杭電數(shù)字信號(hào)處理劉順蘭版 第4章

1、第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與表示方法數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與表示方法4.2 IIR濾波器的結(jié)構(gòu)濾波器的結(jié)構(gòu) 4.3 FIR濾波器的結(jié)構(gòu)濾波器的結(jié)構(gòu) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與表示方法數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與表示方法 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)重要組成部分。數(shù)字濾波實(shí)際上是一種運(yùn)算過(guò)程，其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過(guò)一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺(tái)數(shù)字式的處理設(shè)備。數(shù)字濾波器一般可以用兩種方法實(shí)現(xiàn)：一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號(hào)流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺(tái)專門的設(shè)備

2、，構(gòu)成專用的信號(hào)處理機(jī)；另一種方法就是直接利用通用計(jì)算機(jī)，將所需要的運(yùn)算編成程序讓計(jì)算機(jī)來(lái)執(zhí)行， 這也就是用軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器是離散時(shí)間系統(tǒng)，所處理的信號(hào)是離散時(shí)間信號(hào)。 一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程 )()()(10inyainxbnyNiiMii(4-1) 則其系統(tǒng)函數(shù)，即濾波器的傳遞函數(shù)為 NiiiMiiizazbzH101)(4-2) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 為了用專用硬件或軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的處理，需要把式（4-1）或式(4-2)變換成一種算法。對(duì)于同一個(gè)

3、系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 對(duì)輸入信號(hào)的處理可實(shí)現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對(duì)應(yīng)于一種不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)（網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）。例如： 11112111211112122311)(zzzzzzzH (4-3) 觀察式(4-3)可知，對(duì)應(yīng)于每一種不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，我們都可以用三種基本的運(yùn)算單元：乘法器、加法器和單位延時(shí)器來(lái)實(shí)現(xiàn)。這三種基本運(yùn)算單元的常用流圖表示方法如圖4-1 所示。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖 4-1 三種基本運(yùn)算的流圖 z1x(n)x(n1 )x(n)aax(n)x2(n)x1(n)x1(n) x2(n)x(n)x(n1 )x(n)x2(n)x1(n)x1(n) x2(n)z1ax(n)a第4章

4、 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.2 IIR濾波器的結(jié)構(gòu)濾波器的結(jié)構(gòu) 4.2.1 直接型（直接型（型）型） 一個(gè)N階的IIR濾波器的輸入輸出關(guān)系可以用如式（4-1）所示的N階的差分方程來(lái)描述。 把式（4-1）重寫如下： NiiMiiinyanxbny10)() 1()(第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 從這個(gè)差分方程表達(dá)式可以看出，系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構(gòu)成：第一部分是一個(gè)對(duì)輸入x(n)的M階延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)，每階延時(shí)抽頭后加權(quán)相加，構(gòu)成一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。 第二部分 是一個(gè)對(duì)輸出y(n)的N階延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，是由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)。 由這兩部分相加構(gòu)成輸出，取M=N可得其結(jié)構(gòu)圖如圖4-2。從圖上可

5、以看出，直接型結(jié)構(gòu)需要2N個(gè)延時(shí)器和2N+1個(gè)乘法器。 )(0inxbMii)(0inyaNii第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖 4-2 直接型結(jié)構(gòu) z 1z 1z 1bN 1bNb2b1b0 x(n)x(n 1)x(n 2)x(n N)z 1z 1z 1aN 1aNa2a1y(n)y(n 1)y(n 2)y(n N)第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.2.2 直接直接型型 直接型結(jié)構(gòu)又稱為正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)。由圖4-2，直接型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)也可以看成是兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)函數(shù)的乘積。輸入信號(hào)x(n)先通過(guò)系統(tǒng)H1(z)，得到中間輸出變量y1(n)，然后再把y1(n)通過(guò)系統(tǒng)H2(z)得到輸出信號(hào)y(

6、n)。 即 NiiiMiiizazbzHzHzH10211)()()(第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 式中, MiiizbzH01)(對(duì)應(yīng)的差分方程為:NiiiMiizazHinxbny120111)()()(對(duì)應(yīng)的差分方程為 )()()(11nyinyanyNii第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 假設(shè)所討論的IIR數(shù)字濾波器是線性非時(shí)變系統(tǒng)，顯然交換H1(z)和H2(z)的級(jí)聯(lián)次序不會(huì)影響系統(tǒng)的傳輸效果，即 )()()()()(1221zHzHzHzHzH若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子階數(shù)和分母階數(shù)相等，即M=N時(shí)，其結(jié)構(gòu)如圖4-3所示。 輸入信號(hào)x(n)先經(jīng)過(guò)反饋網(wǎng)絡(luò)H2(z)，得到中間輸出變量 )(

7、)()(122nxinyanyNii然后，將y2(n)通過(guò)系統(tǒng)H1(z)，得到系統(tǒng)的輸出y(n) )()(02inybnyMii第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 結(jié)構(gòu)圖4-3中有兩條完全相同的對(duì)中間變量y2(n)進(jìn)行延遲的延時(shí)鏈，我們可以合并這兩條延時(shí)鏈，得到如圖4-4所示的直接型結(jié)構(gòu)（圖中取M=N）。 比較圖4-2和圖4-4可知: 直接型比直接型結(jié)構(gòu)延時(shí)單元少，用硬件實(shí)現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，比直接型經(jīng)濟(jì)；若用軟件實(shí)現(xiàn)則可節(jié)省存儲(chǔ)單元。但對(duì)于高階系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)都存在調(diào)整零、 極點(diǎn)困難，對(duì)系數(shù)量化效應(yīng)敏感度高等缺點(diǎn)。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖 4-3 直接型的變形結(jié)構(gòu) x(n)y(n)z1z1z

8、1aN1aNa2a1z1z1z1bN1bNb2b1b0y2(n)y2(n1 )y2(n2 )y2(n N)第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖 4-4 直接型結(jié)構(gòu) x(n)y(n)z1z1z1aN1aNa2a1bN1bNb2b1b0第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.2.3 級(jí)聯(lián)型級(jí)聯(lián)型 若把式(4-2)描述的N階IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分別進(jìn)行因式分解，得到多個(gè)因式連乘積的形式 NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(4-4) 式中：A為常數(shù)，ci和di分別表示H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。由于H(z)的分子和分母都是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，而實(shí)系數(shù)多項(xiàng)

9、式的根只有實(shí)根和共軛復(fù)根兩種情況。將每一對(duì)共軛零點(diǎn)（極點(diǎn)）合并起來(lái)構(gòu)成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階因子，并把單個(gè)的實(shí)根因子看成是二次項(xiàng)系數(shù)等于零的二階因子，則可以把H(z)表示成多個(gè)實(shí)系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)Hj(z)的連乘積形式， 如式(4-5)所示: 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) KjjzHAzH1)()(4-5) 式中：式中： 2211221101)(zzzzzHjjjjjj 若每一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)Hj(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型結(jié)構(gòu)，則可以得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)，如圖4-5所示。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖 4-5 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) x(n)y(n)z1z111211

10、12101z1z11K2K1K2K0KA第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 在級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)只關(guān)系到濾波器的一個(gè)零點(diǎn)、一個(gè)極點(diǎn)；每個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)只關(guān)系到濾波器的一對(duì)共軛零點(diǎn)和一對(duì)共軛極點(diǎn)。調(diào)整系數(shù)0j、1j和2j只會(huì)影響濾波器的第j對(duì)零點(diǎn)，對(duì)其他零點(diǎn)并無(wú)影響；同樣, 調(diào)整分母多項(xiàng)式的系數(shù)1j和2j也只單獨(dú)調(diào)整了第j對(duì)極點(diǎn)。因此，與直接型結(jié)構(gòu)相比， 級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)濾波器零、極點(diǎn)的調(diào)整。此外，因?yàn)樵诩?jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)中，后面的網(wǎng)絡(luò)的輸出不會(huì)流到前面，所以其運(yùn)算誤差也比直接型小。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.2.4 并聯(lián)型并聯(lián)型 把傳遞函數(shù)H(z)展開成部分分式之和的形式，就可以得到濾波器

11、的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 當(dāng)N=M時(shí)，展開式為 NiiiiNzdAAzHzHzHAzH102101)()()()( 和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的方法類似，將上式中的共軛復(fù)根部分兩兩合并得到實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)，則有 FiiiiiEiiizzzzpAAzH1221111011011)( (4-6) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 式中, N=E+2F。 由式（4-6）知，濾波器可由E個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)、F個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)常數(shù)支路并聯(lián)構(gòu)成， 其結(jié)構(gòu)如圖4-6所示。 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)也可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)位置，但對(duì)于零點(diǎn)的調(diào)整卻不如級(jí)聯(lián)型方便，而且當(dāng)濾波器的階數(shù)較高時(shí)，部分分式展開比較麻煩。在運(yùn)算誤差方面，由于各基本網(wǎng)絡(luò)間的誤差互不影響， 沒有誤

12、差積累， 因此比直接型和級(jí)聯(lián)型誤差稍小一點(diǎn)。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖圖4-6 并聯(lián)型結(jié)構(gòu)并聯(lián)型結(jié)構(gòu) x(n)11z121z101111Fz12Fz10F1Fz1A1A0p1y(n)第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.3 FIR濾波器的結(jié)構(gòu)濾波器的結(jié)構(gòu) 4.3.1 直接型直接型 設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長(zhǎng)度為N，其傳遞函數(shù)和差分方程分別為: 10)()(NnnznhzH(4-7) 10)()()(Nmmnxmhny(4-8) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 根據(jù)式（4-7）或式（4-8）可直接畫出如圖4-7所示的FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。 由于該結(jié)構(gòu)利用輸入信號(hào)x(n)和

13、濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)的線性卷積來(lái)描述輸出信號(hào)y(n)，所以FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)又稱為卷積型結(jié)構(gòu)， 有時(shí)也稱為橫截型結(jié)構(gòu)。 圖圖 4-7 FIR的直接型結(jié)構(gòu)的直接型結(jié)構(gòu) z1x(n)h(0)h(1)z1h(2)h(N3 )z1h(N2 )z1h(N1 )y(n)第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.3.2 級(jí)聯(lián)型級(jí)聯(lián)型 當(dāng)需要控制系統(tǒng)傳輸零點(diǎn)時(shí)，將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形式： 10122110)()()(NnMiiiinzazaaznhzH圖圖 4-8 FIR的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) x(n)y(n)z 1z 1a11a21a01z 1z 1a12a22a02z 1z 1a

14、1Ma2Ma0M第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 4.3.3 頻率采樣型頻率采樣型 由頻域采樣定理可知，對(duì)有限長(zhǎng)序列h(n)的Z變換H(z)在單位圓上做N點(diǎn)的等間隔采樣，N個(gè)頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)hN(n)是原序列h(n)以采樣點(diǎn)數(shù)N為周期進(jìn)行周期延拓的結(jié)果，當(dāng)N大于等于原序列h(n)長(zhǎng)度M時(shí)hN(n)=h(n)，不會(huì)發(fā)生信號(hào)失真，此時(shí)H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內(nèi)插得到， 內(nèi)插公式如下： 1011)(1)1 ()(NkkNNzWkHNzzH(4-10) 式中： kNjezzHkH2)()( k=0, 1, 2, , N-1 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 式(4-10)

15、為實(shí)現(xiàn)FIR系統(tǒng)提供了另一種結(jié)構(gòu)。H(z)也可以重寫為 10)()(1)(NkkczHzHNzH(4-11) 式中： 11)()(1)(zWkHzHzzHkNkNc顯然，H(z)的第一部分Hc(z)是一個(gè)由N階延時(shí)單元組成的梳狀濾波器，如圖4-9所示。它在單位圓上有N個(gè)等間隔的零點(diǎn) iNiNjiWez2i=0, 1， 2, , N-1 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖 4-9 梳狀濾波器 x(n)yc(n) z No|Hc(e j)|2 / N第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 第二部分是由N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò) 組成的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn) kNjkNkeWH2因此，H(z)的第二部分是

16、一個(gè)有N個(gè)極點(diǎn)的諧振網(wǎng)絡(luò)。這些極點(diǎn)正好與第一部分梳狀濾波器的N個(gè)零點(diǎn)相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應(yīng)等于H(k)。把這兩部分級(jí)聯(lián)起來(lái)就可以構(gòu)成FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)，如圖4-10所示。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 圖 4-10 FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu) z1z1H(0)H(1)y(n)1 / Nz1H(N1) z Nx(n)0NW1 NW1 NNW 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)的主要優(yōu)點(diǎn)：首先，它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在=2k/N 處的響應(yīng)值，因此可以直接控制濾波器的響應(yīng)；此外，只要濾波器的N階數(shù)相同，對(duì)于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的

17、結(jié)構(gòu)完全相同，N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)部分的結(jié)構(gòu)也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結(jié)構(gòu)便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。但是該結(jié)構(gòu)也有兩個(gè)缺點(diǎn)： （1）該濾波器所有的系數(shù)H(k)和WN-k一般為復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)相乘運(yùn)算實(shí)現(xiàn)起來(lái)較麻煩。 （2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的，如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，極點(diǎn)就可能移到單位圓外， 造成零極點(diǎn)不能完全對(duì)消，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 為了克服上述缺點(diǎn)， 對(duì)頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。 首先，單位圓上的所有零、極點(diǎn)向內(nèi)收縮到半徑為r的圓上， 這里r稍小于1。此時(shí)H(z)為 1011)(1)1 ()(NkkNrNNzrWkHNzr

18、zH(4-12) 式中，Hr(k)是在r圓上對(duì)H(z)的N點(diǎn)等間隔采樣之值。由于r1， 所以，可近似取Hr(k)=H(k)。 因此 1011)(1)1 ()(NkkNNNzrWkHNzrzH(4-13) 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 根據(jù)DFT的共軛對(duì)稱性，如果h(n)是實(shí)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對(duì)稱，即H(k)=H*(N-k)。又因?yàn)?，為了得到實(shí)系數(shù)，我們將Hk(z)和HN-k(z)合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)， 記為Hk(z)(*)(kNNkNWW2211101*11)(12cos211)(1)(1)(1)()(zrzkNrzaazWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHz

19、HkkkNkNkNNkNk）（12, 2 , 1Nk第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 式中式中: )(Re2)(Re210kNkkWkrHakHa 該二階網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)諧振頻率為k=2k/N的有限Q值的諧振器，其結(jié)構(gòu)如圖4-11 所示。 除了共軛復(fù)根外H(z)還有實(shí)根。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有一對(duì)實(shí)根z=r， 除二階網(wǎng)絡(luò)外尚有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的一階網(wǎng)絡(luò): 12/101)2/()(1)0()(z rNHzHz rHzHN第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) z1 r2z1a0ka1kkNr2cos2圖 4-11第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 這時(shí)的H(z)如式(4-14)，其結(jié)構(gòu)如圖4-12所示。圖中Hk(z), z=1, 2,

20、 , N/2-1 的結(jié)構(gòu)如圖 4.11 所示。 12/12/0)()()(1)1 ()(NkkNNNzHzHzHNzrzH(4-14) 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)根z=r，對(duì)應(yīng)于一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)H0(z)。這時(shí)的H(z)為 2/ )1(10)()(1)1 ()(NkkNNzHzHNzrzH(4-15) 顯然，N等于奇數(shù)時(shí)的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和(N-1)/2個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)組成。 第4章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N較大時(shí)，頻率采樣結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜， 所需的乘法器和延時(shí)器比較多。但在以下兩種情況下，使用頻率采樣結(jié)構(gòu)比較經(jīng)濟(jì)。 （1） 對(duì)于窄帶濾波器，其多數(shù)采樣值H(k)為零，諧振器柜中只