第一章測(cè)量平差總論

1、第一章測(cè)量平差總論1-1測(cè)量平差的基本概念測(cè)量平差問題測(cè)量誤差，也稱觀測(cè)誤差，是待觀測(cè)量的真值與其觀測(cè)值之差。觀測(cè)只是指用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取反映地球及其他實(shí)體與空間分布有關(guān)信息的過程和數(shù)據(jù)。不論觀測(cè)條件如何，測(cè)量誤差總是不可避免的。多余觀測(cè)，為了確定一定的幾何模型，并不需要知道該模型中所有元素大小，而只需要知道其中必要的部分元素的大小就行了。例如確定一個(gè)平面三角形的形狀，只需要知道其中任意二個(gè)內(nèi)角的大小。這二個(gè)內(nèi)角觀測(cè)值就稱為必要觀測(cè)。在幾何模型中多于必要觀測(cè)數(shù)的觀測(cè)數(shù)稱為多余觀測(cè)數(shù)，如三角形中共觀測(cè)了三個(gè)內(nèi)角，則多余觀測(cè)數(shù)為1。為了檢查觀測(cè)值中是否存在錯(cuò)誤，并提高觀測(cè)成果

2、的精度，一定要進(jìn)行多余觀測(cè)。不可避免的測(cè)量誤差和一定要進(jìn)行的多余觀測(cè)這兩個(gè)原因?qū)е铝擞^測(cè)值之間，或觀測(cè)值與已知值之間出現(xiàn)矛盾（不符值）。比如，對(duì)同一量的多次觀測(cè)，其觀測(cè)結(jié)果不相等；觀測(cè)值或觀測(cè)值的函數(shù)與其理論值不相等（最典型的是三角形的三內(nèi)角觀測(cè)值之和不等于理論值1800）。觀測(cè)值之間的這種矛盾（不符值）使得測(cè)量問題的解不惟一。為了消除這種矛盾（不符值），得到測(cè)量問題的惟一解，就要對(duì)引起這種矛盾（不符值）的主要原因測(cè)量誤差進(jìn)行研究和處理。處理帶有誤差的觀測(cè)值，按最小二乘原理消除觀測(cè)值之間的矛盾，求出測(cè)量問題的惟一解并評(píng)定精度的理論和方法被稱為“測(cè)量平差”?！皽y(cè)量平差”一詞在我國(guó)最早出現(xiàn)在夏堅(jiān)白

3、、王之卓和陳永齡三位教授合著的我國(guó)第一本測(cè)量方面的教材?！岸四昵?，著者三人同在昆明，分別任教于同濟(jì)大學(xué)、西南聯(lián)大及中山大學(xué)。教學(xué)之際，深感國(guó)內(nèi)關(guān)于測(cè)量課本及參考書之缺乏，學(xué)者苦之，乃有編輯測(cè)量學(xué)叢書之決心，而以測(cè)量平差法1一書為始。（引自學(xué)部委員夏堅(jiān)白）。“測(cè)量平差”主要研究測(cè)量誤差的理論、測(cè)量平差的方法和測(cè)量成果的精度評(píng)定。誤差理論研究?jī)?nèi)容包括：誤差分布、精度指標(biāo)、誤差估計(jì)、誤差檢驗(yàn)、誤差分析以及誤差預(yù)測(cè)和控制。在誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)2一書中，假定系統(tǒng)誤差已經(jīng)通過某種手段得以消除，而且不存在粗差。在這一前提下，測(cè)量誤差服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望（真值）為零。方差為衡量觀測(cè)值或觀測(cè)誤差的精

4、度指標(biāo)。隨機(jī)向量X的方差的定義為：當(dāng)X為一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，其方差可以記為:22D(X)xE(XE(X)(1-1-2)方差D(X)定義式(1-1-1)的顯式為：2LX1X1X2X1XnX1X22X2LX2XnoX就是X的中誤差(即標(biāo)準(zhǔn)差，下同)x1xnx2xnM2xn式中主對(duì)角元素為Xi的方差，非主對(duì)角元素的定義式為：XXj為Xi與Xj的協(xié)方差，協(xié)方差xxE(XiE(XJ)(XjE(Xj)方差還可表達(dá)為相應(yīng)的協(xié)因數(shù)與單位權(quán)方差的乘積，即:2D(X)oQxx(1-1-3)(1-1-4)式中Qxx稱為協(xié)因數(shù)矩陣。當(dāng)Qxx非奇異時(shí)，Qxx1P，P為X的權(quán)陣。當(dāng)X為一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，貝U權(quán)的定義為:2巳4x

5、(1-1-5)上式表明，權(quán)與方差成反比。比例常數(shù)o稱為單位權(quán)方差。權(quán)是一個(gè)相對(duì)精度指標(biāo)。誤差估計(jì)總是與平差參數(shù)估計(jì)同時(shí)進(jìn)行，而且依附于平差參數(shù)估計(jì)之中，因?yàn)檎`差也是平差系統(tǒng)中所要估計(jì)的參數(shù)。誤差檢驗(yàn)的目的是要在平差問題中排除系統(tǒng)誤差和粗差的影響，以保證測(cè)量成果的精度。三、平差方法在誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)中，介紹了條件平差、間接平差、附有參數(shù)的條件平差、附有限制條件的間接平差和附有限制條件的條件平差等五種平差方法。這五種平差方法并無本質(zhì)的差別，只是所選參數(shù)的個(gè)數(shù)不同，以及參數(shù)之間是否相關(guān)所至。因此，我們通常稱這五種平差方法為經(jīng)典平差，它們是測(cè)量平差的基礎(chǔ)方法。在經(jīng)典平差中，如果不選參數(shù)，即當(dāng)所選

6、參數(shù)的個(gè)數(shù)u=0時(shí)，平差的函數(shù)模型為：AVW0（1-1-6）rnn1r1r1式中n為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，r為多余觀測(cè)的個(gè)數(shù)。以（1-1-6）式為函數(shù)模型的平差問題，稱為條件平差。當(dāng)所選參數(shù)的個(gè)數(shù)為u（0<u<t，t為必要觀測(cè)數(shù)，且參數(shù)之間相互獨(dú)立時(shí)，平差的函數(shù)模型為：(1-1-7)AVBX?W0cnn1cuu1c1c1式中c=r+u為條件方程的個(gè)數(shù),X為所選取的u個(gè)參數(shù)向量。以（1-1-7）式為函數(shù)模型的平差問題，稱為附有參數(shù)的條件平差。當(dāng)所選參數(shù)的個(gè)數(shù)為u=t,且參數(shù)之間相互獨(dú)立時(shí)，平差的函數(shù)模型為:VBL（1-1-8）n1ntt1n1以（1-1-8）式為函數(shù)模型的平差問題，稱為間接平

7、差。當(dāng)所選參數(shù)的個(gè)數(shù)為u>t，且包含t個(gè)獨(dú)立的參數(shù)時(shí)，其余u-t個(gè)參數(shù)都可以表示成t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，于是平差的函數(shù)模型為：VBX?Ln1nuu1n1CX?Wx0suu1s1s(1-1-9)式中s=u-t為限制條件的個(gè)數(shù)。以（1-1-9）式為函數(shù)模型的平差問題，稱為附有限制條件的間接平差。當(dāng)所選參數(shù)的個(gè)數(shù)為0<u<t，且參數(shù)之間不獨(dú)立時(shí)，平差的函數(shù)模型為：AVcnn1CX?suu1BX?Wcuu1c1Wxs1(1-1-10)以（1-1-10）式為函數(shù)模型的平差問題，稱為附有限制條件的條件平差。通常將間接平差和限制條件的間接平差稱為參數(shù)平差，其應(yīng)用最為廣泛。其它三種總稱為條件平

8、差。各種平差方法可以互相轉(zhuǎn)換。以上經(jīng)典平差法的最優(yōu)估計(jì)準(zhǔn)則為最小二乘原理。四、平差結(jié)果的精度評(píng)定精度評(píng)定包括兩個(gè)內(nèi)容，第一內(nèi)容是根據(jù)平差后求得的改正數(shù)來估計(jì)單位權(quán)中誤差，即(1-1-11)式中V為觀測(cè)值的改正數(shù)（殘差）向量，P為觀測(cè)值的權(quán)矩陣，r為平差問題的自由度，即多余觀測(cè)數(shù)。第二內(nèi)容是應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律，計(jì)算觀測(cè)值函數(shù)fLf0的協(xié)因數(shù)Q，其公式為：QfQfT(1-1-12)最后的方差估值為：?202Q(1-1-13)§1-2參數(shù)平差原理總述一、附有限制條件的間接平差原理【2】1、平差模型附有限制條件的間接平差的函數(shù)模型和隨機(jī)模型分別為：LBXn1nuu1n1CXWx0（1-2-1）

9、suu1s1D02Q02P1（1-2-2）相應(yīng)的誤差方程和條件方程為：VBX?lCX?Wx0（1-2-3）式中l(wèi)LBX0（1-2-4）按最小二乘原理，在VTPV2KST（CX?Wx）min下得法方程及其解為NBBX?CTKSBTPlr0（1-2-5）CX?Wx011TKSN1（CN1BTPlCCBBWx）（1-2-6）X?（N1N1CTN1CN1）BTPlN1CTN1WxBBBBCCBBBBCC式中(1-2-7)NbbBTPB,NccCNb：CT2、精度評(píng)定(1)、單位權(quán)方差單位權(quán)方差估值為:?vtpv0rVTPVn(us)(1-2-8)LVL?LQBQx!?QvvQQvv乂Qxx?BTn1n

10、1ctn1cn1BBBBCCBB0Qxx>BVQvv0QBQx?B0L?QQvvBQxx»0QQvv(2)、協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣的計(jì)算公式列于表1-1表1-1附有限制條件的間接平差的協(xié)因數(shù)陣間接平差原理在附有限制條件的間接平差中，當(dāng)參數(shù)的個(gè)數(shù)正好等于必要觀測(cè)數(shù)，即t,且參數(shù)之間彼此獨(dú)立時(shí)，有s=u-t=0,即此時(shí)不存在條件。于是函數(shù)模型(1-2-1)式就變?yōu)椋篖BXn1nuu1n1相應(yīng)的誤差方程、法方程及其解為:Vb£I(1-2-9)(1-2-10)NbbX"BtPI0(1-2-11)Xn1btpiBB間接平差中單位權(quán)方差的估值為:(1-2-12)>20V

11、TPVrVTPVnt(1-2-13)間接平差中的協(xié)因數(shù)陣見表1-2表1-2間接平差中的協(xié)因數(shù)陣LXVL?LQbn1bbbn1btqbbbn1btbbXN1BtBBN1bb0N1BtbbV1TBN1BtQBB0QBN1Btbb0L?BN1BtBBbn1bb0bn1btbb§1-3測(cè)量平差的若干進(jìn)展僅考慮偶然誤差的經(jīng)典平差在整個(gè)測(cè)量史上發(fā)揮了巨大的作用，至今仍廣泛應(yīng)用。但隨著科學(xué)技術(shù)的不斷擴(kuò)展，測(cè)量數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)代化、自動(dòng)化和高精度化，使得有時(shí)經(jīng)典平差模型不能適應(yīng)實(shí)際問題的需要，因此，測(cè)量平差的研究?jī)?nèi)容也不斷擴(kuò)展。這些擴(kuò)展主要體現(xiàn)在：1、從法方程系數(shù)矩陣滿秩擴(kuò)展到法方程系數(shù)矩陣虧秩在經(jīng)典平

12、差中，任何一個(gè)平差問題總是具有足夠的起算數(shù)據(jù)，或稱為具有足夠的基準(zhǔn)條件。在這個(gè)前提下，我們得到的法方程的系數(shù)矩陣總是滿秩的。由于法方程的系數(shù)矩陣滿秩，法方程具有唯一解。但在實(shí)際工作中，有時(shí)存在沒有足夠的起算數(shù)據(jù)的情況。例如，在水準(zhǔn)測(cè)量中沒有已知水準(zhǔn)點(diǎn)但卻以高程位參數(shù)就是這種情況。當(dāng)一個(gè)平差問題沒有足夠的起算數(shù)據(jù)時(shí)，法方程的系數(shù)矩陣就會(huì)秩虧，致使法方程沒有唯一解。為了解決這個(gè)問題，1962年邁塞爾(P.MeissD提出了秩虧自由網(wǎng)平差的思想，將經(jīng)典平差擴(kuò)展到秩虧自由網(wǎng)平差。2、從僅處理靜態(tài)數(shù)據(jù)擴(kuò)展到處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)在經(jīng)典平差中，觀測(cè)值和待估參數(shù)都是不隨時(shí)間變化的靜態(tài)數(shù)據(jù)。但在現(xiàn)代測(cè)量中，很多情況下觀

13、測(cè)值和待估參數(shù)都是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。例如，GPS導(dǎo)航中的觀測(cè)值和待估參數(shù)就是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。為了處理觀測(cè)值和待估參數(shù)都是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，1960年卡爾曼(R.E.Kalman)提出了著名的卡爾曼濾波。應(yīng)用卡爾曼濾波和其他動(dòng)態(tài)平差方法，使僅能處理觀測(cè)值和待估參數(shù)都是不隨時(shí)間變化的靜態(tài)數(shù)據(jù)的經(jīng)典測(cè)量平差，擴(kuò)展到能處理觀測(cè)值和待估參數(shù)都是隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)。3、從無偏估計(jì)擴(kuò)展到有偏估計(jì)經(jīng)典平差的優(yōu)良統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是估計(jì)結(jié)果的無偏性和方差最小性，即經(jīng)典平差中估計(jì)出來的參數(shù)是最優(yōu)無偏估計(jì)。但當(dāng)法方程病態(tài)時(shí)，由于觀測(cè)值的很小的誤差，就會(huì)使待估參數(shù)產(chǎn)生很大的變化，不僅解極不穩(wěn)定，而且方差的數(shù)值還

14、會(huì)很大。1955年，Stein證明了若法方程病態(tài)，則當(dāng)參數(shù)的個(gè)數(shù)t大于2時(shí)，基于正態(tài)隨機(jī)變量（觀測(cè)值）的最小二乘估計(jì)（經(jīng)典平差）為不可容許估計(jì)，即總能找到另一個(gè)估計(jì)，在均方誤差意義下一致優(yōu)于最小二乘估計(jì)。統(tǒng)計(jì)學(xué)家們將這種現(xiàn)象稱為Stein現(xiàn)象。根據(jù)Stein現(xiàn)象，Stein于1955年提出了通過壓縮改進(jìn)最小二乘估計(jì)的方法。通過對(duì)最小二乘估計(jì)結(jié)果進(jìn)行壓縮改進(jìn)后，其估計(jì)結(jié)果就不再具有無偏性。因此，就稱對(duì)最小二乘估計(jì)結(jié)果進(jìn)行壓縮改進(jìn)后的結(jié)果為有偏估計(jì)。有偏估計(jì)被提出以后，至今以擴(kuò)展了很多有偏估計(jì)方法。在大量的有偏估計(jì)方法中，研究得最多的是嶺估計(jì)。4、從線性模型的參數(shù)估計(jì)擴(kuò)展到非線性模型的參數(shù)估計(jì)經(jīng)典

15、平差方法實(shí)際上是線性模型的參數(shù)估計(jì)。但測(cè)量實(shí)踐中卻存在大量的非線性模型。在經(jīng)典平差中總是對(duì)非線性模型進(jìn)行線性近似，即將其展開為臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取至一次項(xiàng)，而略去二次以上各項(xiàng)。如此線性近似，必然會(huì)引起模型誤差。如果線性近似所引起的模型誤差小于觀測(cè)誤差，則線性近似所引起的模型誤差可忽略不計(jì)。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷擴(kuò)展，現(xiàn)在的測(cè)量精度已大大提高，致使線性近似所引起的模型誤差與觀測(cè)誤差相當(dāng)。甚至還會(huì)大于觀測(cè)誤差。因此，用近似的理論、模型、方法去處理具有很高精度的觀測(cè)結(jié)果，從而導(dǎo)致精度損失，顯然是不合理的?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)要求估計(jì)結(jié)果的精度盡可能提高。這樣，傳統(tǒng)的線性近似的方法就不能滿足當(dāng)今科學(xué)技術(shù)的要求。更重要的是

16、，有些非線性模型對(duì)參數(shù)的近似值十分敏感，若近似值的精度較差，線性近似時(shí)就會(huì)產(chǎn)生較大的模型誤差。此時(shí)用線性模型的精度評(píng)定理論去評(píng)定估計(jì)結(jié)果的精度，會(huì)得到一些虛假的優(yōu)良統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，人為地拔高了估計(jì)結(jié)果的精度。為此，人們提出直接處理非線性模型，這樣就使線性模型的參數(shù)估計(jì)擴(kuò)展到非線性模型的參數(shù)估計(jì)。5、從待估參數(shù)為非隨機(jī)量擴(kuò)展到待估參數(shù)為隨機(jī)量在經(jīng)典平差中，待估參數(shù)為非隨機(jī)量。但在有些實(shí)際問題中，某些待估參數(shù)的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)（如期望和方差）是已知的，這就導(dǎo)致帶有隨機(jī)參數(shù)的平差問題的出現(xiàn)。女口1969年，克拉魯普（T.Krarup）提出的最小二乘配置，就將待估參數(shù)僅為非隨機(jī)量推廣到待估參數(shù)為隨機(jī)量。此外，待

17、估參數(shù)為隨機(jī)量的估計(jì)還有貝葉斯（Bayes）估計(jì)。6、從觀測(cè)值僅含偶然誤差擴(kuò)展到有含有系統(tǒng)誤差和粗差經(jīng)典平差的最大特點(diǎn)就是假定觀測(cè)值為僅含偶然誤差、服從正態(tài)分布的隨機(jī)量。但實(shí)際觀測(cè)值中往往既含有偶然誤差，又含有系統(tǒng)誤差和(或)粗差。當(dāng)觀測(cè)值中含有粗差時(shí)，由于最小二乘估計(jì)不具備抵抗粗差的能力，估計(jì)結(jié)果將嚴(yán)重地受到粗差的污染。為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家自然地希望尋求一種能抵抗粗差的估計(jì)方法。于是1953年薄克斯(GE.P.Box)提出了穩(wěn)健估計(jì)(RobustEstimation)概念。但只到二十世紀(jì)六十年代，才出現(xiàn)研究穩(wěn)健估計(jì)的熱烈局面。因此，人們公認(rèn)穩(wěn)健估計(jì)始于1964年，即認(rèn)為1964年胡倍爾(P.J.H

18、uber)發(fā)表的“位置參數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)”一文為穩(wěn)健估計(jì)方面的開創(chuàng)性論文。穩(wěn)健估計(jì)的出現(xiàn)，就使測(cè)量平差擴(kuò)展到可以處理除含偶然誤差外還含有粗差的觀測(cè)值。同樣，系統(tǒng)誤差在測(cè)量過程中也是存在的，為了處理系統(tǒng)誤差，往往在經(jīng)典平差的基礎(chǔ)上附加系統(tǒng)參數(shù)。因此，有了附加參數(shù)的平差方法。近年來，又開展了對(duì)應(yīng)用半?yún)?shù)估計(jì)理論來處理系統(tǒng)誤差的平差問題的研究。7、從主要研究函數(shù)模型擴(kuò)展到深入研究隨機(jī)模型在經(jīng)典平差中，主要研究函數(shù)模型。例如，五種經(jīng)典平差的函數(shù)模型及其內(nèi)在聯(lián)系。1923年，赫爾墨特(F.R.Helmert)提出了方差分量估計(jì)理論，使兩類以上觀測(cè)值同時(shí)平差時(shí)正確確定各類觀測(cè)值之間的權(quán)比成為可能。隨著方差分量

19、估計(jì)理論的提出，開辟了深入研究隨機(jī)模型的途徑。8、從最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則擴(kuò)展到其它多種估計(jì)準(zhǔn)則在經(jīng)典平差中，實(shí)際上只是應(yīng)用了最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則。隨著科學(xué)技術(shù)的擴(kuò)展，參數(shù)估計(jì)理論得到了巨大的發(fā)展。出現(xiàn)了極大似然估計(jì)、最小二乘估計(jì)、極大驗(yàn)后估計(jì)、最優(yōu)無偏估計(jì)，貝葉斯估計(jì)、穩(wěn)健估計(jì)、P-范估計(jì)、信息擴(kuò)散估計(jì)、極大可能性估計(jì)、半?yún)?shù)估計(jì)等等多種估計(jì)方法。應(yīng)用上述各種估計(jì)的測(cè)量平差問題已取得了許多成果，并在進(jìn)一步深入研究之中。1-4本課程的任務(wù)和內(nèi)容高等測(cè)量平差是在經(jīng)典測(cè)量平差及其相應(yīng)的誤差理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，著重介紹在測(cè)量數(shù)據(jù)處理實(shí)踐中一些常用的近代平差方法及其相應(yīng)的誤差理論知識(shí)。本課程是誤差理論與測(cè)量平

20、差基礎(chǔ)的后續(xù)課程，故本課程取名為高等測(cè)量平差。本課程內(nèi)容的選取，主要考慮培養(yǎng)測(cè)繪工程專業(yè)本科生這一層次所必須掌握的平差理論知識(shí)的要求，同時(shí)也兼顧后續(xù)專業(yè)課教學(xué)的需求。為此，本課程主要內(nèi)容為：1、平差模型的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。介紹測(cè)量平差中常用的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其各種假設(shè)檢驗(yàn)方法。2、回歸分析理論和方法。介紹回歸分析在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用以及各種常用模型的回歸分析方法。3、秩虧自由網(wǎng)平差理論與方法。介紹廣義逆矩陣以及測(cè)量中常用的秩虧自由網(wǎng)平差的各種方法。4、穩(wěn)健估計(jì)理論和方法。介紹穩(wěn)健估計(jì)原理、選全迭代揭發(fā)、以及針對(duì)處理粗差的幾種常用抗查最小二乘法。5、非線性模型的平差理論和方法。介紹非線性最小二乘估

21、計(jì)原理、算法和估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。第二章統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)處理的主要內(nèi)容之一是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)做出統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷分為參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，我們所熟悉的測(cè)量平差就屬于參數(shù)平差的范疇。假設(shè)檢驗(yàn)則是根據(jù)樣本來查明總體是否服從某個(gè)特定的概率分布。因?yàn)榧僭O(shè)檢驗(yàn)與概率分布有關(guān)，故先介紹幾種常用的抽樣分布。一、幾種常用的抽樣分布T2Ln，其中LiN(Li)，真誤差iLiLi1、正態(tài)分布設(shè)平差系統(tǒng)觀測(cè)向量為L(zhǎng)L,n1l1的期望E(i)0,參數(shù)向量為tXiXiXnT,，通過平差計(jì)算，可獲得其中參數(shù)X的(；。)1，0，估值?，并可表示為觀測(cè)值的線性函數(shù)Ti1ii1£i1L1i2L2inLniTLin,按誤

22、差傳播定律得2X?iiTQi由于X是正態(tài)變量Li的線性函數(shù),N(Xi,對(duì)正態(tài)變量X標(biāo)準(zhǔn)化因?yàn)镋(u)E(兄)Xi所以u(píng)N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。Puju12X,2有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表終可查得0.3173U1.020.100.051.6451.960.04552.00.012.5760.00273.00.0013.29有止態(tài)分布引出卜列二種分布2、分布統(tǒng)計(jì)量在平差系統(tǒng)中，殘差平方和VTPV是-個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，在平差參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)中往往要用到，為此，要了解其概率分布。已知統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中的二次型分布定理為：設(shè)XN(u,)，M為對(duì)稱陣，且有M為幕等陣，則二次型XTMX服從非中心化的2分布：XTMX2(R

23、(M),uTMu)lN(BX,；Q)，PQVVP200QPQvv，PQVVPQVVPQVV為冪等陣，2(R(M),(BX)tMBX)R(M)nt(BX)tMBXvtpv202(f)，vtPV202123、t分布統(tǒng)計(jì)量定義：隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立,XN(0,1)，Y2(f)，Xt喬t(f)，前面標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量0為母體單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差，在實(shí)際問題中經(jīng)常是未知的,證明:t*Xit(n?o,q*xt)設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管，其壽命服從N(u,4OOOO)，從過去情況看，燈管平均壽命為15OO小時(shí),vtpvnt因?yàn)樾諼in(0,1)，0Qi兄vtpv2o(nt)，t(nt)?0Q)?i)?iXx概率表達(dá)式為Pt

24、iit12?O寸24、F分布統(tǒng)計(jì)量定義：隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，X2(nJ，Y2(門2)，F(xiàn)X/n1Y/n2，?2PF211一?22O11F12二、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)常用方法統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本來查明總體是否服從某個(gè)特定的概率分布(1) 首先對(duì)母體概率分布作出陳述(即假設(shè))；(即檢驗(yàn))(2) 根據(jù)從該母體中抽出的樣本來判斷是否與前陳述一致(3) 通過檢驗(yàn)來決定是接受還是拒絕假設(shè)某基線場(chǎng)設(shè)置的基線，經(jīng)精密測(cè)定，其長(zhǎng)度為L(zhǎng)o=12OO.252m，為了檢驗(yàn)兩臺(tái)測(cè)距儀的精度，分別用兩臺(tái)儀器對(duì)該基線各復(fù)測(cè)25測(cè)回，得平均長(zhǎng)度Li=12OO.264m，L2=12OO.249m。已知兩臺(tái)儀器的觀測(cè)精度相同，每測(cè)回的標(biāo)準(zhǔn)

25、差均為O.O15m，試用顯著水平O.O5檢驗(yàn)則兩個(gè)平均長(zhǎng)度和基線長(zhǎng)度的差別是否完全有觀測(cè)的隨機(jī)性而引起的?，F(xiàn)采用新工藝后，從新產(chǎn)品中抽出16個(gè)，測(cè)得平均壽命為1675小時(shí)，問新產(chǎn)品的壽命是否有顯著提高？(顯著水平為0.05)設(shè)有2人觀測(cè)某地緯度，已知此二人觀測(cè)緯度一次的中誤差為0.63秒，現(xiàn)在甲觀測(cè)該地緯度12次，得平均值秒數(shù)為1.20秒，乙觀測(cè)該地緯度8次，得平均值秒數(shù)為1.15秒，問他們所得結(jié)果的差異是否顯著？(顯著水平為0.05)二、統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的概念1.接受域與拒絕域統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)所解決的問題，就是根據(jù)觀測(cè)樣本，通過檢驗(yàn)來判斷母體分布是否具有指定的特征。在這里，我們通過對(duì)改正數(shù)的檢驗(yàn)，構(gòu)

26、造統(tǒng)計(jì)量，在所作的假設(shè)下，判斷是否有模型誤差。例如，統(tǒng)計(jì)量(4-3-6)式是在平差模型不存在粗差即E(v)0的假設(shè)下得出的，此時(shí)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)在于將標(biāo)準(zhǔn)化殘差Wi與所選定的臨界值w進(jìn)行比較，Wi的置信區(qū)間為PWww1(4-3-9)72或Pwiw1(4-3-10)2上式中，-W_,w是區(qū)間的上下限，其數(shù)值可根據(jù)給定的從正態(tài)分布表中查得。22這就是說，當(dāng)我們作了假設(shè)E(Vi)0。為了檢驗(yàn)這一假設(shè)是否成立，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，使(4-3-10)式成立，那么，就表示W(wǎng)i是落在(-w,w)區(qū)間內(nèi)，在22這種情況下，沒有理由否定原先所作的E(vi)0假設(shè)，即接受原假設(shè)，通常將區(qū)間(-w,2W)稱之為接受域。反之，如果

27、計(jì)算結(jié)果WiW或W，就表示概率很小的事件居然2"22發(fā)生了。根據(jù)小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的原理，就有足夠的理由否定原來所做的E(Vi)0假設(shè)，即應(yīng)拒絕原假設(shè)E(Vi)0，而認(rèn)為E(Vi)0。通常將(-w_,w)22區(qū)間以外的范圍稱之為拒絕域(圖4-4)。值大小有關(guān)的，值愈大，則拒絕域的大小通常應(yīng)根據(jù)問題的性質(zhì)來選定，當(dāng)不應(yīng)輕易拒絕原假設(shè)Ho時(shí)，應(yīng)選擇較小的般使用的值可以是0.04、0.01等。對(duì)于上述統(tǒng)計(jì)量而言，當(dāng)wiViw時(shí)，則稱Vi與0的差異是顯著的，反之，則Vi2稱Vi與0之間的差異不顯著。因此，數(shù)稱之為檢驗(yàn)的顯著（性）水平，上述的假設(shè)檢驗(yàn)問題通常敘述成：在顯著水平下，

28、檢驗(yàn)假設(shè)H0：E（vi）；H1：E(v)0。4、單、雙尾檢驗(yàn)法上述假設(shè)檢驗(yàn)的例子，是將拒絕域布置在統(tǒng)計(jì)量分布密度曲線兩端的尾巴上，這種檢驗(yàn)稱為雙尾檢驗(yàn)法；有時(shí)根據(jù)實(shí)際情況，需要判斷母體均值是否增大了，即檢驗(yàn)假設(shè)Ho：E(x);Hi：E(x)為了進(jìn)行這樣的假設(shè)檢驗(yàn)，只要將布置在右尾上。如需檢驗(yàn)假設(shè)Ho：E(x);Hi：E(x)2、原假設(shè)與備選假設(shè)由以上所述可見，當(dāng)需要根據(jù)子樣信息來判斷母體分布是否具有指定的特征時(shí)，總是先作一個(gè)假設(shè)，稱為原假設(shè)（或零假設(shè)），記為H。然后，找一個(gè)適當(dāng)?shù)那移浞植紴橐阎慕y(tǒng)計(jì)量，確定該統(tǒng)計(jì)量經(jīng)常出現(xiàn)的區(qū)間，使統(tǒng)計(jì)量落入此區(qū)間的概率接近于1，如果由抽樣的結(jié)果計(jì)算出的統(tǒng)計(jì)量

29、的數(shù)值不落在這一經(jīng)常出現(xiàn)的區(qū)間內(nèi)，那就表示小概率事件發(fā)生了，則應(yīng)拒絕原假設(shè)H。，當(dāng)H。遭到拒絕，相當(dāng)于接受了另一個(gè)假設(shè)，稱為備選假設(shè)，記為Hi。因此，假設(shè)檢驗(yàn)實(shí)際上就是要在原假設(shè)H°與備選假設(shè)Hi之間做出選擇。3、顯著（性）水平接受域和拒絕域的范圍大小是與我們所給定的愈大，被拒絕的機(jī)會(huì)就愈大，則將布置在左尾上，這樣的檢驗(yàn)方法稱為單尾檢驗(yàn)法。5、棄真與納偽的概率假設(shè)檢驗(yàn)是以小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際上是不可能發(fā)生的這一前提為依據(jù)的。必須指出，小概率事件雖然其出現(xiàn)的概率很小，但并不是說這種事件就完全不可能發(fā)生。事實(shí)上，如果我們重復(fù)抽取許多組子樣，由于抽樣的隨機(jī)性，由此算得的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值也具

30、有隨機(jī)性。若檢驗(yàn)的顯著水平定為0.05，那么，即使原假設(shè)H0是真的，其中仍約有5%的計(jì)算數(shù)值將會(huì)落入拒絕域中。由此可見，進(jìn)行任何假設(shè)檢驗(yàn)總是有做出不正確判斷的可能性，不可能絕對(duì)不犯錯(cuò)誤，當(dāng)H。為真而遭到拒絕的錯(cuò)誤稱為犯第一類錯(cuò)誤，也稱為棄真錯(cuò)誤，犯棄真錯(cuò)誤的概率是。同樣地，當(dāng)H。為不真時(shí)，我們也有可能接受H。，這種錯(cuò)誤稱為犯第二類錯(cuò)誤，也稱為納偽錯(cuò)誤。犯納偽錯(cuò)誤的概率為（見圖4-6）。例4-3子樣均值x的抽樣分布是正態(tài)的，均值為，中誤差原假設(shè)H。：0，備選假設(shè)Hi:0原假設(shè)為真時(shí)，確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量wx22x02根據(jù)（4-3-10）式，有接受域P:<w23.921和拒絕域（見圖4-5）。此時(shí)

31、，當(dāng)H。為真時(shí)而遭到拒絕,稱為犯第-類錯(cuò)誤，也稱選定顯著水平0.05，查正態(tài)分布表4-3得w1.96棄真錯(cuò)誤，其概率為4%；w0.051.960.012.570.0013.29表4-3置信度與臨界值w的關(guān)系2圖4-5接受域與拒絕域圖4-6犯納偽錯(cuò)誤的概率若備選假設(shè)為真時(shí)，如2，亦即H。為偽，則x的分布實(shí)為N（2,2）,見圖4-6。如x的觀測(cè)值落在拒絕域中，我們拒絕H0，這是正確的，如x的觀測(cè)值落在接受域中，使我們作出錯(cuò)誤的判斷，認(rèn)為H。為真，這就犯了第二類錯(cuò)誤（納偽H。），其概率是圖6-6中當(dāng)H1為真時(shí)接受域范圍內(nèi)密度曲線下的面積。值的計(jì)算：將3.92標(biāo)準(zhǔn)化得1wi（3.922）2.96,21

32、w2（3.922）0.962查正態(tài)分布表得（wj0.0015,（w2）0.8314則（W2）（wi）0.8306、檢驗(yàn)功效在上例中，作出錯(cuò)誤的判斷（納偽）的概率為0.83，作出正確判斷（棄偽）的概率為10.170。如果重復(fù)抽取許多組子樣，其中將有83%使我們犯第二類錯(cuò)誤，有17%使我們作出正確的判斷，這種作出正確判斷的概率稱為檢驗(yàn)功效，其概率為1。根據(jù)以上所述，將假設(shè)檢驗(yàn)的四種可能性列于表4-4中。表4-4假設(shè)檢驗(yàn)的四種可能性現(xiàn)象判斷結(jié)果概率H0為真接受正確1拒絕第一類錯(cuò)誤（棄真）H0為不真接受第二類錯(cuò)誤（納偽）（H1為真）拒絕正確1（檢驗(yàn)功效）對(duì)于一個(gè)檢驗(yàn)問題，總希望棄真概率和納偽概率均盡可

33、能的小，但這是做不到的，從圖4-6和表4-3可以看出，減小，就跟著增大。通常認(rèn)為棄真的錯(cuò)誤較之納偽的錯(cuò)誤更為嚴(yán)重，因此，總是先控制，例如，根據(jù)問題的性質(zhì)，選用為0.05、0.01或0.001等，然后，在不改變的前提下，盡可能使減小，即使檢驗(yàn)功效1增大。檢驗(yàn)功效代表為某一數(shù)值的粗差被正確發(fā)現(xiàn)的概率。第三章回歸模型的參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)§3-1概述在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常遇到要研究變量與變量之間的關(guān)系。變量之間的關(guān)系一般可分為兩類。一類是變量之間具有確定性關(guān)系，稱為函數(shù)相關(guān)。例如矩形面積S與其兩邊a、b之間存在確定性關(guān)系為s=ab;個(gè)平面三角形的一個(gè)內(nèi)角與其它兩個(gè)內(nèi)角、之間關(guān)系為1800；兩

34、點(diǎn)間的縱坐標(biāo)增量x等于邊長(zhǎng)S乘以方位角的余弦，即xscos等，這些變量之間可用一個(gè)確定的函數(shù)模型表達(dá)。在我們學(xué)過的誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)課程中，所討論的大多是這種確定性的函數(shù)模型。另一類是變量之間并不存在確定的函數(shù)關(guān)系，而是存在所謂相關(guān)關(guān)系，或者說是統(tǒng)計(jì)上的相關(guān)關(guān)系，稱為統(tǒng)計(jì)相關(guān)。例如，每年春季氣溫與降雨量，人的高度與體重之間就存在著統(tǒng)計(jì)相關(guān)。這種現(xiàn)象在測(cè)繪學(xué)中也大量存在。例如測(cè)距結(jié)果與儀器中電子線路受固定的干擾信號(hào)引起誤差之間;重力測(cè)量結(jié)果與氣壓、溫度、地下水等因素之間;海平面變化與氣象、海洋天文因素之間;斷層位移與斷層活動(dòng)趨勢(shì)、氣溫、地溫、蒸發(fā)、降雨量之間等等都是這種現(xiàn)象。這種統(tǒng)計(jì)相關(guān)的特

35、點(diǎn)是，它們之間既存在著一定的制約關(guān)系，又不能由一個(gè)（或幾個(gè)）變量數(shù)值精確地求出另一個(gè)變量的值來，由變量之間統(tǒng)計(jì)相關(guān)所建立的函數(shù)模型稱為回歸模型?；貧w分析方法是研究相關(guān)關(guān)系的一種有力的數(shù)學(xué)工具。它是建立在對(duì)客觀事物進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)的基礎(chǔ)上，尋找隱藏在不確定性關(guān)系后面的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。在進(jìn)行回歸分析時(shí)，將研究相關(guān)關(guān)系的各變量分為自變量和因變量，例如因變量y隨著m個(gè)自變量xXqL,Xm而變化，y是正態(tài)分布的隨機(jī)量，觀測(cè)數(shù)據(jù)（yi,Xii,x2,LXmi）（i1,2Ln），稱為樣本，如果因變量與自變量之間的關(guān)系為線性的，稱為線性回歸模型，否則，就稱為非線性回歸模型。在線性回歸模型中，若自變

36、量X的個(gè)數(shù)只有一個(gè)稱為一元線性回歸模型，自變量x的個(gè)數(shù)大于一個(gè)，稱為多元線性回歸模型?；貧w分析主要研究的問題是：（1）如何根據(jù)樣本（y,x1i,x2i丄xmi）,（i1,2Ln）建立回歸模型；（2）如何估計(jì)回歸模型參數(shù);（3）如何檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的顯著性；（4）如何利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)和控制。§3-2線性回歸模型設(shè)一個(gè)隨機(jī)變量y與m個(gè)自變量x1,x2,.,xm之間存在線性形式的統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系，因?yàn)樗鼈儾⒉皇谴_定的函數(shù)關(guān)系，即使給定了x1,x2,.,xm之值也不唯一決定y值，因此它們之間的表達(dá)式應(yīng)寫成y01x12x2式中是隨機(jī)誤差，它是N0mxm(3-2-1)變量，即的期望E()0，方差D(

37、)。參數(shù)jj1,2Lm，稱為回歸方程的系數(shù)。取(3-2-1)式的期望和方差E(y)01X12X2mxm(3-2-2)3-2-3)3-2-2)式說明01x12x2LmXm是Xi,X2L,Xm對(duì)y的平均影響，隨機(jī)變量yN(E(y)2)。3-2-1)式是線性回歸模型，(3-2-2)式是線性回歸理論模型。為了估計(jì)模型參數(shù)，需要對(duì)變量進(jìn)行n次觀測(cè)，得n組觀測(cè)數(shù)據(jù)(yi,x1i,x2i,Lxmi)(i1,2,n)，代入方程(3-2-1)有n個(gè)方程。其矩陣形式為yi0X1i1X2i2LXmimi(i1,2,.,n)3-2-4)YXn1nm1m13-2-5)這是回歸參數(shù)估計(jì)的函數(shù)模型，其隨機(jī)模型為2Inn3-

38、2-6)式中I為單位陣。Y為觀測(cè)值向量，為待求的參數(shù)向量。，設(shè)其估值為y，代入(3-2-2)當(dāng)觀測(cè)數(shù)nm1時(shí)，可用最小二乘原則估計(jì)參數(shù)式可得E(y)的估值?，即yyy0y1X1y2X2ymxmmm3-2-7)稱為線性回歸方程，給定一組數(shù)x1,x2Lxm由上式求出y稱為預(yù)報(bào)值。如果將回歸參數(shù)估計(jì)的函數(shù)模型(3-2-5)和隨機(jī)模型(3-2-6)與測(cè)量中間接平差函數(shù)模型和隨機(jī)模型相比較，可以看出，在不考慮模型物理性質(zhì)前提下，兩者的參數(shù)最小二乘估計(jì)模型形式完全一致，從這個(gè)意義上來說，線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)也可看成是一種等權(quán)觀測(cè)的間接平差問題。因此，我們學(xué)過的間接平差理論和方法完全可以用于回歸模型的參數(shù)

39、估計(jì)。§3-3回歸參數(shù)的最小二乘估計(jì)一元線性回歸參數(shù)估計(jì)先以一個(gè)例子說明一元線性回歸問題。例3-1，某水電站為了監(jiān)測(cè)和預(yù)報(bào)庫水位和大壩壩基沉陷量之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了某年12個(gè)月的月平均庫水位和沉陷量的數(shù)據(jù)如表3-1所示，試分析庫水位與壩基沉陷量之間的關(guān)系。表3-1觀測(cè)數(shù)據(jù)編號(hào)庫水位（m）沉陷量（mm）編號(hào)庫水位（m）沉陷量（mm）1102.714-1.967135.046-5.46295.154-1.888140.373-5.693114.364-3.969144.958-3.944120.170-3.3110141.011-5.825126.630-4.9411130.308-4.1

40、86129.393-5.6912121.234-2.90現(xiàn)以X軸表示庫水位，以Y軸表示大壩壩基沉陷量，作散點(diǎn)圖（圖3-1）由圖認(rèn)為，這些散點(diǎn)的分布可用一條直線方程表示，即y01x，這是一元回歸分析問題。3-1F面闡述參數(shù)估計(jì)原理。為了估計(jì)參數(shù)0、i，設(shè)對(duì)y進(jìn)行n次獨(dú)立觀測(cè)（,Xi），有(3-3-1)yi0iXiii1,2Ln(3-3-2)這是一元回歸參數(shù)估計(jì)的函數(shù)模型，相應(yīng)的理論模型為在回歸分析中，假定自變量Eyi0iXXi是非隨機(jī)變量，且沒有測(cè)量誤差，這就使我們研究的問題大大簡(jiǎn)化，令丫yiy2Tyn，1X11x21Xn則（3-3-1）式可寫成矩陣形式:(3-3-3)設(shè)V為誤差的負(fù)估值，稱為Y

41、的改正數(shù)或殘差,為回歸參數(shù)的估值,則有誤差方程(3-3-4)根據(jù)最小二乘原理VTVmin，對(duì)VTV求自由極值,VTV2Vt亠2VtXXTV將誤差方程（3-3-4）代入上式，即得法方程為(3-3-5)XTX?xty式中nnxtxSxxSxyXi，n(Xii1n(Xi1XTXXixtyXi2X)X)(yinx2XiyiSxx由此可得參數(shù)的最小二乘估值為(XTX)2Xi1y)nx2nx1XtY1(Sxxn2nx最后，一元線性回歸方程為相應(yīng)的殘差Vy?觀測(cè)值yi的方差估值為SxyxSxx?x2nx，Xi%xtySxyX?1，Yii1nXiyii1nxy,Sxynynxy(3-3-6)(3-3-7)(3

42、-3-8)nynxySxxS?xy1Sxx，ySxxXSxySxy(3-3-10)(3-3-11)(3-3-9)2VTVn2，參數(shù)估值的精度評(píng)定。按間接平差理論由表1-2知，?的協(xié)因數(shù)陣為Q?(XTX)1_Sxx1_2(Sxxnx)n(3-3-13)Q?0-0，Q?1?11SxxQ?0?1xSxx(3-3-14)m?的方差估值為?2(1n2Sb2Sxx(3-3-15)例3-2,用例3-1觀測(cè)的數(shù)據(jù),求出表示大壩庫水位和壩基沉陷量之間的一元線性回歸方程。解：（1）按（3-3-9）式計(jì)算1212Xii1125.1129，y11212i1yi41442，Sxx(Xii12x)2579.9880Sxy

43、n(Xii1x)(yiy)194.9442，?'0SxySxx194.94422579.9880x?5.30940.0756，故回歸方程為5.30940.0756x（2）按（3-3-12）、（3-3-15）式評(píng)定參數(shù)估值的精度2四啤0.7440(mm2)，n21222?'22?0Sxx0.74406.15054.5760,0.74400.00040.0003、多元線性回歸的最小二乘估計(jì)。一元線性回歸模型中只有一個(gè)自變量，但在實(shí)際問題中，影響變量Y的因素往往不只一個(gè)，而包含多種影響的多個(gè)自變量，例如在大壩變形監(jiān)測(cè)中，影響大壩的位移Y的因素有溫度、水位壓力等多個(gè)自變量，這就是多元回

44、歸問題，多元回歸中最簡(jiǎn)單的是多元線性回歸，其研究方法和思想與一元線性回歸相同。多元線性回歸模型為y01X12X2LmXm（3-3-16）是隨機(jī)誤差，和一元線性回歸分析一樣，假定E0,D其中°丄m是未知參數(shù)，X1X2LXm是m個(gè)可測(cè)量并可控制的非隨機(jī)變量,為了估計(jì)回歸參數(shù)01Lm及2，我們進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n組觀測(cè)數(shù)據(jù)(yi,Xi1,Xi2Xim)，I1,n，它們應(yīng)有的回歸關(guān)系可寫成如下如下形式。y101X112X12.mX1m1y201X212X22mX2m2yn01Xn12Xn2mXnmn(3-3-17)2此即為多元線性回歸的函數(shù)模型。若記y101X11X12.X1m1Yy211X

45、21X22.X2m22，Xn1.m11nm1.n1.yn1Xn1Xn2.Xnmn則有(3-3-18)由yi,Xi!,Xi2LXm,求m1個(gè)未知的回歸參數(shù)o,1丄m的最小二乘估值?丄??？山M成如下誤差方程:VX?Y在最小二乘估計(jì)VTVmin的準(zhǔn)則下，得法方程為：XTX?xty可解得?XTX1aty求得回歸參數(shù)后，可得到多元線性回歸方程為Y?x?x?xx?01入122mm以及殘差VY?Y參數(shù)估值的精度評(píng)定，'的協(xié)因數(shù)及方差為Q?(XTX)1，D(?)2Q?，觀測(cè)值y的方差估值為?2VTVn(m1)(3-3-19)(3-3-20)(3-3-21)(3-3-22)(3-3-23)(3-3-24

46、)(3-3-25)(3-3-26)參數(shù)估值?的函數(shù)Y?及V的精度估計(jì)由(3-3-22)式知Y?的方差為D(Y?)2XQ?Xt2X(XtX)1Xt(3-3-26)因?yàn)閂與Y?不相關(guān)，即VY?0或QvY?0(見表1-2)故由(3-3-23)式Y(jié)Y?V，可得D(Y)D(Y?)D(V)D(V)D(Y)D(Y?)2IX(XTX)1XT(3-3-28)以上結(jié)果也可直接由表1-2查得。§3-4線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)分布和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)一、Y、?、Y?、V均為正態(tài)變量在線性回歸模型中，假定Y為具有期望E(Y),方差D(Y)的正態(tài)變量，即YN(E(Y)，D(Y)。根據(jù)正態(tài)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)理論，由

47、(3-3-21)、(3-3-22)及(3-3-23)知？、Y和V都是丫的線性函數(shù)，故？、Y?、V都是正態(tài)變量，即有？N(,D(？)Y？N(E(Y),D(Y？)(3-4-1)VN(E(V)D(V)式中EVEX？EYXX0二、？是的無偏估計(jì)將(3-3-18)式兩邊取期望，得E(Y)E(X)E()X(3-4-2)故有E(？)E(XTX)1XTY(XTX)1XTE(Y)(3-4-3)三、？是的最優(yōu)線性無偏估計(jì)如果估計(jì)量無偏，而且具有方差最小性，則稱估計(jì)量為最優(yōu)線性無偏估計(jì)。設(shè)線性回歸模型(3-2-5)、(3-2-6)的最優(yōu)線性無偏估計(jì)？的任一線性函數(shù)為GT？FTY(3-4-4)如果？為的無偏估計(jì)必有E

48、(GT?)FtE(Y)ftxgt即下列等式必須成立FTXGT（3-4-5）這是無偏性條件方程。線性函數(shù)gt?的方差為D（GT?）FTD（Y）F2FTF（3-4-6）如果？是無偏的而是具有方差最小性，就必須在滿足無偏條件（3-4-5）前題下，&?的方差為最小，即應(yīng)滿足如下條件極值式：FtF2Kt（FtXGt）min式中變量為F，故有2Ft2KtXt0FFTKTXT（3-4-7）代入條件式（3-4-5），得ktxtxgtK（XtX）1G代入（3-4-7）式得FTGT（XTX）1XT（3-4-8）代入（3-4-4）即得GT?GT（XTX）1XTY（3-4-9）或?（XTX）1XTY（3-4-

49、10）所以？為的最優(yōu)線性無偏估計(jì)。四、?2是2的無偏估計(jì)按（2-2-21）式知，回歸分析中殘差平方和除以觀測(cè)值母體方差2為具有自由度2f=n-(m+1)的分布變量，即VTV2(f)(3-4-11)xy按2變量性質(zhì)，2變量的期望等于該變量的自由度，故有E(今)fn(m1)(3-4-12)VTVn(m1)?為2的無偏估計(jì)。§3-5回歸模型和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)在實(shí)際問題中，我們事先并不能斷定y與x1,x2,Lxm之間有線性關(guān)系，如在一元回歸分析中，試驗(yàn)點(diǎn)不那么接近一條直線，這時(shí)也可用最小二乘法得到一條回歸直線，但這條直線并沒有很好地反映變量x和y的實(shí)際關(guān)系，沒有應(yīng)用價(jià)值，因此，必須有一個(gè)

50、數(shù)量性指標(biāo)來描述兩個(gè)變量間線性相關(guān)的程度，這一指標(biāo)通常采用相關(guān)系數(shù)。對(duì)于一元線性回歸方程，檢驗(yàn)y與x是否相關(guān)即為檢驗(yàn)回歸方程是否顯著，除了相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)，還可用方差分析法。對(duì)于多元線性回歸模型，回歸方程顯著并不意味著每個(gè)自變量x1,x2,Lxm對(duì)y的影響都是一樣重要的，可能有的變量有重要作用，而有的則可有可無，也就是說自變量中有主要因素和次要因素之分，因此，除了要進(jìn)行回歸方程顯著性檢驗(yàn)，還需要對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。一、相關(guān)系數(shù)及其檢驗(yàn)一元線性回歸方程的前提是變量y與x應(yīng)存在線性的統(tǒng)計(jì)相關(guān)，因此，必須有一個(gè)數(shù)量性指標(biāo)來描述兩個(gè)變量間線性相關(guān)的程度，這一指標(biāo)通常采用相關(guān)系數(shù)。1、相關(guān)系數(shù)設(shè)有兩個(gè)變量X與Y，其方差分別為：，2，協(xié)方差為xy,則其相關(guān)系數(shù)定義為(3-5-1)xy相關(guān)系數(shù)的值域?yàn)楝F(xiàn)證明如下。(3-5-2)設(shè)a和b為任何實(shí)常數(shù)，則2c(xE(x)a(yE(y)b是二維隨機(jī)變量的函數(shù),c0,其期望Ec0即有,E(c)Ex22ax22E(x)a2Ex2abxyb2yE(x)y0E(y)ab22EyE(y)b(3-5-3)因?yàn)閷?duì)于任一分布而言，xy是常數(shù)。故可設(shè)xy，則上式為故有（3-5-2）式得證。2xy2xy