考點33直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、考點33直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題1.(2011遼寧高考理科8)如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD丄底面ABCD則下列結(jié)論中不正確的是(A) AC丄SB(B) AB/平面SCD(C) SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角(D) AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角【思路點撥】先逐項分析，再判斷結(jié)論.【精講精析】選D.選項具體分析結(jié)論A四棱錐S-ABCD的底面為正方形，所以ACLBD,又SDL底面ABCD所以SD丄AQ從而AC丄面SBD故AC!SB.正確B由AB/CD可得AB/平面SCD正確C選項A中已證得AC丄面SBD又SA=SC所以SA與平面SBD所

2、成的角SAC等于SC與平面SBD所成的角SCA正確DAB與SC所成的角為SCD，此為銳角，而DC與SA所成的角即AB與SA所成的角，此為直角，二者不相等.不正確2.(2011浙江高考理科4)下列命題中錯誤的是(A) 如果平面丄平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面(B) 如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面(C) 如果平面丄平面，平面丄平面，丨，那么I丄平面(D) 如果平面丄平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面【思路點撥】本題考查空間線面的垂直關系【精講精析】選D.如果平面丄平面，那么平面內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面，其它與交線不垂直的直線均不與平面垂直，故D項敘述是錯誤

3、的.、解答題3.（2011江蘇高考T16）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD_平面ABCDABAD,/BAD=60,E、F分別是APAD的中點求證：（1）直線EFH平面PCD(2)平面BEFL平面PAD【思路點撥】本題證明的線面平行和面面垂直，解決的關鍵是根據(jù)線面平行和面面垂直的判定定理尋找需要的條件，注意要把所需的條件擺充分【精講精析】（1）在PAD中，因為E,F分別是AP,AD的中點，所以EF/PD，又因為EF平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF/平面PCD.連結(jié)BD.因為ABAD,BAD60,所以ABD為等邊三角形因為F分別是AD的中點，所以BFAD.因為平面PAD平面ABCD,

4、BF平面ABCD,又因為平面PAD平面ABCDAD,4.（2011新課標全國高考理科18）如圖，四棱錐PPABD,證ABCD中，底面ABCD為平行四邊所以BF平面PAD.又因為BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.形DAB60o,AB2AD,PD底面ABCD.（I）證明：PABD（II）設PDAD1,求棱錐DPBC的高【思路點撥】第（1）問，通過證明BD平面PAD222明BDAD時，可利用勾股定理BDADAB，第（2）問，在RtPDB中，可證PB邊上的高即為三棱錐DPBC的高，其長度利用等面積法可求【精講精析】（I）因為DAB60,AB2AD,由余弦定理得BD、3AD從而BD+AD=AB2

5、,故BDAD.又PD底面ABCD可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD(H)過D作DEIPB于E,由(I)知BCLBD,又PDL底面ABCD,所以BC丄平面PBD而DE平面PBD故DELBC所以DEL平面PBC由題設知PD=1,貝UBD=.3,PB=2,J3由DE.PB=PD.BD得DE=2即棱錐DPBC的高為一三25.(2011遼寧高考文科18)(本小題滿分12分)如圖，四邊形ABCD為正方形,QAL平面ABCDPD/QAQA=ABPD.2(I)證明：PQL平面DCQ(II)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.【思路點撥】(I由已知可證面PDAQDCAD面ABCDPQ

6、DC)由已知可得DQPQPQQDPQ面DCQ；(II)設出正方形的邊長為a,分別計算兩個棱錐的體積，再求體積的比值.【精講精析】(I)由條件知PDAQ為直角梯形因為QAL平面ABCD所以平面PDAQ丄平面ABCD交線為AD.又四邊形ABCD為正方形,DC丄AD,所以DC丄平面PDAQ,可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD,則PQQD.2所以PQ平面DCQ.(II)設ABa.由題設知AQ為棱錐QABCD的高，所以棱錐QABCD的體積V1-a33由（I）知PQ為棱錐PDCQ的高，而PQ=2a,DCQ的面積為_2a2,213所以棱錐PDCQ的體積V2a3.3故棱錐Q-ABCD的體積與棱

7、錐P-DCQ的體積的比值為1.12分6.（2011廣東高考文科18）圖5所示的幾何體是將高為2,底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的A,A',B,B'分別為Cd,C'd',De,De'的中點,Q,o1,O2O2分別為CD,C'D',DE,D'E'的中點（門證明：o1,a',o2,b四點共面;（2）設G為aA'中點，延長a'o；到H,使得o；h'a'o；.證明：BO2平面HBG【思路點撥】（1）證明qA/O2B，從而它們確定一個平面，這個四點同在

8、此平面內(nèi)作輔助線如圖，證BO2HG,BO2HB從而得結(jié)論.【精講精析】【證明】證明：（1）QA,A分別為CD,CD中點,A/QA連接BOQ直線BO是由直線AO平移得到AOi/BO2O!A/BO2O1,A,O2,B共面(2)將AO延長至H使得OH=OA，連接HQ,HB,HH由平移性質(zhì)得O,O2與HB平行且相等BO2/HO1QAGHO-HHAH,O,HHGAH-2GAHOiHHHO,HGHA-2OiHHGBO2HGQO,O2BO2,OO2O2O2,BO2O2O2O2OiO2平面BBO2O2O,O2BO2BO2HBQHBHGHBO2平面HBG.即求二面角PADB的余弦值為-21.7.（2011廣東高

9、考理科T18）如圖5,在錐體PABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且DAB60°,PAPD2,PB2,E,F分別是BC,PC的中點.（1）證明：AD平面DEF（2）求二面角PADB的余弦值.聞S心ft【思路點撥】(1)證明ADEF,ADDE從而證得AD平面DEF；(2)取AD的中點G,連結(jié)PGBG.，證PGB是所求二面角的平面角，在PGB中由余弦定理可求得所求.面角的余弦【精講精析】(1)證明：取AD的中點G連結(jié)PGBG.PA=PDADPG.AGB=90°,即ADGB.在ABG中，GAB=60O，ag=1,AB=1,又PGGB=GAD平面PGB從而ADPB.E,F分別是B

10、C,PC的中點，EF/PB，從而ADEF.又DE/GB，ADGBADDE,DEEF=E,AD平面DEF(2)由(1)知PGB是所求二面角的平面角.在PGB中，P&=(；2)2(I)2f,BG=1sin600=半，PB=2.由余弦定理得cos222PGB=PGBGPB2PGBG8.(2011山東高考文科19)(本小題滿分12分)如圖，在四棱臺ABCDABGDj中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=2ADAD=A1B1,BAD=60°(I)證明：AA1BD;732221(n)證明：CC1H平面A1BD.【思路點撥】(I)本題考查線面垂直的判定定理，以及空間位置關

11、系的轉(zhuǎn)化思想，要證AA1BD1，可先證BD平面ADD1A1,只需證D1DBD,BDLAD由DQ平面ABCD，所以DQBD,設AD=a則AB=2a由余弦定理得：BD2(2a)2a22a2acos60°3a2,所以BD=3a，在由勾股定理的逆定理判斷BDLAD.原命題得證.(II)本小題考查線面平行的判定，只需在平面ABD內(nèi)找一條直線和CG平行即可，因此可連結(jié)AC,A1C,設ACIBDE，連結(jié)EA，只要證CC/EA即可.【精講精析】(I)證明：因為AB=2AD，所以設AD=a,則AB=2a,又因為BAD=60°,所以在ABD中，由余弦定理得：BD2(2a)2a22a2acos6

12、0o3a2,所以BD=、3a,所以AD2BD2AB2,故BDLAD,又因為DiD平面ABCD，所以DiDBD,又因為ADD1DD,所以BD平面ADD1A1,故AA1BD.（II）連結(jié)AC,AiC,設ACIBDE,連結(jié)EA,因為四邊形ABCD為平行四邊形,1所以ECAC2由棱臺定義及AB=2AD=2Bi知CC/EA,又因為EA平面AiBD,CG平面AiBD,所以CCI/平面AIBD.9.（20ii北京高考文科TI7）（I4分）如圖，在四面體PABC中,PCAB,PABC，點D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB勺中點（I）求證：DE/平面BCP（H）求證：四邊形DEFG為矩形；（川）是否存

13、在點Q到四邊形PABCD六條棱的中點的距離相等？說明理由BCPGNEB【思路點撥】（I）禾U用線面平行的判定定理進行證明;垂直；（川）假設存在，再證明【精講精析】（I）因為D,E分別為AP,AC的中點，（H）先證DEFG為平行四邊形，再證明相鄰兩邊所以DE/PC.又因為DE平面BCP所以DE/平面BCP.（II）因為D,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點,所以DE/PC/FG,DG/AB/EF,所以四邊形DEFG為平行四邊形又因為PCAB,所以DEDG.所以四邊形DEFG為矩形（川）存在點Q滿足條件，理由如下:1連接DF,EG設Q為EG的中點，由（H）知，DFIEGQ,且QDQEQF

14、QG-EG，分別2取PC,AB的中點M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN與（H）同理，可證四邊形MENG矩形，其對角線交點為EG1的中點Q,且QMQNEG，所以Q為滿足條件的點.210.（2011湖南高考文科T19）（本小題滿分12分）如圖3,在圓錐P0中，已知P0=2,O0的直徑AB=2點C在Ab上,且CAB30,D為AC的中點.（I）證明：AC平面POD（n）求直線OC和平面pac所成角的正弦值.【思路點撥】本題主要考查了空間位置關系，考查空間觀念和空間想象能力.首先考查空間垂直的證明，考查線面垂直，轉(zhuǎn)到線線垂直，考查線面垂直的判斷定理再考查線面角的求法，求線面角要扣住定義法另外解決立

15、體幾何的方法有兩種：一是幾何法，主要考查思維能力.二是向量法，主要考查向量的運用，而向量法又有兩種，一是坐標法，二是基底法【精講精析】（I）因為OAOC,D是AC的中點，所以AC0D.又PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC平面POD;PO底面eO,AC底面eO,所以ACOD.（II）由（I）知，AC平面POD,又AC平面PAC,所以平面POD平面PAC,在平面POD中,過O作OHPD于H,則OH平面PAC,連結(jié)CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，所以OCH是直線OC和平面PAC所成的角在RtVPOD中,OHPOgOD二在3-PO2OD2RtVOHC中,sinOCHOHOC11.（20

16、11陜西高考文科T16）（本小題滿分12分）如圖，在ABC中，/ABC=45，/BAC=90,AD是BC上的高，沿人。把厶ABD折起，使/BDC=90.（I）證明：平面ADBL平面BDC（H）若BD=1,求三棱錐DABC的表面積.【思路點撥】（I）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長度不變，線線關系不變，再由面面垂直的判定定理進行推理證明；（H）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計算.【精講精析】（I）：折起前AD是BC邊上的高,當ABD折起后，AD丄DC,AD丄DB又DBDC=D,.AD丄平面BDC又ADk平面BDC.平面ABDL平面BDC（H）由（I）知

17、,DADB,DBDC,DCDA,三棱錐D-ABC的表面積是1 .33.3_32 2212.（2011天津高考文科17）如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,ADC45°,AD=AC=1,O為QDB=DA=DC=1/ABC=AB=BC=CA=2,11SDABSDBCSDCA-11-22SVABC22sin60_!22AC中點，PO平面ABCD,PO=2,M為PD中點.I）證明：PB/平面ACM;H）證明：AD平面PAC;（川）求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.【思路點撥】（1）證明MO/PB;證明AD垂直于平面PAC內(nèi)的兩條相交直線POAC;取0D的中點N,證明

18、DMAN即為所求的線面角，【精講精析】（I）證明：連接BD,MO在平行四邊形ABCD中，因為0為AC的中點，所以0為BD的中點,又M為PD的中點，所以PB/MO.因為PB?平面ACMMO平面ACM所以PB平面ACM.（n）證明：因為ADC45，且AD=AC=1所以DAC90，即ADAC，又PO平面ABCDAD平面ABCD所以POAD,而ACPOO，所以AD平面PAC.1（川）取DO中點N,連接MNAN因為M為PD的中點，所以MN/PO,且MN_PO1由PO平2面ABCD得MN平面ABCD所以MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，在RtDAO中，1 頁AN=DO=,2 41從而AN二DO2在RtANM中,tanMANMNAn如5，即直線AM與平面ABCD所成