2412垂徑定理

1、問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)的弦的長弧所對(duì)的弦的長) )為為37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.27.2m m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實(shí)踐探究實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重

2、復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸它的對(duì)稱軸如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，使CDAB，垂足為，垂足為E（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？OABCDE活活 動(dòng)動(dòng) 二二（1）是軸對(duì)稱圖形直徑）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對(duì)

3、稱軸直線是它的對(duì)稱軸（2） 線段：線段： AE=BE?。海。?，把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合，重合，AE與與BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直徑平分弦，并且直徑平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧所對(duì)的兩條弧即即，AM=BM,n由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,

4、CDAB,n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得M垂徑定理：垂徑定理：推論：推論：判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧必平分此弦所對(duì)的弧 1如圖

5、，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE練習(xí)練習(xí)解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半徑為的半徑為5cm.活活 動(dòng)動(dòng) 三三118422AEAB 在在Rt AOE 中中 解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=

6、37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在圖中在圖中如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為半徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD 就是拱高就是拱高說出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家說出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn)，讓大家與你一起分享！與你一起分享！2如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的兩條弦，兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為、某地有一座圓弧形拱橋圓心為，橋下水面寬度為、2 m ，過，過O 作作OC AB 于于D， 交圓弧于交圓弧于C，CD=2、