工程數(shù)學(xué)習(xí)題集20062次印刷

1、第1次復(fù)變函數(shù)（1）、填空題。1.-(1"=3n2 .設(shè)z=j5,arg(zi)=，則z=43 .不等式z-2+z+2<5所表示的區(qū)域是曲線的內(nèi)部。4 .復(fù)數(shù)1_J3i的三角表達(dá)式為、請(qǐng)計(jì)算7T+i的值。三、已知乙和z2是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明zi+z22zi2+z2+2Re(z1z2)四、下列坐標(biāo)變換公式寫成復(fù)數(shù)形式;,x=x1al1)平移公式：y=yihx=x«cos二一y1sin;2)旋轉(zhuǎn)公式：y=x1sin二，y1cos_i五、指出下列各題中點(diǎn)z的軌跡或所在范圍，并作圖。1)z-5=6；2)z+2i之1；Iz-33) z+3+z+1=4;4)至1z-2六、將下列方程(

2、t為實(shí)參數(shù))給出的曲線用一個(gè)實(shí)直角坐標(biāo)方程表出:1)z=t(1+i)；2)z=acost+ibsint(a,b為實(shí)常數(shù)).、it餐4) z=aebe第2次復(fù)變函數(shù)(2)一、填空題2_41 .Iim+(1+z+2z)=2 .由映射f(z)=z2得到的兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)u(x,y)=v(x,y)=3 .函數(shù)f(z)在zt0時(shí)極限為z34 .已知映射S=z,則點(diǎn)z=i在該映射下在0平面的象為1 1一、對(duì)于映射w=(z+),求出圓周憶|=4的像。2 z一一1.二、函數(shù)w=一把下列z平面上的曲線映射成w平面上怎樣的曲線?.、221)x+y=4;2)y=x；3)x=1；4)(x-1)2y2=1.四、設(shè)函數(shù)f(

3、z)在Z0連續(xù)且f(Z0)¥0,那么可找到Z0的小鄰域，在這鄰域內(nèi)f(z)¥0。1zz.五、設(shè)f(z)=一(二一),(z=0).試證當(dāng)zt0時(shí)f(z)的極限不存在。2izz*六、設(shè)limf(z)=A,證明函數(shù)f(z)在4的某一去心鄰域內(nèi)是有界的，即存在一個(gè)實(shí)常數(shù)z:z0M>0,使在4的某一去心鄰域內(nèi)有|f(z)|EM.第三次解析函數(shù)(1)一、填空題1 .設(shè)/(0)7/(0)=1+i,則血必二=Z2 .導(dǎo)函數(shù)f'(z)=+i包在區(qū)域D解析的充要條件為；x；x3 .設(shè)/=/+/+zzyM'(-+-3)=4 .已知函數(shù)f(z)=(2z2+i)5,則該函數(shù)的導(dǎo)

4、數(shù)為、討論下面函數(shù)的可導(dǎo)性，如果可導(dǎo)，求出f/(z).-221) f(z)=x+iy2) f(z)=zImz)如果二"+何是2的解析函數(shù)，證明Wf(z)2+Tlf(z)f(z)2四、設(shè)絢/，+器x'y+j(13+4y?)為解析函數(shù)，試確定，加，用的值.五、證明柯西-黎曼方程的極坐標(biāo)形式為&_13v加_1而drrdSfdrr96_2+7*六、設(shè)/+iy(幾田為z=兀+的解析函數(shù)，若記力07)=白(一Jzz、.，zzzz、7T(+iv(c,c.)，試證丁=0.2i22icz第四次解析函數(shù)(2)一、填空題1)12=2)ii主值是.4)函數(shù)f(z)=zIm(z)Re(z)僅在

5、點(diǎn)z=處可導(dǎo).5)若函數(shù)f(z)=x+ay+i(x+by)在復(fù)平面上解析，則a=二、求出下列全部解；(1)加£=。；解方程sinz+icosz=四、證明：當(dāng)yT比時(shí)，卜抵（工+切網(wǎng)1卜。$。+秋）趨于無(wú)窮大五、求Ln（7i）,Ln（3+4i）和它們的主值1n、，、F一一一：六.求©2,exp（1+覬）/4,3和（1+i）i的值.第五次復(fù)積分的概念、柯西-古薩定理、填空題1)設(shè)c為沿原點(diǎn)z=0到點(diǎn)z=1+i的直線段，則2zdz=2v2sinz2)設(shè)c是橢圓x+=1,則dz。4Cz23)設(shè)c是z=e舊，日從一冗到n的一周，則fRe(z)dz=。iczz,4)設(shè)c為正向圓周z=3

6、,則T-pdz=。cz一一八3i二、沿原點(diǎn)路線at算積分oz2dz(1) 自原點(diǎn)至3+i的直線段；(2) 自原點(diǎn)沿實(shí)軸至3,再由3鉛直向上至3+i;(3) 自原點(diǎn)沿虛軸至i,再由i沿水平方向向右至3+i。三、求積分f3z2dz的值，其中C為:C(1)從1+i到34i的直線段；(2)圓周z-1-i=1的正向。C是正向單位圓周(1)?z2+2z+4c四、試用觀察法得出下列積分的值，并說(shuō)明觀察時(shí)所依據(jù)的是什么?z=1。dz(2),1cz一2(3)-ze2dzc(4)力dz2z2五、證明s?dzE2ne,其中C是單位圓z=1的一周。六、計(jì)算積分12zqtz*七、設(shè)f(z)在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，試證明l

7、im:f(re'd：=2二f(0)10第六次復(fù)合閉路定理原函數(shù)與不定積分柯西積分公式一、填空題：ze1設(shè)c為負(fù)向圓周z=4,則寸-dz=。c(z-rj)52設(shè)c為正向圓周z=1,則畝CoS27rzdz。C2z3z1：-,i3積分rzcoszdz的值為。03十n4積分re2zdz=。5設(shè)c為正向圓周z=5,則N03z1dz的值為。zz2-2z-3c二、沿指定曲線的正向計(jì)算下列積各積分dzez(1)2-,c：z-a=a;(2)45dz,c：z=1.cz-acz(3)dzz(z2-1)c：z=3;(4)csinzdz-,c:z29z-2i=2;11三、計(jì)算下列函數(shù)沿正向圓周的積分(1)41-

8、+3dz,其中c：z=4；(2)耳一_dz,其中c:z1=6；lz+1z+2iJ;z2+1ccnsin-z四、計(jì)算積分24dz,其中C分別為:z2-111z-1=2；.z+1=1；(3)z=2.i21(2iz)2dz五、計(jì)算下列各題1(1) gzsinzdzcos%os(sini)d=二e*六、求積分ddz,從而證明ie0Izl1z12第七次高階導(dǎo)數(shù)公式解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一填空題sin(2)1)、設(shè)f(z)=-d：，其中z#2,則f'(3)=。2;=2.ez2)、設(shè)C為負(fù)向圓周z=4,則1-dz=。c(z-i)53)、設(shè)C為任意實(shí)常數(shù)，那么由調(diào)和函數(shù)u=x2-y2確定的解析函數(shù)f

9、(z)=u+iv是o4)、若函數(shù)u(x,y)=x3+axy2為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù)a=。二計(jì)算下列積分(1)C2:z=3為負(fù)向;ccoszdz,其中ci：|z=2為正向,cwc2z_22z-z1.-dz,c:z=2;c(z-1)2(3)(z-1)3(z1)3dz,其中C為復(fù)平面內(nèi)不過(guò)土1的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。13下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)f(z)=u+viui：x-yx24xyy2；(2)v=2y2,f2)=0;xy四、證明u=x2+y2,v=.x,都是調(diào)和函數(shù),但是f(z)=u+iv不是解析函數(shù)。x2y2五、設(shè)v=epxsiny,求p的值使v為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù)f(z)=u+i

10、v。六、計(jì)算積分dz的值，并由此計(jì)算f1+2cos8de=0Cz2054cos-14第八次復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)哥級(jí)數(shù)一、填空題Q0(1)若哥級(jí)數(shù)£-cn(z+i)n在z=i處發(fā)散，那么該級(jí)數(shù)在z=2處的斂散性為n衛(wèi)(2)哥級(jí)數(shù)£(2i)nz2n4的收斂半徑R=nO(3)極限limn_j二2nni1-niqQ(4)哥級(jí)數(shù)£n+1)zn的和函數(shù)為n0、下列數(shù)列an是否收斂？如果收斂，求出它們的極限。sin1)an=(1+b"；2)an=(-1)n+；3)an=n2n1n三、判別下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與收斂性。O01 )'、n=e(65i)n8noO2 )'

11、;、n=Scosin2n2nsinin15四、求下列騫級(jí)數(shù)的收斂半徑。OCi："nnz003)工(1-i)nznnNoO4)v(34i)nz2nn1五、把下列各函數(shù)展開(kāi)成z的哥函數(shù)，并指出它們的收斂半徑。1)2)22，(1z2)2-be“六、求工n(n1)(2i)”的值。n-216第九次泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)一、填空題(1)函數(shù)arctanz在z=0處的泰勒展開(kāi)式為1(2)函數(shù)ez+ez在0Vzy+"內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為一，sinz,(3)函數(shù)e在z=0處泰勒展開(kāi)式的收斂半徑為,、/iyn(4)設(shè)二£an(z1),z1>1,貝Ua=Z(Z-1)n-.：1 _(5)函數(shù)

12、在1czi內(nèi)的洛朗展開(kāi)式是z(z-i)二、求下列各函數(shù)在指定點(diǎn)z0處的泰勒展開(kāi)式，并指出它們的收斂半徑：z-1.c、z1) ,z0=1;2),z0=2;z1(z1)(z2)3)、1.4),z0=14-3z17三、把下列各函數(shù)在指定的圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)。1)1z(z-1)(z-2),0<|z|<1;2<|z-2|<+；2)1z2-2z-3,1<|z|<312,0<|z|<1;0<|z11<1;z(1-z)四、設(shè)C為正向圓周|z=3,利用洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式計(jì)算下列積分：dz。1z1)2dz;2)JCz(z1)C(z1)(z2)18第十次留

13、數(shù)(1)、填空題:_.22.一.1 .設(shè)z=0為函數(shù)z-sinz的m級(jí)零點(diǎn)，那么m=2 .如果z0是f(z)的m(m>1)級(jí)零點(diǎn)，那么z0是f'(z)的級(jí)零點(diǎn)。1,3 .z=1是函數(shù)(z-1)sin的z-14 .z=1是f(z)=三吟的級(jí)極點(diǎn)。(z-1)二、下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)：1z(z21)2sinz-z3z19ez-15).1H1Z2)e"20第十一次留數(shù)(2)一、填空題：1設(shè)z=a為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，那么ResJ,a：=|f(z)一13二.2積分寸zezdz=。Z|4z-1O3Res|2，-2-ILz2z、求下列函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)

14、：1)z1z2-2z2z1-e3)1z4(z21)3coszzsin-zsinz21利用留數(shù)計(jì)算下列積分（圓周均取正向）1)2ze.2dz|z|(z)22)15z2243-dz噌(z21)2(z42)33)國(guó)式z-a)n(z-b)ndz（其中為正整數(shù),且|a快1,|b|黃1,|a|<|b|）*五計(jì)算下列積分1)2二1Tdu053si聿二x24dx01x4xsinx7dx1x222*第十二次共形映射一、填空題(1) 將單位圓z<1映射為圓域忖|<R的分式線性變換的一般形式為。.一一.,.一一1(2) 把上半平面Im(z)>0映射成單位圓3(z)<1且滿足切(1+i)

15、=06(1+2i)=的分3式線性變換。z3二一.(3) 映射g=e將帶形域0<Im(z)<映射為。4(4) 一般分式映射的性質(zhì)有,。(5) 將點(diǎn)2,i,-2映射為-1,i,1的分式線性映射是。22一、求0=z在z=i處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角。向：將切=z經(jīng)過(guò)點(diǎn)z=i且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線方向映射成色平面上哪一方向？并作圖。三、求把單位圓映射成單位圓的分式線性映射，并滿足條件:一1、C.1)f(2)=0,f(-1)=1;23.1.1二2）f（2）=0,agf（小于1.13）f（3）=0,argfqr；四、求分式線性映射0=f(z),它將Im(z)A0映射成同1且滿足條件f=0,arg

16、f'（i）=2。azb五、證明任何一個(gè)分式線性映射w=都可以認(rèn)為ad-bc=1。czd24第十三次傅立葉變換(1)一、填空題eat,t：二0(1)設(shè)a>0,f(t)=«.，則函數(shù)f(t)的傅氏積分為L(zhǎng),t-0(2)設(shè)f(t)=sin2t,則Ff(t)。(3)設(shè)f(t)=6(t),則Ff(t)。(4)設(shè)F(w)=2族(ww0)?則FF(w)=。(5)設(shè)f(t)=sin2t,則Ff(t)=。二、計(jì)算一下函數(shù)的傅氏變換：A,0MtM1)、矩形脈沖函數(shù)f(t)=4；0,other2）、咐=尸,0,t2t23)、f(t)=0e,sin2t,t0：t025一八34)、ft()St；

17、5)、g)t=1=尸g)t0：t0、已知某函數(shù)f(t)的傅氏變換為F(w)=snS，求該函數(shù)f(t)。w*四、求高斯分布函數(shù)f(t)=t22：-2，一%,e20的頻譜函數(shù)。26第十四次傅立葉變換(2)一、填空題2一.(1) f(t)=sint+2cos2t,則Ff(t);Fcost-2sin2t=。(2) Ff(t士b):。(3)設(shè)f(t)=6(t1),則Ff(t)。(4)設(shè)f(t)=ejwot?則Ff(t)o二、利用性質(zhì)計(jì)算函數(shù)f(t)的傅氏變換：1)、ft()swtux1;2)、ft()e/wtut()03)、ft()ewUt(t-)027三、若0,f1(t)-j.e,t.0t<0s

18、int,f2(t)二0,310_t_-2,other求fi(t)*f2(t);四、若E(w)=Ffi(t),F2(w)=Ff2(t),證明：.1Ffi(t)f2(t)=Fi(w)*F2(w)2二28第十五次拉普拉斯變換(1)一、填空題-t1)設(shè)Lf(t)=F(s),a>0則Leaf()=ot2)設(shè)f(t)=2(1-cosat),則Lf(t)=；3)設(shè)f(t)=e上u(t1),則Lf(t)=;4)設(shè)6(2t),則L6(21)=；ji5)設(shè)f(t)=sin(t),則Lf(t)=;3二、求下列函數(shù)的拉氏變換21)、f(t)=sintcost2)、f(t)=t+3t+229三、若Lf(t)=F(

19、s),證明F(s)=L(t)nf(t),Re(s)>c.特別Lif(t)=F(s),13t或f(t)=-LF(s),并利用此結(jié)論，計(jì)算下式：f(t)=tesin2t,求F(s).*四、若Lf(t)=F(s),證明f(t)1L；=£F(s)ds,或f(t)=tL/F(s)dsesin2t并用此結(jié)論，計(jì)算下式：f(t)=-，求F(s).30第十六次拉普拉斯變換(2)、填空題s+1s：卜11)函數(shù)s14的拉氏逆變換Ls14=(s2)(s2)s1山斗、.函數(shù)lnL的拉氏逆變換s(s1)ln昌卜3)4)函數(shù)s_2s2e-e的拉氏逆變換2sinht,設(shè)f(t)=t,Lf(t)=、求下列函數(shù)

20、的拉氏逆變換:1)F(s)=(s-a)(s-b)2)F(s)=22s2az22x2(sa)F(s)=1T2/2(s4)4)F(s)s19s26s531求解微分方程:y"+3y+2y=u(t1),y(0)=0,y'(0)=1四、用拉氏變換求解微分方程y4y3y=e,且滿足初始條件：y(0)=y'(0)=1.(10分)32工程數(shù)學(xué)模擬試卷(一)一、填空(每題5分)1 .若Lf(t)=F(s),則Lf'(t)='A0<t<t2 .求矩形脈沖函數(shù)f(t)=一一的傅氏變換0其他3.用柯西積分公式計(jì)算,(|z|K2)dzz-3-ho4.級(jí)數(shù)£

21、(2i)nz2n中的收斂半徑為n1二單選題(每題4分)1下列數(shù)中，為實(shí)數(shù)的是()3二iA.(1-i)3B.cosiCLniDe22Z=1是函數(shù)f(z)=(z-1)3sin1的()z-1A可去奇點(diǎn)B本性奇點(diǎn)C三級(jí)極點(diǎn)D三級(jí)零點(diǎn)3若函數(shù)u(x,y)=epxsiny為某一解析函數(shù)的實(shí)部，那么p=()A0B_iC_2D二14設(shè)f(t)=6(t+2),則Ff(t)=()A1b2二ce2jDe"j'QO5若幕級(jí)數(shù)工Cnzn在z=1+2i處收斂，那么該級(jí)數(shù)在z=3處的斂散性為()n=0A絕對(duì)收斂B條件收斂C發(fā)散D不能確定三計(jì)算或證明(每題7分)11證明：當(dāng)C為任何不通過(guò)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線時(shí)，

22、dz=0332設(shè)函數(shù)f(z)在圓域z-z0<R上解析，請(qǐng)證明f,(Y，其中M=maxf(z)|z-Zo-Ri3若F(。)=Ff(t),a為非零常數(shù)，證明Ff(at)=土F()aaIm(z)-Im(z>)4證明函數(shù)f(z)=P當(dāng)ztZ0時(shí)的極限不存在z-勺5求把角形域0<argz<3,映射成單位圓|碎<1的一個(gè)映射。(8分)皿1將函數(shù)f(z)=i在圓環(huán)域1cz-2(收內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)z3z+234ezre八四利用留數(shù)定理計(jì)算積分e一e一-dzC為正向圓周：z=2(8分)cZ(Z-l)2五用拉氏變換求解微分方程y"+4y'+3y=e-t,且滿足初始條

23、件：y(0)=y'(0)=1.分)(9工程數(shù)學(xué)模擬試卷(二)一、填空(每題5分)d、幾(1+i)(2i)(3i)1 設(shè)z=,則z=(3+i)(2+i)2 z=0是f(z)=誓的級(jí)極點(diǎn).z3 23.2、3 設(shè)my+nxy+i(x+lxy)為解析函數(shù)，試確定l=_m=,n=.4 若Lf(t)=F(s),則Lf'(t)=xTi(y-3)5 若六=1+i成立，則x=,y=356 設(shè)f（z）=x3+y3+ix2y2,計(jì)算f/（_；+；i）=二、計(jì)算題（每題7分）1計(jì)算22-.dz,其中c:z-1=6為正向.Cz+1A0<t<七2求矩形脈沖函數(shù)f(t)=的傅氏變換0其它,、z13求f(z)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù)z2zQO4求Z(1十i)nzn的收斂半徑R.nO一，一“_1一.一二、將函數(shù)f(z)=-在圓環(huán)域0<z1<1;1<z2<+天內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)z23z+2（8分）36z四、計(jì)算積分e一e一dZz,C為正向圓周：z=2.（8分）cZ（Z-l）2五、用拉氏變換求解微分方程y"+4y'+3y=e_1,且滿足初始條件：y（0）=y（0）=1.（10分）六證明v=2y2為調(diào)和函數(shù),并求解析函數(shù)f（z）=u+vi.（8分）xy1,zz、七、證