微積分復(fù)習(xí)提綱

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱基本內(nèi)容：1、函數(shù)基本概念及性質(zhì)?；境醯群瘮?shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 注：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)。特例：為初等函數(shù)。2、極限定義：對任給，存在當(dāng)時(shí)，有.（等價(jià)定義）3、無窮小的定義與性質(zhì)。1）若函數(shù)f(x)當(dāng)(或)時(shí)的極限為零,則稱f(x)當(dāng)(或)時(shí)為無窮小量。注：（1）無窮小量是個(gè)變量而不是個(gè)很小的數(shù).（2）零是常數(shù)中唯一的無窮小量。2）無窮小的性質(zhì)：有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮小、有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小、常數(shù)與無窮小的乘

2、積是無窮小、有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小。3）函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系：的充要條件是，其中A為常數(shù)，是當(dāng)(或)時(shí)的無窮小。4、無窮大的定義。若當(dāng)(或)時(shí),f(x)的絕對值無限增大,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)(或)時(shí)為無窮大量。 注：無窮大是變量,不是一個(gè)絕對值很大的數(shù)。5、無窮大與無窮小互為倒數(shù)。6、極限的運(yùn)算法則。型：1）用。2）因式分解法。3）分子分母有理化法。型：分子分母同除以一個(gè)非零因式, 如：。7、兩個(gè)重要極限。1）2）以及。會(huì)用重要極限求函數(shù)極限。8、求兩個(gè)無窮小之比極限時(shí)，分子、分母都可用等價(jià)無窮小代替。如：、 注：等價(jià)無窮小只能在乘積和商中進(jìn)行，不能在加減運(yùn)算中代換9、連續(xù)的兩種定義。函

3、數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：1) 在點(diǎn)處有定義；2）存在 ；3）極限值等于函數(shù)值，即。例：已知函數(shù) ，在處連續(xù)，則.10、函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是：（既左連續(xù)又右連續(xù)）。11、函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)與該點(diǎn)處極限的關(guān)系： 函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)則在該點(diǎn)處必有極限，但函數(shù)在點(diǎn)處有極限并不一定在該點(diǎn)連續(xù)。12、如何求連續(xù)函數(shù)的極限？連續(xù)函數(shù)極限必存在，且極限值等于函數(shù)值，即13、對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。如：14、如何求連續(xù)區(qū)間？基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。15、間斷點(diǎn)的定義。16、

4、間斷點(diǎn)的類型。（一）第一類間斷點(diǎn)1、可去間斷點(diǎn)（1）在處無定義，但存在。（2）在處有定義，在處左右極限存在且相等，但是。2、跳躍間斷點(diǎn)：在點(diǎn)處左右極限都存在，但不相等，即。第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn):函數(shù)在該點(diǎn)處左右極限都存在.（二）第二類間斷點(diǎn)(若與中至少有一個(gè)不存在，稱為的第二類間斷點(diǎn)。) 1、無窮間斷點(diǎn)。 2、振蕩間斷點(diǎn)。是函數(shù)的何種間斷點(diǎn) 17、導(dǎo)數(shù)定義：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件是：在點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，即。18、判斷分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)：在分段點(diǎn)處應(yīng)按定義求出左右導(dǎo)數(shù)，在分段點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，則分段點(diǎn)可導(dǎo)。19、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系：若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。20、函數(shù)在點(diǎn)處的

5、導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。21、隱函數(shù)的求導(dǎo)法。方程兩端對求導(dǎo)，是的函數(shù)，即把看成中間變量，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)。22、參數(shù)方程所表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。23、對數(shù)求導(dǎo)法：先取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)。如：。24、可表示為，稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的。，叫做函數(shù)在點(diǎn)的微分。 注：，是的線性主部。25、函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且。（是的線性主部）26、近似公式：。此近似公式，用來求近旁點(diǎn)的函數(shù)值的近似值。27、中值定理的內(nèi)容。28、洛必達(dá)法則。 注：當(dāng)不存在時(shí)，并不能斷定也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求極限。如：。29、函數(shù)單調(diào)性判別法：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。（1）如果

6、在內(nèi)，那末函數(shù)在上單調(diào)增加；（2）如果在內(nèi)，那末函數(shù)在上單調(diào)減少。注：討論單調(diào)區(qū)間，的根（即駐點(diǎn)）及不存在（不可導(dǎo)點(diǎn)）的點(diǎn)作為定義區(qū)間的分點(diǎn)。30、求極值步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求出的全部駐點(diǎn)以及使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)（即可能極值點(diǎn)）；（3）由定理2或定理3判斷極值點(diǎn)（用定理3判斷，的點(diǎn)再用定理2判斷）；（4）求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，即得的全部極值。31、求最大（小）值的步驟：1、找出在內(nèi)部的一切駐點(diǎn)，求出駐點(diǎn)處的函數(shù)值。2、找出在內(nèi)部不可導(dǎo)的點(diǎn)，求出不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值。3、求出區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值。4、將所求出的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，最大者為所求最大值，最小者為所求最小值。例：函數(shù)在上的最小值為32、

7、原函數(shù)與不定積分的關(guān)系：全體原函數(shù)構(gòu)成不定積分。即。積分運(yùn)算與微分運(yùn)算有如下互逆關(guān)系：1) 或 .2)或.33、不定積分的換元法和分部積分法。第一類換元法（湊微分法）：。第二類換元法：=。分部積分法： 。35、定積分的性質(zhì)。36、（定積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使下式成立：，這個(gè)公式叫做積分中值公式。37、，為積分上限的函數(shù)（或變上限的定積分）。 它的導(dǎo)數(shù)是 積分上限的函數(shù)是上限的函數(shù)。會(huì)計(jì)算如：類型的題目。（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)就是在上的一個(gè)原函數(shù)。38、叫做牛頓萊布尼茲公式，又叫微積分基本公式。計(jì)算定積分：1）先用求不定積分的方法求出一個(gè)原函數(shù)。2）把上、下限代入原函數(shù)。3）作減法運(yùn)算。39、定積分的換元法：，