多項(xiàng)式的因式分解

1、§1-5多項(xiàng)式的因式分解定理引入課題初等數(shù)學(xué)中的因式分解何為不能再分？多項(xiàng)式x4.4在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域上的因式分解x4-4=(x2-2)(x2+2)(不能再分)Qxx44=(xT2)(x+J2)(x2+2)(不能再分)Rxx4-4=(x-.2)(x.2)(x-.2i)(x.2i)Cx在不同的系數(shù)域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多項(xiàng)式(不等于零的常數(shù))、多項(xiàng)式自身、前兩個(gè)的乘積Definitions:(不可約多項(xiàng)式)令f(x)是Px的一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，如果f(x)在Px中只有平凡因式，就稱f(x)為數(shù)域P上(或在Px中)的不可約多項(xiàng)式。(p(x)在

2、數(shù)域P上不能表示成兩個(gè)次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積)若f(x)除平凡因式外，在Px中還有其它因式，f(x)就說是在數(shù)域P上(或在Px中)是可約的。如果f(x)=g(x)h(x),g(x)不是平凡因式，則g(x)和h(x)的次數(shù)顯然都小于f(x)的次數(shù)。反之，若f(x)能寫成兩個(gè)這樣多項(xiàng)式的乘積，那么f(x)有非平凡因式；如果Px的一個(gè)n次多項(xiàng)式能夠分解成Px中兩個(gè)次數(shù)都小于n的多項(xiàng)式g(x)和h(x)的乘積即f(x)=g(x)h(x)那么f(x)在P上可約。由不可約多項(xiàng)式的定義可知：任何一次多項(xiàng)式都是不可約多項(xiàng)式的。不可約多項(xiàng)式的重要性質(zhì)：一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域；1 .如果多項(xiàng)式f(x)不

3、可約，那么P中任意不為零的元素C與f(x)的乘積Cf(x)都不可約。2 .設(shè)f(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式而P(x)是一個(gè)任意多項(xiàng)式，那么或者f(x)與P(x)互素,或者f(x)整除P(x).3 .如果多項(xiàng)式f(x)與g(x)的乘積能被不可約多項(xiàng)式P(x)整除，那么至少有一個(gè)因式被P(x)整除。Theorem5.如果p(x)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式，P(x)整除一些多項(xiàng)式f(x),fz(x)，,fs(x)的乘積，那么p(x)一定整除這些多項(xiàng)式之中的一個(gè).證明:對(duì)被除多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)s用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時(shí)，顯然成立；假設(shè)s=n-1時(shí)，結(jié)論成立；當(dāng)s=n時(shí)，令gi(x)=fi(x),g2(x)=f2(x)f3

4、(x)fn(x),如果p(x)|gi(x)，則p(x)|fi(x)命題成立，如果p(x)gi(x)，則(p(x),gi(x)=1,從而p(x)|g2(x),即p(x)整除f2(x),f3(x)，fn(x)n-i多項(xiàng)式的乘積，由歸納法假設(shè)p(x)整除其中一個(gè)多項(xiàng)式根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，命題得證.因式分解及唯一性定理：多項(xiàng)式環(huán)Px的每一個(gè)n(n0)次多項(xiàng)式f(x)都可以唯一分解成Px的不可約多項(xiàng)式的乘積；證f(x)=pi(x)2p(x)ps(x)明因所謂唯一性是說，如果有兩個(gè)分解式式分f(x)=pi(x)2p(x)ps(x)=qi(x)q2(x)qt(x)解定那么，必有s=t,并且適當(dāng)?shù)嘏帕幸蚴降捻?/p>

5、序后有理pi(x)=cq(x)(i=i,2,s)標(biāo)準(zhǔn)分解式(典型分解式)：f(x)=cpri(x)p22(x)pSs(x)其中C是f(x)的首項(xiàng)系數(shù),pi(x),p2(x)，ps(x)是不同的、首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，而ri產(chǎn)2,正整數(shù)。例i:在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式，f(x)=x3+x2-2x-2。f(x)=x3x2-2x-2=(xi)(x2x。2)=(xi)(x-i)(x2)例2:求f(x)=x5-x4-2x3+2x2+x-1在Qx內(nèi)的典型分解。式f(x)=x5-x4-2x32x2x-1=(x-1)(x4-2x21)=(x-1)3(x1)2例3.求f(x)=2x510x4+16x3-16

6、x2+14x-6在Rx內(nèi)的典型分解式.f(x)=2(x21)(x-1)2(x-3)例4:分別在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上分解多項(xiàng)式x5-1和x6-1為不可約多項(xiàng)式的乘積。解：(x5-1)=(x-1)(x4x3x2x1)Qx(x5-1)=(x-1)(x4x3x2x1)22J：24；1二(x-1)(x2-2cos-1)(x2-2cos一1)Rx55(x5-1)=(x-1)(x4x3x2x1)J2k二2k二八二(x-1)口(x-cos-isin)Cx55在Qx上(x61)=(x3-1)(x31)=(x-1)(x2x1)(x1)(x2x1);在Rx上(x6-1)=(x3-1)(x31)=(x-1)(x

7、2x1)(x1)(x2-x1);突出同數(shù)上不多項(xiàng)的因分解特點(diǎn)布置作業(yè)P45-15在Cx上61.31x-2”一21.31.3i)(x1)(x-i)(xi)2222多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用.初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法.本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹.1 .運(yùn)用公式法在整式的乘

8、、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b);a2ab+b2=(a坨)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+a

9、bn-2-bn-1),其中n為偶數(shù);(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù).運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;(2)x3-8y3-z3-6xyz;(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;(4)a7-a5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1

10、yn(xn-y)2(xn+y)2.(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2.本小題可以稍加變形，直接使用公式(5),解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b

11、4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6).分析我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo).解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)說明公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公

12、式，用它可以推出很多有用的結(jié)論,例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc;當(dāng)a+b+c>0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc>0,IPa3+b3+c3>3abc,而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.如果令x=a3>0,y=b3>0,z=c3>0,則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z.這也是一個(gè)常用的結(jié)論.例3分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1.分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0,由此想到應(yīng)用公式an-bn來分解.解因?yàn)閤16-1=(x-1)

13、(x15+x14+x13+x2+x+1),所以說明在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,這一技巧在等式變形中很常用.2 .拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng),即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.例4分解因式：x3-9x+8.分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一

14、下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧.解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).解法4添加兩項(xiàng)-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8

15、=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).說明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng),添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換,因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種.例5分解因式：x9+x6+x3-3;(2)(m2-1)(n2-1)+4mn;(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;a3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-1-1.原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(

16、x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).(2)將4mn拆成2mn+2mn.原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2

17、+1)(x2+3).(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab.原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式.這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn).3 .換元法換元

18、法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰.例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12.分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難.我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了.解設(shè)x2+x=y,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5).說明本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u,一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試.

19、例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.令y=2x2+5x+2,則原式=y(y+1)-90=y2+y-90二(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).說明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ).例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.解設(shè)x2+4x+8=y,則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).說明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式.例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6.解法1原式=6(x4+1)+7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3