第3章靜定結(jié)構的受力分析

1、第3章 靜定結(jié)構的受力分析3-1 梁的內(nèi)力計算回顧3-2 靜定多跨梁3-3 靜定平面剛架3-4 靜定平面桁架3-5 組合結(jié)構3-6 三鉸拱3-7 隔離體方法及其截取順序的優(yōu)選3-8 剛體體系的虛功原理3-9 用求解器確定截面單桿(略)3-10 用求解器求解組合結(jié)構(略)3-12 小結(jié)3-11 用求解器求解一般靜定結(jié)構(略)第3章 靜定結(jié)構的受力分析3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧1. 截面的內(nèi)力分量及其正負號規(guī)定截面的內(nèi)力分量及其正負號規(guī)定 軸力軸力FN以拉力為正以拉力為正 剪力剪力FQ以繞微段隔離體順時針轉(zhuǎn)者為正以繞微段隔離體順時針轉(zhuǎn)者為正 彎矩彎矩M彎矩圖的縱坐標畫在桿件受拉纖維一邊，彎矩圖的縱

2、坐標畫在桿件受拉纖維一邊， 不標正負號不標正負號3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧軸力軸力=截面一邊的所有外力沿桿軸截面一邊的所有外力沿桿軸切線切線方向的投影代數(shù)和。方向的投影代數(shù)和。剪力剪力=截面一邊的所有外力沿桿軸截面一邊的所有外力沿桿軸法線法線方向的投影代數(shù)和。方向的投影代數(shù)和。彎矩彎矩=截面一邊的所有外力對截面形心的力矩代數(shù)和。截面一邊的所有外力對截面形心的力矩代數(shù)和。3. 荷載與內(nèi)力之間的微分關系：如圖，由平衡條件可導出荷載與內(nèi)力之間的微分關系：如圖，由平衡條件可導出2. 截面法：將桿件在指定截面切開，取其中一部分為隔離體，利截面法：將桿件在指定截面切開，取其中一部分為隔離體，利 用平衡條件

3、，確定此截面的三個內(nèi)力分量。用平衡條件，確定此截面的三個內(nèi)力分量。QQNddddddFxMqxFqxFyx3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧4. 荷載與內(nèi)力之間的增量關系：如圖，在集中荷載作用處取荷載與內(nèi)力之間的增量關系：如圖，在集中荷載作用處取 微段為隔離體，由平衡條件可導出：微段為隔離體，由平衡條件可導出：0QNMMFFFFyx3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧5. 荷載與內(nèi)力之間的積分關系：如圖，從直桿中取出荷載連荷載與內(nèi)力之間的積分關系：如圖，從直桿中取出荷載連 續(xù)分布的一段，由積分可得：續(xù)分布的一段，由積分可得：BABABAxxABxxyABxxxABxFMMxqFFxqFFdddQQQNN積分關系

4、的幾何意義：積分關系的幾何意義：B端的軸力端的軸力=A端的軸力端的軸力-該段荷載該段荷載qx圖的面積。圖的面積。B端的剪力端的剪力=A端的剪力端的剪力-該段荷載該段荷載qy圖的面積圖的面積B端的彎矩端的彎矩=A端的彎矩端的彎矩+此段剪力圖的面積此段剪力圖的面積3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧6. 分段疊加法作彎矩圖分段疊加法作彎矩圖圖圖(a)結(jié)構荷載有兩部分：結(jié)構荷載有兩部分：跨間荷載跨間荷載q和端部力偶和端部力偶MA、MB端部力偶單獨作用時，彎端部力偶單獨作用時，彎矩圖為直線，如圖矩圖為直線，如圖(b):跨間荷載跨間荷載q單獨作用時，彎單獨作用時，彎矩圖如圖矩圖如圖(c):總彎矩圖為圖總彎矩圖為圖

5、(b)基礎上疊加圖基礎上疊加圖(c)，如圖，如圖(d):彎矩圖的疊加指縱坐標的疊加，彎矩圖的疊加指縱坐標的疊加，不是圖形的簡單拼合。不是圖形的簡單拼合。3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧任意直段桿的彎矩圖：以任意直段桿的彎矩圖：以(a)中的中的AB端為例，其隔離體如圖端為例，其隔離體如圖(b)。 與圖與圖(c)中的簡支梁相比，中的簡支梁相比，顯然二者的彎矩圖相同。顯然二者的彎矩圖相同。因此：作任意直桿段彎矩圖因此：作任意直桿段彎矩圖 就歸結(jié)為作相應簡支就歸結(jié)為作相應簡支 梁的彎矩圖。梁的彎矩圖。AB段的彎矩圖如圖段的彎矩圖如圖(d)。3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧例例3-1 試作圖示簡支梁的內(nèi)力圖。試作圖

6、示簡支梁的內(nèi)力圖。解：解：（1）作剪力圖）作剪力圖kN17RAQA FFRQkN-8kN9kN17BF-7kN4kN4-8kN-kN17QEF點右側(cè)截面的剪力BRQBF3-1 梁的內(nèi)力計算的回顧（2）作彎矩圖）作彎矩圖m)kN(717m)kN(231617m)kN(301627m)kN(268217m)kN(1711700RLFFECBGAMMMMMMM CE段有均布荷載，段有均布荷載，利用疊加法作彎矩圖利用疊加法作彎矩圖D截面的彎矩值為：截面的彎矩值為：)mkN(36230268442DM由數(shù)學計算：由數(shù)學計算：CE段段Mmax=36.1kNm公路橋使用的靜定多跨梁公路橋使用的靜定多跨梁計算

7、簡圖為計算簡圖為梁梁AB和和CD直接由支桿固定于基礎，是幾何不變的直接由支桿固定于基礎，是幾何不變的基本部分基本部分短梁短梁BC依靠基本部分的支撐才能承受荷載保持平衡依靠基本部分的支撐才能承受荷載保持平衡附屬部分附屬部分3-2 靜定多跨梁3-2 靜定多跨梁木檁條構造木檁條構造靜定多跨梁靜定多跨梁計算簡圖計算簡圖支撐關系支撐關系靜定多跨梁的組成次序：先固定基本部分，后固定附屬部分靜定多跨梁的組成次序：先固定基本部分，后固定附屬部分靜定多跨梁的計算原則：先計算附屬部分，后計算基本部分靜定多跨梁的計算原則：先計算附屬部分，后計算基本部分3-2 靜定多跨梁例例3-2 試作圖示靜定多試作圖示靜定多 跨梁

8、的內(nèi)力圖。跨梁的內(nèi)力圖。 基本部分與附屬基本部分與附屬部分間的支撐關系部分間的支撐關系計算時拆成單跨梁計算時拆成單跨梁3-2 靜定多跨梁先計算附屬部分先計算附屬部分FD，再計算梁，再計算梁DB，最后計算梁，最后計算梁BA。3-2 靜定多跨梁例例3-3 圖示兩跨梁，全長承受均布荷載圖示兩跨梁，全長承受均布荷載q。試求鉸。試求鉸D的位置，的位置， 使負彎矩的峰值與正彎矩的峰值相等。使負彎矩的峰值與正彎矩的峰值相等。解：計算解：計算AD及及DC兩部分，兩部分， 作彎矩圖作彎矩圖(a)。（a）跨中正彎矩峰值為跨中正彎矩峰值為8)(2xlq支座支座B處負彎矩峰值為處負彎矩峰值為22)(2qxxxlq二者

9、相等：二者相等：x=0.172l最后彎矩圖如圖最后彎矩圖如圖(b)。（b）3-2 靜定多跨梁若該用兩個跨度為若該用兩個跨度為l的簡支梁，則彎矩圖為的簡支梁，則彎矩圖為二者的彎矩峰值比為：二者的彎矩峰值比為：0.086/0.125=68.8%靜定多跨梁與一系列簡支梁相比：材料用量可少一些靜定多跨梁與一系列簡支梁相比：材料用量可少一些 構造要復雜一些構造要復雜一些1. 剛架的特點：結(jié)點全部或部剛架的特點：結(jié)點全部或部 分是剛結(jié)點，結(jié)構內(nèi)部有較分是剛結(jié)點，結(jié)構內(nèi)部有較 大的空間。大的空間。圖圖(a)為簡支梁的彎矩圖，為簡支梁的彎矩圖，圖圖(b)為剛架的彎矩圖，為剛架的彎矩圖，在相同荷載作用下，剛架在

10、相同荷載作用下，剛架橫梁跨中彎矩峰值減小。橫梁跨中彎矩峰值減小。3-3 靜定平面剛架3-3 靜定平面剛架2. 剛架的支座反力剛架的支座反力圖示三鉸剛架有四個未知反力圖示三鉸剛架有四個未知反力整體平衡方程求整體平衡方程求FyA 和和FyB)(20)(2022lqfFMlqfFMyBAyAB利用右半邊剛架作隔離體，則利用右半邊剛架作隔離體，則)(430)(40qfFFqfFMxAxxBC3-3 靜定平面剛架圖示剛架為多跨剛架圖示剛架為多跨剛架剛架的組成次序為：剛架的組成次序為：先固定右邊，再固定左邊先固定右邊，再固定左邊計算反力的次序應為：計算反力的次序應為：先算左邊，再算右邊先算左邊，再算右邊考

11、慮考慮GE部分部分)kN(30 xGEFM)kN(300)kN(20)kN(10yBAyABxAxFMFMFF再考慮整體平衡再考慮整體平衡3-3 靜定平面剛架3. 剛架中各桿的桿端內(nèi)力剛架中各桿的桿端內(nèi)力截面法截面法圖圖(a)剛架取三個隔離體剛架取三個隔離體如圖如圖(b)、(c)、(d)對三個隔離體應用平衡條件得對三個隔離體應用平衡條件得(下邊受拉）(右邊受拉）(左邊受拉）mkN20kN40mkN15kN5kN4mkN5kN50QNQNQNDCDCDCDBDBDBDADADAMFFMFFMFF校核：結(jié)點校核：結(jié)點D的三個平衡條件的三個平衡條件3-3 靜定平面剛架4. 剛架的內(nèi)力圖剛架的內(nèi)力圖各

12、桿的內(nèi)力圖合在一起各桿的內(nèi)力圖合在一起（1）求支座反力如圖）求支座反力如圖(a)（2）作）作M圖，求各桿端彎矩圖，求各桿端彎矩）（下）（邊受拉右邊受拉202022qaMMqaMMCBBCCAAC（3）作）作FQ圖，求各桿端剪力圖，求各桿端剪力20QQQQqaFFFqaFCBBCCAAC（4）作）作FN圖，求各桿端軸力圖，求各桿端軸力02NNNNCBBCCAACFFqaFF（5） 校核：校核： 結(jié)點結(jié)點C3-3 靜定平面剛架例例3-4 另一種方法作圖示剛架的另一種方法作圖示剛架的FQ、FN圖。圖。（1）先作）先作M圖，以桿件為隔離體圖，以桿件為隔離體 利用桿端彎矩求桿端剪力利用桿端彎矩求桿端剪力

13、以以AC桿為隔離體求得桿為隔離體求得qaFMFMACCCAAQQ000以以CB桿為隔離體求得桿為隔離體求得2QQqaFFBCCB（2）求桿端軸力，取結(jié)點為）求桿端軸力，取結(jié)點為 C隔離體隔離體2000NNqaFFFFCAyCBx3-3 靜定平面剛架例例3-5 作圖示門式剛架的內(nèi)力圖。作圖示門式剛架的內(nèi)力圖。解：解：（1）求支反力）求支反力)kN(384. 10)kN(384. 10)kN(5 . 40)kN(5 . 10 xBxAxxBCyAByBAFFFFMFMFM（2） 作作M圖，如圖圖，如圖(a)。3-3 靜定平面剛架（3） 作作FQ圖，取隔離體如圖圖，取隔離體如圖(d)、(e)。 由隔

14、離體平衡條件由隔離體平衡條件求桿端剪力，并作圖求桿端剪力，并作圖(b)。3-3 靜定平面剛架（4） 作作FN圖，取隔離體如圖圖，取隔離體如圖(f)、(g) 由結(jié)點平衡條件求由結(jié)點平衡條件求桿端軸力，并作圖桿端軸力，并作圖(c)。（5） 校核：取結(jié)點校核：取結(jié)點C驗算平衡條件驗算平衡條件顯然滿足！顯然滿足！3-3 靜定平面剛架例例3-6 試作圖示兩層剛架的試作圖示兩層剛架的M圖。圖。解：組成次序解：組成次序-先固定下部，再固定上部先固定下部，再固定上部（1）先求約束力和支反力，如圖）先求約束力和支反力，如圖(a)。（2）作作M圖圖1桁架的特點和組成桁架的特點和組成 由桿件組成的格構體系，由桿件組

15、成的格構體系， 荷載作用在結(jié)點上，荷載作用在結(jié)點上， 各桿內(nèi)力主要為軸力。各桿內(nèi)力主要為軸力。鋼筋混凝土組合屋架鋼筋混凝土組合屋架武漢長江大橋采用的桁架形式武漢長江大橋采用的桁架形式3-4 靜定平面桁架3-4 靜定平面桁架 桁架內(nèi)力計算時的假定桁架內(nèi)力計算時的假定（1）桁架的結(jié)點都是光滑的鉸結(jié)點）桁架的結(jié)點都是光滑的鉸結(jié)點（2）各桿的軸線都是直線并通過鉸的中心）各桿的軸線都是直線并通過鉸的中心（3）荷載和支座反力都作用在結(jié)點上）荷載和支座反力都作用在結(jié)點上桁架的計算簡圖桁架的計算簡圖 桁架桁架(a)中的任意桿件，中的任意桿件，只在兩端受力，只在兩端受力，CD只受軸力作用只受軸力作用3-4 靜定

16、平面桁架平面桁架的分類平面桁架的分類（1）簡單桁架）簡單桁架 由基礎（圖由基礎（圖(b)）或一個基本鉸接三角形（圖）或一個基本鉸接三角形（圖(a)）開始，每次）開始，每次 用不在一條直線上的兩個鏈桿連接一個新結(jié)點而組成的桁架。用不在一條直線上的兩個鏈桿連接一個新結(jié)點而組成的桁架。3-4 靜定平面桁架（2）聯(lián)合桁架）聯(lián)合桁架 由幾個簡單桁架聯(lián)合組成幾由幾個簡單桁架聯(lián)合組成幾 何不變的的鉸接體系。何不變的的鉸接體系。（3）復雜桁架）復雜桁架 不屬于前兩類的桁架不屬于前兩類的桁架3-4 靜定平面桁架2 結(jié)點法、截面法及其聯(lián)合應用結(jié)點法、截面法及其聯(lián)合應用 圖圖(a)桿桿AB的桿長的桿長l及其水平投影

17、及其水平投影l(fā)x 和豎向投影和豎向投影l(fā)y組成一個三角形。組成一個三角形。 圖圖(b)桿桿AB的軸力的軸力FN及其水平及其水平分量分量Fx 和豎向分量和豎向分量Fy組成一個三角形組成一個三角形兩個三角形是相似的，因而兩個三角形是相似的，因而yyxxlFlFlFN3-4 靜定平面桁架結(jié)點法：取桁架結(jié)點為隔離體，利用平面匯交力系的兩個平結(jié)點法：取桁架結(jié)點為隔離體，利用平面匯交力系的兩個平 衡條件計算各桿的軸力。軸力為正表示拉力，軸力衡條件計算各桿的軸力。軸力為正表示拉力，軸力 為負表示壓力。為負表示壓力。例例3-7 圖示一施工托架的計算簡圖，圖示一施工托架的計算簡圖， 在所示荷載作用下，試求各在所

18、示荷載作用下，試求各 桿的軸力。桿的軸力。解解 （1）求支反力，如圖）求支反力，如圖（2）作結(jié)點）作結(jié)點A的隔離體圖的隔離體圖）（）（壓力拉力kN33kN8 .34NNACADFF3-4 靜定平面桁架（3）作結(jié)點）作結(jié)點C的隔離體圖的隔離體圖（4）作結(jié)點）作結(jié)點D的隔離體圖的隔離體圖）（）（壓力壓力kN8kN33NNCDCEFF）（）（拉力壓力kN5 .37kN4 . 5NNDFDEFF（5）利用對稱性）利用對稱性 桁架和荷載都是對稱的，桁架中的內(nèi)桁架和荷載都是對稱的，桁架中的內(nèi) 力也是對稱的。各桿的軸力如圖力也是對稱的。各桿的軸力如圖（6）校核：取結(jié)點）校核：取結(jié)點E3-4 靜定平面桁架結(jié)點

19、單桿的概念結(jié)點單桿的概念（1）結(jié)點只包含兩個不共線的未）結(jié)點只包含兩個不共線的未 知力桿，則每桿都是單桿。知力桿，則每桿都是單桿。（2）結(jié)點只包含三個未知力桿，其）結(jié)點只包含三個未知力桿，其 中有兩桿共線，則第三桿是單中有兩桿共線，則第三桿是單 桿。桿。3-4 靜定平面桁架結(jié)點單桿的性質(zhì)結(jié)點單桿的性質(zhì)（1）結(jié)點單桿的內(nèi)力可由該結(jié)點的平衡條件直接求出。）結(jié)點單桿的內(nèi)力可由該結(jié)點的平衡條件直接求出。（2）當結(jié)點無荷載作用時，）當結(jié)點無荷載作用時， 結(jié)點單桿的內(nèi)力必為零結(jié)點單桿的內(nèi)力必為零 （稱為零桿），如圖（稱為零桿），如圖桁架除紅色桿件內(nèi)力桁架除紅色桿件內(nèi)力不為零，其余各桿都不為零，其余各桿都是

20、零桿。是零桿。3-4 靜定平面桁架（3）可以依靠拆除單桿的方法將整個桁架拆完，則此桁架即可）可以依靠拆除單桿的方法將整個桁架拆完，則此桁架即可 應用結(jié)點法將各桿內(nèi)力求出。計算順序按拆除單桿的順序應用結(jié)點法將各桿內(nèi)力求出。計算順序按拆除單桿的順序 進行。進行。圖圖(a)單桿拆除次序如數(shù)字所示，各桿內(nèi)力可用結(jié)點法求出。單桿拆除次序如數(shù)字所示，各桿內(nèi)力可用結(jié)點法求出。3-4 靜定平面桁架截面法：用截面切斷擬求內(nèi)力的桿件，從桁架中截出一部分為截面法：用截面切斷擬求內(nèi)力的桿件，從桁架中截出一部分為 隔離體，利用平面力系的三個平衡方程，計算所切各隔離體，利用平面力系的三個平衡方程，計算所切各 桿的未知軸力

21、。桿的未知軸力。例例3-8 試求圖示桁架中試求圖示桁架中1、2、3三桿的軸力。三桿的軸力。解：先求支反力如左圖，解：先求支反力如左圖， 作截面作截面m-m，切斷，切斷1、2、3 桿，取右邊為隔離體如圖桿，取右邊為隔離體如圖(a):）（）（）（壓力壓力拉力kN54. 10kN7 . 40kN87. 503N2N1NFFFMFMxdC3-4 靜定平面桁架截面單桿的概念截面單桿的概念（1）截面只截斷三個桿，）截面只截斷三個桿， 且此三個桿不交于一點且此三個桿不交于一點 （或不彼此平行），則其（或不彼此平行），則其 中每一個桿都是截面單桿。中每一個桿都是截面單桿。（2）截面所截桿數(shù)大于三，）截面所截桿

22、數(shù)大于三， 但除一根桿外，其余各桿但除一根桿外，其余各桿 都交于一點（或都彼此平都交于一點（或都彼此平 行，則此桿是截面單桿。行，則此桿是截面單桿。3-4 靜定平面桁架截面單桿的性質(zhì)截面單桿的性質(zhì)截面單桿的內(nèi)力可從本截面相應截面單桿的內(nèi)力可從本截面相應的隔離體的平衡條件直接求出。的隔離體的平衡條件直接求出。AF桿是桿是截面單桿截面單桿三個桁架都是聯(lián)合桁架：兩個簡單桁架用三個連接桿三個桁架都是聯(lián)合桁架：兩個簡單桁架用三個連接桿1、2、3裝裝配而成。對圖中所示的截面，連接桿配而成。對圖中所示的截面，連接桿1、2、3都是截面單桿，可都是截面單桿，可以直接求出其軸力。以直接求出其軸力。3-4 靜定平面

23、桁架結(jié)點法和截面法的聯(lián)合應用結(jié)點法和截面法的聯(lián)合應用圖示桁架求圖示桁架求1、2的軸力的軸力用截面用截面m-m，取左邊隔離體，取左邊隔離體由由 得到包括得到包括Fy1和和Fy2兩個未知量的方程。兩個未知量的方程。 0yF 由結(jié)點由結(jié)點G的平衡，可以建立的平衡，可以建立Fx1和和Fx2的關系，從而就可建立的關系，從而就可建立Fy1和和Fy2的關系，聯(lián)立求解。的關系，聯(lián)立求解。3-4 靜定平面桁架例例3-9 試求圖示桁架中試求圖示桁架中1、2、3三桿的軸力。三桿的軸力。解：先求支反力如圖解：先求支反力如圖取截面取截面m-m以右部為隔以右部為隔離體求離體求FN4。）（拉力kN1204NFMG作截面作截

24、面n-n，取左部，取左部為隔離體，求為隔離體，求FN2。00002N22FFFMxyD取結(jié)點取結(jié)點E為隔離體為隔離體）（拉力kN97.16kN12kN1203N33FFFFyxx）（壓力kN1201NFFy 一部分桿件是鏈桿，只受軸力作用；另一部分桿件是梁一部分桿件是鏈桿，只受軸力作用；另一部分桿件是梁式桿，同時有軸力、彎矩、剪力作用。式桿，同時有軸力、彎矩、剪力作用。 圖圖(a)為下?lián)问轿褰切螢橄聯(lián)问轿褰切挝菁?，上弦為鋼筋混凝土屋架，上弦為鋼筋混凝土制成，下弦和腹桿為型制成，下弦和腹桿為型鋼。鋼。圖圖(b)為圖為圖(a)的計算簡圖的計算簡圖3-5 組合結(jié)構3-5 組合結(jié)構組合結(jié)構的計算步驟組

25、合結(jié)構的計算步驟先求出各鏈桿的軸力先求出各鏈桿的軸力再作梁式桿的內(nèi)力圖再作梁式桿的內(nèi)力圖應盡可能避免截斷梁式桿應盡可能避免截斷梁式桿注意：桿注意：桿FA和桿和桿FC不是鏈桿，不是鏈桿， 所以所以FD不是零桿不是零桿由由I-I左部隔離體求不出桿的軸力左部隔離體求不出桿的軸力3-5 組合結(jié)構例例3-10 試作圖示下?lián)问轿褰切挝菁艿膬?nèi)力圖試作圖示下?lián)问轿褰切挝菁艿膬?nèi)力圖解：解：（1）求鏈桿的軸力）求鏈桿的軸力 作截面作截面I-I取左部隔取左部隔 離體，如圖離體，如圖(b)。kN150NDECFM由結(jié)點由結(jié)點D和和E，求得所，求得所有鏈桿的軸力如圖有鏈桿的軸力如圖(b)。3-5 組合結(jié)構（2）梁式桿的

26、內(nèi)力圖）梁式桿的內(nèi)力圖 桿桿AFC的受力情況如圖的受力情況如圖(c)。 將結(jié)點將結(jié)點A處的豎向力合并處的豎向力合并后，受力圖如圖后，受力圖如圖(d)。 任一截面的剪力和軸力任一截面的剪力和軸力可按公式計算，可按公式計算，F(xiàn)y為該截面為該截面所受豎向力的合力。所受豎向力的合力。cos15sinsin15cosNQyyFFFF3-5 組合結(jié)構AFC桿的內(nèi)力圖為桿的內(nèi)力圖為3-5 組合結(jié)構內(nèi)力分析內(nèi)力分析（1）高跨比）高跨比f/l值愈小，軸力值愈小，軸力FNDE愈大，屋架軸力愈大。愈大，屋架軸力愈大。（2）f1與與f2的關系的關系f確定后，內(nèi)力狀態(tài)隨確定后，內(nèi)力狀態(tài)隨f1與與f2的比例不同而改變。的

27、比例不同而改變。f1=0，為下?lián)问狡叫邢医M合結(jié)，為下?lián)问狡叫邢医M合結(jié)構，上弦全部為負彎矩。構，上弦全部為負彎矩。f1加大時，上弦正彎矩增大，加大時，上弦正彎矩增大，f1=（0.40.5)f時時,最大正負彎矩最大正負彎矩的數(shù)值大致相等。的數(shù)值大致相等。f2=0，為帶拉桿的三鉸拱式屋，為帶拉桿的三鉸拱式屋架，上弦全部為正彎矩。架，上弦全部為正彎矩。拱的特點：拱的特點： 在豎向荷載作用下有水在豎向荷載作用下有水平反力或稱推力，如圖平反力或稱推力，如圖(a)。圖圖(b)為有拉桿的三鉸拱，為有拉桿的三鉸拱，推力就是拉桿內(nèi)的拉力。推力就是拉桿內(nèi)的拉力。3-6 三鉸拱3-6 三鉸拱1. 三鉸拱的支座反力和內(nèi)

28、力三鉸拱的支座反力和內(nèi)力（1）支座反力計算）支座反力計算 圖圖(a)所示三鉸拱有四個支座反所示三鉸拱有四個支座反 力，拱的整體平衡求豎向反力。力，拱的整體平衡求豎向反力。)(10)(1022P11PV22P11PVaFaFlFMbFbFlFMBAAB圖圖(b)為跨度和荷載都為跨度和荷載都與三鉸拱相同的簡支梁與三鉸拱相同的簡支梁0VBVB0VVFFFFAA由由MC=0，考慮鉸，考慮鉸C左邊所有外力左邊所有外力fdFlFFA11P1VHfMFC0H顯然顯然3-6 三鉸拱（2）內(nèi)力計算：試求指定截面）內(nèi)力計算：試求指定截面D的內(nèi)力的內(nèi)力圖圖(c)為簡支梁相應截面為簡支梁相應截面D左邊的隔離體，左邊的

29、隔離體，圖圖(d)為三鉸拱截面為三鉸拱截面D左邊的隔離體，可得左邊的隔離體，可得yFMMH0由圖由圖(e)得得D截面剪力和軸力為截面剪力和軸力為cossinsincosH0QNH0QQFFFFFF（3）受力特點）受力特點 豎向荷載作用下，梁沒有水平反力，而拱則有推力。豎向荷載作用下，梁沒有水平反力，而拱則有推力。 由于有推力，三鉸拱截面上的彎矩比簡支梁的彎矩小。由于有推力，三鉸拱截面上的彎矩比簡支梁的彎矩小。 豎向荷載作用下，梁截面沒有軸力，而拱截面有較大的軸向壓力。豎向荷載作用下，梁截面沒有軸力，而拱截面有較大的軸向壓力。3-6 三鉸拱例例3-11 圖示三鉸拱的軸線為拋物線：圖示三鉸拱的軸線

30、為拋物線： 試求支座反力，并繪制內(nèi)力圖。試求支座反力，并繪制內(nèi)力圖。)(42xlxlfy解解 （1）反力計算）反力計算 由計算公式由計算公式kN6)(kN5)(kN70H0VV0VVfMFFFFFCBBAA（2）內(nèi)力計算：將拱沿跨度方向八等分，算出每個截面的內(nèi)力。）內(nèi)力計算：將拱沿跨度方向八等分，算出每個截面的內(nèi)力。 以以x=12m的截面的截面D為例。為例。截面截面D的幾何參數(shù)的幾何參數(shù)894. 0cos447. 0sin43-26m3y截面截面D的內(nèi)力由計算公式的內(nèi)力由計算公式kN61.7kN79.1kN81.5kN79.1mkN2NRQRNLQLH0FFFFyFMM3-6 三鉸拱拱的內(nèi)力圖

31、為拱的內(nèi)力圖為同跨度同荷載簡支梁的彎矩圖同跨度同荷載簡支梁的彎矩圖圖圖(d)中虛曲線為中虛曲線為FHy值，兩條值，兩條曲線的差值為三鉸拱的彎矩值。曲線的差值為三鉸拱的彎矩值。簡支梁的最大彎矩為簡支梁的最大彎矩為24.5kNm三鉸拱的最大彎矩為三鉸拱的最大彎矩為2kNm3-6 三鉸拱2. 三鉸拱的壓力線三鉸拱的壓力線已知三鉸拱中某截面已知三鉸拱中某截面D左邊左邊(或右邊或右邊)的合力的合力FRD，即可確定該截面的內(nèi)力，即可確定該截面的內(nèi)力DDDDDDDDDFFFFrFMcossinRNRQRrD截面形心到合力作用線的距離截面形心到合力作用線的距離D合力合力FRD與與D點拱軸切線間的夾角點拱軸切線

32、間的夾角確定截面內(nèi)力歸結(jié)為確定截面一邊所有確定截面內(nèi)力歸結(jié)為確定截面一邊所有外力合力的問題。外力合力的問題。3-6 三鉸拱截面合力圖解作法截面合力圖解作法1）確定各截面合力的大小和方向）確定各截面合力的大小和方向數(shù)解法確定支座數(shù)解法確定支座A、B反力反力FRA和和FRB。按按FRA、FP1、FP2、FP3、FRB順序順序畫出閉合力多邊形如圖畫出閉合力多邊形如圖(b)。四個射線四個射線FRA、12、23、 FRB分別表示分別表示AK1、K1K2、K2K3、K3B四段中任一截面所受的合力大小和方向四段中任一截面所受的合力大小和方向2）確定各截面合力的作用線）確定各截面合力的作用線過過A點作射線點作

33、射線FRA的平行線的平行線AF即為合力即為合力FRA的作用線的作用線過過F點作射線點作射線12的平行線的平行線FG即為合力即為合力12的作用線的作用線AFGHB組成索多邊形組成索多邊形三鉸拱的壓力線（壓力多邊形）三鉸拱的壓力線（壓力多邊形）3-6 三鉸拱3. 三鉸拱的合理軸線：固定荷載作用下使拱處于無彎矩狀態(tài)的三鉸拱的合理軸線：固定荷載作用下使拱處于無彎矩狀態(tài)的 軸線（壓力線與拱軸線重合）軸線（壓力線與拱軸線重合）H0H0)()(FxMxyyFMM豎向荷載作用下，三鉸拱合理軸線的縱坐標豎向荷載作用下，三鉸拱合理軸線的縱坐標與簡支梁彎矩圖的縱坐標成正比。與簡支梁彎矩圖的縱坐標成正比。例例3-12

34、 試求圖示三鉸拱的合理拱軸線。試求圖示三鉸拱的合理拱軸線。解解 合理拱軸線合理拱軸線H0FMy 圖圖(b)簡支梁的彎矩為簡支梁的彎矩為)(20 xlxqM拱的推力為拱的推力為fqlfMFC820H)(42xlxlfy3-6 三鉸拱例例3-13 設三鉸拱受均勻水壓力作用，設三鉸拱受均勻水壓力作用， 試證明其合理軸線是圓弧曲線試證明其合理軸線是圓弧曲線證：推導曲桿內(nèi)力的微分關系，見左圖。證：推導曲桿內(nèi)力的微分關系，見左圖。 由微段平衡條件得：由微段平衡條件得：)a (ddddddQNQQNFsMqRFsFqRFsFrsqqqrs 0)b(ddddddQNQQNFsMqRFsFRFsF設拱處于無彎矩

35、狀態(tài)設拱處于無彎矩狀態(tài)) c (00NQ）（常數(shù)CFFM將將(c)代入代入(b)得得qFRN拱的合理軸線為圓弧拱的合理軸線為圓弧3-6 三鉸拱例例3-14 設在三鉸拱的上面填土設在三鉸拱的上面填土,填土表填土表面為一水平面，試求在填土重量下三面為一水平面，試求在填土重量下三鉸拱的合理軸線。設填土的重力密度鉸拱的合理軸線。設填土的重力密度為為，拱受豎向分布荷載，拱受豎向分布荷載q。解：將解：將 對對x微分兩次微分兩次H0FMy )a ()(dd)(ddH22202FxqxyxqxM將將q代入代入(a)得得)b(ddHH22FqyFxyC(b)的解答為的解答為CqxFBxFAyHHshch00dd

36、000BxyxqAyxC得由得由因此因此) 1ch(HxFqyC(懸鏈線方程懸鏈線方程)1. 隔離體的形式、約束力及獨立平衡方程如圖隔離體的形式、約束力及獨立平衡方程如圖鉸結(jié)點為隔離體鉸結(jié)點為隔離體兩個未知力兩個未知力兩個獨立平衡方程兩個獨立平衡方程桿桿AC為隔離體為隔離體三個未知力三個未知力三個獨立平衡方程三個獨立平衡方程鉸結(jié)體系為隔離體鉸結(jié)體系為隔離體四個未知力四個未知力四個獨立平衡方程四個獨立平衡方程3-7 隔離體方法及其截取順序的優(yōu)選3-7 隔離體方法及其截取順序的優(yōu)選2. 計算的簡化和隔離體截取順序的優(yōu)選計算的簡化和隔離體截取順序的優(yōu)選 圖圖(a)結(jié)構和荷載都結(jié)構和荷載都是左右對稱的

37、，反力與是左右對稱的，反力與內(nèi)力也是對稱的，隔離內(nèi)力也是對稱的，隔離體如圖體如圖(b)。 圖圖(a)是按照是按照I，次次序組成的，受力分析按序組成的，受力分析按照相反的次序截取單照相反的次序截取單元，如圖元，如圖(b)所示。所示。1. 虛功原理：設體系上作用任意的平衡力系，又設體系發(fā)生符虛功原理：設體系上作用任意的平衡力系，又設體系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所作合約束條件的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。的虛功總和恒等于零。 虛設位移求未知力：圖虛設位移求未知力：圖(a)所示杠桿，所示杠桿，在在B點作用已知荷載點作用已知荷載FP，求杠桿平

38、衡時在，求杠桿平衡時在A點需加的未知力點需加的未知力FX。作虛位移如圖作虛位移如圖(b)，虛功方程為，虛功方程為0PPFFXXabXPP令令為常數(shù)為常數(shù)則則PFabFX為方便計算，設為方便計算，設X=1，如圖，如圖(c)。3-8 剛體體系的虛功原理3-8 剛體體系的虛功原理例例3-15 圖示機構在圖示機構在F點作用已知荷載點作用已知荷載FP。試求機構平衡時在。試求機構平衡時在B 點需加的力點需加的力FX。已知。已知CA、CB、CD、CE、FD、FE各線各線 段的長度為段的長度為a。解解 （1）建立虛功方程）建立虛功方程0PPFFXX（2）建立位移之間的幾何關系，由圖）建立位移之間的幾何關系，由圖cbacabXd3dsincos2Pcot23PX（3）求未知力）求未知力FX，將幾，將幾 何關系代入虛功方程何關系代入虛功方程cot23PFFX（4）結(jié)論：幾何關系的推導是關鍵）結(jié)論：