自動控制原理 經典控制部分 線性系統的數學模型

1、信號流圖是表示線性方程組變量間關系的一種圖信號流圖是表示線性方程組變量間關系的一種圖示方法示方法，將信號流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關系，既直觀又形象。當系統方框圖比較復雜時，可以將它轉化為，并可據此采用求出系統的傳遞函數。 考慮如下簡單等式 jijixax 這里變量xi和xj可以是時間函數、復變函數，aij是變量xj變換(映射)到變量xi的數學運算，稱作傳輸函數傳輸函數，如果xi和xj是復變量s的函數，稱aij為傳遞函數Aij(s)，即上式寫為 )()()(sXsAsXjiji2.5.12.5.1信號流圖的定義信號流圖的定義變量xi和xj用節(jié)點“”來表示；傳輸函數用一

2、有向有權的線段(稱為支路)來表示；支路上箭頭表示信號的流向，信號只能單方向流動。 信號流圖2.5.2 2.5.2 的信號流圖的信號流圖 在線性系統信號流圖的繪制中應包括以下步驟： （1）將描述系統的微分方程轉換為以s為變量的代數方程。 （2）按將代數方程寫成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211（3）用節(jié)點“”表示n個變量或信號，用支路表示變量與變量之間的關系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。 例例2-9 如下圖所示的電阻網絡，v1為輸入、v3為輸出。選5個變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、

3、電流定律可寫出四個獨立方程 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV 將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節(jié)點表示，由用支路把節(jié)點與節(jié)點聯接，得信號流圖。 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV2.5.32.5.3信號流圖的定義和術語信號流圖的定義和術語 表示變量或信號的點，用“”表示。 連接兩個節(jié)點之間的有向有權線段，方向 用箭頭表示，權值用傳輸函數表示。 指向節(jié)點的支路。 離開節(jié)點的支路。

4、 只有輸出支路的節(jié)點，也稱輸入節(jié)點， 如圖中節(jié)點X1。 只有輸入支路的節(jié)點，如圖節(jié)點X7。 信號流圖定義與術語：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點， 如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。 ：沿著支路箭頭方向通過各個相連支路 的路徑，并且每個節(jié)點僅通過一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反饋回X2。 ：從輸入節(jié)點(源節(jié)點)到匯節(jié)點的通道。 如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為 一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也為另一條前向通道。 則是指起始節(jié)點和終止節(jié)點為同一節(jié)點，且不則是指起始節(jié)點和終止節(jié)點為同一節(jié)點，且不與其它節(jié)點相交次數多于與其它節(jié)點相交次數多于1

5、次的封閉通路。次的封閉通路。 ：單一支路的閉通道，如圖中的-H3構成 自回環(huán)。 ：通道的起點就是通道的終點，如圖X2到X3又反饋到X2；X4到X5 又反饋到X4。通道傳輸或通道增益通道傳輸或通道增益：沿著通道的各支路傳輸的 乘積。如從X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 ：如果一些回環(huán)沒有任何公共的節(jié)點， 稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。如G2H1 與G4H2。 （1）信號流圖只適用于線性系統； （2）信號流圖所依據的方程式，一定為因果函數形式的代數方程； （3）信號只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞； （4）節(jié)點上可把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路； （5）具有輸入和

6、輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位傳輸的支路，可把其變?yōu)檩敵龉?jié)點，即匯節(jié)點； （6）對于給定的系統，其信號流圖不是唯一的。 ：n個同方向串聯支路的總傳輸，等于各個支路傳輸之積，如圖（b）。 ：n個同方向并聯支路的總傳輸，等于各個支路傳輸之和，如圖(a) 所示： （3）混合節(jié)點可以通過的方法消去，如圖（c）。 （4）回環(huán)可根據的規(guī)則化為等效支路，如圖（d）。 例例2-10 2-10 將圖2-43所示系統方框圖化為信號流圖并化簡求出系統的閉環(huán)傳遞函數 )()()(sRsCs 解解：信號流圖如圖 (a)所示。化G1與G2串聯等效為G1G2支路，G3與G4并聯等效為G3+G4支路，如圖 (b)，

7、G1G2與-H1反饋簡化為 支路，又與G3+G4串聯，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG進而求得閉環(huán)傳遞函數為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG 給定系統信號流圖之后，常常希望確定信號流圖中輸入變量與輸出變量之間的關系，即兩個節(jié)點之間的或。上節(jié)采用信號流圖簡化規(guī)則，逐漸簡化，最后得到總增益或總傳輸。但是，這樣很費時又麻煩，而可以對復雜的信號流圖直接求出系統輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數，使用起來更為方便。 式中， T 輸出和輸入之間的增益或傳遞函數； Pk

8、第k條前向通道的增益或傳輸函數； 信號流圖的特征值，稱為流圖特征式流圖特征式 =1- Lj1+ Lj2- Lj3+ Lj1所有不同回環(huán)增益之和； Lj2所有兩兩互不接觸回環(huán)增益乘積之和； Lj3所有三個互不接觸回環(huán)增益乘積之和； k 與第k條前向通道不接觸的那部分信號流圖的，稱為第k條前向通道特征式的。梅遜增益公式可表示為 kkPT 步驟步驟1 1：列寫出輸入：列寫出輸入R(s)R(s)到輸出到輸出C(s)C(s)的所有前向通路的所有前向通路步驟步驟2 2：列寫信號流圖的所有回路：列寫信號流圖的所有回路步驟步驟3 3：判斷所有回路的接觸性，利用流圖的特征式：判斷所有回路的接觸性，利用流圖的特征

9、式公式計算流圖的特征式公式計算流圖的特征式 步驟步驟4 4：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計算所：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計算所有前向通路的特征余因子有前向通路的特征余因子步驟步驟5 5：利用：利用MasonMason公式計算輸入公式計算輸入R(s)R(s)到輸出到輸出C(s)C(s)的傳的傳遞函數遞函數 例例2-11 利用梅遜公式求圖中所示系統的傳遞函數 C(s) / R(s)。解解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有四條前向通道，對應Pk與k為：P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1圖

10、中有五個單回環(huán)，其增益為：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的，其增益之積L1L2 = G3G5H1H2 系統的特征式為 21654321)(1LLLLLLLL系統的傳遞函數為 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG例例2-12 求圖示信號流圖的閉環(huán)傳遞函數 解解：系統單回環(huán)有：L1 = G1，L2 = G2，L

11、3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統的特征式 為： 212151311GGGGLii前向通道有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系統的傳遞函數為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii 控制系統的數學模型在系統分析和設計中是相當重要的，在線性系統理論中常用的數學模型有微分方程、傳遞函數、狀態(tài)空間表達式等，而這些模型之間又有著某些內在的等效關系。MATLAB主要使用傳遞函數和狀態(tài)空間表達式來描述(Linear Time Invariant簡記為)。 單輸入單輸出線性連續(xù)系

12、統的傳遞函數為： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多項式的根稱為，分母多項式的根稱為。令分母多項式等于零，得系統的特征方程：D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 因傳遞函數為多項式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項式的。MATLAB中多項式用行向量表示，行向量元素依次為降冪排列的多項式各項的系數，例如多項式P(s)=s3+2s+4 ,其輸入為： P=1 0 2 4 注意盡管s2項系數為0,但輸入P(s)時不可缺省0。 MATLAB下多項式乘法處理函數調用格式為 C=conv(A,B) 例如給

13、定兩個多項式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應先構造多項式A(s)和B(s),然后再調用conv( )函數來求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出的C(s)多項式為10s3 +50s2 +63s +9 MATLAB提供的conv( )函數的調用允許多級嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語句來輸入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 有 了 多 項 式 的 輸 入 , 系 統 的 傳 遞 函 數 在MATLAB下可由其分子和分母

14、多項式唯一地確定出來,其格式為 sys=tf(num,den) 其中num為分子多項式，den為分母多項式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；對于其它復雜的表達式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列語句來輸入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045sssssssssss2.6.2傳遞函數的特征根及零極點圖 傳遞函數G(s)輸入之后

15、,分別對分子和分母多項式作因式分解,則可求出系統的零極點,MATLAB提供了多項式求根函數roots(),其調用格式為 roots(p)其中p為多項式。 例如,多項式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反過來,若已知特征多項式的特征根,可調用MATLAB中的poly( )函數,來求得多項式降冪排列時各項的系數,如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000 而polyval函數用來求取給定變量

16、值時多項式的值,其調用格式為 polyval(p,a)其中p為多項式;a為給定變量值 例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66p,z=pzmap(num,den)其中, p傳遞函數G(s)= numden的極點 z傳遞函數G(s)= numden的零點例如,傳遞函數 傳遞函數在復平面上的零極點圖,采用pzmap()函數來完成,零極點圖上,零點用“?！北硎?極點用“”表示。其調用格式為13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH 用MATLA

17、B求出G(s)的零極點,H(s)的多項式形式,及G(s)H(s)的零極點圖 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點 1.0000+0.0000i n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/den

18、h=%H(s)表達式pzmap(num,den) %零極點圖title(pole-zero Map) 零極點圖如圖所示 ：2.6.3 控制系統的方框圖模型 若已知控制系統的方框圖,使用MATLAB函數可實現方框圖轉換。 1.串聯串聯 如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯,在MATLAB中可用串聯函數series( )來求G1(s)G2(s),其調用格式為 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(212.并聯并聯 如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯,可由MATLAB的并聯函數paral

19、lel( )來實現,其調用格式為 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(213.反饋反饋 反 饋 連 接 如 圖 所 示 。 使 用 M AT L A B 中 的feedback( )函數來實現反饋連接,其調用格式為 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負反饋其為1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(例如 G(s)= ,

20、H(s)= ,負反饋連接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den) num/den= 1322ssss MATLAB中的函數series,parallel和feedback可用來簡化多回路方框圖。另外,對于單位反饋系統,MATLAB可調用cloop( )函數求閉環(huán)傳遞函數,其調用格式為 num,den=cloop(num1,den1,sign) 2.6.4 控制系統的零極點模型 傳遞函數可以是時間常數形式,也可以是零極點形式,零極點形式是

21、分別對原系統傳遞函數的分子和分母進行因式分解得到的。MATLAB控制系統工具箱提供了零極點模型與時間常數模型之間的轉換函數,其調用格式分別為 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一個函數可將傳遞函數模型轉換成零極點表示形式,而第二個函數可將零極點表示方式轉換成傳遞函數模型。 例如 G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB語句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i p=0.956

22、71.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412i k=6即變換后的零極點模型為G(s)= )9287. 00353. 0)(9287. 00353. 0)(9294. 1(6sss)2272. 19567. 0)(2272. 19567. 0(isis)640. 0433. 0)(640. 0433. 0(isis 可以驗證MATLAB的轉換函數,調用zp2tf()函數將得到原傳遞函數模型。 num,den=zp2tf(z,p,k) num = 0 6.0000 12.0000 6.0000 10.0000 den = 1.0000 2.0000

23、3.0000 1.0000 1.0000 即 132106126)(23423ssssssssG2.6.5 狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)空間表達式是描述系統特性的又一種數學模型,它由狀態(tài)方程和輸出方程構成,即 x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t) 式中 x(t)Rn 稱為狀態(tài)向量,n為系統階次; ARnn 稱為系統矩陣;BRnp 稱為控制矩陣,p為輸入量個數;CRqn 稱為輸出矩陣;DRqp 稱為連接矩陣,q為輸出量個數。 在一般情況下,控制系統的狀態(tài)空間表達式項簡記為(A,B,C,D)。 例如：設一個雙輸入雙輸出系統的狀態(tài)空間表達式為uxtx202264510623421)( xy020100系統模型可由MATLAB命令直觀地表示：A=1,2,4;3,2,6;0,1,5B=4,6;2,2;0,2C=0,0,1;0,2,0D= zeros(2,2) MATLAB的控制系統工具箱提供了由狀態(tài)空間表達式轉換成傳遞函數或由傳遞函數轉換成狀態(tài)空間表達式的轉換函數ss2tf( )和tf2ss( )。其調用格式