第三章 階躍與漸變折射率光纖的波動(dòng)理論分析—4

1、第3章 階躍與漸變折射率光纖的波動(dòng)理論分析 在第2章中運(yùn)用光線理論與方法分析了階躍光纖與漸變折射率光纖的傳播規(guī)律與特性。但應(yīng)指出，光線光學(xué)的分析研究方法是在 條件下的一種近似處理方法，具有一定的局限性:它只適用于階躍多模光纖，對(duì)漸變折射率多模光纖則近似程度較差，而對(duì)單模光纖則完全不適用;尤其是無(wú)法進(jìn)行多模光纖中的模式理論分析，獲得有關(guān)模的概念。本章將運(yùn)用波動(dòng)理論即求解波動(dòng)方程的方法，對(duì)階躍多模光纖進(jìn)行系統(tǒng)的模式理論分析。0這種分析方法不僅適用于階躍多模光纖，而且適用于單模光纖。討論中將首先從麥克斯韋、亥姆霍茲方程出發(fā)，導(dǎo)出圓柱坐標(biāo)系的階躍光纖(均勻波導(dǎo))波動(dòng)方程，進(jìn)而在設(shè)定物理模型條件下，通過(guò)

2、對(duì)纖芯與包層物理約束條件的具體分析，利用邊界條件求解波動(dòng)方程，獲得與各特定本征值相聯(lián)系的本征方程，進(jìn)而進(jìn)行階躍光纖中存在的各種模式及其截止條件的系統(tǒng)分析。這種嚴(yán)格的求解方法與過(guò)程稱為矢量解法。通過(guò)這一典型實(shí)例的分析，理解波動(dòng)分析方法的精髓與過(guò)程;在實(shí)際分析中，由于實(shí)用光通信等應(yīng)用中的階躍光纖，其芯與包層的折射率差很小(通常 )，即所謂“弱波導(dǎo)光纖”(weakly guiding fiber)，因而可做適當(dāng)近似，從而使求解與分析大為簡(jiǎn)化。這就是標(biāo)量近似解法，所得到的 模稱為標(biāo)量模。1mLP 應(yīng)該指出的是，在用波動(dòng)理論分析階躍光纖時(shí)，最重要也最基本的概念就是傳導(dǎo)模或簡(jiǎn)稱為“?！?。所謂“?！蹦耸侵?，

3、在求解表征光纖中光波的波動(dòng)方程時(shí)，對(duì)應(yīng)于能滿足邊界條件的各本征傳輸常數(shù)(或稱為“本征值”)的“本征解”所得到的波動(dòng)電磁場(chǎng)分布狀態(tài);而光纖中的場(chǎng)解則是各模式場(chǎng)的疊加。 在對(duì)階躍折射率光纖進(jìn)行深人波動(dòng)理論分析的基礎(chǔ)上，本章還對(duì)漸變折射率光纖進(jìn)行了簡(jiǎn)要的標(biāo)量近似理論分析，建立了傳輸常數(shù)的本征方程，并給出了傳輸模式的計(jì)算公式。3.1.6單模光纖 20世紀(jì)80年代以后，隨著光通信對(duì)高速率、遠(yuǎn)距離信息傳輸應(yīng)用的迫切需求，階躍光纖從短工作波長(zhǎng)(0. 85 )的多模光纖，發(fā)展到爾后的長(zhǎng)工作波長(zhǎng)(1. 31 1. 55 )單模光纖。如今，單模光纖已成為所有實(shí)際光通信系統(tǒng)的最佳選擇;此外，單模光纖在各種高靈敏度光

4、纖傳感器以及各種激光放大器件中也有重要應(yīng)用。單模光纖之所以在現(xiàn)今信息傳輸系統(tǒng)中處于主導(dǎo)地位，是由于單模光纖避免了多模光纖嚴(yán)重的本征性模間(多模)色散、模噪聲以及傳輸中的其他效應(yīng)，從而使單模光纖中信號(hào)傳輸?shù)乃俣扰c容量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于多模光纖。mm 1.單模光纖的存在條件與設(shè)計(jì)曲線 單模光纖是在給定工作波長(zhǎng)條件下，只能傳輸基模 (或標(biāo)量模 )單一模式，而其他高階模均截止的光纖。 根據(jù)前述對(duì)階躍型多模光纖的模式分析，對(duì)給定的工作波長(zhǎng) ，通過(guò)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)選擇階躍光纖的物理結(jié)構(gòu)參數(shù)(芯徑2a，纖芯與包層折射率 , )，達(dá)到調(diào)整光纖的波導(dǎo)常數(shù)(歸一化頻率)V值，使之滿足如下條件:11HE01LP1n2n221212

5、2022.405aaVnnn （3.173）從而實(shí)現(xiàn)光纖中只有基模 (標(biāo)量模 模)單一模式傳輸，而鄰近的高次模 模、 模、 模(標(biāo)量模 模)均截止。因此稱(3. 173)式為單模光纖的單模傳輸條件。但是由于V值選取的不同，將影響光纖芯、包層中所占的光功率比不同，如V=2. 405，芯、包功率比為0. 84 : 0. 16; V=1時(shí)，芯包功率比為0.3 : 0.7。即V值越小，轉(zhuǎn)移到包層中的光功率越多。因而實(shí)際的單模光纖其歸一化工作頻率的選擇一般在2.02. 35。對(duì)滿足弱波導(dǎo)條件的(3. 173)式稍加變形，可以得到如下單模光纖的設(shè)計(jì)方程:11HE01LP01TE01TM21HE11LP18

6、.886anV（3.174）則在滿足(3. 173)式條件下，根據(jù)(3. 174)式，可以畫出調(diào)控光纖相對(duì)折射率差與芯徑a之間關(guān)系的單模光纖設(shè)計(jì)曲線，如圖3. 20所示。 例如，要求設(shè)計(jì)滿足如下要求的單模光纖:V=2. 25, =1.3 , =1. 450。則根據(jù)(3. 174)式可以畫出圖示的單模光纖設(shè)計(jì)曲線。當(dāng)調(diào)整= 0. 002時(shí)，則相應(yīng)的芯半徑a 5 ;若調(diào)整=0. 003，則芯半徑為a 4.2 。m1nmm將(3. 173)式變換，可以導(dǎo)出特定波長(zhǎng) 條件下單模光纖最大芯徑 的限制條件:mD22122.4052mmDann（3.175）上式表明，階躍光纖必須芯徑足夠小，才能實(shí)現(xiàn)基模單一

7、模式的傳輸。 在單模光纖的設(shè)計(jì)中，需要重點(diǎn)考慮的因索是光纖芯徑。為了避免由于制造誤差而導(dǎo)致光纖中傳輸模式的偏差，確保單模傳輸，通常單模光纖芯徑的設(shè)計(jì)值要比由(3. 175 )式?jīng)Q定的最大芯徑極限值 要小一些；mD但是，芯徑過(guò)小對(duì)與光源禍合及光纖之間的連接禍合不利。另外，相對(duì)折射率差小對(duì)實(shí)現(xiàn)單模傳輸條件有利，但過(guò)小對(duì)制造工藝的嚴(yán)格控制帶來(lái)困難。實(shí)際單模光纖的設(shè)計(jì)要在各相互制約因索中找到總體有利的平衡方案。一般單模光纖設(shè)計(jì)中，選取相對(duì)折射率差比0.5%略小，最廣泛使用的值為0.36%，完全低于一般所說(shuō)弱波導(dǎo)條件的1%;理論上纖芯直徑的取值范圍為2a=410 ，即為所傳輸波長(zhǎng)的數(shù)倍。m圖圖3. 20

8、單模光纖的設(shè)計(jì)曲線單模光纖的設(shè)計(jì)曲線11HE實(shí)際應(yīng)用于1. 31 和1. 55 兩種工作波長(zhǎng)電信系統(tǒng)中的單模光纖，其纖芯直徑一般為8 9 ;單模光纖包層結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，應(yīng)保證在光纖包層的外徑處，包層中漸逝場(chǎng)的能量趨于零。一般包層外直徑標(biāo)準(zhǔn)125 ，內(nèi)包層直徑為10100 ，視具體結(jié)構(gòu)類型而異。mmmmm2.單模光纖的主要特征參數(shù)(1)截止波長(zhǎng) 所謂截止波長(zhǎng)，一般系指纖芯中 模(或精確模 、 、 模)截止，而只存在 模(精確模為 基模)時(shí)的臨界波長(zhǎng) 。11LP01TE01TM21HE01LPc由(3. 173)式，要求保持單模工作條件應(yīng)為221212222.405aaVnnn 因而要求相應(yīng)的工作波長(zhǎng)

9、221212222.4052.405a nnan由此得到截止波長(zhǎng) 為c221212222.4052.405ca nnan（3.176）11LP光纖在使用中應(yīng)注意，選用光源的工作波長(zhǎng) 必須大于光纖設(shè)計(jì)所決定的截止波長(zhǎng) 。c若不滿足截止波長(zhǎng)的條件，則單模光纖可能變?yōu)閭鬏敹嗄?。例如，某階躍折射率光纖其芯徑2a=9 ，芯折射率 =1. 46，相對(duì)折射率差=0.25%。若按 模截止的歸一化截止頻率 =2. 405，則可計(jì)算得到截止波長(zhǎng) =1. 21 。因此當(dāng)該光纖通信系統(tǒng)選用光源的工作波長(zhǎng)為1. 31 或1. 55 時(shí)，該光纖處于單模工作狀態(tài);但若使用光源的工作波長(zhǎng)為0.85 ，則該光纖可能出現(xiàn)兩個(gè)模式

10、( , )，處于多模工作狀態(tài)，從而失去單模特征。m1ncVcmmmm01LP11LP因?yàn)檫@種額外增加的模式，可能會(huì)干擾基模并相互影響，從而引起系統(tǒng)性能下降。普通階躍折射率單模光纖(例如工程中最常用的G652單模光纖)通常工作于1. 31 波段，對(duì)其截止波長(zhǎng)范圍，按ITU-T的G652建議，規(guī)定為 。m1.101.28cmm (2)模場(chǎng)直徑 對(duì)階躍多模光纖與單模光纖的研究均表明，光在纖芯與包層界面發(fā)生全反射時(shí)，尚有少部分光能量滲人到包層中，這些溢出的光能量會(huì)在包層中的某一個(gè)深度處反射回纖芯，即可視為芯中電磁場(chǎng)在徑向有延伸。這種情況在單模光纖中更為明顯，即模場(chǎng)直徑比纖芯直徑略大。因此，實(shí)際上通常用

11、“模場(chǎng)直徑”來(lái)表示單模光纖的特征，它是單模光纖的一個(gè)重要參量。圖3. 21給出了單模光纖模場(chǎng)直徑的示意圖。 對(duì)階躍折射率單模光纖，如工作波長(zhǎng) 距截止波長(zhǎng) 不太遠(yuǎn)，則基模場(chǎng)強(qiáng)在光纖橫截面上的分布可以近似視為高斯分布，如圖3. 22所示。它表明，光纖傳輸單模時(shí)，光纖軸上的光強(qiáng)度最大，并向包層遞減。c若設(shè)纖芯中央的幅值與場(chǎng)強(qiáng)為峰值強(qiáng)度，則可定義“模場(chǎng)直徑”為:當(dāng)模場(chǎng)的幅值下降到峰值的1/e(即0. 37)、相應(yīng)的光強(qiáng)度下降到模場(chǎng)峰值強(qiáng)度的 (即0.135)時(shí)，纖芯場(chǎng)分布曲線對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)之間的寬度(2 )為“模場(chǎng)直徑”，并以MFD表示。模場(chǎng)直徑2 。亦被確認(rèn)為單模光纖的光斑尺寸。目前，國(guó)際市場(chǎng)上已將MFD

12、作為單模光纖商品的一個(gè)重要指標(biāo)列出。21 e0a0a圖圖3. 21單模光纖的模場(chǎng)直徑單模光纖的模場(chǎng)直徑圖圖3. 22單模光纖中的基模場(chǎng)分布單模光纖中的基模場(chǎng)分布(MFD是模場(chǎng)直徑是模場(chǎng)直徑) 模場(chǎng)直徑與波長(zhǎng)有關(guān)，隨波長(zhǎng)的增加而增大。階躍折射率單模光纖的模場(chǎng)直徑通常比芯徑大10%15%。例如一種使用較廣泛的單模光纖的芯徑為8. 2 ，它在1 310 nm處的模場(chǎng)直徑為9. 2 ，數(shù)值孔徑為0.14;而在1 550 nm處的模場(chǎng)直徑則為10. 4 。 (3)衰減系數(shù) 單模光纖的衰減系數(shù)在1. 31 處約為0.35 dB/km，而在1.55 處降至0.2dB/km以下。mmmmm3.單模光纖的折射率

13、分布與結(jié)構(gòu)類型 理論上單模光纖的折射率分布為簡(jiǎn)單階躍型，實(shí)際上為改善單模光纖的性能及制造的合理，單模光纖的折射率分布常為多層結(jié)構(gòu)，其剖面類型有多種。圖3. 23所示為常規(guī)型單模光纖的兩種結(jié)構(gòu)。為了降低光纖內(nèi)基模的損耗，獲得芯半徑較大的單模光纖，通常在纖芯外加一層高純度、低損耗的內(nèi)包層，其折射率為n2;內(nèi)包層之外是外包層，其折射率為n3。內(nèi)外包層共同構(gòu)成雙包層結(jié)構(gòu)，外包層折射率可能高于也可能低于內(nèi)包層。常規(guī)型單模光纖的零色散波長(zhǎng)在1310 nm附(13001322nm)在該波長(zhǎng)上有較低的損耗和很大的帶寬;但在1 550 nm處有一較高的正色散值。ITU-T建議的6652光纖即屬常規(guī)型單模光纖，是

14、旱期大量敷設(shè)的實(shí)用化光纖。在常規(guī)的單模光纖中，標(biāo)準(zhǔn)階躍型單模光纖的包層為純石英，纖芯摻鍺(GEO2)用以提高折射率n1;圖3.23(a)為上凸形雙包層結(jié)構(gòu)，其內(nèi)包層折射率n2大于外包層折射率n3,損耗略大;圖3.23(b)為下凹形雙包層結(jié)構(gòu)，其內(nèi)包層摻氟，內(nèi)外包層折射率差為負(fù)值，因而纖芯摻較少的鍺即可獲得較大的折射率差，從而獲得較小的損耗、較大的芯徑與較好的性能。雖然常規(guī)型的階躍折射率單模光纖在1. 31 m波長(zhǎng)處有最小色散值(即零色散)，這是由于單模光纖的材料色散與波導(dǎo)色散在該波長(zhǎng)附近恰相抵消，如圖3. 22所示 圖圖 3.23 幾種單模光纖折射率分布結(jié)構(gòu)幾種單模光纖折射率分布結(jié)構(gòu)但是其性能

15、并不理想。這是因?yàn)?，雖然最小色散值在1. 31 m波長(zhǎng)處，但最小衰減值卻在1. 55 m波長(zhǎng)處;且性能最好的光放大器如摻餌光纖放大器，其工作波長(zhǎng)范圍也是1.531.61 m，但這一波段單模光纖的光譜色散值卻非常大。為此人們考慮設(shè)計(jì)纖芯包層更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，以調(diào)整波導(dǎo)色散，使最低色散點(diǎn)移至1. 55 m波段。圍繞著調(diào)整色散先后出現(xiàn)了一些優(yōu)化的單模光纖結(jié)構(gòu)，如零色散位移光纖(G. 653光纖)、非零色散位移光纖NZDSF(G. 655光纖)、小色散斜率光纖RDSF、大有效面積NZ-DSF光纖以及色散補(bǔ)償光纖等，具體內(nèi)容將在第5章展開。總之，單模光纖由于基本上消除了模式色散，又可以在適當(dāng)波段以波導(dǎo)色散

16、抵消材料色散，從而獲得最小色散值，因而有相當(dāng)大的帶寬。單模光纖的另外一個(gè)十分重要的特性即偏振特性，亦將在第生章光纖特性中介紹。圖圖3.24 常規(guī)最小色散單模光纖的構(gòu)成原理圖常規(guī)最小色散單模光纖的構(gòu)成原理圖3. 2漸變折射率光纖的標(biāo)量近似理論分析作為非均勻光波導(dǎo)的漸變折射率光纖，其光線光學(xué)的分析方法相對(duì)較簡(jiǎn)單且實(shí)用，內(nèi)容已如第2章第2節(jié)所述，其波動(dòng)光學(xué)的求解過(guò)程則相當(dāng)復(fù)雜。漸變折射率光纖的矢量理論分析(如微擾法、數(shù)值積分法、多層分割法等)雖然嚴(yán)密，但用它來(lái)求解光波場(chǎng)十分困難。為此，需采用求解標(biāo)量波動(dòng)方程的近似方法，諸如WKBJ法、變分法、級(jí)數(shù)展開法、多層分割法等。其中，WKBJ法是Wentzel

17、,Kramers,Brillouin,Jeffregs等提出的一種應(yīng)用量子力學(xué)解薛定愕方程的求解標(biāo)量波動(dòng)方程近似方法。它的優(yōu)點(diǎn)是適合于求解漸變折射率多模光纖的傳導(dǎo)模問(wèn)題，并可提供對(duì)傳導(dǎo)模的深人理解，便于理解其與物理圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系。它不限于平方律分布，且能得出較簡(jiǎn)單有用的計(jì)算公式。其缺點(diǎn)是，對(duì)低次模和鄰近截止的模式計(jì)算不準(zhǔn)。3. 2.1漸變折射率光纖的折射率分布 漸變折射率光纖的折射率分布規(guī)律可以用冪函數(shù)表示。從有利于最佳設(shè)計(jì)考慮，一般采用如下折射率與:。成比例的表示形式，通常稱為a次方分布光纖。對(duì)于不同的值纖芯的折射率分布如圖3. 25所示。這種方法適用于能承載多個(gè)模式的漸變折射率多模光纖，且

18、對(duì)折射率分布在與光波長(zhǎng)可比擬的距離內(nèi)變化非常微小的光纖具有較高的精確度。)()(21 )()(21222ararnarnrn式中，為纖芯軸上與包層的相對(duì)折射率差，為冪指數(shù)，也是折射率分布函數(shù)曲線的形狀參量。若 表示階躍折射率光纖; 表示拋物線分布(平方律分布)型漸變折射率光纖; =1表示三角形分布漸變折射率光纖。此外，圖中還畫出了 a=4 ,10的漸變折射率分布光纖。上述討論表明，這種表示方法十分靈活、實(shí)用。但就漸變折射率多模光纖而言，在通信系統(tǒng)中較廣泛使用的是平方律與雙曲正割分布的漸變折射率光纖。在以下討論漸變折射率光纖的標(biāo)量分析方法中，亦是以平方律分布為代表進(jìn)行分析。圖圖3. 25 a次方

19、分布多模光纖的折射率分布次方分布多模光纖的折射率分布3. 2.2漸變折射率多模光纖的標(biāo)量近似分析 1. WKBJ分析法在本章3. 1節(jié)曾得到以符號(hào)形式表示的標(biāo)量波動(dòng)方程(3. 55)式:0)(11222222krrrr對(duì)平方律分布的漸變折射率光纖，可以給出波動(dòng)理論的標(biāo)量近似解。在弱波導(dǎo)近似（ 1 ）和弱梯度近似( 充分小)條件下，漸變折射率光纖中LP模的概念依然有效。假定LP模為二方向偏振光的導(dǎo)波模，在弱波導(dǎo)近似條件下，電場(chǎng)與磁場(chǎng)/近似處于橫截面內(nèi)變化，因而可僅考慮電場(chǎng)的三分量，這種只考慮橫向電場(chǎng)(或磁場(chǎng))的近似稱為TEM波近似，可以寫出其圓柱坐標(biāo)的波動(dòng)方程形式為0)(1122202222xx

20、xxErnkErrErrE（3.178）)()(),(rRrEx（3.179）利用變量分離法，設(shè)0)cos()(0n其中 方向的解可以簡(jiǎn)單表示為式中n為L(zhǎng)P模 方向的模階數(shù)， 為初始常數(shù)。半徑r方向的變量R (r)的方程可以表示為:0)()()(1)(22222022rRrnrnkrrRrrrR對(duì)于漸變折射率分布n(r)，求解上述方程是十分困難的，為使微分方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化，可采取變量置換，令3.1813.1803.182)()()(1)(rRrrFrFrrR或0)()()(22rFrUEdrrFd3.1860)(41)()(22222022rFrnrnkdrrFd（3.183）在上式中，若令22

21、120)(rnkE2222021204/1)()(rnrnknkrU式中，n,為纖芯中心部分的折射率，式中出現(xiàn)的 項(xiàng)只是為了使它們能同以后的討論形式一致而附加上去的。這樣(3. 183)式即可改寫為 在U(r)0的r范圍內(nèi)，即r1與r2之間，F(xiàn)(r)成為對(duì)于r的振蕩函數(shù)，即為振蕩解; 在U(r)E即E-U(r)0的r范圍，即r1與r2范圍外，F(xiàn)(r)成為對(duì)r做指數(shù)變化的函數(shù)即為衰減解。圖3.26 WKBJ法的分析說(shuō)明 設(shè)漸變折射率光纖按平方律分布，函數(shù)U(r)如圖3.26(a)、(b)、(c)三者的上半部所示，E值是隨各個(gè)模的傳播常數(shù)R值而有所不同常數(shù)值。若將E值疊加在U(r)的圖上，則可根據(jù)

22、U(r)與E的大小關(guān)系，區(qū)分為圖3.26(a),(b),(c)三種情況。其中，與上半圖分別對(duì)應(yīng)的方程解F(r)的函數(shù)曲線的大致規(guī)律，如圖中下半部所示?？梢钥闯觯习氩繄D中繪有斜線的陰影區(qū)范圍內(nèi)出現(xiàn)振蕩解，且根據(jù)(3. 186)式可推斷出，斜線區(qū)越深振蕩解的空間頻率也越高。采用量子力學(xué)的類比方法，可以給出漸變折射率光纖中三種模形成的物理分析。 圖3.26 (a)表示傳導(dǎo)模。其參數(shù)E值范圍為0EE，因而電磁場(chǎng)按指數(shù)函數(shù)衰減，使電磁場(chǎng)能量被封閉在纖芯內(nèi)沿Z方向傳輸。這種電磁場(chǎng)狀態(tài)即被稱為“傳導(dǎo)模”。 圖3.26(b)表示泄漏模。其參數(shù)E值的范圍為E U() 對(duì)應(yīng)于傳輸常數(shù)范圍k0n2k0n1 此時(shí)，

23、包層內(nèi)電磁場(chǎng)成為振蕩解。這意味著包層中存在著傳輸方向向外溢出的電磁波能流，導(dǎo)致沿Z軸方向傳輸。2.漸變折射率光纖傳播常數(shù)的本征方程利用WKBJ法求解(3. 186)式，可以采用根據(jù)駐波場(chǎng)對(duì)場(chǎng)的相位變化要求確定本征值的簡(jiǎn)化方法。最終可以得到傳輸常數(shù)R必須滿足的如下本征方程式:),(n)(n1, 1n), 3 , 2 , 1()21(41)()(2/12222202/12121 drrnrnkdrrUErrnrr(3.187)上式即為決定第 模的傳輸常數(shù) 的本征方程式，也是WKBJ法所得到的基本公對(duì)于傳輸模數(shù)在數(shù)百以上的漸變折射率多模光纖，可以視為整階數(shù) 此時(shí)，低次模的影響可視為不大。因而，(3.

24、187)式可以取近似寫為drrnrnknrnrn2/1)()(22222021)(3.188)上式即為任意折射率分布的漸變多模光纖的近似普遍化本征方程。式中n為輻角 方向的模階數(shù)，亦即表示旋轉(zhuǎn)方向的模序號(hào);根序號(hào)產(chǎn)乃是沿半徑方向的模階數(shù)，它表征纖芯中沿半徑方向出現(xiàn)的電磁場(chǎng)變化(峰、谷)周期數(shù)。 注意，此時(shí)積分的上、下限均為整階數(shù)n的函數(shù)。利用上式研究對(duì)傳輸模數(shù)為數(shù)百以上的多模光纖，其影響不大。3.漸變折射率光纖中傳輸模式數(shù)量的計(jì)算 利用上式可以計(jì)算出漸變折射率多模光纖中傳輸?shù)目偰?shù)N為：22)22(212)(2221022120VnaaaankN(3.189)(3.191)當(dāng)時(shí)， 對(duì)應(yīng)于階躍折射率光纖，則可得