第5講解析幾何問(wèn)題的題型與方法(4課時(shí))

1、第5講解析幾何問(wèn)題的題型與方法（4課時(shí)）一、考試內(nèi)容（一）直線和圓的方程直線的傾斜角和斜率，直線方程的點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式，直線方程的一般式。兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線的交角，點(diǎn)到直線的距離。用二元一次不等式表示平面區(qū)域，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。曲線與方程的概念，由已知條件列出曲線方程。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，圓的參數(shù)方程。（二）圓錐曲線方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程。雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。二、考試要求（一）直線和圓的方程1 理解直線的斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般

2、式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。2 掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。4了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。5了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法。6掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。（二）圓錐曲線方程1 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。2 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。3 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。4 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1. 能正確導(dǎo)出由一點(diǎn)和斜率確定的直線的點(diǎn)斜式方程；從直

3、線的點(diǎn)斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點(diǎn)式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄?xiě)出直線的方程，熟練地進(jìn)行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來(lái)研究與直線有關(guān)的問(wèn)題了2. 能正確畫(huà)出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題，并用之解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會(huì)用線性規(guī)劃方法解決一些實(shí)際問(wèn)題3. 理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.4掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+

4、（y-b）2=r2（r0）,明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握?qǐng)A的一般方程：x2y2DxEyF=0,知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，1x=rcos-能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程（0為參數(shù)），明確各字母的意=rsin義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.5正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握

5、橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫(huà)出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法四、雙基透視高考解析幾何試題一般共有4題（2個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題），共計(jì)30分左右，考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右。其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí)

6、。解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)和向量的基本方法，這一點(diǎn)值得強(qiáng)化。（一）直線的方程1點(diǎn)斜式：y-=k（x-xj；2.截距式：y=kxb；3.兩點(diǎn)式：y一y1=X-Xi；4.截距式：-y=1；y2-yix2-Xiab5.一般式：AxByC=0，其中AB不同時(shí)為0.（二）兩條直線的位置關(guān)系兩條直線h，I?有三種位置關(guān)系：平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）；相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；重合（有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交設(shè)直線I1:y=k1x+b1，直線I2:y=k2X+b，貝

7、Uh/I2的充要條件是k1=k2，且b1=b2；I1丄I2的充要條件是k1k2=-1.（三）線性規(guī)劃問(wèn)題1線性規(guī)劃問(wèn)題涉及如下概念：存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式（或方程）組成的不等式組來(lái)表示，稱為線性約束條件.都有一個(gè)目標(biāo)要求，就是要求依賴于x、y的某個(gè)函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）達(dá)到最大值或最小值.特殊地,若此函數(shù)是x、y的一次解析式，就稱為線性目標(biāo)函數(shù).求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解.所有可行解組成的集合，叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解2線性規(guī)劃問(wèn)題有以

8、下基本定理：一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，若有可行解，則可行域一定是一個(gè)凸多邊形凸多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的.對(duì)于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問(wèn)題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點(diǎn)中找到3.線性規(guī)劃問(wèn)題一般用圖解法.（四）圓的有關(guān)問(wèn)題1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（xa）2+（yb）2=r2（r0）,稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為（a,b）,半徑為r.特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)（0,0）,半徑為r時(shí)，圓的方程為x2+y2=r2.2. 圓的一般方程2222xyDxEyF=0（DE-4F0）稱為圓的一般方程，DE122其圓心坐標(biāo)為（一一，一）,半徑為r=如D+E-4F.22222DE當(dāng)DE-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（，）；22當(dāng)D2E

9、-4Fv0時(shí)，方程不表示任何圖形.3. 圓的參數(shù)方程圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：x2y22=r二x=rcost(0為參數(shù))2(x-a)(y-b)x=arcost(0為參數(shù))(四)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義：橢圓的定義中，忽視.若這個(gè)距離之和小于IF1F21，則這樣的點(diǎn)不存在;F1F2.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)F,、F2的距離的和大于IF,F21這個(gè)條件不可若距離之和等于IFiF2I，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段22. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：篤a3. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，反之，焦點(diǎn)在4. 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：(五)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)22+與=1(ab0),篤+=1(ab0)

10、.bab判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸只要看分母的大小：如果x2項(xiàng)的分母大于y2項(xiàng)的分母,y軸上.正確判斷焦點(diǎn)的位置；設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.2%=1(ab0).b范圍：-awxa,-bxb0)的準(zhǔn)線有兩條，它們的方程為b22a丄x.對(duì)c222于橢圓鶴務(wù)-1(ab0)的準(zhǔn)線方程，只要把x換成y就可以了，即目=dabc3.橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點(diǎn)與其焦點(diǎn)所連的線段叫做這點(diǎn)的焦半徑x2y2設(shè)F1(-C,0),F2(c,0)分別為橢圓2+2ab=aex,=1(ab0)的左、右兩焦點(diǎn),M(x,y)是橢MF,圓上任一點(diǎn)，則兩條焦半徑長(zhǎng)分別為橢圓中涉及焦半徑時(shí)運(yùn)用焦半徑知識(shí)解題往往比較簡(jiǎn)便MF2橢圓的

11、四個(gè)主要元素a、b、c、e中有a2=b2+c2e=C兩個(gè)關(guān)系，因此確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需兩a個(gè)獨(dú)立條件.(六)橢圓的參數(shù)方程22橢圓務(wù)與=1(ab0)的參數(shù)方程為ab_i_x二acos.(0為參數(shù))y=bsin.橢圓上點(diǎn)P的離心角0與直線0P的傾斜角a不同:說(shuō)明這里參數(shù)0叫做橢圓的離心角btantanv；a2橢圓的參數(shù)方程可以由方程篤a2-爲(wèi)=1與三角恒等式cos%-sin2v-1相比較而得到，所以橢圓b的參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是三角代換.（七）雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)M的軌跡叫做雙曲線.在這個(gè)定義中，第三邊”加以理解.若2a=|F1F21F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于

12、常數(shù)2a（小于|F1F21）的動(dòng)點(diǎn)要注意條件2a|F1F21，則無(wú)軌跡.MF1MF2時(shí)，若MF10,b0）.這里b2二C2abab|F1F2|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù),則焦點(diǎn)在y軸上.對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：系數(shù)法求解.（八）雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2與=1的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,b2軌跡為雙曲線的-a2，其中正確判斷焦點(diǎn)的位置；設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定21.雙曲線

13、篤ac虛軸長(zhǎng)為2b,離心率e1,離心率e越大，雙曲線的開(kāi)口a越大2.雙曲線2x2a2丫百二1的漸近線方程為b2byx或表示為a22篤-亍=0.若已知雙曲線的漸近線方程abB.m是yx,n22-ny即mxny=0，那么雙曲線的方程具有以下形式:22mx3.二k，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù).心率）雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與到定直線（準(zhǔn)線）2x2a的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.對(duì)于雙曲線距離的比是一個(gè)大于1的常數(shù)（離它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-c，0）和（c,0），與它們對(duì)22應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是和CC在雙曲線中，a、b、c、e四個(gè)元素間有=-與C2a22=ab的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只要兩個(gè)

14、獨(dú)立的條件（九）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)1.拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)（F）和一條定直線（I）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。這個(gè)定點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，這條定直線l叫拋物線的準(zhǔn)線。需強(qiáng)調(diào)的是，點(diǎn)F不在直線I上，否則軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與I垂直的直線，而不是拋物線。2拋物線的方程有四種類(lèi)型：2222y=2px、y=2px、x=2py、x=2py對(duì)于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對(duì)稱軸是哪個(gè)軸，方程中的該項(xiàng)即為一次項(xiàng)；一次項(xiàng)前面是正號(hào)則曲線的開(kāi)口方向向x軸或y軸的正方向；一次項(xiàng)前面是負(fù)號(hào)則曲線的開(kāi)口方向向x軸或y軸的負(fù)方向。3拋物線的幾何性質(zhì)，以標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px為例(1) 范圍:x0;

15、(2) 對(duì)稱軸：對(duì)稱軸為y=0,由方程和圖像均可以看出；(3) 頂點(diǎn)：0(0,0),注：拋物線亦叫無(wú)心圓錐曲線(因?yàn)闊o(wú)中心);(4) 離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的；(5) 準(zhǔn)線方程x二-衛(wèi)；2(6) 焦半徑公式：拋物線上一點(diǎn)P(x1,y1),F為拋物線的焦點(diǎn)，對(duì)于四種拋物線的焦半徑公式分別為(p0):-2px:PF2py=2px:PF=捲+;2x2=2py:PF=y1+衛(wèi);2x2-2py:PF可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長(zhǎng)公式。設(shè)過(guò)拋物線y2=2pxa，則有|AB|=x1+x2+p(7) 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：對(duì)于過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)，(p0)的焦點(diǎn)F的弦為AB,A

16、(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的傾斜角為以上兩公式只適合過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求法，對(duì)于其它的弦，只能用“弦長(zhǎng)公式”來(lái)求。(8) 直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0,當(dāng)az0時(shí),兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可；但如果a=0,則直線是拋物線的對(duì)稱軸或是和對(duì)稱軸平行的直線，此時(shí)，直線和拋物線相交，但只有一個(gè)公共點(diǎn)。(十)軌跡方程曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形或軌跡)五、注意事項(xiàng)1直線的斜率是一個(gè)非常重要的概念，斜率k反映了直線相對(duì)

17、于x軸的傾斜程度當(dāng)斜率k存在時(shí)，直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=a(aR).因此，利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí)，斜率k存在與否，要分別考慮.直線的截距式是兩點(diǎn)式的特例，a、b分別是直線在x軸、y軸上的截距，因?yàn)閍z0,bz0,所以當(dāng)直線平行于x軸、平行于y軸或直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.求解直線方程的最后結(jié)果，如無(wú)特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫(xiě)成一般式當(dāng)直線li或12的斜率不存在時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)圖容易判定兩條直線是否平行與垂直在處理有關(guān)圓的問(wèn)題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對(duì)稱性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算2用待定系數(shù)法求橢圓

18、的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要分清焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，還是兩種都存在注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用，熟練地進(jìn)行a、b、c、e間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫(huà)出橢圓求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：正確判斷焦點(diǎn)的位置；設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解22b22雙曲線篤yT=1的漸近線方程為y二_bx或表示為篤-爲(wèi)=0若已知雙曲線的漸近線方程abaab口m是yx，即mx_ny=0,那么雙曲線的方程具有以下形式：nm2x2_n2y2=k，其中k是一個(gè)不為零的常數(shù)2222雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)篤-爲(wèi)=1和爲(wèi)-篤=1(a0,b0)這里b2二c2_a2，其中ababIRF2|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系

19、與橢圓中的異同求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再由條件確定參數(shù)p的值同時(shí)，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)六、范例分析例1、求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程。分析：滿足兩個(gè)條件才能確定一條直線。一般地，求直線方程有兩個(gè)解法，即用其中一個(gè)條件列出含待定系數(shù)的方程，再用另一個(gè)條件求出此參數(shù)。解法一：先用“平行”這個(gè)條件設(shè)出I的方程為3x+4y+m=0

20、再用“面積”條件去求m,v直線|交x軸于A?,。)，交y軸于B(0,-：)由1m=24，得m=_24，代入得所求直線的方程為:43x4y_24=0解法二：先用面積這個(gè)條件列出I的方程，設(shè)I在x軸上截距離a,在y軸上截距b，則有*ab=24,因?yàn)镮的傾角為鈍角，所以a、b同號(hào)，|ab|=ab,I的截距式為-1，即48x+a2y-48a=0又該直線與a48a3x+4y+2=0平行，48二號(hào)坦，二a=-8代入得所求直線I的方程為3x，4y_24=0說(shuō)明：與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫(xiě)成Ax+By+C1=0的形式；與Ax+By+C=0垂直的直線的方程可表示為Bx-Ay+C2=0的形式。例2、若

21、直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2,3),B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：直線mx+y+2=0過(guò)一定點(diǎn)C(0,-2),直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過(guò)定點(diǎn)(0,-2)的直線系，因?yàn)橹本€與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在/ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k?,則由1yA:BoxC(0,-2)斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k燈或k1,w-4,w30,解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）作直線l0:2x-y=0，再作一組平行于l0的直線2x-y=t,tR可知，當(dāng)l在l0的右下方時(shí)，直線l上的點(diǎn)（x,滿足2

22、x-y0,即t0,而且直線l往右平移時(shí)，x-3y+4=0y)t隨之增大.當(dāng)直線l平移至h的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)B,此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最大；當(dāng)l在l0的左上方時(shí)，直線l上的點(diǎn)（x,y）滿足2x-yv0,即卩tv0，而且直線l往左平移時(shí)，對(duì)應(yīng)的t最小.4=0t隨之減小.當(dāng)直線l平移至x=13x+5y-30=0l2的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)C,此時(shí)所x-3由3x+5y-30=0x=1解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,3）;27解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,）.53x+5y-30=0所以，z最大值=2X5-3=7;Z最小值=2X1-55例4、某運(yùn)輸公司有10輛載重量為6噸的筑某段高速公路中，該公司承包了每天至少搬

23、運(yùn)車(chē)8次，B型卡車(chē)7次；每輛卡車(chē)每天的成本費(fèi)各多少輛，公司所花的成本費(fèi)最低，最低為多少？A型卡車(chē)與載重量為8噸的B型卡車(chē)，有11名駕駛員.在建480噸瀝青的任務(wù).已知每輛卡車(chē)每天往返的次數(shù)為A型卡A型車(chē)350元，B型車(chē)400元.問(wèn)每天派出A型車(chē)與B型車(chē)解：設(shè)每天派出A型車(chē)與B型車(chē)各x、y輛，并設(shè)公司每天的成本為z元.由題意，得xyx+yy48x+56yxw10,w5,w11,60,yN且z=350x+400y.xyx+y6x+7yxw10,w5,w11,55,yn,作出可行域，U乍直線l0:350x+400y=0,即7x+8y=0.作出一組平行直線：7x+8y=t中（t為參數(shù)）經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)

24、和原點(diǎn)距離最近的直線，此直線經(jīng)過(guò)6x+7y=602525和y=5的交點(diǎn)A（25,5）,由于點(diǎn)A的坐標(biāo)不都是整數(shù)，而x,yN,所以可行域內(nèi)的點(diǎn)A（耳,5）不66是最優(yōu)解.為求出最優(yōu)解，必須進(jìn)行定量分析求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.25因?yàn)椋?X一+8X5疋69.2，所以經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))且與原點(diǎn)最小6的直線是7x+8y=10,在可行域內(nèi)滿足該方程的整數(shù)解只有x=10,y=0,所以(10，0)是最優(yōu)解，即當(dāng)丨通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，z=350X10+400X0=3500元為最小.答：每天派出A型車(chē)10輛不派B型車(chē)，公司所化的成本費(fèi)最低為3500元.例5、已知點(diǎn)T是半圓O

25、的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t(0t1),以AB為直腰作直角梯形AABB,使AA垂直且等于AT,使BB垂直且等于BT,AB交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.(1) 寫(xiě)出直線AB的方程；(2) 計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；(3) 證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射通過(guò)點(diǎn)Q.解：(1)顯然A(1,1t),B(1,+t,于是的方程為y=_tx+1;x(2)由方程組2t1-12Q(d2,2);1+t1+122y-tx1,*丿pABA(-1，0)0丫(1)r解出后，反射光線直線ABP(0,1)、(3)kptQT-t22t(1-12)由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光

26、線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.V說(shuō)明：需要注意的是，Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬(wàn)能公式，有趣嗎？22例6、設(shè)P是圓M:(x-5)+(y-5)=1上的動(dòng)點(diǎn)，它關(guān)于A(9,0)的對(duì)稱點(diǎn)為Q,把P繞原點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90到點(diǎn)S,求|SQ|的最值。解：設(shè)P(x,y)，則Q(18-x,-y)，記P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi，貝US點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(x+yi)i=-y+xi,即卩S(-y,x)|SQ卜(18xy)2(y-x)2=182x2y2-36x36y-2xyx2y22xyx2y2-18x18y8181二2(x-9)2(y9)2其中(x-9)2(y9)2可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)B(9,-9)的距離，共最大

27、值為|MBr=2531最小值為|MB|-r=253-1，則|SQ的最大值為21062,|SQ的最小值為2106-2例7、已知OM:X2(y-2)2=1,Q是X軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA,中4丿2果|AB|，求直線MQ的方程；3(2)求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.4/2/2解：(1)由|AB戶，可得|MP|MA|2-(31|MB|2=|MP|MQ|,得|MQ戶3,在RtMOQ中，|OQ|=.|MQ|2-|MO|2=一32-225,故a=5或a_-.5,所以直線AB方程是QB分別切OM于A,B兩點(diǎn)，(1)如|AB|)21當(dāng))2丄，由射影定理，得32x5y一2.5=0或2x一、5y2、5=0;(2)連接MB,

28、MQ，設(shè)P(x,y),Q(a,0),由點(diǎn)M,P,Q在一直線上，得=-,(*)由射影定理得|MB|已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為4，離心率為=|MP|MQ|,ax即.x(I)求橢圓方程；(H)設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)為M,又點(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上,(y-2)2a24=1,(*)把(*)及(*)消去a,并注意到y(tǒng)：2，可得x2(y7)2二丄(y=2).416說(shuō)明：適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在。例8、直線l過(guò)拋物線y2=2px(p=0)的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點(diǎn).(1)求證：4x1x2=p2;(2)求證：對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD

29、，直線l不是CD的垂直平分線.解：(1)易求得拋物線的焦點(diǎn)F(P0).P242若l丄X軸，則丨的方程為X=二顯然x,x22x2l不垂直于X軸，可設(shè)yXXE)，代入拋物線方程整理得2巴42PP2P(1r)x0,則X1X2k4綜上可知4x2=p2.22(2)設(shè)C(-,c),D(d,d)且c=d2p2p假設(shè)過(guò)F，則0cd_cd(p，則CD的垂直平分線的方程為ydc2d2)27(xr22cd)整理得(22p24p(cd)(2p2c2d2)=0，p0.2p2c2d2=0,cd=0.這時(shí)的方程為y=0,從而與拋物線y2=2px只相交于原點(diǎn).而I與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此與l不重合，I不是CD的垂直平分

30、線.說(shuō)明：此題是課本題的深化，課本是高考試題的生長(zhǎng)點(diǎn)，復(fù)習(xí)要重視課本。22例9、已知橢圓=1，能否在此橢圓位于y軸左側(cè)的部分上找到一點(diǎn)M，使它到左準(zhǔn)線的距離43求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由。為它到兩焦點(diǎn)F2距離的等比中項(xiàng)，若能找到，a2=4,解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)M(X1,y1)2-1b=3,a=2,b=.3,c=1,e二一,222|MF1|MF2F(aexj(a-ex=a-e捲2=41X12，點(diǎn)M到橢圓左準(zhǔn)線的距離422=(%4)2,5x132x148=0,x-4或a21x14,訂2=d,4x1c4X1125，這與xi-2,0)相矛盾，.滿足條件的點(diǎn)M不存在。例10、且M分有

31、向線段AB所成的比為2,求線段AB所在直線的方程。22解：(I)設(shè)橢圓方程為爲(wèi)篤=1由2c=4得c=2又-a2b2a322故a=3,b2=a2-c2=5所求的橢圓方程為yX-195(H)若k不存在，則AM-2，若k存在，則設(shè)直線AB的方程為：y=kx+2MB又設(shè)A(捲,yy)B(x2,y2)y=kx2由x2y2得+=1.59-20k.XiX22川95K(95k2)x220kx-25=0x-ix2二_25E點(diǎn)M坐標(biāo)為M(0,2)-AM=(-X2一%)MB二(x2,y2-2)由AM=2得AM=2MB(-兀,2-)=2(x2,y2-2)MB-Xi=2X2代入、得由、得2(上鑒)29+5k20kx22

32、95k2595k2k22宀敖kJ3線段AB所在直線的方程為:y3x2。3說(shuō)明：有向線段所成的比,線段的定比分點(diǎn)等概念，本身就是解析幾何研究的一類(lèi)重要問(wèn)題。向量概念的引入，使這類(lèi)問(wèn)題的解決顯得簡(jiǎn)潔而流暢。求解這類(lèi)問(wèn)題可以用定比分點(diǎn)公式，也可以直接用有向線段的比解題。另外，向量的長(zhǎng)度，點(diǎn)的平移等與解析幾何都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，向量與解析幾何的結(jié)合，為解決這些問(wèn)題開(kāi)辟了新的解題途徑。22例11、已知直線I與橢圓求以線段SR為對(duì)角線的矩形Q,且與x軸、y軸分別交于R、S,篤每=1(ab0)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)abORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.解：從直線l所處的位置，設(shè)出直線l的方程，由已知，直線l不過(guò)橢

33、圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線I的方程為y=kxm(k=0).代入橢圓方程b2x2a2y2a2b2,得.222222、2.2bxa(kx2kmxm)二ab.化簡(jiǎn)后，得關(guān)于X的一元二次方程(a2k2+b2)x2+2ka2mx+a2m2_a2b2=0.于是其判別式(2ka?m)24(kb/am?aJ)4a2(b-m.由已知，得=0即a2k2b2m2.在直線方程y=kx+m中，分別令y=0,x=0,求得r(_,0),S(0,m).k令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由已知，得mx=ky=m.,解得彳Xm=y.1)2代入式并整理，得2a2x2.2說(shuō)明：方程a.bxy.b：/,即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程.y2韻形似橢

34、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能畫(huà)出它的圖形嗎？例12、已知雙曲線22篤一爲(wèi)的離心率e=,過(guò)A(a,0),B(0,-b)的直線到原點(diǎn)的距離是ab3求雙曲線的方程;(2)已知直線y=kx5(k=0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C,D且C,D都在以B為圓心的圓上,abc2、3原點(diǎn)到直線AB:=1的距離dabab-/a2b2=1,a=x3.求k的值.r.2.故所求雙曲線方程為X2TX2-3y2=3中消去y,整理得(1-3k2)x2-30kx-78=0.-y2=i.(2)把y=kx亠5代入設(shè)C(X1,y1),D(X2,y2),CD的中點(diǎn)是E(x,y)，則X1X2-2y01x。kXokbe15k52y0=kx05=21-3k1

35、-3k2一xky即15k21-3k2故所求k=0,5k+21-3k2土7.k=0,又k=0,k2=7OAB面積廠P/yxaO丿X(3m24)y2-6.3my-3=0,my3m24說(shuō)明：為了求出k的值，需要通過(guò)消元，想法設(shè)法建構(gòu)k的方程.例13、過(guò)點(diǎn)P(-、3,0)作直線丨與橢圓3x2+4y2=12相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。分析：若直接用點(diǎn)斜式設(shè)丨的方程為y-0二k(x-.3),則要求丨的斜率一定要存在，但在這里丨的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線丨的方程為x二my-.、3，這樣就包含了斜率不存在時(shí)的情形了，從而簡(jiǎn)

36、化了運(yùn)算。解：設(shè)A(X1,yj,B(X2,y2),l:x=myV3S.aob=|OP|y1|OP|y2F3(|V1|MI3(y1-y2)22把x=my-、3代入橢圓方程得：3(m2y2-23my3)4y2-12=0，即6、3m2.，ym二3m4108m212(3m2+4)2=49m23_433m21-3m24-Iyi一y2F3m243m241、144x2483m24=43.3m21-(3m21)343m4.3c2_3_2、3.3m21S仝22=.3，此時(shí).3m21令直線的傾角為3:-，貝Vtg:-:-二/6.3m21、.6_20，向量c=(0,a),i=(1,0).A(0,a)以i-2人c為方

37、向向量的直線相交于點(diǎn)P,其E、F,使得|PE|+|PF為定值若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)c+入i=(入，a),i2入c=(1，-2入a).，y=ax和y-a-2ax.22x.解:i=(1,0),c=(0,a),因此，直線OP和AP的方程分別為消去參數(shù)入，得點(diǎn)p(x,y)的坐標(biāo)滿足方程y(ya)=-2a/a、2整理得x2(y一2)2=1.:382因?yàn)閍0,所以得：丄血(i)當(dāng)a時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;2(ii) 當(dāng)0G時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)E(1L_a2a)和F(丄I丄_a2a)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；22、22222(iii) 當(dāng)a2時(shí)，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)e(

38、0l(a+，a2丄)和F(0】(a：a2丄)為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).2222*2根據(jù)直線的方向向量得出直線說(shuō)明：由于向量可以用一條有向線段來(lái)表示，有向線段的方向可以決定解析幾何中直線的斜率，故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著天然的聯(lián)系。求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題解決。22例15、已知橢圓篤占a2b2線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)求橢圓的離心率e;設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),1(ab0)的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為F,，向量AB與0M是共線向量。A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂(1)(2)解:(1)：F1(-c,0),則xmF1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求/b2二一。ac-c,yM-b,OM

39、與AB是共線向量，aFQ=,F2Q(2)設(shè)-kABb2，kOMa衛(wèi)ac，二b=c,故e=。2二J,RQF2,二A+r2=2a,FF2=2c,+r224c2(ri+r2)2_2叩2_4c2COST2r1r22rir2a2-1-2a(jr_j2)221=0當(dāng)且僅當(dāng)R=r2時(shí)，cos0=0,B三0,。2說(shuō)明：由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問(wèn)題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問(wèn)題。求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題。22Q,兩點(diǎn),例16、一條斜率為1的直線丨與

40、離心率為的橢圓C:篤爲(wèi)=1(a.b.0)交于P2a2b2直線丨與Y軸交于點(diǎn)R，且OPOQ-3，PR=3RQ，求直線l和橢圓C的方程。解：；橢圓離心率為一2，C=，a2=2b22a222所以橢圓方程為x2y2=1，設(shè)l方程為：y=xm，P(x1,y1),Q(x2,y2)2bbf22xy/由2b2b2消去y得3x24mx2m2-2b2=0y=xm16m2-43(2m2-2b2)=8(-m23b2)0.3b2m2(*)4222x-ix2m(1)x1x2(mb)(2)33OPOQ-3所以x1x2y1y-3而y1y2=(x1m)(x2m)二x1x2m(x1x2)m所以2x1x2m(x1x2)m2_-34

41、(m2_b2)_里m2m2=_333m)從而22所以3m4b=-9(3)又R(0,m),PR=3RQ,(-X1,m-yj=3(X2,y2-22X1=3X2(4)由(1)(2)(4)得3m=b(5)2由(3)(5)解得b=3,mh1適合(*),22所以所求直線丨方程為：y=x1或y=x-1；橢圓C的方程為xy=163說(shuō)明：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，構(gòu)建起向量與解析幾何的密切關(guān)系，使向量與解析幾何融為一體。求此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，溝通向量與解析幾何的聯(lián)系。體現(xiàn)了向量的工具性。F1PF2的最例17、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且/大值為9

42、0,直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，ABF2的面積最大值為12.(1)求橢圓C的離心率;(2)求橢圓C的方程.12212解法一:(1)設(shè)円円肝戶巴廳FF2c,對(duì)PF1F2，由余弦定理，得cosFtPF?=r,r；-4c22r2D)2-2rj2-4c24a2-4c22也4a2-4c2=1-2e2=0,解出72e=2(2)考慮直線丨的斜率的存在性，可分兩種情況：i)當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)I的方程為y=k(xc)22橢圓方程為x2a由e=建得-2+b22a=1,A(xi,yi),B(x2,y2)222=2c,bc.x22y2-2c2=0于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為將代入，消去y得整理為x的一元二次方程，則X

43、1、X2是上述方程的兩根且x2-2k2(x-c)2-2c2=0,得(12k2)x24ck2x-2c2(k2_1)=0.,2J2cj1+k2區(qū)十|12k2，|AB|二1k2|X2洛|二2：(2,)，AB邊上的高h(yuǎn)=|F1F2|sinEBF=2c|k|1+k21 1k2|k|22c(2)2c2 12k21k2-21一k2|k|-2k2k4-2,2c22.2c,24=2.2c1+2k21+4k2+4k421，4k41k2，2c.2ii)y當(dāng)不存在時(shí)，把直線2c代入橢圓方程得二_2c,|ABl2c,S=1,2c2c2由知S的最大值為,2c2由題意得2c2=12所以故當(dāng)ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：x

44、2+y=12屈6邁-解法二：設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程為：x=my-cx22a橢圓的方程為:2y2=1,A(x1,y1),B(x2,y2)b22c=62二b2a2=12-2由得:2把代入并整理得：于是是上述方程的兩根.|AB|(x1-x2)2(yy2)21m2lyy1|2.4=2c2,b2=c2,于是橢圓方程可化為:222(m-2)y_2mcy_c0AB邊上的高h(yuǎn)從而S=丄|AB|h=1222m22.2c2.m21J2m2412c1-m22屁1+mX,c=2丘21m2(m2)=22c2當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即Smax由題意知.2c2=12,于是故當(dāng)ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為:222x2y-2c=

45、02一222mc亠4c(m亠2)222c(1-m)m2亠2二,2c2.b2=c2=62,a2=12、J2.22亠+斗=112262例18、(2002年天津高考題)已知兩點(diǎn)M(-1,0),N(1,0)且點(diǎn)成公差小于零的等差數(shù)列，(I)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？P使MPMN,PMPN,NMNP(n)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),v為PM與PN的夾角，求tanB。解：(I)記P(x,y),由M(-1,0)N(1,0)得PM二MP二(-1-x,-y)所以PN二NP=(-1x,y)MN二-NM二(2,0)PM曰是，MPMN=2(1x)PN=x2y2-1MPMN,PMPN,NMx2+y2_1=丄2(1+x)+2

46、(1_x)2(1-x)-2(1x):0NMNP=2(1-x)NP是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，(n)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)。PMPN=x022x2y2=3x0.、3為半徑的右半圓。22PMPN=J(1+x0)2+y02J(1_x0)2+y02TT所以COS=y1=2。-,(42x0)(4-2x0)=2詁4-x14-X：所以-:COST:1,0-23,sinv-1-cos2二taw壬4cos日14-X。說(shuō)明：在引入向量的坐標(biāo)表示后，可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起。向量的夾角問(wèn)題融入解析幾何問(wèn)題中，也就顯得十分自然。求解這類(lèi)問(wèn)題的

47、關(guān)鍵是：先把向量用坐標(biāo)表示，再用解析幾何知識(shí)結(jié)合向量的夾角公式使問(wèn)題獲解；也可以把兩向量夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩直線所成角的問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合方法使問(wèn)題獲解。七、強(qiáng)化訓(xùn)練22務(wù)E=1(ab0)上一點(diǎn)，若PF1PF2二0abtanPF1F2_12則橢圓的離心率為/八121V5(A)(B)(C)(D)23332、已知ABC的頂點(diǎn)A(3,-1),AB邊上的中線所在直線的方程為線的方程為：x-4y+10=0,求邊BC所在直線的方程。1、已知P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓()6x+10y-59=0,/B的平分線所在直食物P食物Q食物R維生素A(單位/kg)400600400維生素B(單位/kg)800200400成本(元/kg)6543、求直線l2：7x-y+4=0到l1:x+y-2=0的角平分線的方程。4、已知三種食物P、QR的維生素含量與成本如下表所示C、yBM0A%現(xiàn)在將xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果這100kg的混合物中至少含維生素A44000單