積分變換第章5節(jié)ppt課件

1、2.5 Laplace變換的應(yīng)變換的應(yīng)用用 本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來(lái)解線性微分方程.1 微分方程的拉氏變換解法首先取拉氏變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, 解代數(shù)方程求出象函數(shù), 再取逆變換得最后的解. 如下圖所示.象原函數(shù)象原函數(shù)( (微分方程的解微分方程的解) )象函數(shù)象函數(shù)微分方程微分方程象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程取拉氏逆變換取拉氏逆變換取拉氏變換取拉氏變換解代數(shù)解代數(shù)方程方程例例1 1 求方程求方程 y+2y-3y=e-t y+2y-3y=e-t 滿足初始條件滿足初始條件1, 000 ttyy11)(3)0(2)(2)0()0()(2 ssYyssYysysYs的解的解. . 設(shè)設(shè)

2、 y(t)=Y(s). y(t)=Y(s). 對(duì)方程的兩邊取拉氏變換對(duì)方程的兩邊取拉氏變換, ,并考慮到初始條件并考慮到初始條件, , 則得則得11)(3)(21)(2 ssYssYsYs即即由解出Y(s)11)(3)(21)(2 ssYssYsYs22( )(1)(23)sY ssss 3131( )eee488ttty t 因而311884113sss 例例2 2 求微分方程求微分方程02 yyy滿足初始條件滿足初始條件 00y 4)( ly的解的解, ,其中其中 為已知常數(shù)為已知常數(shù) l解解 lxxyy 0),(設(shè)設(shè)方方程程的的解解且設(shè)且設(shè) )()(sYxy 對(duì)方程兩邊取對(duì)方程兩邊取La

3、placeLaplace變換變換, ,并考慮到初始條件并考慮到初始條件, ,則得則得0)()0()( 2)0()0()(2 sYyssYysysYs整理后可得整理后可得2)1()0()( sysY取取LaplaceLaplace逆變換，可得逆變換，可得xxeyxy)0()( ，代入上式，可得，代入上式，可得令令lx lely 4)0(所以所以lxxelxy 4)(例例3 3 求微分方程求微分方程02)21( yytty滿足初始條件滿足初始條件2, 100 ttyy的解。的解。解解 由由 )()1()()(tfdsdtftnnnmn 對(duì)方程兩邊取對(duì)方程兩邊取LaplaceLaplace變換變換,

4、 ,則得則得設(shè))()(sYty 0)(2)0()(2)0()()0()0()(2 sYyssYdsdyssYysysYsdsd考慮到初始條件考慮到初始條件, ,則得則得0)()( )2( sYsYs2)( sCsY取取LaplaceLaplace逆變換，可得逆變換，可得tCety2)( ，代入上式，可得，代入上式，可得令令0 t1 C所以所以tety2)( 例例4 4 求解方程組求解方程組 txyxyyxxyt222e 0)0()0(0)0()0(xxyy滿足初始條件滿足初始條件的解的解.對(duì)兩個(gè)方程取拉氏變換對(duì)兩個(gè)方程取拉氏變換, , 設(shè)設(shè) y(t)=Y(s), y(t)=Y(s), x(t)

5、=X(s), x(t)=X(s), 并考慮到初始條件并考慮到初始條件, , 得得 txyxyyxxyt222e 222221)()(2)()(2211)()()()(ssXssYsXssYssssYssXsXssYs整理得整理得 )1(1)()1()(2)1(2)()()1(22sssXsssYsssssXsYs解此線性方程組解此線性方程組222(1) ( )( )(1)12( )(1)( )(1)ssY ssX ss ssY ssX sss 222221(1)22(1)21221ssDsssssssss 222(1)1(1)(1)Ysss sDsss 21( )(1)( )1eeYttDY

6、sDs sy tt 可可得得22222221(2)(1)11(1)(1)12121(1)(1)sssssss ss sssssssss ss s 22221(1),2112(1)Xsss sDDsssss 22322222121124(1)(1)21ssssssssssss 2221( )(1)XDsX sDss 32322222225124221(1)(1)sssssssssss最后得最后得22222111( )(1)(1)sX sssss ( )etx ttt 得得( )1ee( )ettty ttx ttt 故故例例5 5 質(zhì)量為質(zhì)量為m m的物體掛的物體掛在彈簧系數(shù)為在彈簧系數(shù)為k k

7、的彈簧的彈簧一端一端, , 外力為外力為f(t), f(t), 物物體自平衡位置體自平衡位置x=0 x=0處開(kāi)處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)始運(yùn)動(dòng), , 求運(yùn)動(dòng)規(guī)律求運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t).x(t).根據(jù)牛頓定律有根據(jù)牛頓定律有 mx=f(t)-kx其中其中kx由虎克定律所得由虎克定律所得 初始條件為初始條件為 x(0)=x(0)=0mxxx=0kxf(t)物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為mx+kx=f(t)且且 x(0)=x(0)=0.對(duì)方程兩邊取拉氏變換對(duì)方程兩邊取拉氏變換, 設(shè)設(shè) x(t)=X(s), f(t)=F(s), 并考慮到初始條件并考慮到初始條件, 則得則得ms2X(s)+kX(s)=F(s)(

8、11)(1)(,20220220sFsmssFmsXmk 有有如記如記如如f(t)具體給出時(shí)具體給出時(shí), 可以直接從解的象函數(shù)可以直接從解的象函數(shù)X(s)的關(guān)系式的關(guān)系式中解出中解出x(t)來(lái)來(lái).)(11)(202sFsmsX ttfmtftmtxts00000002021d)(sin)(1)(sin1)(,sin1 由卷積定理得由卷積定理得因?yàn)橐驗(yàn)?當(dāng)物體在當(dāng)物體在t=0時(shí)受到?jīng)_擊力為時(shí)受到?jīng)_擊力為f(t)=Ad(t), 其中其中A為常數(shù)為常數(shù). 此此時(shí)時(shí), f(t)= Ad(t)=A2021)( smAsX所以所以).(,.sin)(00000或稱固有頻率或稱固有頻率然頻率然頻率為該系統(tǒng)的

9、自為該系統(tǒng)的自稱稱角頻率是角頻率是振幅是振幅是運(yùn)動(dòng)為一正弦振動(dòng)運(yùn)動(dòng)為一正弦振動(dòng)在沖擊力的作用下在沖擊力的作用下可見(jiàn)可見(jiàn)從而從而 mAtmAtx 如物體所受作用力為如物體所受作用力為f(t)=A sin wt時(shí)時(shí)222222022222200 ( )11( )111f tAsAX smssAmss 02200002200sinsin( )()(sinsin)()tAtx tmAttm 從從而而例例6 6 如圖所示電路如圖所示電路, , 若外加電動(dòng)勢(shì)為若外加電動(dòng)勢(shì)為求開(kāi)關(guān)閉合后求開(kāi)關(guān)閉合后, , 回路中電流回路中電流i(t)i(t)及電容器兩端電壓及電容器兩端電壓uC(t).uC(t).tuCti

10、tRiuteuuCRCRdd)(),()( 其其中中由由基基爾爾霍霍夫夫定定律律有有i(t)e(t)KRC)sin()( tUtem微分方程為d( )dCCuRCue tt22( )sin(),( ) ( )(cossin)(cossin)( )1()(j)(j)mmmCe tUtUE se tssUsUsRC sssRC 有有( )( ),CCutUs 所以當(dāng) ( )( )e tE s ( )( ) ( )CCRCSUsUse t 1,( )CjjUsRC 1 12 22 2s ss ss s為為一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn). .1jj(cossin)(cossin)( )1(j)(j)()(j)(co

11、ssin)1()(j)ststmCsRCsstsUssuteeRCssssRCseRC ssRC 故故222222()()1cossin 11()()22( 2)( 2)tmRCjtjtmURCeCRRCCUeejjRCRCRC 2222222222222222221cos111sin11cos()111sin()1mtRCmURCRRCCCeRCURtCRRCCCtRC 例7 如圖所示的RLC電路中串接直流電源E, 求回路中電流i(t)。)(ddd)(1,dd)(),(0titLuttiCutuCtitRiuEuuuLtCCRLRC 即即其其中中Ei(t)KRCL根據(jù)基爾霍夫定律, 有代入上式得如下微分方程代入上式得如下微分方程0)0()0(,)(dd)(d)(10iiEtitLtRittiCt)(111/)()()()(12122rsrsLELCsLRsLECRsLsELsRCssEsIsEsLsIsRIsICs 解得解得設(shè)設(shè) i(t)=I(s), 對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換,tLELErrLErrrrLEtirrLCLRLCLRLRrLCLRLRrLCsLRsrrtttttrtrtrtr sinhe2eeeeeee)(,1,2142,14201,211221212222