行運(yùn)算的運(yùn)算函數(shù)，也就是以函數(shù)為變量的函數(shù)。進(jìn)行運(yùn)算的運(yùn)算函數(shù)，也就是以函數(shù)為變量的函數(shù)。 下表列出了幾個(gè)常用的進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算的函數(shù)。下表列出了幾個(gè)常用的進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算的函數(shù)。函數(shù)名稱(chēng)函數(shù)名稱(chēng)意義意義CompositionfCompositionf，g g， 函數(shù)函數(shù)f f，g g的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)InverseFunction

20、fInverseFunctionf函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)IdentityIdentity單位函數(shù)單位函數(shù)44/507.2.3 函數(shù)運(yùn)算與算子函數(shù)運(yùn)算與算子 下面的例子是求函數(shù)下面的例子是求函數(shù)Sin、Cos和和Tan的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)sin(cos(tan(x)，并對(duì)該復(fù)合函數(shù)求反函數(shù)：，并對(duì)該復(fù)合函數(shù)求反函數(shù)：sct = CompositionSin, Cos, TanInverseFunctionsct 對(duì)該復(fù)合函數(shù)算子給定變量，可以得到函數(shù)值：對(duì)該復(fù)合函數(shù)算子給定變量，可以得到函數(shù)值：%1sct145/507.2.3 函數(shù)運(yùn)算與算子函數(shù)運(yùn)算與算子 Mathematica系統(tǒng)不能自動(dòng)地

21、將某個(gè)算子作用于表系統(tǒng)不能自動(dòng)地將某個(gè)算子作用于表達(dá)式，但總是可以借助于一些函數(shù)的使用來(lái)完成這樣達(dá)式，但總是可以借助于一些函數(shù)的使用來(lái)完成這樣的要求。下表列出了關(guān)于算子的一些運(yùn)算函數(shù)。的要求。下表列出了關(guān)于算子的一些運(yùn)算函數(shù)。常用算子運(yùn)算函數(shù)常用算子運(yùn)算函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)函數(shù)名稱(chēng)意義意義IdentityIdentity單位函數(shù)單位函數(shù)Throughpf1, f2xThroughpf1, f2x給出給出pf1xpf1x，f2xf2xOperatepOperatep，fxfx給出給出(pf)x(pf)xOperatepOperatep，fx, nfx, n在在f f的的n n層上運(yùn)用層上運(yùn)用p p46/

22、507.3.4 全局變量與局部變量全局變量與局部變量 前面使用的變量均為全局變量，這樣做可能較為危前面使用的變量均為全局變量，這樣做可能較為危險(xiǎn)，一是會(huì)增加內(nèi)存開(kāi)支，二是當(dāng)變量使用較多的情險(xiǎn)，一是會(huì)增加內(nèi)存開(kāi)支，二是當(dāng)變量使用較多的情況下，若后面的程序與前面的程序使用了相同變量，況下，若后面的程序與前面的程序使用了相同變量，再次調(diào)用前面的程序可能出現(xiàn)奇怪的錯(cuò)誤：再次調(diào)用前面的程序可能出現(xiàn)奇怪的錯(cuò)誤：【例【例4-1】fx_ := (a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a) (*a為為1加到加到x的值的值*)f4*4a = 4; fa*a (*有問(wèn)題有問(wèn)題*)47/507.3.4 全局變量與局部變量全局變量與局部變量 【例【例4-1】fx_ := (a = 0; Doa = a + i, i,