導(dǎo)學(xué)案例直線與平面平行、兩個平面平行

1、第二講直線與平面平行、兩個平面平行知識梳理1 .直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，即直線與平面平行、直線與平面相交、直線在平面內(nèi)2 .直線與平面平行的判定：如果平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行3 .直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線與交線平行.4 .兩個平面平行的判定定理：如果一個平面的兩條相交直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行5 .兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面都與第三個平面相交，那么交線平行點擊雙基1 .設(shè)有平面a、3和直線m、n,則m/a的一個充分條件是A.a，3且m

2、7;3B.an3=n且m"nC.m”門且門"“D.且m罷3答案：D2 .（2004年北京，3）設(shè)m、n是兩條不同的直線，“、3、丫是三個不同的平面.給出下列四個命題，其中正確命題的序號是若m±a,n/a,則mn若a/3,3/Y,m，a,則m，Y若m/a,n/a,則m/n若a_Ly,3_Ly,貝Ua/ysA.B.C.D.解析：顯然正確.中m與n可能相交或異面.考慮長方體的頂點，“與3可以相交.答案：A3 .一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面的交線的位置關(guān)系是A.異面B.相交C.平行D.不能確定解析：設(shè)an3=l,a/a,a/3,過直線a作與“

3、、3都相交的平面丫,記aCY=b,3Cy=C,貝Ua/b且a/c,b/c.又b二a,an3=l,b/l.a/l.答案：Cb上4 .B（文）設(shè)平面a/平面3,A、CCa,B、DCp,直線AB與CD交于點S,且AS=8,BS=9,CD=34,當(dāng)S在a、3之間時，SC=,當(dāng)S不在a、3之間時，SC=.解析：AC/BD,SACASBD,SC=16,SC=272.答案：16272（理）設(shè)D是線段BC上的點，BC/平面a,從平面a外一定點A（A與BC分居平面兩側(cè)）作AB、AD、AC分另/13J交平面a于E、F、G三點，BC=a,AD=b,DF=c,貝UEG=.解析：解法類同于上題.答案：犯二更b5.在四面

4、體ABCD中，M、N分別是面4ACD、BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是.A/.M.ND解析：連結(jié)AM并延長，交CD于E,連結(jié)BN并延長交CD于F,由重心性質(zhì)可知，E、F重合為一點，且該點為CCD的中點E,由且M=EN=2得MN/AB,MANB2因此，MN/平面ABC且MN/平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD1.（2005年春季北京，3）下列命題中，正確的是A.經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面B.分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C.垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線D.垂直于同一個平面的兩個平面平行答案：C2.設(shè)a、b是兩條互不垂直的異面直線，過/3,“，3.其中可能

5、的情況有A.1種B.2種解析：都有可能，不可能，否則有答案：Ca、b分別作平面a、3,對于下面四種情況：b/a,b，a,aC.3種b±a與已知矛盾.D.4種4.a、b、c為三條不重合的直線,3. a、3是兩個不重合的平面，a、b是兩條不同直線，在下列條件下，可判定a/3的是A. a、3都平行于直線a、bB. a內(nèi)有三個不共線點到3的距離相等C.a、b是a內(nèi)兩條直線，且a/3,b/3D.a、b是兩條異面直線且a/a,b/a,a/3,b/3解析：A錯，若allb,則不能斷定a/3；B錯，若A、B、C三點不在3的同一側(cè)，則不能斷定a/3；C錯，若allb,則不能斷定a/3;D正確.答案：D

6、丫為三個不重合的平面，直線均不在平面內(nèi)，給出六個命題:其中正確的命題是.（將正確的序號都填上）答案：典例剖析YNI巾QEc（城上圖），連工PQ.【例1】如下圖，兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MAC,NFB且AM=FN,求證:MN/平面BCE.證法一：過M作MPBC,NQXBE,P、Q為垂足.MP/AB,NQ/AB,.MP/NQ.BN=CM=Mp,'MPQN是平行四邊形.MN/PQ,PQU平面BCE.而MN遼平面BCE,MN/平面BCE.證法二：過M作MG/BC,交AB于點G（如下圖），連結(jié)NG.2/13MG/BC,BCu平面BCE,MG之平面BCE,MG/平面B

7、CE.pBGCMBN乂=,GAMANFGN/AF/BE,同樣可證明GN/平面BCE.又面MGnNG=G, 平面MNG/平面BCE.又MNu平面MNG.，MN/平面BCE.特別提示證明直線和平面的平行通常采用如下兩種方法:利用直線和平面平行的判定定理，通過“線線”平行，證得“線面”平行；利用兩平面平行的性質(zhì)定理，通過“面面”平行，證得“線面”平行【例2】如下圖，正方體ABCDAiBiCiDi中，側(cè)面對角線AB1、/平面ABCD.BCi上分別有兩點E、F,且BiE=CiF.求證：EFDi證法分別過E、F作EMMB于點M,FNBC于點小卷結(jié)CiCmn. BBi,平面 BBJAB,EM/BB1，又Bi

8、E=CiF,ABCD,BBJBC.FN/BBi.-.EM/FN.em=fn.故四邊形MNFE是平行四邊形.EF/MN.又MN在平面ABCD中,EF/平面ABCD.證法二：過E作EG/AB交BB1于點G,連結(jié)GF,則型=BGB1AB1B1BiE=CiF,BiA=CiB,CiF81GCiB-BiBFG/BiCi/BC.又EGAFG=G,ABABC=B,平面EFG/平面ABCD.而EF在平面EFG中，EF/平面ABCD.評述：證明線面平行的常用方法是：證明直線平行于平面內(nèi)的一條直線；證明直線所在的平面與已知平面平行M、N分別是FA、BD上的點，且PM:MA=BN:【例3】已知正四棱錐P-ABCD的底

9、面邊長及側(cè)棱長均為i3,ND=5:8.(i)求證：直線MN/平面PBC;(2)求直線MN與平面ABCD所成的角.PMDON3/I3ABCD是正方形.連結(jié)AN并延長交BC于點E,連結(jié)PE.(1)證明：PABCD是正四棱錐,.AD/BC,EN:AN=BN:ND.又BN:ND=PM:MA,EN:AN=PM:MA.MN/PE.又PE在平面PBC內(nèi)，MN/平面PBC.（2）解：由（1）知MN/PE,MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所成的角.設(shè)點P在底面ABCD上的射影為O,連結(jié)OE,則/PEO為PE與平面ABCD所成的角.由正棱錐的性質(zhì)知PO=PB2-OB2=13-2-.2由（1）知，B

10、E：AD=BN:ND=5:8,BE=658,一65在4PEB中，/PBE=60,PB=13,BE=5,8根據(jù)余弦定理，得PE=91.82.sin/PEO=-P°-=42在RtPOE中，PO=132,PE=91,PE7故MN與平面ABCD所成的角為.42arcsin7思考討論證線面平行，一般是車t化為證線線平行.求直線與平面所成的角一般用構(gòu)造法，作出線與面所成的角.本題若直接求MN與平面ABCD所成的角，計算困難，而平移轉(zhuǎn)化為PE與平面ABCD所成的角則計算容易.可見平移是求線線角、線面角的重要方法.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1 .兩條直線a、b滿足a/b,b妻a,則a與平面a的關(guān)系是A.a/a

11、B.a與a相交C.a與a不相交D.a罷a答案：C2 .a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點，則下列結(jié)論成立的是A.過A有且只有一個平面平行于a、bB.過A至少有一個平面平行于a、bC.過A有無數(shù)個平面平行于a、bD.過A且平行a、b的平面可能不存在解析：過點A可作直線a'/a,b'/b,則a'nb'=A.a'、b'可確定一個平面，記為a.如果aOa,b遼a,貝Ua/a,b/a.由于平面a可能過直線a、b之一，因此，過A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D3 .（2004年全國I,16）已知a、b為不垂直的異面直線，”是一個平面，則a、b

12、在“上的射影有可能是兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是.（寫出所有正確結(jié)論的編號）解析：AiD與BCi在平面ABCD上的射影互相平行；ABi與BCi在平面ABCD上的射影互相垂直；DD1與BCi在平面ABCD上的射影是一條直線及其外一點.答案：4.已知RtABC的直角頂點C在平面a內(nèi)，斜邊AB/a,AB=2<6,AC、BC分別和平面a成45°和30°角,則AB到平面色的距離為解析：分別過A、B向平面a引垂線AA'、BB',垂足分別為A'設(shè)AA，=BB'=x,貝UAC2=(x7-

13、)2=2x2,sin45uBC2=(xx-)2=4x2sin30u又AC2+bC2=AB2,6x2=(2jd)2,x=2.答案：25.如下圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PAL底面ABCD,側(cè)面PBC內(nèi)有BEXPC于E,6且BE=-a,試在AB上找一點F,使EF/平面PAD.PF解：在面PCD內(nèi)作EGLPD于G,連結(jié)AG.PA，平面ABCD,CDXAD,CDXPD.1.CD/EG.又AB/CD,EG/AB.若有EF/平面PAD,貝UEF/AG,四邊形AFEG為平行四邊形，得EG=AF.AFABEG二CD一CE=3a,PBC3PEPC23為直角三角形，BC2=CE-CP=CP

14、=V3a,故得AF:FB=2：1時，EF/平面PAD.6.如下圖，設(shè)P為長方形ABCD所在平面外一點,/平面PBC.M、N分別為AB、PD上的點，且-AM-=-DN-,求證：直線MNMBNP5/13PPBC.證法過N作NR/DC交PC于點R,連結(jié)RB,依題意得DC-NR_DNNRNPAM_MBAB-MBDC-MBMBMB直線MN/平面PBC.=NR=MB.NR/DC/AB,.四邊形MNRB是平行四邊形.MN/RB.又RB妻平面PBC,分析：要證直線MN/平面PBC,只需證明MN/平曲Pp內(nèi)©一條直線或MN所在的某個平面/平面證法二：過N作NQ/AD交PA于點Q,連結(jié)QM,AM=DN=

15、絲，.QM/PB.又NQ/AD/BC,平面MBNPQPMQN/平面PBC.直線MN/平面PBC.證法三：過N作NR/DC交PC于點R,連結(jié)RB,依題意有且M=里=鄴，.而=麗，麗=BM+MN+ABPDDCNR=MN.MN/RB.又.RB妻平面PBC,.直線MN/平面PBC.培養(yǎng)能力7.已知l是過正方體ABCDAiBiCiDi的頂點的平面ABiDi與下底面ABCD所在平面的交線，(1)求證：DBi/l；(2)若AB=a,求l與Di間的距離.(i)證明:DiBiClDiCiCiAiDBiDiBi/BD,DiBi/平面ABCD.又平面ABCDn平面ADiBi=l,DiBi/l.(2)解：:DiDL平

16、面ABCD,D1與l間的距離.在平面ABCD內(nèi)，由D作DGL于G,連結(jié)DG,則DiGXl,DiG的長即等于點l/DiBi/BD,.DAG=45°.2一22-i22.6DG=a,DiG=VDG+DiD=a+a=a.探究創(chuàng)新i8.如下圖，在正四棱枉ABCDAiBiCiDi中，AAi=AB,點E、M分別為AiB、CiC的中點，過點Ai、B、M二點2的平面AiBMN交CiDi于點N.A/i3B(1)(2)(3)(1)求證：EM/平面AiBiCiDi；求二面角BAiNBi的正切值；設(shè)截面AiBMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V1、V2(V1VV2)，求V1：V2的值.證明：設(shè)AiB

17、i的中點為F,連結(jié)EF、FC1.E為AiB的中點，EF-BiB.2又CiM11biB,EFMC1.2四邊形EMCiF為平行四邊形.EM/FCi./EMS平面AiBiCiDi,FCiU平面AiBiCiDi,EM/平面AiBiCiDi.(2)解：作BiHAiN于H,連結(jié)BH.BB平面A1B1C1D1,.BH±AiN.，/BHBi為二面角B&NBi的平面角.EM/平面A1B1C1D1,EMU平面AiBMN,平面DN,AHEAbAiBMNn平面AiBiCiDi=AiN,EM/AiN.又.EM/FC1,.AiN/FC1.又AiF/NCi,，四邊形AiFCiN是平行四邊形.NCi=AiF

18、.設(shè)AA1=a,貝(JAB1=2a,D1N=a.在RtAA1D1N中，AiN=Jar2+D1N2=石a,sin/A1ND1=A1D1224在RtAiBiH中，BiH=AB1Sin/HAiBi=2a,_=_a.55在RtABB1H中,a_4-45aBBitan/BHBi=B1H(3)解：延長AiN與BiCi交于P,則PC平面AiBMN,且PC平面BBiCiC.又.平面AiBMNn平面BBiCiC=BM,.PCBM,即直線AiN、B1C1、BM交于一點P.又平面，幾何體MNCi/平面BA1B1,MNC1一BA1B1為棱臺.(沒有以上這段證明，不扣分).SS為NC1=1'a,1a=1a2,1

19、224棱臺MNCiBAiBi的高為B1C1=2a,7/131/221212、_7Vi=,2a*（a+，a,一a+a）-一3.446a3,V2=2a-2a-aa3=17a.66V1_7V217思悟小結(jié)1 .直線與平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，后者又統(tǒng)稱為直線在平面外2 .輔助線（面）是解證線面平行的關(guān)鍵.為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往往需要作輔助線（面）.【例1】設(shè)平面a/平面3,AB、CD是兩條異面直線，M、N分別是AB、CD的中點，且A、CCa,B、DC3 ,求證：MN/平面a.剖析：因為AB與CD是異面直線，故MN與AC、BD不平行.在平面

20、a、3中不易找到與MN平行的直線，所以試圖通過證線線平行達到線面平行這一思路受阻，于是轉(zhuǎn)而考慮通過證面面平行達到線面平行，即需找一個過MN且與a平行的平面.根據(jù)M、N是異面直線上的中點這一特征，連結(jié)BC,則此時AB、BC共面，即BC為溝通AB、CD的橋梁，再取BC的中點E,連結(jié)ME、NE,用中位線知識可證得.證明：連結(jié)BC、AD,取BC的中點E,連結(jié)ME、NE,貝UME是BAC的中位線，故ME/AC,MEiZa,ME/a.同理可證，NE/BD.又a/3,設(shè)CB與DC確定的平面BCD與平面a交于直線CF,貝UCF/BD,NE/CF.而NE0平面a,CFCa,NE/a.又MEANE=E,平面MNE

21、/a,而MNU平面MNE,MN/平面a.【例2】如下圖，在空間六邊形（即六個頂點沒有任何五點共面）土勻等于a,并且AA1/CC1.求證：平面A1BC1/平面ACD1.ABCC1D1A1中，每相鄰的兩邊互相垂直，邊長A證法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D,并連結(jié)A1B1和AD.1AA1CC1BB1DD1,且AA1LAB,AAJA1D1,D1ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四邊形故它們的對應(yīng)邊平行且相等./AABCAA1B1C1,-A1B11B1C1.同理，ADXCD.BB1XAB,BB1XBC,.BB1L平面ABC.同理，DDL平面ACD.BB1/DD1,，BB1

22、,平面ACD.A、B、C、D四點共面.ABCD為正方形.同理，A1B1C1D1也是正方形.故ABCDA1B1C1D1是正方體.8/13易知A1C1/AC, .A1C1/平面ACDi.同理，BC1/平面ACD1,，平面A1BC1/平面ACD1.證法二：證ABCDA1B1C1D1是正方體，同上.連結(jié)BD、B1D1,則B1D1是BD在底面ABCD上的射影，由三垂線定理知B1DXA1C1,同理可證B1DXBA1,B1D，平面A1BC1.同理可證，BD,平面ACD1,，平面A1BC1/平面ACD1.思考討論證明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；證明兩個平面垂直于同一條直線Da/D1/PC1NB

23、1【例3】如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是CC、B1C1、C1D1的中點，求證:(1)APXMN;(2)平面MNP/平面A1BD.證明：(1)連結(jié)BCrBQ,則B1CXBC1,BC1是AP在面BB1C1C上的射影.APLB1C.又B1C/MN,APXMN.(2)連結(jié)B1D1,'P>N分別是D1C1、B1C1的中點，PN/BD1.又B1D1/BD, .PN/BD.又PN不在平面A1BD上，PN/平面A1BD.同理，MN/平面ABD.又PNAMN=N, 平面PMN/平面A1BD.曲于評述：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵在于選擇

24、或添加適當(dāng)?shù)钠矫婊蚓€M、N、P都為中點，故添加B1C、BC1作為聯(lián)系的橋梁.夯實基礎(chǔ)1. （2003年上海）在下列條件中，可判斷平面a與3平行的是A. a、3都垂直于平面丫B. a內(nèi)存在不共線的三點到3的距離相等C.l、m是a內(nèi)兩條直線，且l/3,m/3D.1、m是兩條異面直線，且l/a,m/a,l/3,m/3答案：D2.設(shè)平面a/3,A、Cea,B、De3,直線AB與CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,則CS=解析：如圖（1）,由a/3可知BD/AC,.比二嗎即包二些3,.3=68.SASC18SCS?B:CAA如圖（2）,由a/3知AC/BD,&&（1）.SA=

25、SC=SCgp18=SCSBSDCD-SC'934-SC.9/13SC=68答案：68或二33.如圖甲，在透明塑料制成的長方體ABCDAiBiCiDi容器內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將FBCBDCDHGC甲乙容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個命題：水的部分始終呈棱柱狀；水面四邊形EFGH的面積不改變；棱AiDi始終與水面EFGH平行；當(dāng)容器傾斜如圖乙時，EF-BF是定值.其中正確命題的序號是.AD/EH/FG/BC,且平面AEFB/平面DHGC,解析：對于命題，由于BC固定，所以在傾斜的過程中，始終有故水的部分始終呈棱柱狀（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC為棱柱的

26、一條側(cè)棱，命題正確.對于命題，當(dāng)水是四棱柱或五棱柱時，水面面積與上下底面面積相等；當(dāng)水是三棱柱時，則水面面積可能變大，也可能變小，故不正確.是正確的（請給出證明）.是正確的，由水的體積的不變性可證得.綜上所述，正確命題的序號是.答案：1 .兩條直線a、b滿足allb,b&a,則a與平面”的關(guān)系是A.a/aB.a與a相交C.a與a不相交D.a罷a答案：C2 .a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點，則下列結(jié)論成立的是A.過A有且只有一個平面平行于a、bB.過A至少有一個平面平行于a、bC.過A有無數(shù)個平面平行于a、bD.過A且平行a、b的平面可能不存在解析：過點A可作直線a'

27、/a,b'/b,則a'nb'=A.a'、b'可確定一個平面，記為a.如果a遼a,b<Za,貝Ua/a,b/a.由于平面a可能過直線a、b之一，因此，過A且平行于a、b的平面可能不存在.答案：D3 .（2004年全國I,i6）已知a、b為不垂直的異面直線，”是一個平面，則a、b在“上的射影有可能是兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是.（寫出所有正確結(jié)論的編號）解析：AiD與BCi在平面ABCD上的射影互相平行；ABi與BCi在平面ABCD上的射影互相垂直；GBDDi與BCi在平面ABCD上的射

28、影是一條直線及其外一點.答案：4 .已知RtAABC的直角頂點C在平面a內(nèi)，斜邊AB/a,AB=2J6,AC、BC分別和平面a成45°和30°角,則AB到平面a的距離為.解析：分別過A、B向平面&引垂線AA'、BB',垂足分別為A'、B'i0/i3設(shè)AA'=BB'=x,則AC2=(sin：50)2=2x2'BC2=(X)2=4x2.sin30u又AC2+BC2=AB2,6x2=(2<6)2,x=2.答案：2CDU平面a,AB/a,M、N分別是AC、BD的中點，且5 .如下圖，兩條線段AB、CD所在的直線是

29、異面直線,AC是AB、CD的公垂線段.(1)求證：MN/a;(2)若AB=CD=a,AC=b,BD=c,求線段一MNnCB'EDaMN的長.(1)證明：過B作BB'，a,垂足為B',連結(jié)CB'DB',設(shè)E為B'D的中點,連結(jié)NE、CE,貝UNE/BB'且NE=1BB',又AC=BB',2MCNE,即四邊形MCEN為平行四邊形(矩形)MN/CE.又CECa,MNa,.MN/a.(2)解：由(1)知MN=CE,AB=CB'=a=CD,B，D=1BD2-BB'2=&2-b2,.匚21/2.2'2,1.212CE=/a(c-b)=va+b-c,V41f44即線段MN的長為Ja2+lb2lc2.44DiADOBC15.如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB=a.(1)求證：平面AD1B"/平面C1DB;(2)求證：AiC,平面ADiBi；(3)求平面ABiDi與平面BCi