對數(shù)平均不等式-專題訓(xùn)練

1、全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）對數(shù)平均不等式1 .定義：設(shè)a,ba0,a黃b,則a-b>ab一>«b其中一a一b一被稱為2 lnadnbIna-Inb對數(shù)平均數(shù)2.幾何解釋：反比例函數(shù)f(x)(x>0)的圖象，如圖所示，xAP|BC|TU|KV,MN|CD|x軸，A(a,0),p'a,-LB(b,0),Q'b,11q2(lnb-lna)=-S曲邊梯形ABQP,I,a.bTl益,31作“x)在點K,W,二-處的切線分別與AP,BQ交于.ab21abE,F,根據(jù)左圖可知,因為S曲邊梯形ABQP>SB形ABFE=S矩形ABNM,所

2、以b1dx=lnb-lna>3x2a+b(b-a).曲邊梯形AUTPS梯形AUTP一+7+2?a、-lob-_a1qa)=Jb2S梯形ABCDab10-dx=ln、.ab-yx全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）根據(jù)右圖可知,b-aSt邊梯形AUTP<SW形AUTP,所以1nb-lna<廣,ab另外,&巨形ABQX<Sft邊本W(wǎng)ABQP<S梯形ABQP<&巨形ABYP，可得:1(b-a)<inb-ina<2箱、一1八、a)<(b-a),a綜上,結(jié)合重要不等式可知:1(b-a)<b2(b-a)<Inb

3、-Ina<b-aa+b荔<2褥T&-a)<a(b-爪即,a+bb>>2ba>.、ab>inb-ina211>a(b>a>0).+ab等價變形:ina-inb-2a-b).(a_b0)abina-inbmb.(a-b0)3典例剖析對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈，提供了多種巧妙放縮的途徑，可以用來證明含自然對數(shù)的不等式問題.對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈包含多個不等式，我們可以根據(jù)證題需要合理選取其中一個達到不等式證明的目的.（一）b>b-a>a（a>0）的應(yīng)用inb-ina例1(2014年陜西)設(shè)函數(shù)f(x)=in(1+x),g(

4、x)=xf'(x)其中例x)全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附詳解)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1) (2)(略)(3)設(shè)nWN+,比較g1)+g2)+|+g(n)與nf)n)的大小,弁加以證明.解析(3)因為g(x)=-,1x所以“D+gOHI+gS尸產(chǎn)+11什言5-(事+用+*：,而nf(n)=nln(n+1因止匕，比較g(1)+g(2)+|+g(n)與nf(n)的大小，即只需比較3+3+."+與仙3+1)的大小即可.根據(jù)b>a>0時，b>一b-a一，即1(b-a)<lnb-Ina,Inb-Inab1"va=n,b=n+1,貝U<

5、;ln(n+1)-Inn,n+1一.1一一1_.1所以一<ln2-ln1=ln2-<ln3-ln2,<ln(n+1)-Inn2'3'n1'1 11將以上各不等式左右兩邊相加得：11III4：二lnn1,2 3n1故g1g2Illgnn-fn.評注本題是高考試題的壓軸題，難度較大，為了降低試題的難度采取多步設(shè)問，層層遞進，上問結(jié)論，用于下問，其第二問是為第三問做鋪墊的“梯子”，盡管如此，步驟依然繁瑣，求解過程復(fù)雜，但我們這里應(yīng)用對數(shù)平均數(shù)不等式鏈來證明，思路簡捷，別具新意，易于學(xué)生理解、掌握.當(dāng)b>a>0時，一b-a>a,即lnb-ln

6、a<1(b-a),令a=n,b=n+1,lnb-lnaa全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附詳解)1111貝Uln(n+1)-lnn<一，可得ln(n+1)<1+-+-+L+-n23n.2.2.(二)>去長(b>a>。)的應(yīng)用2lnb-lna1例2設(shè)數(shù)列以的通項an=f,其刖n項的和為Sn,證nn11明：S<ln(n+1).解析根據(jù)b>a>0時，匡正>上月,2lnb-lna2(b-a)lnb-lna>一,22,a+b"vb=n+1,a=n,貝fjln(n+1)-lnn>,2=亞_.n2+(n+1)22n2

7、+2n+1>j>an,勿1ESn<ln(n+1).2n2+2n+2U>(b>a>-111例3.設(shè)數(shù)列Qn)的通項an=1+3+3+111+1,證明：an<ln(2n+1).解析根才®b>a>。時，”>，即1也2*,1一、，"vb=2n+1,a=2n-1,則ln(2n+1)-ln(2n-1)>一易證an<ln(2n+1).n(四)1b-；>lJ(b>a>0)的應(yīng)用lnb-lna1,1I：+c(a>0)的圖象在點ab例4.(2010年湖北)已知函數(shù)f(x)=ax+(1,f(1)處的切

8、線方程為y=x-1.全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）(1)用a表75出b,c;(2)(略)(3)證明:ln(n+1)+U)(nl1>解析(1)b=a-1,c=1-2a;(3)當(dāng)b>a>0時，b-a>lnb-lna211，即nbl-+一ab<-U+至a-),2融b-令2=n,b=n+1,則ln(n+1)-In所以ln2-ln1上1n3-仙2<翳ln(n+1)-Inn<13白的以上各不等式左右兩邊分別相加得:ln(n+1)<2+11-1+z+,n.2(n+1)一，、111111即ln(n+1)<1+L+234n2(n+1)2故

9、1+工+1+L+1>ln(n+1)+n23n2(n+1)（五）>后（八'>0）的應(yīng)用例5.(2014福建預(yù)賽)已知f(x)=aln(x+1)+3x-1.x1(1)(略)（2）求證:III412-1422-1432-1n14n2-11>-ln(2n+1)對切正整數(shù)n均成立.解析（2）w®b>a>。時，-a>yab，即ntri-a<與、ab全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）2令b=2n+1,a=2n-1,貝Uln(2n+1)-ln(2n-1)<,變形可得:,4n2-1l|(2n+1)-ln(2n-1)<1

10、24n2-121二<W,則4n-14n-11.-(ln5-ln3)<£n,L,1,、2(ln3-ln1)<2,44?1211藕(2n+1)-ln(2n-1)<:,將以上各不等式左右兩邊相加得：44n-1+|+n：1>-ln(2n+1)對一切正整數(shù)n均412-1422-1432-14n2-14成立.評注本題提供標(biāo)準(zhǔn)答案是借助于第一問的a的最小值a=-2時,-2ln(x+1)+1+3x-1>0,即1+3x-1a21n(x+1卜結(jié)合待證不等式的x1x1特征，入2Vx=kN2k-1整理得：4122),得+3父-1>2ln(+1),212k-12k-1

11、2k-1>2ln:2k1,即kJ>1ln(2k+1)_ln(2k_1fl,借止匕作2k-14k-14-為放縮的途徑達到證明的目的.你能注意到兩種方法的區(qū)別嗎?對數(shù)平均數(shù)的不等式鏈的運用是近幾年數(shù)學(xué)競賽、名校模擬數(shù)學(xué)試題、高考數(shù)學(xué)真題的理論背景，正如羅增儒教授指出：通過有限的典型考題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)機智.這里的領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué)機智從某種意義上說就是對問題本質(zhì)的理解，而對問題本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)還在于我們對問題信息的審視和挖掘，水有源，題有根，茫茫題海，尋覓其根源，領(lǐng)悟其通性通法方是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的途徑.全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編(附詳解)強化訓(xùn)練1.(2012年天津)

12、已知函數(shù)f(x)=xln(x+aJ(a>0)的最小值為n(1)(2)(略)(3)證明：、i10.2-ln2n1：2nN*.2i-1(3)易求a=1,待證不等式等價于2222+<ln(2n+1).3572n-1b-a1.根據(jù)b>a>0時，b>,即一(b-a)<lnb-lna,lnb-lnab22.令2=2n-1,b=2n+1,則=<ln(2n+1)-ln(2n-1),2(n+1)-12n+1222-<ln3-ln1,-<ln5-ln3,<ln7-ln5,L,3572<ln(2n+1)-ln(2n-1),將以上各不等式左右兩邊分別相

13、2(n+1)-1加得:22222+父ln(2n+1),3572n-12n1n22工-ln(2n+1)<2<2.得證.y2i-12n12.(2013年新課標(biāo)I)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-(1)若x/時,f(x產(chǎn)0,求九的最小值;11-1(2)設(shè)數(shù)列&的通項an=1+-+-+IH+-，證明：23n全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）1a2n-an+Aln2.4n,C21-2，.ix-'x解析(1)易得f(0)=0,f'(x)=J-.(1x)1-2令f(x)=0，貝fjx=0,x=,九若九<0,則當(dāng)x>0時，f'(x)&g

14、t;0,f(x)是增函數(shù)，f(x)>f(0)=0,11-2不符合題意；若0c,則當(dāng)0Ex<時，f，(x盧0,f(x)是21增函數(shù)，f(x)Af(0)=0,不符合題意；若九之2,則當(dāng)x>0時，f'(x)<0,f(x)是減函數(shù)，f(x)Wf(0)=0，符合題意；綜上，九的一,一I1最小值是2.(2)當(dāng)b>a>0時，b-a>57,即n$a<要+左昇)，lnb-lna112?ab,所以1n(n+1)-inn<21n1-+;±n+1.In(n+2)-In(n+1)<1411+v2+1+n+2；十a(chǎn)b令2=n,b=n+1,貝fjln(n+1)-Inn<-?-+-±2翻n+1.in(n+3)-1n(n+2)<1壽1+二=,L()()2孰+2n+3?1n2n-1n(2n-1)<:牛+J多將以上各不等式左右兩邊分2被n-12n,別相加得:全國名校高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題訓(xùn)練經(jīng)典試題匯編（附詳解）1n2n-lnn<黑+2