第五節(jié) 交通流理論-統(tǒng)計分布

1、第八章第八章 交通流理論交通流理論第一節(jié) 概述什么是交通流？認(rèn)識什么是交通流？認(rèn)識交通流交通流！交通工程中把在道路上通行的人流和車流統(tǒng)稱為交通流交通工程中把在道路上通行的人流和車流統(tǒng)稱為交通流（Traffic Flow），一般指車流。），一般指車流。交通流理論交通流理論數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 物理學(xué)物理學(xué)力學(xué)力學(xué) 規(guī)劃規(guī)劃設(shè)計設(shè)計營運營運管理管理各種交通現(xiàn)象各種交通現(xiàn)象交通規(guī)律交通規(guī)律形成機理形成機理什么交通流理論？什么交通流理論？作為交通工程學(xué)作為交通工程學(xué)理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)的交通流理論是的交通流理論是運用物理學(xué)和數(shù)學(xué)的運用物理學(xué)和數(shù)學(xué)的方法方法來描述交通特性的來描述交通特性的一門邊緣科學(xué)一門邊緣科學(xué)，它用

2、分析的方法闡述，它用分析的方法闡述交交通現(xiàn)象及其機理通現(xiàn)象及其機理，使我們能更好地理解交通現(xiàn)象及其本質(zhì)，并，使我們能更好地理解交通現(xiàn)象及其本質(zhì)，并使城市道路與公路的規(guī)劃設(shè)計和營運管理發(fā)揮最大的功效。使城市道路與公路的規(guī)劃設(shè)計和營運管理發(fā)揮最大的功效。交通流理論的發(fā)展歷程交通流理論的發(fā)展歷程20世紀(jì)世紀(jì)30年代才開始發(fā)展，最早采用的是概率論方法。年代才開始發(fā)展，最早采用的是概率論方法。1933年，金蔡年，金蔡(Kinzer.J.P)論述了泊松分布應(yīng)用于交通分析的可能論述了泊松分布應(yīng)用于交通分析的可能性；性；1936年，亞當(dāng)斯年，亞當(dāng)斯(Adams.W.F)發(fā)表了數(shù)值例題；格林希發(fā)表了數(shù)值例題；格

3、林希爾茨（爾茨（Greenshields）發(fā)表了用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法建立）發(fā)表了用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法建立的數(shù)學(xué)模型，用以描述交通流量和速度的關(guān)系。的數(shù)學(xué)模型，用以描述交通流量和速度的關(guān)系。40年代，由于二戰(zhàn)的影響，交通流理論的發(fā)展不多。年代，由于二戰(zhàn)的影響，交通流理論的發(fā)展不多。50年代，隨著汽車工業(yè)和交通運輸業(yè)的迅速發(fā)展，交通量、年代，隨著汽車工業(yè)和交通運輸業(yè)的迅速發(fā)展，交通量、交通事故和交通阻塞的驟增，交通事故和交通阻塞的驟增， 交通流中車輛的獨立性越來越交通流中車輛的獨立性越來越小，采用的概率論方法越來越難以適應(yīng)，迫使理論研究者尋小，采用的概率論方法越來越難以適應(yīng)，迫使理論研究者

4、尋求新的模型，于是相繼出現(xiàn)了跟馳（求新的模型，于是相繼出現(xiàn)了跟馳（Car Following）理論、）理論、交通波（交通波（Traffic Wave Theory）理論（流體動力學(xué)模擬）和）理論（流體動力學(xué)模擬）和車輛排隊理論（車輛排隊理論（Queuing Theory）。這一時期的代表人物有）。這一時期的代表人物有Wardrop、Reuschel、Pipes、Lighthill、Whitham、Newel、Webster、Edie、Foote、Herman、Chandler等。等。交通流理論的發(fā)展歷程交通流理論的發(fā)展歷程1959年年12月，交通工程學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)方面學(xué)者月，交通工程學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)方面

5、學(xué)者100多人在底特律多人在底特律舉行首屆交通流理論國際研討會，并確定每三年召開一次。從舉行首屆交通流理論國際研討會，并確定每三年召開一次。從此，交通流理論的研究進(jìn)入了一個迅速發(fā)展的時期。此，交通流理論的研究進(jìn)入了一個迅速發(fā)展的時期。1975年丹尼爾年丹尼爾(Daniel I.G)和馬休和馬休(marthow，J.H)匯集了各方面匯集了各方面的研究成果，出版了的研究成果，出版了交通流理論交通流理論一書，較全面、系統(tǒng)地闡一書，較全面、系統(tǒng)地闡述了交通流理論的內(nèi)容及其發(fā)展。述了交通流理論的內(nèi)容及其發(fā)展。1990年美國年美國Adolf DMay出版了出版了Traffic Flow Fundament

6、als1996年，美國聯(lián)邦公路局（年，美國聯(lián)邦公路局（The Federal Highway Administration，F(xiàn)HWA）出版了）出版了Monograph on Traffic Flow Theory。主編。主編Nathan HGartner，Carroll Messer，Ajay KRathi等。涉及的內(nèi)容包括：交通流特性、人的因素、等。涉及的內(nèi)容包括：交通流特性、人的因素、車輛跟馳模型、連續(xù)流模型、宏觀交通流模型、交通影響模型、車輛跟馳模型、連續(xù)流模型、宏觀交通流模型、交通影響模型、無信號交叉口理論、信號交叉口交通流理論、交通模擬和交通無信號交叉口理論、信號交叉口交通流理論、交

7、通模擬和交通分配。分配。本章交通流理論的內(nèi)容本章交通流理論的內(nèi)容交通流的概率統(tǒng)計分布；交通流的概率統(tǒng)計分布；排隊論；排隊論；跟馳理論；跟馳理論；流體力學(xué)模擬理論；流體力學(xué)模擬理論； 第一節(jié)第一節(jié) 交通流的交通流的概率概率統(tǒng)計分布統(tǒng)計分布一、交通流統(tǒng)計分布的含義與作用一、交通流統(tǒng)計分布的含義與作用在建設(shè)或改善交通設(shè)施，確定新的交通管理方案在建設(shè)或改善交通設(shè)施，確定新的交通管理方案時，均需要預(yù)測交通流的某些具體特時，均需要預(yù)測交通流的某些具體特性，并且常性，并且常希望能用現(xiàn)有的或假設(shè)的有限數(shù)據(jù)作出預(yù)報。如希望能用現(xiàn)有的或假設(shè)的有限數(shù)據(jù)作出預(yù)報。如在信號燈配時設(shè)計時，需要預(yù)測一個信號周期到在信號燈配

8、時設(shè)計時，需要預(yù)測一個信號周期到達(dá)的車輛數(shù)；在設(shè)計行人交通管制系統(tǒng)時，要求達(dá)的車輛數(shù)；在設(shè)計行人交通管制系統(tǒng)時，要求預(yù)測大于行人穿越時間的車頭時距頻率。交通流預(yù)測大于行人穿越時間的車頭時距頻率。交通流特性的統(tǒng)計分布知識為解決這些問題提供了有效特性的統(tǒng)計分布知識為解決這些問題提供了有效的手段。的手段。車輛的到達(dá)在某種程度上具有隨機性，描述這種隨機車輛的到達(dá)在某種程度上具有隨機性，描述這種隨機性的統(tǒng)計規(guī)律有兩種方法。一種是以概率論中的性的統(tǒng)計規(guī)律有兩種方法。一種是以概率論中的離散離散型分布型分布為工具，考察在一段固定長度的時間為工具，考察在一段固定長度的時間(空間空間)內(nèi)內(nèi)到達(dá)某場所的交通數(shù)量的波

9、動性；另一種是以概率論到達(dá)某場所的交通數(shù)量的波動性；另一種是以概率論中的中的連續(xù)型分布連續(xù)型分布為工具，研究上述事件發(fā)生的時間間為工具，研究上述事件發(fā)生的時間間隔的統(tǒng)計特性，如車頭時距的概率分布。描述車速和隔的統(tǒng)計特性，如車頭時距的概率分布。描述車速和可穿越空檔這類交通特性時，也用到連續(xù)分布理論?？纱┰娇諜n這類交通特性時，也用到連續(xù)分布理論。在交通工程學(xué)中，離散型分布有時亦稱計數(shù)分布；連在交通工程學(xué)中，離散型分布有時亦稱計數(shù)分布；連續(xù)型分布根據(jù)使用場合的不同而有不同的名稱，如間續(xù)型分布根據(jù)使用場合的不同而有不同的名稱，如間隔分布、車頭時距分布、速度分布和可穿越空檔分布隔分布、車頭時距分布、速度

10、分布和可穿越空檔分布等等。等等。二、離散型分布二、離散型分布在一定的時間間隔內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)，或在一定的路段上在一定的時間間隔內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)，或在一定的路段上分布的車輛數(shù)，是所謂的隨機變數(shù)，描述這類隨機變數(shù)分布的車輛數(shù)，是所謂的隨機變數(shù)，描述這類隨機變數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律用的是離散型分布。的統(tǒng)計規(guī)律用的是離散型分布。 1 1 泊松分布泊松分布(1) 適用條件：車流密度不大，其他外界干擾因素基本適用條件：車流密度不大，其他外界干擾因素基本上不存在，即車流是隨機的。上不存在，即車流是隨機的。(2) 基本公式：基本公式：式中：式中： 在計數(shù)間隔在計數(shù)間隔 內(nèi)到達(dá)內(nèi)到達(dá) 輛車的概率；輛車的概率； 平均到達(dá)率平均

11、到達(dá)率(輛輛s)； 每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間(s)；若令若令 ，則，則 為在計數(shù)間隔為在計數(shù)間隔 內(nèi)平均到達(dá)的車輛內(nèi)平均到達(dá)的車輛數(shù)，數(shù)， 又稱為泊松分布的參數(shù)。又稱為泊松分布的參數(shù)。 tkkektP!)(kPtkmt tmmt復(fù)習(xí)波松分布復(fù)習(xí)波松分布ekkxPnnnknnknnnkknnnnnnknknPnkekkxPnpnkppCkxPPknnknkknkknkkknnnknnknknnk!)(lim)1 ()1 ()11 ()21 ()11 (1!)1 ()1 ()(!)1()2)(1()1 ()()!( !,2, 1,!)()(lim0,2, 1,)1 ()(，為常

12、數(shù)，則有設(shè)波松定理e112222211122111111110222211001122100)()!1()()!2()()!1()()!1()(1()!1()(1) 1()!1()(!)()()()()!1()(!)()(21,1) 1(,! 0, 2 , 1,!)()()(1)(:0,!)(xEDkekekekkekkekkeekkxExExEDeekeekkkPxEMPkPPkekkPekPeePnkekkxPxxekkxPPkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk、均值和方差有則得，則由若、遞推公式性質(zhì)：，則稱波松分布定義：若nlmnkmnnkmnkmnkkmmmmmktknt

13、knkemnxlPnlemkxPkxPkemkxPkemkxPkmmDmMPkmPPkmekkmPekmPeemPnkekmektkxPektkxPPii0ii0ii10ii112210! i)()(! i)(1)(1)(! i)()(! i)()(,21,1) 1(,! 0!, 2 , 1,!)(!)()(10,!)()(輛車的概率：但小于到達(dá)數(shù)至少為輛車的概率：到達(dá)數(shù)大于輛車的概率：到達(dá)數(shù)小于或等于輛車的概率：到達(dá)數(shù)小于列概率值：為已知時，還可計算下當(dāng)、均值和方差有則得由、遞推公式的性質(zhì)：對于交通流中波松分布例題例題1、某交叉口信號周期長為、某交叉口信號周期長為90s，某相位的有效綠燈時間

14、為，某相位的有效綠燈時間為45s，在有效綠燈時間內(nèi)排隊車輛以，在有效綠燈時間內(nèi)排隊車輛以1200輛輛/h的流量通過交的流量通過交叉口。假設(shè)信號交叉口上游車輛到達(dá)率為叉口。假設(shè)信號交叉口上游車輛到達(dá)率為400輛輛/h，服從泊，服從泊松分布。求：松分布。求：（1）一個周期內(nèi)到達(dá)車輛不超過）一個周期內(nèi)到達(dá)車輛不超過10輛的概率；輛的概率；（2）求到達(dá)車輛不致兩次排隊的周期最大百分率。）求到達(dá)車輛不致兩次排隊的周期最大百分率。2、設(shè)有、設(shè)有30輛車隨意分布在輛車隨意分布在6km長的道路上，試求其中任意長的道路上，試求其中任意500m長的一段，至少有長的一段，至少有4輛車的概率。輛車的概率。8488.

15、0)4(1)4(44 1512. 0)4(4 0892. 036 0446. 026 0149. 016 10025. 0! 06!6 ! 6輛6m輛/0004/60，400m 分布上的分布服從在隔，為計算車輛數(shù)的空間間理400：輛車以上的概率。4輛及4路段上有400m輛車,60長道路上隨機分布4km 1例30ii23120116006PPPPPPPPPPPkmPePekPekmPmtmtmkkkkmkk輛以上的概率為輛及則輛車的概率為不足得由遞推公式則得由則的泊松分布，此分布服從，泊松空間則車輛解可以將解求任意、。為排隊的周期所占百分率到達(dá)車輛不致發(fā)生兩次輛車的概率為不足，得由遞推公式得輛，

16、則由數(shù)為周期內(nèi)能夠到達(dá)的車輛中，上游車輛一個信號隊。泊松叉口，就要發(fā)生二次排燈時間內(nèi)都不能通過交輛車在該有效綠，則后面的，車輛的排隊長度大于大于內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)，或者說如果周期輛車則不能通過交叉口輛，隨后的第車輛數(shù)為個周期內(nèi)能通過的最大燈時間內(nèi)通過，所以一由于車流只能在有效綠解的最大百分率。致兩次排隊的周期能占使到達(dá)車輛不，且服從波松分布，求輛輛的到達(dá)率設(shè)信號燈交叉口上游車車輛要停車排隊。有效綠燈時間外到達(dá)的的流量通過交叉口，在輛的車流以隊，在有效綠燈時間內(nèi)排，有效綠燈時間某信號燈交叉口的周期、%71087 . 0) 11(2111254. 011/9 . 9 25051 . 010/9 . 9

17、 26311 . 09/9 . 9 11483. 08/9 . 9 09279. 07/9 . 9 06561. 06/9 . 9 03976. 05/9 . 9 02008. 04/9 . 9 00811. 03/9 . 9 00246. 02/9 . 9 000497. 09 . 9 ) 1/(,00005. 0! 0/9 . 9 !9 . 99 . 93600/36997分布11N1111N12113600/90044：/h369q/h900s44sg97sC 2例110ii1011910897867564534231201109 . 909 . 9PPPPPPPPPPPPPPPPPPP

18、PPPPPkmPPePekPqCtmgsAkkkk2 2二項分布二項分布(1) 適用條件：適用條件：車輛比較擁擠、自由行駛機會不多的車流。車輛比較擁擠、自由行駛機會不多的車流。(2) 基本公式：基本公式：式中：式中： 在計數(shù)間隔在計數(shù)間隔 內(nèi)到達(dá)內(nèi)到達(dá) 輛車的概率；輛車的概率； 平均到達(dá)率平均到達(dá)率(輛輛s)； 每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間(s)；其中其中若令若令 ，則二項分布可寫成，則二項分布可寫成 稱為二項分布的參數(shù)。稱為二項分布的參數(shù)。 nkntntPknkknk, 2 , 1,)1 ()(CkPtk)!( !knknCknntp/pnkppPknkknk, 2 , 1,

19、)1 (CtkknkknnnkknkknnnniniinnknknknknknknknkknkkknkknkknkknknkknkkppCkxPkxPkppCkxPkmnpqDDnpqpnpppCnpppknknnppppknknnppknknkppkCxEMPppkknPppknkppknknppknknppCppCPP0i10i110i111k11k)1()1(10k0k1111111)1 (1)(1)()1 ()(;)()1 ()1 ()!1() 1()!1()!1()1 ()!1() 1()!1()!1()1 ()!( !)1 ()(21111)1 ()!1()!1(!)1 ()!(

20、!)1 ()1 (1輛車的概率：到達(dá)數(shù)大于輛車的概率：到達(dá)數(shù)小于列概率值：為已知時，還可計算下當(dāng)，同理可求、均值和方差則、遞推公式26. 0)25. 01 (25. 0:2, 55,25. 025%25 31/),1 ()(111)/(/1322522212212222CpnpmsDsMmDMpnpDnpMmxNsxNMmsmmnmspnpqsnpmNiiNii人違章的概率是則其中人交警隨機攔住的概率解：由題意知行人違章人違章的概率是？人，問其中攔住的行人違章，交警隨機據(jù)統(tǒng)計某交叉口有例布。樣本分布不適合二項分就表示觀測顯著大于時，若代替、代替據(jù)時，用用二項分布擬合觀測數(shù)。因此，當(dāng)有方差項分布

21、，其均值有概率論可知，對于二這里解得差樣本方差代替均值和方可用觀測的樣本均值和確定參數(shù)呢？通過觀測一組數(shù)據(jù)如何例題例題1、某交叉口最新的改善措施中，欲在引道入口設(shè)置一條、某交叉口最新的改善措施中，欲在引道入口設(shè)置一條左轉(zhuǎn)彎候車道，為此需要預(yù)測一個周期內(nèi)的左轉(zhuǎn)車輛數(shù)。左轉(zhuǎn)彎候車道，為此需要預(yù)測一個周期內(nèi)的左轉(zhuǎn)車輛數(shù)。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，來車服從二項分布，并且每個周期內(nèi)平均到經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，來車服從二項分布，并且每個周期內(nèi)平均到達(dá)達(dá)25輛車，有輛車，有25的車輛左轉(zhuǎn)，求：的車輛左轉(zhuǎn)，求：（1）求左轉(zhuǎn)車的）求左轉(zhuǎn)車的95的置信度的來車數(shù)；的置信度的來車數(shù)；（2）到達(dá)）到達(dá)5輛數(shù)中有輛數(shù)中有1輛左轉(zhuǎn)車的概率。輛左

22、轉(zhuǎn)車的概率。三、連續(xù)型分布三、連續(xù)型分布車流到達(dá)的統(tǒng)計規(guī)律除了可以用計數(shù)分布來描述外，還可用車流到達(dá)的統(tǒng)計規(guī)律除了可以用計數(shù)分布來描述外，還可用車頭時距分布來描述，這種分布車頭時距分布來描述，這種分布屬于連續(xù)型分布。屬于連續(xù)型分布。1負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布(1) 適用條件：適用條件：車頭時距到達(dá)是隨機的、有充分的超車機會的車頭時距到達(dá)是隨機的、有充分的超車機會的單列車流和密度不大的多列車流的情況。或者說車輛的到達(dá)單列車流和密度不大的多列車流的情況?；蛘哒f車輛的到達(dá)符合波松分布，則其車頭時距分布就是負(fù)指數(shù)分布。符合波松分布，則其車頭時距分布就是負(fù)指數(shù)分布。(2) 基本公式：基本公式：式中：式中：

23、到達(dá)車頭時距到達(dá)車頭時距 大于大于 秒的概率；秒的概率； 車流平均到達(dá)率車流平均到達(dá)率(輛輛s)； 負(fù)指數(shù)分布的基本公式可以用泊松分布公式推導(dǎo)出來。設(shè)車負(fù)指數(shù)分布的基本公式可以用泊松分布公式推導(dǎo)出來。設(shè)車流對于任意間隔時間流對于任意間隔時間 的到達(dá)服從泊松分布，則對任意時間的到達(dá)服從泊松分布，則對任意時間 內(nèi)如果無車輛到達(dá)，就是上一次車到達(dá)至下一次車輛到達(dá)之內(nèi)如果無車輛到達(dá)，就是上一次車到達(dá)至下一次車輛到達(dá)之間的時間差大于間的時間差大于 ，即，即htethP )()(thPtttt36000)(QtteethPP。的參數(shù)，即可算出負(fù)指數(shù)分布代替、樣本的方差代替用樣本的均值負(fù)指數(shù)的方差則平均車頭

24、時距有：為負(fù)指數(shù)分布的均值，若令的概率為車頭時距小于DsMmDQMMethPtt22/1/1/36001)(例題例題有一個無信號交叉口，主要道路上的車流量為有一個無信號交叉口，主要道路上的車流量為Q輛輛/h，次，次要道路上車輛橫穿主要道路車流所需要的時間為要道路上車輛橫穿主要道路車流所需要的時間為a秒，假秒，假設(shè)主要道路上車頭時距服從負(fù)指數(shù)分布，求次要道路上車設(shè)主要道路上車頭時距服從負(fù)指數(shù)分布，求次要道路上車輛的平均等待時間。輛的平均等待時間。2負(fù)指數(shù)分布在次要道路車流通行能力研究中的應(yīng)用負(fù)指數(shù)分布在次要道路車流通行能力研究中的應(yīng)用?58/9004)1(1QQQ/hQ/hQ/為次次次 穿越交通

25、量無窮多車輛等待時的可交通量以及次要道路有車等待時的可穿越隔時次要道路僅有一輛，求每次出現(xiàn)可穿越間為，連續(xù)穿越的車輛間隔路的允許穿越間隔為隨機到達(dá)，次路穿越主，車輛輛量為叉口，主交通方向交通、一主次相交的十字交例布可求得），則可利用負(fù)指數(shù)分（輛橫穿主干道的交通量，為次干道），輛為主干道的交通量，（），平均到達(dá)率，（輛為主干道上車輛），（的最小車頭時距時間，上橫穿車輛連續(xù)通過時為次要道路），（道所要求的最小間隙，次要道路車輛橫穿主干設(shè)主主ssheeesststtntt主干道主干道t秒秒次干道次干道httkkektp!)(tethp )(到達(dá)到達(dá)k k輛車（輛車（主路主路）的概率：）的概率：主路主路車輛到達(dá)的車頭時距大于車輛到達(dá)的車頭時距大于 t t 秒秒（即即t t時間內(nèi)無車通過時間內(nèi)無車通過）的概率：）的概率：tethpthp1)(1)(則則 當(dāng)主路車輛到達(dá)車頭時距當(dāng)主路車輛到達(dá)車頭時距h h小于小于t t時，時