第4章5-7 數(shù)字濾波器的原理和設計方法

1、Theory and Design Method of Digital Filter前面的一些例子已經說明了如何應用沖激不變法和雙線性變換法，根據(jù)具有選頻特性的低通模擬系統(tǒng)函數(shù)來設計無限沖激響應數(shù)字濾波器。下圖畫出了四種常見的選頻濾波器的理想頻率響應，(a)、(b)、(c)和(d)分別表示低通、高通、帶通和帶阻濾波器的理想頻率響應。設計這樣一些選頻濾波器的傳統(tǒng)方法有兩種。方法1：首先設計一個模擬原型低通濾波器，然后通過頻率變換把它變換成所需要的模擬高通、帶通或帶阻濾波器，最后再使用沖激不變法或雙線性變換法變換成相應的數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器。方法2：先設計了一個模擬原型低通濾波器，然后采用沖

2、激響應不變法或雙線性變換法將它轉換成數(shù)字原型低通濾波器，最后通過頻率變換把數(shù)字原型低通濾波器變換成所需要的數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。方法1的缺點是，由于產生混疊失真，因此不能用沖激不變法來變換成高通或帶阻濾波器。因此本節(jié)只討論方法2。在方法2中，從模擬低通濾波器到數(shù)字低通濾波器的轉換，前面已經討論過了，因此下面只討論數(shù)字低通濾波器到數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的轉換問題。我們曾經用雙線性變換將模擬系統(tǒng)函數(shù)變換成數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)，對于低通、高通、帶通和帶阻型選頻濾波器來說，也可以利用一種和雙線性變換非常相象的有理變換從低通數(shù)字濾波器變換出來。設Hl(v)是數(shù)字原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，Hd(z)是所

3、要求的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)字域的頻率變換，就是要找出一個變量代換的公式，使得所要求的系統(tǒng)函數(shù)這里用v-1是因為系統(tǒng)函數(shù)的標準形式,一般寫成z-1的形式，換到v平面即是v-1。頻率變換中的變量代換公式必須滿足下列條件：(1)F(z-1)必須是z-1的有理函數(shù)；(2)v平面的單位圓內部映射到z平面的單位圓內部。從這些條件出發(fā)，我們可推導出頻率變換的實用公式。設v平面單位圓是v=ej，z平面單位圓是z=ej，則對比等式兩邊，有如果把變量代換的有理函數(shù)F(z-1)看成是一個系統(tǒng)函數(shù)，那么該系統(tǒng)的幅頻特性曲線在任何處恒為1，這樣的函數(shù)就是全通函數(shù)。任何全通函數(shù)都可表示為其中k是F(z-1)的極點。為了滿

4、足穩(wěn)定性的要求，必須有|k|2/N時(這個條件一般能滿足)，H(0)實際上就很近似于WR()全部從-到+的面積。2、再看=c時的卷積值，這時Hd()正好與WR(-)的一半重疊，如圖4.49(d)所示，因此卷積值正好是零頻響應H(0)的一半，即H(c)/H(0)0.5，如圖4.49 (f)所示。3、當在通帶截止頻率c以內，即=c-2/N時，WR(-)的整個主瓣都在Hd() 的通帶內，如圖4.49(d)所示，因此卷積結果有最大值，這時頻率響應出現(xiàn)正肩峰。4、對于=c-2/N、WR(-)的主瓣全部在Hd()的通帶外，如圖4.49(e)所示，在通帶內旁瓣負的面積大于正的面積，因此卷積值達到最大負值，H

5、()在這里出現(xiàn)負肩峰。5、當進一步增大時，卷積值也將隨著WR(-)的旁瓣在通帶內的面積的變化而變化，這樣就造成H()以零值為中心的上下起伏波動。6、當由-2/N向通帶內減小時，WR(-)的右旁瓣進入Hd()的通帶，這時，卷積值H()在WR(-)的主瓣和左右旁瓣的共同作用下將以H(0)為中心上下波動。從以上分析及圖4.49(f)可以看出，理想低通濾波器經加窗處理后，主要受到加窗處理兩方面的影響。第一，使濾波器的理想頻率特性在不連續(xù)點處邊沿加寬，出現(xiàn)過渡帶，這主要是由窗函數(shù)頻譜的主瓣引起的，過渡帶的寬度取決于窗函數(shù)主瓣的寬度，矩形窗對應的過渡帶的寬度=4/N。一般來說， 過渡帶的寬度與N成反比；第

6、二，濾波器在通帶和阻帶內產生波紋，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象，主要是由窗函數(shù)的頻譜的旁瓣造成的。根據(jù)以上討論，可知在一般情況下，對窗函數(shù)的要求有二：旁瓣高度盡可能小，即盡可能讓能量集中于主瓣，以減少通帶和阻帶中的波紋；主瓣寬度盡量窄，以獲得盡可能陡的過渡帶。但是，這兩個要求是互相矛盾的，不可能同時滿足。具體來說，降低旁瓣高度必然會使主瓣變寬；反之，壓窄主瓣寬度，不可避免地會使旁瓣變高。往往是增加主瓣寬度以換取對旁瓣的抑制。以矩形窗為例，它的頻譜為可見，改變N，只能改變窗譜的主瓣寬度、改變坐標的比例以及改變WR()的絕對值大小，但是不能改變主瓣與旁瓣的相對比例(當然N太小時，會影響旁瓣

7、的相對值)，這個相對比例是由sinx/x決定的，或者說只由窗函數(shù)的形狀來決定的。因而，當截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬(4/N)，而不會改變肩峰的相對值。用矩形窗截取無限長序列hd(n)來得到有限長序列h(n)，由于突然將h(n)截短，因而破壞了序列hd(n)的均勻收斂性，這意味著人為地強迫hd(n)收斂。不均勻收斂性在頻譜中是以吉布斯現(xiàn)象反映出來的。矩形窗所形成的FIR濾波器的頻率響應的波紋幅度很大，最大肩峰值達8.95，如圖4.49(f)所示。為了減小波紋幅度，一方面可以加大窗的長度N，但效果并不顯著；另一方面可采用不同的窗函數(shù)來改善不均勻收斂性。圖4.50所示的是幾種常用的窗函數(shù)：它

8、們的定義式和頻譜函數(shù)分述如下：或利用傅里葉變換的調制特性，即利用和考慮到RN(n)的傅里葉變換為則得當N1時，N-1N，得到窗譜的幅度函數(shù)為因此可以認為漢寧窗的頻譜由圖4.51所示的3部分組成，3部分頻譜相加的結果使旁瓣大大抵消，而使能量有效地集中在主瓣內，代價是使主瓣的寬度加大了一倍，即為8/N。，又稱改進的升余弦窗把升余弦窗加以改進，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為：其頻率響應的幅度函數(shù)為結果可將99.963的能量集中在窗譜的主瓣內，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同為8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。為了更進一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到Blackman窗：其頻

9、譜的幅度函數(shù)為此時主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為12/N。圖4.52描繪的是N=51時上列5種窗函數(shù)的頻譜函數(shù)圖形，圖中以相對衰減A=201g|W()/W(0)| dB為縱坐標。從圖中可以看出，這5種窗函數(shù)的旁瓣衰減依次增大，主瓣寬度依次加寬。圖4.53所示的是用這5種窗函數(shù)設計的低通FIR數(shù)字濾波器的頻率響應特性。窗函數(shù)的長度N51，理想低通濾波器的截止頻c=/2。從圖中可看出，用矩形窗設計的濾波器的過渡帶最窄，但阻帶衰減指標最差，僅有-21dB左右。而用布萊克曼窗設計的阻帶衰減指標最好，可達-74dB，但過渡帶最寬，約為矩形窗的3倍。這是一種適應性較強的窗，其窗函數(shù)的表示式為其中，

10、I0(x)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。它可用以下的級數(shù)來計算：在實際應用中，級數(shù)取1525項就可以達到足夠的精度。凱澤窗是一族窗函數(shù)。是可調參數(shù)，調節(jié)值可以改變主瓣的寬度和旁瓣的幅度，的典型值在4N， 在窗口范圍內能很好地逼近hd(n)。窗函數(shù)法的優(yōu)點是簡單，有閉合形式的公式可循，因而很實用。其缺點是通帶、阻帶的截止頻率不易控制。例4.7 設計一個滿足下式要求的FIR線性相位低通數(shù)字濾波器 0.98|H(ej)|1.02，0|0.18 | H(ej)|0.003，0.22|(1)選擇合適的窗函數(shù)。(2)求濾波器的階數(shù)。(3)求理想低通濾波器的截止頻率c和濾波器的時延。(4)求濾波器的單位取樣響

11、應。解： 阻帶衰減為 20log(0.003)=-50.5dB 查P146，表4.2，選擇哈明窗可滿足阻帶衰減的要求。 (2)題目要求的過渡帶寬度為 =0.22-0.18=0.04或f=/2=0.02 由表4.2知道，哈明窗的過渡帶寬度與濾波器的階數(shù)N有下列 關系：=8/N，從而N=8/=8/0.04=200 (3) c=(P+T)/2=(0.18+0.22)/2=0.20 濾波器的時延=(N-1)/2=199/2=99.5，取=100。 (4)濾波器的單位取樣響應 因濾波器的頻率特性為H(ej)=|H(ej)|e-j 所以濾波器的單位取樣響應為窗函數(shù)法是從時域出發(fā)，把理想的hd(n)用一定形

12、狀的窗函數(shù)截取成有限長的h(n)，以此h(n)來近似理想的hd(n)，這樣得到的頻率響應H(ej)逼近于我們所要求的理想的頻率響應Hd(ej)。頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應Hd(ej)加以等間隔抽樣，所以稱之為頻率取樣法。然后以此Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值H(k)，即令知道H(k)后，由DFT定義，可以用領域的這N個抽樣值H(k)來唯一確定有限長序列h(n)，而由頻域采樣的內插公式(3.50)知道，利用這N個頻域抽樣值H(k)同樣可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)及頻率響應H(ej)。這個H(z)或H(ej)將逼近H(d)或Hd(ej)。根據(jù)書本P

13、.78頻率取樣，可以得到內插公式：(4.105)FIR濾波器的頻率響應也可用H(k)表示：(4.106)其中()為內插函數(shù)，將()代入4.106，化簡后可得式(4.105)和式(4.106)是用頻率取樣法設計FIR數(shù)字濾波器的理論基礎。從內插公式我們看到，在各頻率抽樣點上，濾波器的實際頻率響應是嚴格地和理想頻率響應數(shù)值相等，即但是在抽樣點之間的頻響則是由各抽樣點的加權內插函數(shù)的延伸疊加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應曲線形狀，理想頻率響應特性變化越平緩，則內插值越接近理想值，逼近誤差越小，如下圖(b)梯形理想頻率特性所示。反之，如果抽樣點之間的理想頻率特性變化越陡，則內

14、插值與理想值之誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點附近，就會產生肩峰和波紋，如圖(a)矩形理想頻率特性所示。一般來說，在過渡帶的頻率響應特性變化較陡，在通帶或阻帶內的變化比較平緩，因此我們重點考慮過渡帶抽樣的優(yōu)化設計問題。為了提高逼近質量，使逼近誤差更小，也就是減小在通帶邊緣由于抽樣點的陡然變化而引起的起伏振蕩(這種起伏振蕩就使得阻帶內最小衰減很小)，和窗函數(shù)法的平滑截斷一樣，這里是使理想頻率響應的不連續(xù)點的邊緣，加上一些過渡的抽樣點，這些點上抽樣的最佳值由計算機算出。這樣的結果，就增加了過渡帶，減小了頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，因而增大了阻帶最小衰減。這些抽樣點上的取值不同，效果

15、也就不同，因為由頻率抽樣公式看出，每一個頻率抽樣值，都要產生一個與常數(shù)sin(N/2)/sin(/2)成正比并且在頻率上位移2k/N的頻率響應，而FIR濾波器的頻率響應就是H(k)與內插函數(shù)(-2k/N)的線性組合。如果精心設計過渡帶的抽樣值，就有可能使它的相鄰頻帶(通帶、阻帶)的波紋得以減小，從而設計出較好的濾波器。一般過渡帶取一、二、三點抽樣值即可得到滿意結果。在低通設計中，不加過渡抽樣點時，阻帶最小衰減為-20dB，一點過渡抽樣的最優(yōu)設計，阻帶最小衰減可提高到-44dB到-54dB左右，二點過渡抽樣的最優(yōu)設計可達-65dB到-75dB左右，而加三點過渡抽樣的最優(yōu)設計則可達-85dB到-9

16、5dB左右。給定理想濾波器頻率響應 。根據(jù)過渡帶寬和阻帶衰減確定過渡點數(shù)和h(n)長度N。 。由IFFT計算IDFT得到 。頻率取樣方法的優(yōu)點是，可以直接在頻域中用選擇過渡取樣值的方法，來得到良好的設計效果，適合于最優(yōu)化設計。這種方法的缺點是，頻率控制點的位置受到頻率軸上的N個取樣點的限制，因而濾波器的截止頻率不易控制。如果要自由地選擇截止頻率，就必須增加取樣點數(shù)N，這樣做是不經濟的。例 利用頻率取樣法，設計一個低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形，已知c=0.5，抽樣點數(shù)為奇數(shù)N=33，要求濾波器具有線性相位。解：根據(jù)指標，可畫出頻率取樣后的H(k)序列，如下圖。由于|H(k)|是對稱

17、于=的，我們只對0即0k16的區(qū)間感興趣。故可將2即17k32的圖形略去不畫。截止頻率c=0.5滿足16/33c17/33，按頻率取樣方式設計，N=33，則將以上值代入H(ej)，得到按此式計算 的結果如下圖所示。由圖看出過渡帶寬為2/33，而最小阻帶衰減則約為-20dB。這一衰減在大多數(shù)情況下是不令人滿意的。為了改善頻率特性，以滿足指標要求，可在通帶和阻帶交界處安排一個或幾個不等于零也不等于l的抽樣值。本例中用優(yōu)化算法算出在k=9處，|H(9)|=0.5，則得如下圖(a)所示結果。這相當于加寬過渡帶，其寬度為22/N=4/33，算出阻帶最小衰減約為-40dB左右，如下圖(b)所示。如果要進一

18、步增加阻帶衰減，可再添上第二個不等于1也不等于零的取樣，這樣過渡帶又加寬了，如果不允許再增大過渡帶寬，而又希望增大阻帶衰減，還可增加抽樣點數(shù)N，例如同樣是c=0.5，以N=65進行取樣，并在k=17，k=18處插進兩個優(yōu)化的取樣值|H(17)|=0.5886，|H(18)|=0.1065，則其結果如下圖所示，過渡帶寬為6/65，并沒有增加，而阻帶最小衰減則可達到-60dB以上。所付出的代價是階次提高(N=65)，因而運算量增大了。IIR濾波器的主要優(yōu)點是：(1)可以利用一些現(xiàn)成的公式和系數(shù)表設計各類選頻濾波器。通常只要將技術指標代入設計方程組就可以設計出原型濾波器，然后再利用相應的變換公式求得所要求的濾波能系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。因此設計方法簡單。(2)在滿足一定技術要求和幅頻響應的情況下，IIR濾波器設計成具有遞歸運算的環(huán)節(jié)，所以它的階次一般比FIR濾波路低、所用存儲單元少。濾波器體也小。IIR濾波器的缺點是：(1)只能設汁出有限頻段的低、高、帶通和帶阻等選頻濾波器。除幅頻特性能夠滿足技術要求外，它們的相頻特性往往是