高中二年級數(shù)學(xué)雙曲線知識點(diǎn)與例題

1、高二數(shù)學(xué)雙曲線知識點(diǎn)及例題一知識點(diǎn)1 .雙曲線第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)Fi、F2的距離差的絕對值是常數(shù)(小于|FiF2|)的點(diǎn)的軌 跡叫雙曲線。這兩個定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離 |FE|叫焦距。2 .雙曲線的第二定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù) e (e>1)的點(diǎn) 的軌跡叫雙曲線。定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫雙曲 線的離心率。3 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在x軸上的：2 y2r 1 (a 0, b 0) b(2)焦點(diǎn)在y軸上的：22y x，丁 1 (a 0, b 0)a b(3)當(dāng)a=b時，x(1)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 a y

2、2 = a2或y2 x2=a2叫等軸雙曲線。注:c2=a2 + b24.雙曲線的幾何性質(zhì)：.下載可編輯2yy 1 (a 0, b 0)的幾何性質(zhì):V、F1 AA F2O1 范圍：x a,或x a<2>對稱性：圖形關(guān)于x軸、y軸，原點(diǎn)都對稱<3> 頂點(diǎn)：A (-a, 0) , A (a, 0)線段AA叫雙曲線的實(shí)軸，且1AA| =2a；線段BB2叫雙曲線的虛軸，且|B1國=2b。c4 離心率：e - (e 1) ae 越大，雙曲線的開口就越開闊。5漸近線：y = b xa26 準(zhǔn)線方程：x c5 .若雙曲線的漸近線方程為：y -xa則以這兩條直線為公共漸近線的雙曲線系方程

3、可以寫成:22 士 （0）a b【典型例題】例1.選擇題。221.若方程I 1表示雙曲線，則m的取值范圍是（）2 m m 1A. 2 m 1B. m 2或 m1C. m2且 m1D. m R2. ab 。時，方程 ax2 by2c表示雙曲線的是（A.必要但不充分條件C.充分必要條件3.設(shè) 是第二象限角，方程 x2sinA. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C. 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線224.雙曲線人匕 1上有一點(diǎn)P,169則4 598的面積為（）B.充分但不必要條件D.既不充分也不必要條件y2 sin cos表示的曲線是（）B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線FF2是雙曲線的焦點(diǎn)，且 F1PF2 一

4、,3A. 9B.6、3C.33D.9、3例2.已知：雙曲線經(jīng)過兩點(diǎn) P1 3,4v2 , P2 - , 5 ,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程4例3.已知B （-5, 0） , C （5, 0）是ABC勺兩個頂點(diǎn)，且3sinB sinC -sinA,求頂點(diǎn) A的軌跡方程。52例4. (1)求與橢圓上92 y_ 41有公共焦點(diǎn)，并且離心率為的雙曲線的標(biāo)2準(zhǔn)方程。(2)求與雙曲線2 y4 9 91有共同漸近線，且經(jīng)過點(diǎn) M 士，21的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。22例5.已知雙曲線方程二 142(1)過點(diǎn)M (1,1)的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若M為AB的中點(diǎn)，求 直線AB的方程；(2)是否存在直線l ,使點(diǎn)N 1,

5、1為直線l被雙曲線截得的弦的中點(diǎn)，2若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由22例六：1.若1 1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，那么它的半焦距 c k| 2 1k的取值范圍是()A. 1,B. (0, 2)C. 2,D. (1, 2)2 .雙曲線的兩條漸近線的夾角為60° ,則雙曲線的離心率為(A. 2B. 2C.D. 33 .圓 G: x 32y21 和圓 C2:x 32y2 9,動圓M同時與圓C及圓Q相外切，求動圓圓心 M的軌跡方程。例題答案例一：解：1.把所給方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程對照 易知：2+m與m+1應(yīng)同號即可。2m032m0或m10m10m2一m2或m1m1m 1 或 m

6、22 .若ax2 by2 c表示雙曲線，則一定有 ab 0;若ab0時，表示雙曲線0時，表示直線.二選A3 ,是第二象限角，sin 0, cos 0sin 八 0cos22.x sin y sin 原萬程化為： 1cos cos易知：x2的系數(shù)為負(fù)，y2的系數(shù)為正方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線4. 由雙曲線方程知：a=4, b = 3, c = 510設(shè)|PF1 m, |PF2 n,則 m n| 8, |F1F2| 2c由余弦定理：（2c）2 m2 n2 2mn cos32100 m n 2mn mnmn 36S F1PF2 工 mn sin 601 36 -93、222例二：解：設(shè)所求雙曲線方

7、程為Ax2 By2=1, （AB>0依題意:9A 32B 181 A 25B 1161911622所求雙曲線方程為：L 1169例三：33一 .分析：在ABC由正弦止理可把sin B sinC -sinA轉(zhuǎn)化為b c -a,結(jié)合55圖形可知頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的左支。yA11 xB -3C解：在ABC, |BC|=103由正弦止理：sinB sinC sin A5可化為：AC AB 3 BC 65頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為兩個焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的左支 又,=5, a= 3, .b=422頂點(diǎn)A的軌跡方程為 1 (x 3)916注：(1)利用正弦定理可以實(shí)

8、現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)換，這是求軌跡方程的關(guān)鍵;(2)對于滿足曲線定義的，可以直接寫出軌跡方程；(3)求軌跡要做到不重不漏，應(yīng)刪除不滿足條件的點(diǎn)。例四：解：(1)由橢圓方程知：a 3, b 2, c 茁焦點(diǎn)Fi 而，"F2芯,022設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 今 與 1a2 b2由已知條件得：ca12 G5吏22a1bi2a1th所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)解法一:M 9,2在第四象限1的漸近線為y9 -、將M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x -代入y2雙曲線的焦點(diǎn)必在x軸上設(shè)雙曲線方程為:2 匕 b2 * 4a922 a2 ab218所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:x18設(shè)所求雙曲線方程為:所求雙曲線方程為：/亡 1188

9、T = k (x 1)22k2 4k 6 0則 M x1 x2 , y1 y2222x1 x2 2k 2kZ2- 1212k22k2 2k2 4k 6例五: 解：(1)設(shè)AB的方程為：yy kx 1 kx2 y2消去y 1422221 2k2 x2 4k2 4k x設(shè)A Xi, y，B X2, y2 ,24k 4k2 口門x1 x2 2-,即1 2kk 1222又 4k2 4k 4將k 1代入02所求直線AB的方程為：x 2y 1 0(1)另解法:設(shè)A x1, y1 , B x2, y2 ,則 Mxx2yy2222A、B在雙曲線L1上4222%幺114222x2y2 12422: xx2 xx

10、22 y1、2 % N2又 x1 x22, y1y222 xx24 y1y2當(dāng)x1=x2時，直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)x x 那么y一"-Ik1xx2， "I k kabx1x222直線AB的方程為：x 2y 1 0雙曲線的一條漸近線為 y x 2又 1 立，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)0即為AB的方程N(yùn) 1,-的直線l交雙曲線于C(X3, y3), D (X4, y4)兩點(diǎn) 21314:X3X4x3X42、3、4丫3、40依題意 x3 x4,又x3 x4 2, y3 y4 1J 1 kcDX3 X4 .2 雙曲線的一條漸近線為 y x 2、21 2-,直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)一， 1 、使點(diǎn)N 1, 一為弦的中點(diǎn)的直線不存在 22y(2)假設(shè)過2X32y32X42V4例六：1 .答案：A2 .答案：A3 .分析：解決本題的關(guān)鍵是尋找動點(diǎn) M滿足的條件，對于兩圓相切，自然找 圓心距與半徑的關(guān)系。3C2解：設(shè)動圓M與圓C及圓G分別外切于點(diǎn)A和B,根據(jù)兩圓外切的充要條件知：|MC1|MC2 MAMC1MC2AC1| MA