線性代數(shù)-考研筆記

1、第一章行列式性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號。推論如果行列式的兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所以的元素都乘以同一個數(shù)I,等于用數(shù)|b|乘以此行列式。第行（或者列）乘以，記作-（或心'天k）。推論行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面。第H行（或者列）提出公因子丨，記作豐亠!（或q'I；）。性質(zhì)4行列式中如果兩行（列）元素成比例，此行列式等于零。列的元素都是兩數(shù)之和，則I等于下列兩個行列式性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，例如第之和：an312(ail+1&

2、U)amfliaj；Siainana卩QinD=宅1a?2(耳巧+h1IL撫iJasni321a22fi2i+32n*SnJa«2-(也:：¥rNnl4)annan0n2且th3nn|性質(zhì)6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另-列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。ananaijan+h旳|+陽ijaijair214*l!32J4-圖aan*Cj+kciasthlil!32J«*Bdrj)(ct+kcj<=>rcj+ktj)3nl*廿ni'*舫nam社ni+艱nJdQnn定義在d階行列式，把|ij元di.所在的第i行和第列劃去后，留

3、下來的n-1階行列式叫做元一j的余子式，記作記眥=1丁*Mj,Ai”叫做Lij元劉的代數(shù)余子式。引理一個卜階行列式，如果其中第行所有元素除丨；二心I元外都為零，那么這行列式等于憶與它的代數(shù)余子式的乘積，即Li_定理3（行列式按行按列展開法則）行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即.一一一.-一一或D-aijAij+<*2iA2j+anjAnj(j-n)推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。SjiAi)+SisAja卜SinAjn-Of!Mj)和anAij+遡出刃彳+街機町-0(iHj)范德蒙德行列式11*1T%=兀1

4、旳xnxj琉n(xi-xj)4*;XS1X%1n1>J耳1克拉默法則日兇罔i*i&12掘2牝2比-I-i也：|X|：匕：X|bi=bJ=切如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即那么，方程組有唯一解xi-xj-岸*世=學(xué)其中Dj（j-L2*f山是把系數(shù)行列式矩陣b中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的十Sbj-1biS.j+日inHL8an*j-1Ebni已mj+1階行列式，即定理4如果非齊次線性方程組的系數(shù)行列式ii?-,則非齊次線性方程組一定有解，且解是唯一的。定理4|如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。定理5如果齊次線性方程組的系數(shù)行列

5、式：-L.二.'：'T；.定理如果齊次線性方程組冇非垂解，則它的系數(shù)行列式必為零第二章矩陣級其運算定義1由何X11個數(shù)“I丄-1,2,h排成的ni行|列的數(shù)表，稱為（行|列矩陣;敢11312日InA=321尅22中+flwQ以數(shù)"I為.於元的矩陣可簡記作；或"-II-矩陣杠.也記作-I行數(shù)和列數(shù)都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣。階矩陣也記作。特殊定義：同型矩陣同型矩陣，和的每一個元素都相等，就稱兩個矩陣;注意不同型的零矩陣是不同的。兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時，就稱它們是相等，；元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作特殊矩陣II階單位矩陣，簡稱單位陣。特征：主對

6、角線上的元素為|1,其他元素為0；rio01o1ot-:%I*+001,對角矩陣，特征：不在對角線上的元素都是0，記作-吩;衛(wèi)八7E0c1A=ox2000“定義2矩陣的加法設(shè)有兩個|<.矩陣C-忌和F；二卜i'，那么矩陣與#的和記作2H，規(guī)定為fin+bnais+biaBin+bi/呂創(chuàng)+址iass+b爼*呂"十ban-lli帥十bm址!；+bfurfi+蛻冃注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加法運算;矩陣加法滿足運算律（設(shè)*-矩陣）(i.)上-?L一:(ii.)(/L|D)C=A+tB+C)|定義3數(shù)與矩陣相乘a«li入購入SflOlxai

7、2：-i._hSinh陽k5.r,數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律（設(shè)乩B都是mxii矩陣，X,u為數(shù)）(i.)(ii.)(iii.)(iv.)定義4矩陣與矩陣相乘設(shè)卜-認門是一個矩陣，是一個k.J矩陣，那么規(guī)定矩陣，與矩陣的乘積是一個卜.a二矩陣C-（cjj），其中Gj二UiiGj+匚遼宜jf4g圧巧=丫一彈GbkjG二1，厶“m；j=1N，n），并把此乘積記作注意：只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘；矩陣的乘法性質(zhì)（不滿足交換律）（i.）（屈C-A（BCJ（ii.）X（AB；=（VA）B=A（AB）（iii.）.$：圧：H）A=BA+CA（iv.）士

8、一：（v.）鼻氏存憂=<.1；_f,>:1屮_0矩陣的轉(zhuǎn)置定義5把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作|汀。性質(zhì)：（i.）|刖r（ii.）擴-:訂芒?。╥ii.）£二用'吶（“）怎叩-定義6由階方陣卜的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱方陣彳的行列式，記作：kdetA；r為階方陣，為數(shù)）（i.）（ii.）（iii.）Iat|=iai=.'I“引伴隨矩陣'An1*A童Afi2定義：人AgAAnnJI底|的各個元素的代數(shù)余子式性質(zhì)：yi-i：-定義7對于階矩陣，如果有一個階矩陣，使:，則說矩陣，是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩

9、陣,簡稱逆陣。定理1若矩陣可逆，則打F":定理2若丄一0_，則矩陣卜|可逆，且其中'為矩陣的伴隨陣。是可逆矩陣的充分必要條件是1>1推論若AB=EC或甌-E),則B=A方陣的逆陣滿足下述運算規(guī)律：(i.)若氣可逆，則A，亦可逆，且(A_9_1=A)(ii.)若可逆，數(shù)廠可，則可逆，且笳1-齊(iii.)若h1為同階矩陣且均可逆，則骷亦可逆，且(AB)t二B分塊矩陣的運算法則(i.)(ii.)(iii.)(iv.)(v.)分塊矩陣的加法矩陣的加法數(shù)與分塊矩陣相乘|;|數(shù)與矩陣相乘分塊矩陣的轉(zhuǎn)置：設(shè)分塊矩陣與分塊矩陣相乘矩陣與矩陣相乘(vi.)設(shè)為|階矩陣，若的分塊矩陣只有

10、在對角線上有非零子塊，其余子塊都為非零矩陣，且在對角線上的子塊都是方陣，即Ai1*，其中Aid-1,客都是方陣，那么稱人為分塊對角矩陣I打-IaiIIaJ-IaJ克拉默法則對于個變量、"個方程的線性方程組'aiiJci+anJts+aiDxr=bj陽網(wǎng)+3222+電E-1-VWI*V19BP*anX+T去+鈿阿=bj如果它的系數(shù)行列式T：丄家:，則它有唯一解X)=D.i=-+bjtri+bRAnj)(其中j=L£，n)第三章矩陣的初等變換與線性方程組定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（i.）對調(diào)兩行（對調(diào)i,j|兩行，記作丘1忙）；（ii.）以數(shù)乘某一行中的所

11、有元素（第F|行乘，記作卜二:）;（iii.）把某一行所有元素的：寸倍加到另一行對應(yīng)的元素上去（第I行的k倍加到第|i行上，記作I-.'；把定義1中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用的記號是把“|換成“c|”）矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換如果矩陣經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣如果矩陣經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣，就稱日與行等價，記作；h,就稱同與列等價，記作'；推論方陣可逆的充分必要條件是-如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，就稱，與列等價，記作I;矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì):（i.）反身性；（ii.）對稱性若二，則左(iii.)傳遞性二f比，則；

12、行最簡形矩陣，特點：非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在的列的其他元素都為0。定理設(shè)眞手弓為|矩陣，那么:(i.A“乜的充分必要條件是存在譏階可逆矩陣；使I；(ii.A“的充分必要條件是存在階可逆矩陣；使I；(iii.-一:的充分必要條件是存在iti階可逆矩陣F及ii階可逆矩陣Q，使卩AQ=B；行變換三個應(yīng)用:(乩E;r(B,P)<=>PA=BQP二0AE)P)QF=A'1(乩B)zr(E,如AX=Bi二AB定義3在川X“矩陣.1中，任取k行與0列(kW血kW),位于這些行列交叉處的所處的位置次序而得的K行列式，稱為矩陣A的階行列式。I個元素，不改變它們在中定義4設(shè)在

13、矩陣川中有一個不等于|0的階子式此且所有f+J階子式(如果存在的話)最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩，記作二叮|;并規(guī)定零矩陣的秩序等于全等于，那么稱為矩陣，的定理2若怡，貝UII推論若可逆矩陣|P.口使陽Q=B,則R=R(B)矩陣秩的基本性質(zhì)1.0WR'ApX.JW血吋皿，n)R(AT)-RCA)；2.為非零列向量時,8.若丄.-1：,則：序-i.定理3元線性方程組(i.)無解的充分必要條件是I江叮：|(ii.)有唯一解的充分必要條件是111(iii.)有無限多解的充分必要條件是:II-I.I求解線性方程組的步驟(i.)對于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣卜化成行階梯形，從M的行階梯形

14、可同時看出卜胡和-:冊。若|：絨*成創(chuàng),則方程組無解。(ii.)若釧J匸電，則進一步把卜化成行最簡形。而對于齊次線性方程組，則把系數(shù)矩陣卜|化成行最簡形。(iii.)設(shè)R(A)二R(B)-1，把行最簡形中k個非零行的非零首元所對應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余計-上個未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于，由貢為禮的行最簡形，即可寫出含.i：i-T個參數(shù)的通解。定理4I元齊次線性方程組：f計有非零解的充分必要條件是:-<.-：!定理5線性方程組儀-上|有解的充分必要條件是:迫底LJ定理6矩陣方程I有解的充分必要條件是卜貸底d定理7設(shè)肛=C,則R©WminR(A).K第四章

15、向量組的線性相關(guān)性定義1n個有次序的數(shù)迦日小訓(xùn)所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)乳稱為第i個分量。若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組。定義2給定向量組A:2-:C：，對于任何一組實數(shù)丨丨，表達式".I鼻稱為向量組A的一個線性組合，給定向量組A:俎*越+吐和向量b,如果存在一組數(shù)Z心7使得_-'I'則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組A線性表示。也就是方程組門門，有解的秩等于定理1向量b能由向量組A:逖*址線性表示的充分必要條件是矩陣A='；.俎*也,矩陣B=一L，的秩。定義2設(shè)有兩個向量

16、組A:粗，屯+r址及B:b“b厲.若B組中的每個向量都能由向量A線性表示,則稱向量組B能由向量組A線性表示，若向量組A與向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。定理2向量組B:bi，b護訕能由向量組A:絢如*自線性表示的充分必要條件是矩陣，-i)A=".化."“詢/的秩等于矩陣(AB)=('-推論向量組A:-：-'與向量組B:5等價的充分必要條件是行.其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。定理3設(shè)向量組B：b“b1能由向量組A:呂1，迤，如線性表示，則R(bj»ba*，bjWR(aif呂J定義4給定向量組A:引，慾如如果存在不全為零的數(shù)和畑，

17、乩，使戰(zhàn):k1a2k2+1細陵-則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)。定理4向量組A:旳，鋭，電線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=(&L*也，孫)的秩小于向量個數(shù)m向量組線性無關(guān)的充分必要條件是k(A)=d。定理5B:切二為也線性相關(guān)。反言之，若向量(1)若量組A:引，慾*豈線性無關(guān)，則向量組組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān)。關(guān)。設(shè)向量組A:遡鷄fI*線性無關(guān)，而向量組B:殂*邊+T<.,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是惟一的。定義5設(shè)有向量組命，如果在見中能選出F個向量：，滿足i. 向量組-線性無關(guān)；ii. 向量組A中任意r+1個向量（如果

18、：:中有r+】個向量的話）都線性相關(guān)那么稱向量組盒是向量組|a的一個最大線性無關(guān)組（簡稱最大無關(guān)組）；最大無關(guān)組所含向量個數(shù)1稱為向量組g的秩,記作帀。只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.定理6矩陣的秩等于它的列向量的秩，也等于它的行向量的秩。推論（最大無關(guān)組的等價定義）設(shè)向量組Rd：紐迦，-觀是向量組A的一個部分組，且滿足向量組線性無關(guān)；向量組的任一向量都能由向量組卜線性表示,那么向量組便是向量組的一個最大無關(guān)組。定理，向量組b址，sn能夠由向量組豈卜遡*也,線性表示的充分必要條件是定理3若向量組1：能由向量組A線性表示，則Re£R扎性質(zhì)1若-<'-蛙洶

19、的解，則I：，L畸也是|,、-：二的解。性質(zhì)2若瓦-&為虹=o的解，k為實數(shù)，yk-上匸1也是-o的解。齊次線性方程組的解集的最大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。定理7設(shè)門衣矩陣的秩寸，則日元齊次線性方程組的解集.的秩|性質(zhì)3若-：.為：的解，則帚二i：；為對應(yīng)的齊次線性方程組V.-計的解。定義6設(shè)V為門維向量的集合，如果集合|v非空，且集合對于向量的加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱集合（V為向量空間?！胺忾]”，是指在集合¥中可以進行向量的加法及乘數(shù)兩種運算，具體說，就是：若1+b匸Y;若mH入?yún)[H,，則扁EV一般的，由向量組卜；F所生成的向量空間為L-x-h用T入十A

20、簡|A1*hmgER）定義7設(shè)丫為向量空間，如果個向量d"址+址E，且滿足i.冷衛(wèi)，-.杓線性無關(guān)；ii.P中任一向量都可由二線性表示，那么，向量組旳迤*'冷就稱為向量空間¥的一個基，】稱為向量空間M的維數(shù)，并稱M為：維向量空間。定義8如果在向量空間M中取一個基和切如，那么M中任一向量X可惟一地表示為|x-21X血+八卜兒佝，數(shù)組X，入小kr稱為向量乂在基4亂卜S*1中的坐標(biāo)。特別地，在H維向量空間卯中取單位坐標(biāo)向量組'-田.為基，則以玄“瓦少陽為分量的向量入，可表示為.一】-,可見向量在基“戟:4.中的坐標(biāo)就是該向量的分量。因此，“一叫做浙中的自然基。第五

21、章相似矩陣及二次型定義1設(shè)有1維向量f1X1riyjX-1i*y=Y2、一XuYn個實令I(lǐng)-I.-，“訂稱為I與的內(nèi)積，內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算，其結(jié)果是數(shù)，用矩陣記號表示，當(dāng)IT與都是列向量時，有|.|內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中乳樸：:為I】維向量，入為實數(shù)）：i.ii.iii.iv.v.定義2令I(lǐng).:.-.一，I!維向量卜|的長度（或范數(shù)）。I卜1=1時，稱匚為單位向量。向量的長度具有下述性質(zhì)：i.非負性當(dāng)卜嚴(yán)弓時，INI;當(dāng)時，卜川；ii.齊次性11X11=IlMIhll；iii. 三角不等式II'I.Iiv. 當(dāng)I/：'時，稱向量與正交。定理1若11維向量血，也，I,是

22、一組兩兩相交的非零向量，則d,呂二八，去線性無.:關(guān)；定義3設(shè)II維向量eiiGzt創(chuàng)是向量空間V(¥匚Rn;的一個基，如果巴，I,別兩兩正交，且都是單位向量，則稱；：'.是的一個規(guī)范正交基。1I1創(chuàng)=師乩創(chuàng)=i|b/-=|M定義4如果i階矩陣：滿足：丨那么稱pj為正交矩陣，簡稱正交陣。方陣為正交陣的充分必要條件是卜的列向量都是單位向量，且兩兩正交；定義5若卜為正交矩陣，則羅二軌稱為正交變換定義6設(shè)是階矩陣，如果和維非零列向量使關(guān)系式h-二；：成立，那么，這樣的數(shù)即稱為矩陣的特征值，非零向量稱為&的對應(yīng)于特征值h的特征向量。切：-入aJ2ain'Ax=Ax(A

23、-AEx=Og|A-XE|=0<=>趣1茜22一X32na:%:=0特征方程為:-»,陽1陽2ajn_X1IA-aEll是矩陣A的特征多項式，記作m設(shè)I階矩陣A-Qij)的特征值入二*Z不難證明(i.)和丁昭罷住”-Xr匚：曲“二心(ii.)'、'-；定理2設(shè)卜心：上乙是方陣的個特征值,依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果A1*A2'Z.各不相等，則P1舊必線性無關(guān)。定義7設(shè).都是I階矩陣，若有可逆矩陣，使"慮-工則稱瓦豆的相似矩陣，或說矩陣與相似。對.進行運算|：稱為對.進行相似變換。可逆矩陣稱為把卜空戢工的相似變換矩陣。定理3若階矩陣與匕相

24、似，則與的特征多項式相同，從而與的特征值亦相同。推論若階矩陣與對角陣f人L工相似U入1*入?yún)uAJ即是A的ii個特征值。人定理4階矩陣與對角陣相似(即能對角化)的充分必要條件是有|個線性無關(guān)的特征向量。推論如果階矩陣，的個特征值互不相等，則，與對角陣相似。定理5對稱陣的特征值為實數(shù)。定理6設(shè)也是對稱陣的兩個特征值，卜爲(wèi)胡是對應(yīng)的特征向量。若/；：,則，正交；定理7設(shè)"為n階對稱陣，則必有正交陣H,使pS-r-AP-訂，其中a是以a|的d個特征值為對角元的對角陣。推論設(shè)彳為11階對稱陣，|A是N的特征方程的L重根，則矩陣AXE的秩RCA-XE)=nk|，從而對應(yīng)特征值x恰有I個線性無關(guān)的特征向量。對稱陣對角化的步驟：(i.)求出人的全部互不相等的特征值九1，入宀s它們的重數(shù)依次為h心kjkj+bks-n(ii.)